शंकू. कापलेला शंकू

शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभागदिलेल्या वक्राच्या प्रत्येक बिंदूमधून आणि वक्राबाहेरील बिंदू (चित्र 32) मधून जाणाऱ्या सर्व सरळ रेषांनी तयार केलेला पृष्ठभाग आहे.

या वक्र असे म्हणतात मार्गदर्शक , सरळ - तयार करणे , बिंदू - शीर्ष शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग.

सरळ गोलाकार शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभागदिलेल्या वर्तुळाच्या प्रत्येक बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व सरळ रेषांनी बनलेला पृष्ठभाग आणि वर्तुळाच्या समतलाला लंब असलेला आणि त्याच्या मध्यभागातून जाणारा सरळ रेषेवरील बिंदू. पुढे आपण या पृष्ठभागास थोडक्यात संबोधू शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग (अंजीर 33).

शंकू (सरळ गोलाकार शंकू ) हे शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग आणि मार्गदर्शक वर्तुळाच्या समतल समतलाने बांधलेले एक भौमितिक शरीर आहे (चित्र 34).

तांदूळ. 32 अंजीर. 33 अंजीर. ३४

शंकूला रोटेशनद्वारे प्राप्त केलेले शरीर मानले जाऊ शकते काटकोन त्रिकोणत्रिकोणाचा एक पाय असलेल्या अक्षाभोवती.

शंकूला घेरणाऱ्या वर्तुळाला त्याचे म्हणतात आधार . शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाच्या शिरोबिंदूला म्हणतात शीर्ष शंकू शंकूच्या शिरोबिंदूला त्याच्या पायाच्या मध्यभागी जोडणारा खंड म्हणतात उंची शंकू शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग तयार करणारे विभाग म्हणतात तयार करणे शंकू अक्ष शंकूची एक सरळ रेषा आहे जी शंकूच्या वरच्या भागातून आणि त्याच्या पायाच्या मध्यभागी जाते. अक्षीय विभाग शंकूच्या अक्षातून जाणारा विभाग म्हणतात. बाजूच्या पृष्ठभागाचा विकास शंकूला सेक्टर असे म्हणतात, ज्याची त्रिज्या शंकूच्या जनरेटरिक्सच्या लांबीएवढी असते आणि सेक्टरच्या कमानीची लांबी शंकूच्या पायाच्या परिघाएवढी असते.

शंकूसाठी योग्य सूत्रे आहेत:

कुठे आर- बेस त्रिज्या;

एच- उंची;

l- जनरेटिक्सची लांबी;

एस बेस- बेस क्षेत्र;

एस बाजू

एस पूर्ण

व्ही- शंकूची मात्रा.

कापलेला शंकूशंकूच्या पायथ्याशी समांतर असलेल्या पाया आणि कटिंग प्लेनमध्ये बंद केलेल्या शंकूच्या भागास म्हणतात (चित्र 35).

ट्रॅपेझॉइडची बाजू पायथ्याशी लंब असलेल्या अक्षाभोवती आयताकृती ट्रॅपेझॉइड फिरवून प्राप्त केलेला शंकू मानला जाऊ शकतो.

शंकूला वेढणाऱ्या दोन वर्तुळांना त्याचे म्हणतात कारणे . उंची कापलेल्या शंकूचे पायथ्यामधील अंतर आहे. छाटलेल्या शंकूच्या शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग तयार करणाऱ्या विभागांना म्हणतात तयार करणे . तळांच्या केंद्रांमधून जाणारी सरळ रेषा म्हणतात अक्ष कापलेला शंकू. अक्षीय विभाग कापलेल्या शंकूच्या अक्षातून जाणाऱ्या भागाला म्हणतात.

कापलेल्या शंकूसाठी योग्य सूत्रे आहेत:

(8)

कुठे आर- खालच्या पायाची त्रिज्या;

आर- वरच्या पायाची त्रिज्या;

एच- उंची, l - जनरेटरिक्सची लांबी;

एस बाजू- बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;

एस पूर्ण- एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र;

व्ही- कापलेल्या शंकूची मात्रा.

उदाहरण १.पायाशी समांतर असलेला शंकूचा क्रॉस सेक्शन शिखरापासून मोजून उंची 1:3 च्या प्रमाणात विभाजित करतो. पायाची त्रिज्या आणि शंकूची उंची 9 सेमी आणि 12 सेमी असल्यास कापलेल्या शंकूचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 36).

कापलेल्या शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, आम्ही सूत्र (8) वापरतो. चला पायाची त्रिज्या शोधू सुमारे 1 एआणि सुमारे 1 व्हीआणि निर्मिती एबी.

समान त्रिकोणांचा विचार करा SO2Bआणि SO 1 A, समानता गुणांक, नंतर

येथून

तेव्हापासून

कापलेल्या शंकूचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे:

उत्तर: .

उदाहरण २.त्रिज्याचे एक चतुर्थांश वर्तुळ शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागावर दुमडलेले आहे. पायाची त्रिज्या आणि शंकूची उंची शोधा.

उपाय.वर्तुळाचा चतुर्थांश म्हणजे शंकूच्या पार्श्व पृष्ठभागाचा विकास. चला सूचित करूया आर- त्याच्या पायाची त्रिज्या, एच -उंची सूत्र वापरून बाजूकडील पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करूया: . ते एका चतुर्थांश वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतके आहे: . आपल्याला दोन अज्ञातांसह एक समीकरण मिळते आरआणि l(शंकू तयार करणे). या प्रकरणात, जनरेटर चतुर्थांश वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढे आहे आर, म्हणजे आपल्याला खालील समीकरण मिळते: , जेथून बेस आणि जनरेटरची त्रिज्या जाणून घेतल्यावर, आपल्याला शंकूची उंची सापडते:

उत्तर: 2 सेमी, .

उदाहरण ३. 45 O चा तीव्र कोन असलेला एक आयताकृती ट्रॅपेझॉइड, 3 सेमीचा लहान पाया आणि बरोबरीची झुकलेली बाजू, पायांभोवती लंब असलेल्या बाजूभोवती फिरते. क्रांतीच्या परिणामी शरीराची मात्रा शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 37).

रोटेशनच्या परिणामी, आम्ही त्याचे खंड शोधण्यासाठी एक कापलेला शंकू प्राप्त करतो, आम्ही मोठ्या बेस आणि उंचीची त्रिज्या मोजतो. ट्रॅपीझ मध्ये O 1 O 2 ABआम्ही आयोजित करू AC^O 1 B. B आमच्याकडे आहे: याचा अर्थ हा त्रिकोण समद्विभुज आहे A.C.=B.C.=3 सेमी.

उत्तर:

उदाहरण ४. 13 सेमी, 37 सेमी आणि 40 सेमी बाजू असलेला त्रिकोण समांतर असलेल्या बाह्य अक्षाभोवती फिरतो मोठी बाजूआणि त्यापासून 3 सेमी अंतरावर स्थित आहे (अक्ष त्रिकोणाच्या समतल भागात स्थित आहे). परिणामी शरीराच्या रोटेशनचे पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा.

उपाय . चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 38).

क्रांतीच्या परिणामी शरीराच्या पृष्ठभागामध्ये दोन कापलेल्या शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभाग आणि सिलेंडरच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचा समावेश होतो. या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी, शंकूच्या पायथ्या आणि सिलेंडरची त्रिज्या जाणून घेणे आवश्यक आहे ( बी.ईआणि ओ.सी.), शंकू तयार करणे ( B.C.आणि A.C.) आणि सिलेंडरची उंची ( एबी). एकमेव अज्ञात आहे CO. हे त्रिकोणाच्या बाजूपासून रोटेशनच्या अक्षापर्यंतचे अंतर आहे. आम्ही शोधू डीसी. त्रिकोण ABC चे एका बाजूचे क्षेत्रफळ अर्ध्या बाजू AB च्या गुणाकाराच्या आणि त्यावर काढलेल्या उंचीइतके असते. डीसी, दुसरीकडे, त्रिकोणाच्या सर्व बाजू जाणून घेऊन, आपण हेरॉनचे सूत्र वापरून त्याचे क्षेत्रफळ काढतो.

एका बिंदूतून निघणारे सर्व किरण एकत्र करून मिळवले ( शिखरेशंकू) आणि सपाट पृष्ठभागावरून जात आहे. कधीकधी शंकू हा अशा शरीराचा एक भाग असतो जो शिरोबिंदू आणि सपाट पृष्ठभागाच्या बिंदूंना जोडणारे सर्व विभाग एकत्र करून प्राप्त केला जातो (या प्रकरणात नंतरचे म्हणतात आधारशंकू, आणि शंकू म्हणतात झुकणेया आधारावर). हे असे प्रकरण आहे जे अन्यथा नमूद केल्याशिवाय खाली विचारात घेतले जाईल. शंकूचा पाया बहुभुज असल्यास, शंकू पिरॅमिड बनतो.

"== संबंधित व्याख्या ==

• शिरोबिंदू आणि पायाची सीमा जोडणारा विभाग म्हणतात शंकूचे जनरेटरिक्स.
• शंकूच्या जनरेटरच्या युनियनला म्हणतात जनरेटिक्स(किंवा बाजू) शंकू पृष्ठभाग. शंकूची निर्मिती पृष्ठभाग एक शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग आहे.
• शिरोबिंदूपासून पायाच्या समतलापर्यंत (तसेच अशा सेगमेंटची लांबी) लंब खाली पडलेल्या सेगमेंटला म्हणतात. शंकूची उंची.
• जर शंकूच्या पायाला सममितीचे केंद्र असेल (उदाहरणार्थ, ते वर्तुळ किंवा लंबवर्तुळ आहे) आणि पायाच्या समतल भागावर शंकूच्या शिरोबिंदूचा ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण या केंद्राशी एकरूप असेल, तर शंकू म्हणतात. थेट. या प्रकरणात, शीर्षस्थानी आणि पायाच्या मध्यभागी जोडणारी सरळ रेषा म्हणतात शंकू अक्ष.
• तिरकस (कललेला) शंकू - एक शंकू ज्याच्या पायावर शिरोबिंदूचा ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण त्याच्या सममितीच्या केंद्राशी एकरूप होत नाही.
• वर्तुळाकार शंकू- एक शंकू ज्याचा पाया एक वर्तुळ आहे.
• सरळ गोलाकार शंकू(ज्याला सहसा शंकू म्हणतात) पाया असलेल्या रेषेभोवती काटकोन त्रिकोण फिरवून मिळवता येते (ही रेषा शंकूच्या अक्षाचे प्रतिनिधित्व करते).
• लंबवर्तुळ, पॅराबोला किंवा हायपरबोलावर विसावलेल्या शंकूला अनुक्रमे म्हणतात लंबवर्तुळाकार, पॅराबॉलिकआणि हायपरबोलिक शंकू(शेवटच्या दोनमध्ये अनंत व्हॉल्यूम आहे).
• पाया आणि पायाच्या समांतर असलेल्या आणि वरच्या आणि पायाच्या दरम्यान असलेल्या शंकूच्या भागाला म्हणतात. कापलेला शंकू.

गुणधर्म

• जर पायाचे क्षेत्रफळ मर्यादित असेल, तर शंकूचे आकारमान देखील मर्यादित असते आणि उंचीच्या आणि पायाच्या क्षेत्रफळाच्या एक तृतीयांश इतके असते. अशाप्रकारे, दिलेल्या पायावर विसावलेले आणि पायाशी समांतर असलेल्या दिलेल्या समतलावर शिरोबिंदू असलेले सर्व शंकू समान आकाराचे असतात, कारण त्यांची उंची समान असते.
• मर्यादित आकारमान असलेल्या कोणत्याही शंकूचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र पायापासून एक चतुर्थांश उंचीवर असते.
• उजव्या वर्तुळाकार शंकूच्या शिरोबिंदूवरील घन कोन समान आहे

कुठे - उघडण्याचे कोनशंकू (म्हणजे, शंकूचा अक्ष आणि त्याच्या बाजूकडील पृष्ठभागावरील कोणतीही सरळ रेषा यांच्यामधील दुप्पट कोन).

• अशा शंकूचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान असते

पायाची त्रिज्या कुठे आहे, जनरेटिक्सची लांबी आहे.

• वर्तुळाकार शंकूची मात्रा समान आहे

• उजव्या गोलाकार शंकूसह विमानाचा छेदनबिंदू हा शंकूच्या भागांपैकी एक आहे (नॉन-डिजनरेट प्रकरणांमध्ये - कटिंग प्लेनच्या स्थितीनुसार एक लंबवर्तुळ, पॅराबोला किंवा हायपरबोला).

सामान्यीकरण

बीजगणितीय भूमितीमध्ये शंकूफील्डवरील वेक्टर स्पेसचा अनियंत्रित उपसंच आहे, ज्यासाठी कोणत्याहीसाठी

हे देखील पहा

• शंकू (टोपोलॉजी)

विकिमीडिया फाउंडेशन.

2010.

इतर शब्दकोशांमध्ये "शंकू (भौमितिक आकृती)" म्हणजे काय ते पहा:

शंकू: गणितात शंकू ही एक भौमितिक आकृती आहे. टोपोलॉजिकल स्पेसवर शंकू. शंकू (श्रेणी सिद्धांत). कोन तंत्रात, मशीन टूल्समध्ये टूल आणि स्पिंडल जोडण्यासाठी ही एक साधन पद्धत आहे. शंकू उपकरण युनिट... ... विकिपीडिया भूमिती ही गणिताची एक शाखा आहे जी अवकाश संकल्पनेशी जवळून संबंधित आहे; या संकल्पनेच्या वर्णनाच्या स्वरूपावर अवलंबून,विविध प्रकार भूमिती असे गृहीत धरले जाते की वाचक, हा लेख वाचण्यास प्रारंभ करताना, काही ... ...

कॉलियर्स एनसायक्लोपीडिया डिस्प्ले स्क्रीनवर माहिती प्रतिमेचे व्हिज्युअलायझेशन (मॉनिटर). कागदावर किंवा इतर माध्यमांवर प्रतिमेचे पुनरुत्पादन करण्याच्या विपरीत, स्क्रीनवर तयार केलेली प्रतिमा जवळजवळ त्वरित मिटविली जाऊ शकते आणि/किंवा दुरुस्त, संकुचित किंवा ताणली जाऊ शकते... ...

विश्वकोशीय शब्दकोश

विज्ञानाचा इतिहास... विकिपीडिया विज्ञानाचा इतिहास विषयानुसार गणितनैसर्गिक विज्ञान

... विकिपीडिया भूमिती असे गृहीत धरले जाते की वाचक, हा लेख वाचण्यास प्रारंभ करताना, काही ... ...

- (ग्रीक जिओडाइसिया, ge Earth आणि daio divide, divide वरून), पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील वस्तूंचे स्थान, पृथ्वी आणि इतर ग्रहांचे आकार, आकार आणि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र निश्चित करण्याचे शास्त्र. ही उपयोजित गणिताची शाखा आहे, भूमितीशी जवळून संबंधित आहे,... ... जेव्हा शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग एका विमानाने विभागलेले असते, तेव्हा दुसऱ्या क्रमाचे वक्र प्राप्त होतात - वर्तुळ, लंबवर्तुळ, पॅराबोला आणि हायपरबोला. INवारंवार

कटिंग प्लेनच्या विशिष्ट ठिकाणी आणि जेव्हा ते शंकूच्या शिरोबिंदू (S∈γ) मधून जाते, तेव्हा वर्तुळ आणि लंबवर्तुळ एका बिंदूमध्ये क्षीण होतात किंवा शंकूचे एक किंवा दोन जनरेटिसिस विभागात येतात.

देते - एक वर्तुळ जेव्हा कटिंग प्लेन त्याच्या अक्षाला लंब असतो आणि सर्व निर्माण करणाऱ्या पृष्ठभागांना छेदतो.

देते - एक लंबवर्तुळ जेव्हा कटिंग प्लेन त्याच्या अक्षाला लंब नसतो आणि सर्व निर्मिती पृष्ठभागांना छेदतो. ω चला लंबवर्तुळाकार बनवू α विमान

, एक सामान्य स्थान व्यापलेले. उजव्या गोलाकार शंकूचा क्रॉस सेक्शनकटिंग प्लेनने प्रोजेक्टिंग पोझिशन घेतल्यास विमान मोठ्या प्रमाणात सरलीकृत केले जाते.

प्रक्षेपण विमाने बदलण्याची पद्धत वापरून, आम्ही विमानाचे भाषांतर करतो α पासून सामान्य स्थितीविशेषतः - फ्रंट-प्रोजेक्टिंग. प्रक्षेपणांच्या पुढच्या विमानावर व्ही १चला विमानाचा ट्रेस तयार करूया α आणि शंकूच्या पृष्ठभागाचे प्रक्षेपण ω विमान लंबवर्तुळ देते, कारण कटिंग प्लेन शंकूच्या सर्व जनरेटिसिसला छेदते. लंबवर्तुळ हे प्रोजेक्शन प्लेनवर द्वितीय-क्रम वक्र म्हणून प्रक्षेपित केले जाते.
विमानाच्या ट्रेसवर α व्हीएक अनियंत्रित मुद्दा घ्या 3" आम्ही प्रोजेक्शन प्लेनपासून त्याचे अंतर मोजतो एचआणि ते आधीच विमानात असलेल्या कम्युनिकेशन लाईनवर ठेवा व्ही १, एक गुण मिळत आहे 3" 1 . त्यावरून पायवाट जाणार आहे αV 1. शंकू विभाग ओळ ω - गुण अ" १, इ" १येथे विमानाच्या ट्रेसशी जुळते. पुढे, आम्ही प्रोजेक्शन्सच्या फ्रंटल प्लेनवर ड्रॉइंग करून सहाय्यक कटिंग प्लेन γ3 तयार करू. व्ही १तिचा माग γ 3V 1. शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाला छेदणारे सहायक विमान ω एक वर्तुळ देईल आणि विमानाला छेदेल α क्षैतिज रेषा h3 देईल. या बदल्यात, वर्तुळाला छेदणारी सरळ रेषा आवश्यक बिंदू देते C` आणि K`विमान छेदनबिंदू α शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागासह ω . आवश्यक बिंदूंचा पुढचा अंदाज सी" आणि के"कटिंग प्लेनशी संबंधित बिंदू म्हणून तयार करा α .

एक मुद्दा शोधण्यासाठी E(E`, E")विभाग रेषा, शंकूच्या वरच्या बाजूने क्षैतिज प्रक्षेपित विमान काढा γ 2 एच, जे विमानाला छेदेल α सरळ रेषेत 1-2(1`-2`, 1"-2") . छेदनबिंदू 1"-2" कम्युनिकेशन लाइन एक बिंदू देते ई"- सेक्शन लाइनचा सर्वोच्च बिंदू.

विभाग रेषेच्या पुढच्या प्रोजेक्शनची दृश्यमानता मर्यादा दर्शविणारा बिंदू शोधण्यासाठी, शंकूच्या वरच्या बाजूने क्षैतिज प्रक्षेपित विमान काढा. γ 5 एचआणि क्षैतिज प्रक्षेपण शोधा F`इच्छित बिंदू. तसेच, विमान γ 5 एचविमानाला छेदेल α पुढचा f(f`, f"). छेदनबिंदू f"कम्युनिकेशन लाइन एक बिंदू देते F". आम्ही क्षैतिज प्रोजेक्शनवर प्राप्त केलेल्या बिंदूंना गुळगुळीत वळणाने जोडतो, त्यावर सर्वात डावीकडील बिंदू G चिन्हांकित करतो - छेदनबिंदू रेषेच्या वैशिष्ट्यपूर्ण बिंदूंपैकी एक.
त्यानंतर, आम्ही प्रोजेक्शन V1 आणि V च्या समोरील समतलांवर G प्रक्षेपण तयार करतो. आम्ही प्रोजेक्शन V च्या समोरील समतल भागावरील सर्व तयार केलेल्या बिंदूंना गुळगुळीत रेषेने जोडतो.

देते - एक पॅराबोला जेव्हा कटिंग प्लेन शंकूच्या एका जनरेटरिक्सच्या समांतर असते.

वक्र - कोनिक विभागांचे अंदाज बांधताना, प्रमेय लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे: क्रांतीच्या शंकूच्या एका सपाट भागाचा त्याच्या अक्षावर लंब असलेल्या समतल भागाचा ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन हा द्वितीय-क्रम वक्र आहे आणि त्याच्या एका फोकसमध्ये ऑर्थोगोनल आहे. या विमानावर शंकूच्या शिरोबिंदूचे प्रक्षेपण.

कटिंग विमान तेव्हा विभाग अंदाज बांधकाम विचार करू α शंकूच्या एका जनरेटरिक्सला समांतर (SD).

क्रॉस सेक्शनचा परिणाम बिंदूवर त्याच्या शिरोबिंदूसह पॅराबोलामध्ये होईल A(A`, A"). प्रमेयानुसार, शंकूचा शिरोबिंदू एसफोकस मध्ये प्रक्षेपित S`. ज्ञात त्यानुसार =R S`पॅराबोलाच्या डायरेक्टिक्सची स्थिती निश्चित करा. त्यानंतर, समीकरण वापरून वक्र बिंदू प्लॉट केले जातात p=R.

कटिंग विमान तेव्हा विभाग अंदाज बांधणे α शंकूच्या एका जनरेटरिक्सच्या समांतर, पुढील गोष्टी केल्या जाऊ शकतात:

सहाय्यक क्षैतिज प्रोजेक्टिंग विमानांच्या मदतीने शंकूच्या वरच्या भागातून जाणारे γ 1 एचआणि γ 2 एच.

प्रथम, बिंदूंचे पुढचे अंदाज निर्धारित केले जातात एफ", जी"- जनरेटरच्या छेदनबिंदूवर S"1", S"2"आणि कटिंग प्लेनचा ट्रेस α व्ही. सह संप्रेषण ओळींच्या छेदनबिंदूवर γ 1 एचआणि γ 2 एचनिश्चित करणे F`, G`.

सेक्शन लाईनचे इतर बिंदू समान प्रकारे परिभाषित केले जाऊ शकतात, उदाहरणार्थ डी", ई"आणि D`, E`.

सहाय्यक फ्रंटल प्रोजेक्शन प्लेन वापरणे ⊥ शंकू अक्ष γ 3 व्हीआणि γ 4 व्ही.

सहाय्यक विमानांचा एक भाग आणि विमानावरील शंकूचे अंदाज एच, मंडळे असतील. कटिंग प्लेनसह सहाय्यक विमानांच्या छेदनबिंदूच्या रेषा α समोर-प्रोजेक्टिंग सरळ रेषा असतील.

देते - एक हायपरबोला जेव्हा कटिंग प्लेन शंकूच्या दोन जनरेटरच्या समांतर असते.

मागे पुढे

लक्ष द्या! पूर्वावलोकनस्लाइड्स केवळ माहितीच्या उद्देशाने आहेत आणि सादरीकरणाच्या सर्व वैशिष्ट्यांचे प्रतिनिधित्व करू शकत नाहीत. तुम्हाला या कामात स्वारस्य असल्यास, कृपया पूर्ण आवृत्ती डाउनलोड करा.

धड्याची उद्दिष्टे:

• शैक्षणिक: प्रविष्ट करा शंकू संकल्पना, त्याचे घटक; सरळ शंकूच्या बांधकामाचा विचार करा; शंकूची संपूर्ण पृष्ठभाग शोधण्याचा विचार करा; शंकूचे घटक शोधण्याच्या समस्या सोडविण्याची क्षमता विकसित करणे.
• विकासात्मक: सक्षम गणिती भाषण, तार्किक विचार विकसित करा.
• शैक्षणिक: संज्ञानात्मक क्रियाकलाप वाढवणे, संवाद संस्कृती, संवादाची संस्कृती.

धड्याचे स्वरूप:नवीन ज्ञान आणि कौशल्ये तयार करण्याचा धडा.

शैक्षणिक क्रियाकलापांचे स्वरूप:कामाचे सामूहिक स्वरूप.

धड्यात वापरलेल्या पद्धती:स्पष्टीकरणात्मक-दर्शक, उत्पादक.

उपदेशात्मक साहित्य:नोटबुक, पाठ्यपुस्तक, पेन, पेन्सिल, शासक, बोर्ड, खडू आणि क्रेयॉन, प्रोजेक्टर आणि सादरीकरण “शंकू. मूलभूत संकल्पना. शंकूचे पृष्ठभाग क्षेत्र.

धडा योजना:

1. संस्थात्मक क्षण (1 मि).
2. तयारीचा टप्पा(प्रेरणा) (5 मि).
3. नवीन साहित्य शिकणे (15 मि).
4. शंकूचे घटक शोधण्यात समस्या सोडवणे (15 मि).
5. धड्याचा सारांश (2 मि).
6. गृहपाठ असाइनमेंट (2 मि).

धड्याची प्रगती

1. संघटनात्मक क्षण

ध्येय: नवीन साहित्य शिकण्याची तयारी करणे.

2. तयारीचा टप्पा

फॉर्म: तोंडी कार्य.

ध्येय: रोटेशनच्या नवीन शरीरासह परिचित.

ग्रीक "कोनोस" मधून अनुवादित शंकू म्हणजे "पाइन शंकू".

शंकूच्या आकारात शरीरे आहेत. ते सामान्य आइस्क्रीमपासून तंत्रज्ञानापर्यंत, तसेच मुलांच्या खेळण्यांमध्ये (पिरॅमिड, क्रॅकर इ.), निसर्गात (स्प्रूस, पर्वत, ज्वालामुखी, चक्रीवादळ) विविध वस्तूंमध्ये दिसू शकतात.

(स्लाइड 1-7 वापरणे)

शिक्षक क्रियाकलाप	विद्यार्थी क्रियाकलाप
3. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण ध्येय: शंकूच्या नवीन संकल्पना आणि गुणधर्म सादर करा.
1. शंकू त्याच्या एका पायाभोवती काटकोन त्रिकोण फिरवून मिळवता येतो. (स्लाइड 8) आता शंकू कसा बांधला जातो ते पाहू. प्रथम, आपण केंद्र O असलेले वर्तुळ आणि या वर्तुळाच्या समतलाला लंब असलेली रेषा OP काढतो. शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभागआम्ही वर्तुळाच्या प्रत्येक बिंदूला एका विभागासह P बिंदूशी जोडतो (शिक्षक चरण-दर-चरण शंकू तयार करतो). या विभागांनी तयार केलेल्या पृष्ठभागास म्हणतात.	, आणि विभाग स्वतः -
शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग तयार करणे ते त्यांच्या नोटबुकमध्ये शंकू बांधतात..	(व्याख्या सांगते) (स्लाइड 9) शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाने वेढलेल्या शरीराला आणि L सीमारेषा असलेले वर्तुळ म्हणतात.
शंकू व्याख्या लिहा.शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग म्हणतात शंकूची बाजूकडील पृष्ठभाग, आणि वर्तुळ आहे शंकू अक्षशंकूचा पाया शंकूची उंची. पाया आणि वरच्या मध्यभागी जाणाऱ्या सरळ रेषेला ओपी म्हणतात .शंकूचा अक्ष पायाच्या समतलाला लंब असतो. सेगमेंट ओपी म्हणतात.	. पॉइंट P म्हणतात
शंकूचा वरचा भाग	, आणि शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाचे जनरेटर आहेत
शंकू तयार करणे	शंकूचे घटक रेखाचित्रावर लेबल केलेले आहेत.
शंकूच्या दोन जनरेटरची नावे सांगा आणि त्यांची तुलना करा?	PA आणि PB, ते समान आहेत.
जनरेटर समान का आहेत? कलतेचे प्रक्षेपण वर्तुळाच्या त्रिज्येइतके असतात, याचा अर्थ जनरेटर स्वतः समान असतात. तुमच्या नोटबुकमध्ये लिहा: शंकूचे गुणधर्म:	(स्लाइड 10) 1. शंकूचे सर्व जनरेटर समान आहेत.
जनरेटिसिसच्या पायाकडे झुकण्याचे कोन कोणते आहेत? त्यांची तुलना करा. का, सिद्ध करू? कोन: PCO, PDO. ते समान आहेत.	त्रिकोण PAB समद्विभुज असल्याने. 2. जनरेटिसिसच्या पायाकडे झुकण्याचे कोन समान आहेत.
अक्ष आणि जनरेटरमधील कोन कोणते आहेत? या अँगलबद्दल काय सांगाल? SRO आणि DPO	ते समान आहेत. 3. अक्ष आणि जनरेटरमधील कोन समान आहेत.
अक्ष आणि पाया यांच्यातील कोन कोणते आहेत? हे कोन काय समान आहेत?
POC आणि POD. 90 ओ	4. अक्ष आणि पाया यांच्यातील कोन बरोबर आहेत.
आम्ही फक्त सरळ शंकूचा विचार करू.	2. विविध विमानांद्वारे शंकूच्या विभागाचा विचार करा.
शंकूच्या अक्षातून जाणारे कटिंग प्लेन काय आहे?	त्रिकोण.
या त्रिकोणाचा पाया काय आहे?	शंकूच्या पायाचा व्यास.
या विभागाला अक्षीय म्हणतात. (स्लाइड 11) हा विभाग तुमच्या नोटबुकमध्ये काढा आणि त्यावर लेबल लावा. शंकूच्या अक्ष ओपीला कटिंग प्लेन लंब किती आहे?	वर्तुळ.
या वर्तुळाचे केंद्र कोठे आहे?	शंकूच्या अक्षावर.
या विभागाला गोलाकार विभाग (स्केल 12) म्हणतात. हा विभाग तुमच्या नोटबुकमध्ये काढा आणि त्यावर लेबल लावा. इतर प्रकारचे शंकूचे विभाग आहेत जे अक्षीय नसतात आणि शंकूच्या पायाशी समांतर नसतात. चला त्यांच्याकडे उदाहरणांसह पाहू. (स्लाइड १३)	ते नोटबुकमध्ये लिहितात.
3. आता आपण शंकूच्या एकूण पृष्ठभागाचे सूत्र काढतो. (स्लाइड 14) हे करण्यासाठी, सिलिंडरच्या बाजूच्या पृष्ठभागाप्रमाणे शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागास जनरेटिसिसपैकी एका बाजूने कापून विमानात वळवता येते.
शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचा विकास काय आहे? (फलकावर काढतो)	परिपत्रक क्षेत्र.
या क्षेत्राची त्रिज्या किती आहे?	शंकूचे जनरेटर.
क्षेत्राच्या चाप लांबीचे काय?	घेर.
शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ त्याच्या विकासाचे क्षेत्र मानले जाते. (स्लाइड १५)	, कमानीचे अंश माप कुठे आहे.
वर्तुळाकार क्षेत्राचे क्षेत्रफळ किती आहे?
तर, शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ किती आहे? चला आणि द्वारे व्यक्त करूया. (स्लाइड 16) कमानीची लांबी किती आहे?
दुसरीकडे, समान चाप शंकूच्या पायाचा घेर दर्शवितो. ते काय समान आहे?
शंकूच्या बाजूकडील पृष्ठभागाच्या जागी आपल्याला मिळालेल्या सूत्रामध्ये, . शंकूचे एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे बाजूकडील पृष्ठभाग आणि पायाच्या क्षेत्रांची बेरीज. . ही सूत्रे लिहा.	लिहा:, .

ठराविक समतल (चित्र 386, a, b) मध्ये पडलेली कोणतीही रेषा l (वक्र किंवा तुटलेली रेषा) आणि या विमानात नसलेला अनियंत्रित बिंदू M विचारात घेऊ. रेषेच्या सर्व बिंदूंसह बिंदू M जोडणाऱ्या सर्व शक्य सरळ रेषा पृष्ठभाग a बनवतात; अशा पृष्ठभागाला शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग म्हणतात, एक बिंदू एक शिरोबिंदू आहे, एक रेषा मार्गदर्शक आहे, सरळ रेषा जनरेटर आहेत. अंजीर मध्ये. 386 आम्ही पृष्ठभाग a ला त्याच्या शिरोबिंदूपर्यंत मर्यादित करत नाही, परंतु ती शिरोबिंदूपासून दोन्ही दिशांना अमर्यादितपणे विस्तारत असल्याची कल्पना करा.

जर शंकूच्या आकाराचे पृष्ठभाग मार्गदर्शकाच्या समांतर कोणत्याही समतलाने विच्छेदित केले असेल, तर विभागात आपल्याला एक रेषा (वक्र किंवा तुटलेली रेषा, रेषा वक्र किंवा तुटलेली आहे यावर अवलंबून) मिळते शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाच्या शिरोबिंदूवर समरूपतेचे केंद्र. खरंच, जनरेटरच्या कोणत्याही संबंधित विभागांचे गुणोत्तर स्थिर असेल:

तर, मार्गदर्शकाच्या समतलाने समांतर असलेल्या शंकूच्या पृष्ठभागाचे विभाग समान असतात आणि समानतेचे केंद्र शंकूच्या पृष्ठभागाच्या शिरोबिंदूवर असते; पृष्ठभागाच्या शिरोबिंदूमधून न जाणाऱ्या कोणत्याही समांतर विमानांसाठी हेच खरे आहे.

आता मार्गदर्शक बंद बहिर्वक्र रेषा असू द्या (चित्र 387, a, आकृती 387, b मधील तुटलेली रेषा). त्याच्या शिखर आणि मार्गदर्शकाच्या समतल दरम्यान घेतलेल्या शंकूच्या आकाराच्या पृष्ठभागाने बाजूने बांधलेले शरीर, आणि सपाट पायामार्गदर्शकाच्या विमानात, शंकू म्हणतात (जर ती वक्र रेषा असेल) किंवा पिरॅमिड (जर ती तुटलेली रेषा असेल तर).

पिरॅमिड्सचे त्यांच्या पायावर असलेल्या बहुभुजाच्या बाजूंच्या संख्येनुसार वर्गीकरण केले जाते. ते त्रिकोणी, चतुर्भुज आणि सामान्यतः टोकदार पिरॅमिड्सबद्दल बोलतात. लक्षात घ्या की -गोनल पिरॅमिडला एक चेहरा आहे: बाजूचे चेहरे आणि आधार. पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी आपल्याकडे सपाट आणि डायहेड्रल कोन असलेला -हेड्रल कोन आहे.

त्यांना अनुक्रमे शिरोबिंदूवरील समतल कोन आणि पार्श्व किनार्यांवर डायहेड्रल कोन म्हणतात. पायाच्या शिरोबिंदूंवर आपल्याकडे त्रिहेड्रल कोन आहेत; पायाच्या पार्श्व, कडा आणि बाजूंनी बनलेल्या त्यांच्या सपाट कोनांना पायथ्यावरील सपाट कोन म्हणतात, पार्श्वमुखी आणि पायाच्या समतल भागांमधील द्विहेड्रल कोनांना पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन म्हणतात.

त्रिकोणी पिरॅमिडला अन्यथा टेट्राहेड्रॉन (म्हणजे टेट्राहेड्रॉन) म्हणतात. त्याचा कोणताही चेहरा आधार म्हणून घेतला जाऊ शकतो.

दोन अटी पूर्ण झाल्यास पिरॅमिडला नियमित म्हणतात: 1) एक नियमित बहुभुज पिरॅमिडच्या पायथ्याशी असतो,

2) पिरॅमिडच्या वरपासून पायथ्यापर्यंत कमी केलेली उंची या बहुभुजाच्या मध्यभागी छेदते (दुसऱ्या शब्दात, पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो).

याची नोंद घ्या नियमित पिरॅमिडसाधारणपणे बोलायचे झाले तर, हा नियमित पॉलिहेड्रॉन नाही!

नियमित -गोनल पिरॅमिडचे काही गुणधर्म लक्षात घेऊ या. अशा पिरॅमिडच्या वरच्या बाजूने उंची SO काढू या (चित्र 388).

या उंचीभोवती संपूर्ण पिरॅमिड एका कोनाने फिरवू या, अशा रोटेशनसह, मूळ बहुभुज स्वतःमध्ये बदलेल: त्याचे प्रत्येक शिरोबिंदू त्याच्या शेजाऱ्याची स्थिती घेईल. पिरॅमिडचा वरचा भाग आणि त्याची उंची (रोटेशनचा अक्ष!) जागीच राहील, आणि म्हणून संपूर्ण पिरॅमिड स्वतःशी संरेखित होईल: प्रत्येक बाजूची धार शेजारच्या बाजूस जाईल, प्रत्येक बाजूचा चेहरा शेजारच्या बाजूशी संरेखित होईल. , बाजूच्या काठावरील प्रत्येक डायहेड्रल कोन देखील शेजारच्या कोनाशी संरेखित होईल.

म्हणून निष्कर्ष: सर्वकाही बाजूच्या फासळ्याएकमेकांना समान आहेत, सर्व बाजूकडील चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण आहेत, पायथ्यावरील सर्व डायहेड्रल कोन समान आहेत, शिरोबिंदूवरील सर्व समतल कोन समान आहेत, पायथ्यावरील सर्व समतल कोन समान आहेत.

प्राथमिक भूमितीच्या अभ्यासक्रमातील शंकूंपैकी, आपण उजव्या वर्तुळाकार शंकूचा अभ्यास करतो, म्हणजे, ज्या शंकूचा पाया एक वर्तुळ आहे आणि ज्याचा शिखर या वर्तुळाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित आहे.

एक सरळ गोलाकार शंकू अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 389. जर आपण शंकूच्या शिरोबिंदूतून उंची SO काढली आणि या उंचीभोवती सुळका एका अनियंत्रित कोनाने फिरवला, तर पायाचे वर्तुळ स्वतःच सरकते; उंची आणि शिखर जागेवर राहतील, म्हणून कोणत्याही कोनाकडे वळल्यावर, शंकू स्वतःशी संरेखित होईल. यावरून हे स्पष्ट होते, विशेषतः, शंकूचे सर्व जनरेटिसिस एकमेकांच्या समान आहेत आणि तळाच्या समतलतेकडे तितकेच झुकलेले आहेत. त्याच्या उंचीवरून जाणाऱ्या विमानांद्वारे शंकूचे विभाग समद्विभुज त्रिकोण असतील, एकमेकांच्या समान असतील. संपूर्ण शंकू त्याच्या बाजूभोवती काटकोन त्रिकोण SOA फिरवून मिळवला जातो (जो शंकूची उंची बनतो). म्हणून, उजवा गोलाकार शंकू हा क्रांतीचा भाग आहे आणि त्याला क्रांतीचा शंकू देखील म्हणतात. अन्यथा सांगितल्याशिवाय, संक्षिप्ततेच्या कारणास्तव, आपण पुढे फक्त "शंकू" म्हणतो, म्हणजे फिरणारा शंकू.

शंकूचे विभाग त्याच्या पायाच्या समतलाने समांतर असतात.

कार्य. नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडच्या पायथ्यावरील डायहेड्रल कोन a च्या समान असतात. पार्श्व किनार्यांवर डायहेड्रल कोन शोधा.

उपाय. पिरॅमिडच्या पायाची बाजू तात्पुरती म्हणून दर्शवूया. पिरॅमिडची उंची SO आणि त्याच्या बेस AM (Fig. 390) च्या मध्यभागी असलेल्या विमानासह कट करूया.