Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд.
Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл. Тойрог

Нарийвчилсан судалгаа хийсний дараа хавтгай дээрх шулуун шугамуудБид хоёр хэмжээст ертөнцийн геометрийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Бооцоо хоёр дахин нэмэгдэж, би таныг ердийн төлөөлөл болох эллипс, гипербол, параболын үзэсгэлэнт галлерейд зочлохыг урьж байна. хоёр дахь дарааллын шугамууд. Аялал аль хэдийн эхэлсэн бөгөөд эхлээд товч мэдээлэлМузейн янз бүрийн давхарт тавигдсан бүхэл бүтэн үзэсгэлэнгийн талаар:

Алгебрийн шугамын тухай ойлголт ба түүний дараалал

Хавтгай дээрх шугамыг нэрлэдэг алгебрийн, хэрэв байгаа бол аффины координатын системтүүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна, энд нь хэлбэрийн нөхцлөөс бүрдэх олон гишүүнт ( – бодит тоо, – сөрөг бус бүхэл тоо).

Таны харж байгаагаар алгебрийн шугамын тэгшитгэл нь синус, косинус, логарифм болон бусад функциональ гоо сайхныг агуулаагүй болно. Зөвхөн X ба Y л орсон сөрөг бус бүхэл тооградус.

Шугамын дараалалтүүнд орсон нэр томъёоны дээд утгатай тэнцүү байна.

Холбогдох теоремын дагуу алгебрийн шугамын тухай ойлголт, түүний дараалал нь сонголтоос хамаардаггүй. аффины координатын систем, тиймээс оршин тогтноход хялбар болгох үүднээс бид дараагийн бүх тооцоог дараах байдлаар хийнэ гэж үздэг Декарт координатууд.

Ерөнхий тэгшитгэлХоёрдахь эрэмбийн мөрөнд , хаана байна - дурын бодит тоо (Үүнийг хоёр хүчин зүйлээр бичих нь заншилтай), мөн коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.

Хэрэв бол тэгшитгэл нь хялбарчлагдана , хэрэв коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь яг тохирно "хавтгай" шугамын ерөнхий тэгшитгэл, илэрхийлдэг эхний захиалгын мөр.

Олон хүмүүс шинэ нэр томъёоны утгыг ойлгосон боловч материалыг 100% эзэмшихийн тулд бид хуруугаа залгуурт наа. Шугамын дарааллыг тодорхойлохын тулд та давтах хэрэгтэй бүх нөхцөлтүүний тэгшитгэлийг олж, тус бүрийг нь ол градусын нийлбэрирж буй хувьсагчид.

Жишээлбэл:

Энэ нэр томьёо нь 1-р зэрэглэлд "x"-ыг агуулна;
нэр томъёо нь 1-р зэрэглэлд "Y" -ийг агуулна;
Энэ нэр томъёонд хувьсагч байхгүй тул тэдгээрийн чадлын нийлбэр нь тэг байна.

Одоо тэгшитгэл яагаад шугамыг тодорхойлж байгааг олж мэдье хоёрдугаартзахиалга:

нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "x"-ыг агуулна;
нийлбэр нь хувьсагчдын чадлын нийлбэртэй байна: 1 + 1 = 2;
Энэ нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "Y"-г агуулна;
бусад бүх нэр томъёо - багаградус.

Хамгийн их утга: 2

Хэрэв бид тэгшитгэлдээ нэмж нэмбэл энэ нь аль хэдийн тодорхойлогдох болно гурав дахь эрэмбийн шугам. Мэдээжийн хэрэг, 3-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь " бүрэн багц» нэр томъёо, хувьсагчийн чадварын нийлбэр нь гуравтай тэнцүү байна:
, коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.

Хэрэв та нэг буюу хэд хэдэн тохиромжтой нэр томъёог оруулсан тохиолдолд , дараа нь бид аль хэдийн ярих болно 4-р дарааллын шугам, гэх мэт.

Бид 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн алгебрийн шугамуудтай, ялангуяа танилцахдаа нэгээс олон удаа тулгарах шаардлагатай болно. туйлын координатын систем.

Гэсэн хэдий ч ерөнхий тэгшитгэл рүү буцаж очоод түүний хамгийн энгийн сургуулийн хувилбаруудыг санацгаая. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг хялбархан багасгаж болох параболыг санал болгож байна ерөнхий дүр төрх, ба эквивалент тэгшитгэлтэй гипербол . Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч жигд биш ...

Чухал сул тал ерөнхий тэгшитгэлЭнэ нь аль мөрийг тогтоох нь бараг үргэлж тодорхойгүй байдаг. Хамгийн энгийн тохиолдолд ч гэсэн та үүнийг хэтрүүлсэн зүйл гэдгийг шууд ойлгохгүй. Ийм зохион байгуулалт нь зөвхөн нүүр будалтанд сайн байдаг тул аналитик геометрийн явцад бид авч үздэг. ердийн даалгавар 2-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тэгшитгэлийн каноник хэлбэр гэж юу вэ?

Үүнийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг стандарт харагдах байдалЭнэ тэгшитгэл нь хэдхэн секундын дотор ямар геометрийн объектыг тодорхойлох нь тодорхой болно. Үүнээс гадна каноник хэлбэр нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Жишээлбэл, каноник тэгшитгэлийн дагуу "хавтгай" шулуун, нэгдүгээрт, энэ нь шулуун шугам гэдэг нь шууд тодорхой болж, хоёрдугаарт, түүнд хамаарах цэг, чиглэлийн вектор амархан харагдаж байна.

Ямар ч байсан нь ойлгомжтой 1-р захиалгын шугамшулуун шугам юм. Хоёр давхарт биднийг хүлээж байгаа манаач байхаа больсон, харин есөн баримлаас бүрдсэн илүү олон янзын компани:

Хоёрдахь эрэмбийн шугамын ангилал

Тусгай үйлдлийн багцыг ашиглан хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрүүдийн аль нэгэнд буулгана.

(болон эерэг бодит тоонууд)

1) – эллипсийн каноник тэгшитгэл;

2) – гиперболын каноник тэгшитгэл;

3) – параболын каноник тэгшитгэл;

4) – төсөөлөлэллипс;

5) – огтлолцсон хос шугам;

6) - хос төсөөлөлогтлолцох шугамууд (эх цэг дээр нэг зөв огтлолцох цэгтэй);

7) - хос зэрэгцээ шугам;

8) - хос төсөөлөлзэрэгцээ шугамууд;

9) - давхцаж буй хос шугам.

Зарим уншигчдад энэ жагсаалт бүрэн бус байна гэсэн сэтгэгдэл төрж магадгүй. Жишээлбэл, 7-р цэгт тэгшитгэл нь хосыг тодорхойлдог шууд, тэнхлэгтэй параллель байх ба асуулт гарч ирнэ: ордны тэнхлэгтэй параллель шугамуудыг тодорхойлох тэгшитгэл хаана байна вэ? Хариулт: тэр каноник гэж тооцогддоггүй. Шулуун шугамууд нь 90 градусаар эргэлдсэн ижил стандарт тохиолдлыг илэрхийлдэг бөгөөд ангилалд нэмэлт оруулга хийх нь цоо шинэ зүйл авчрахгүй тул шаардлагагүй болно.

Тиймээс ес, ердөө ес байна янз бүрийн төрөл 2-р эрэмбийн мөрүүд боловч практик дээр ихэвчлэн олддог эллипс, гипербол, парабол.

Эхлээд эллипсийг харцгаая. Ердийнх шигээ би байгаа зүйлүүд дээр анхаарлаа хандуулдаг их ач холбогдолАсуудлыг шийдэхийн тулд, хэрэв танд томьёоны нарийвчилсан гаралт, теоремын баталгаа хэрэгтэй бол жишээлбэл, Базылев/Атанасян эсвэл Александровын сурах бичгийг үзнэ үү.

Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл

Үг үсгийн алдаа... “зууван хэлбэрийг хэрхэн бүтээх вэ”, “зууван ба зууван хоёрын ялгаа”, “зууван хэлбэрийн хазгай” зэрэг сонирхолтой зарим Yandex хэрэглэгчдийн алдааг давтахгүй байхыг хүсье.

Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь эерэг бодит тоонууд ба гэсэн хэлбэртэй байна. Би эллипсийн тодорхойлолтыг дараа нь томъёолох болно, гэхдээ одоо бол ярианы дэлгүүрээс завсарлага авч, нийтлэг асуудлыг шийдэх цаг болжээ.

Хэрхэн эллипс барих вэ?

Тийм ээ, зүгээр л аваад л зур. Даалгавар нь байнга тохиолддог бөгөөд оюутнуудын нэлээд хэсэг нь зураг зурах ажлыг зөв хийж чаддаггүй.

Жишээ 1

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийг байгуул

Шийдэл: Эхлээд тэгшитгэлийг канон хэлбэрт оруулъя:

Яагаад авчрах вэ? Каноник тэгшитгэлийн нэг давуу тал нь шууд тодорхойлох боломжийг олгодог эллипсийн оройнуудцэгүүдэд байрладаг . Эдгээр цэг бүрийн координатууд тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг.

Энэ тохиолдолд :


Шугамын сегментдуудсан гол тэнхлэгэллипс;
шугамын сегмент – бага тэнхлэг;
тоо дуудсан хагас гол босоо амэллипс;
тоо – бага тэнхлэг.
бидний жишээнд: .

Тодорхой эллипс хэрхэн харагддагийг хурдан төсөөлөхийн тулд түүний канон тэгшитгэлийн "a" ба "be" утгыг хараарай.

Бүх зүйл сайхан, гөлгөр, үзэсгэлэнтэй, гэхдээ нэг анхааруулга байна: би програмыг ашиглан зураг зурсан. Мөн та ямар ч програм ашиглан зураг зурах боломжтой. Гэсэн хэдий ч хатуу ширүүн бодит байдал дээр ширээн дээр алаг цаас байгаа бөгөөд хулганууд бидний гар дээр дугуйлан бүжиглэдэг. Урлагийн авьяастай хүмүүс мэдээжийн хэрэг маргаж болно, гэхдээ танд бас хулгана байдаг (хэдийгээр жижиг). Хүн төрөлхтөн захирагч, луужин, протектор болон зурах бусад энгийн хэрэгслийг зохион бүтээсэн нь дэмий хоосон зүйл биш юм.

Энэ шалтгааны улмаас бид зөвхөн оройг нь мэддэг эллипсийг нарийн зурах боломжгүй юм. Эллипс нь жижиг, жишээлбэл, хагас тэнхлэгтэй байвал зүгээр. Үүнээс гадна та масштабыг багасгаж, үүний дагуу зургийн хэмжээсийг багасгаж болно. Гэхдээ ерөнхийдөө нэмэлт оноо олох нь маш их хүсч байна.

Зууван бүтээх хоёр арга байдаг - геометрийн болон алгебрийн. Алгоритм нь хамгийн богино биш, зураг нь ихээхэн эмх замбараагүй байдаг тул би луужин, захирагч ашиглан барилга барих дургүй. Яаралтай тохиолдолд сурах бичгийг уншина уу, гэхдээ бодит байдал дээр алгебрийн хэрэгслийг ашиглах нь илүү оновчтой юм. Ноорог дээрх эллипсийн тэгшитгэлээс бид хурдан илэрхийлнэ:

Дараа нь тэгшитгэл нь хоёр функцэд хуваагдана:
– эллипсийн дээд нумыг тодорхойлно;
– эллипсийн доод нумыг тодорхойлно.

Каноник тэгшитгэлээр тодорхойлсон эллипс нь координатын тэнхлэгүүд, түүнчлэн гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Мөн энэ нь гайхалтай юм - тэгш хэм нь бараг үргэлж үнэ төлбөргүй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, координатын 1-р улиралтай ажиллахад хангалттай тул бидэнд функц хэрэгтэй байна . Энэ нь абсцисс бүхий нэмэлт цэгүүдийг олохыг гуйж байна . Тооны машин дээрх гурван SMS мессежийг товшъё:

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тооцоололд ноцтой алдаа гарвал барилгын ажлын явцад шууд тодорхой болох нь бас сайхан юм.

Зурган дээрх цэгүүдийг (улаан), үлдсэн нуман дээр тэгш хэмтэй цэгүүдийг ( Цэнхэр өнгө) ба бүх компанийг шугамаар болгоомжтой холбоно уу.


Эхний ноорог маш нимгэн зурж, дараа нь харандаагаар дарах нь дээр. Үр дүн нь нэлээд зохистой эллипс байх ёстой. Дашрамд хэлэхэд энэ муруй юу болохыг мэдмээр байна уу?

Эллипсийн тодорхойлолт. Эллипсийн голомт ба эллипсийн хазгай

Зууван бол зууван хэлбэрийн онцгой тохиолдол юм. "Зууван" гэдэг үгийг филист утгаар ("хүүхэд зууван зурсан" гэх мэт) ойлгож болохгүй. Энэ бол нарийн томъёололтой математикийн нэр томъёо юм. Энэ хичээлийн зорилго нь аналитик геометрийн стандарт хичээлд бараг анхаарал хандуулдаггүй зууван ба тэдгээрийн төрөл бүрийн онолыг авч үзэхгүй байх явдал юм. Мөн одоогийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн бид нэн даруй эллипсийн хатуу тодорхойлолт руу шилждэг.

ЗууванЭнэ нь өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүр хүртэлх зайны нийлбэрийг хавтгайн бүх цэгүүдийн багц юм. заль мэхэллипс нь энэ эллипсийн гол тэнхлэгийн урттай тоогоор тэнцүү тогтмол хэмжигдэхүүн юм: .
Энэ тохиолдолд фокус хоорондын зай нь энэ утгаас бага байна: .

Одоо бүх зүйл илүү тодорхой болно:

Цэнхэр цэг нь эллипсийн дагуу "аялдаг" гэж төсөөлөөд үз дээ. Тиймээс бид эллипсийн аль ч цэгийг авахаас үл хамааран сегментүүдийн уртын нийлбэр үргэлж ижил байх болно.

Бидний жишээн дээр нийлбэрийн утга үнэхээр наймтай тэнцэж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Зуувангийн баруун оройд "um" цэгийг оюун ухаанаар байрлуул, дараа нь: , үүнийг шалгах шаардлагатай.

Үүнийг зурах өөр нэг арга нь эллипсийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Дээд математик нь заримдаа хурцадмал байдал, стрессийн шалтгаан болдог тул дахин ачааллыг буулгах цаг болжээ. Whatman цаас эсвэл том картон цаас аваад хоёр хадаасаар ширээн дээр наа. Эдгээр нь заль мэх болно. Хумсны цухуйсан толгойн дээр ногоон утас уяж, харандаагаар бүхэлд нь татна. Харандааны харандаа нь эллипсэд хамаарах тодорхой цэг дээр дуусна. Одоо харандаагаа нэг хуудас цаасны дагуу хөдөлгөж эхэл ногоон утасмаш хурцадмал. Эхлэх цэг рүүгээ буцах хүртлээ энэ үйлдлийг үргэлжлүүлээрэй... гайхалтай... зургийг эмч, багш нар шалгаж болно =)

Зуувангийн голомтыг хэрхэн олох вэ?

Дээрх жишээнд би "бэлэн" төвлөрсөн цэгүүдийг дүрсэлсэн бөгөөд одоо бид тэдгээрийг геометрийн гүнээс хэрхэн гаргаж авахыг сурах болно.

Хэрэв эллипсийг каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол түүний голомтууд нь координаттай байна , энэ хаана байна фокус бүрээс эллипсийн тэгш хэмийн төв хүртэлх зай.

Тооцоолол нь энгийнээс хялбар байдаг:

! Голомтын тодорхой координатыг "tse" гэсэн утгаараа тодорхойлох боломжгүй юм!Энэ гэдгийг би давтан хэлье Фокус бүрээс төв хүртэлх зай(энэ нь ерөнхий тохиолдолд яг гарал үүсэлтэй байх албагүй).
Тиймээс голомтын хоорондох зайг эллипсийн каноник байрлалтай холбож болохгүй. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийг өөр газар нүүлгэж болох ба утга нь өөрчлөгдөхгүй байхад голомтууд нь аяндаа координатаа өөрчилнө. Сэдвийг цаашид судлахдаа үүнийг анхаарч үзээрэй.

Эллипсийн хазгай байдал ба түүний геометрийн утга

Эллипсийн хазгай байдал нь тухайн муж доторх утгыг авч болох харьцаа юм.

Манай тохиолдолд:

Зууван хэлбэр нь түүний хазгай байдлаас хэрхэн хамаардаг болохыг олж мэдье. Үүний төлөө зүүн ба баруун оройг засахавч үзэж буй эллипсийн, өөрөөр хэлбэл хагас гол тэнхлэгийн утга тогтмол байх болно. Дараа нь хазгай байдлын томъёо нь дараах хэлбэртэй болно.

Хачирхалтай үнэ цэнийг эв нэгдэлд ойртуулж эхэлцгээе. Энэ нь зөвхөн тохиолдолд л боломжтой. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? ... заль мэхийг санаарай . Энэ нь эллипсийн голомтууд абсцисса тэнхлэгийн дагуу хажуугийн орой руу "засна" гэсэн үг юм. "Ногоон сегментүүд нь резин биш" тул эллипс нь тэнхлэг дээр бэхлэгдсэн нимгэн, нимгэн хиам болж хувирах нь гарцаагүй.

Тиймээс, Зуувангийн хазайлт нь нэгдмэл байдалд ойртох тусам эллипс илүү урт болно.

Одоо эсрэг үйл явцыг загварчилж үзье: эллипсийн голомт бие бие рүүгээ алхаж, төв рүү ойртов. Энэ нь "ce"-ийн утга улам бүр багасч, үүний дагуу хазгай байдал тэг болох хандлагатай байна гэсэн үг юм: .
Энэ тохиолдолд "ногоон сегментүүд" эсрэгээрээ "бөглөрч", эллипсийн шугамыг дээш доош "түлхэж" эхэлнэ.

Тиймээс, Хачирхалтай утга тэг рүү ойртох тусам эллипс ижил төстэй байна... голомтууд нь гарал үүслээр амжилттай дахин нэгдэх үед хязгаарлагдмал тохиолдлыг харна уу:

Тойрог бол эллипсийн онцгой тохиолдол юм

Үнэн хэрэгтээ хагас тэнхлэгүүдийн тэгш байдлын хувьд эллипсийн каноник тэгшитгэл нь сургуулиас сайн мэддэг "a" радиусын гарал үүсэл дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл рүү рефлексээр хувирдаг хэлбэрийг авдаг.

Практикт "ярьдаг" "er" үсэг бүхий тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: . Радиус нь тойргийн цэг бүрийг төвөөс радиусын зайгаар зайлуулсан сегментийн урт юм.

Зуувангийн тодорхойлолт бүрэн зөв хэвээр байгааг анхаарна уу: голомтууд нь давхцаж, тойрог дээрх цэг бүрийн давхцсан сегментүүдийн уртын нийлбэр нь тогтмол байна. Голомтын хоорондох зай нь , тэгвэл дурын тойргийн хазгай нь тэг байна.

Тойрог барих нь хялбар бөгөөд хурдан бөгөөд луужин ашиглахад л хангалттай. Гэсэн хэдий ч заримдаа түүний зарим цэгүүдийн координатыг олж мэдэх шаардлагатай байдаг, энэ тохиолдолд бид танил замаар явдаг - бид тэгшитгэлийг хөгжилтэй Матанов хэлбэрт оруулдаг.

- дээд хагас тойргийн функц;
- доод хагас тойргийн функц.

Дараа нь бид шаардлагатай утгыг олно. ялгах, нэгтгэхболон бусад сайн зүйлсийг хий.

Нийтлэл нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн лавлагааны зориулалттай, гэхдээ та энэ ертөнцөд хайргүйгээр яаж амьдрах вэ? Бүтээлч даалгаварУчир нь бие даасан шийдвэр

Жишээ 2

Эллипсийн голомт болон хагас жижиг тэнхлэгийн аль нэг нь мэдэгдэж байгаа бол (төв нь эхэнд байдаг) каноник тэгшитгэлийг зохио. Зурган дээр орой, нэмэлт цэгүүдийг олж, шугам зур. Эксцентрикийг тооцоол.

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, зураг зурах

Үйлдэл нэмье:

Эллипсийг эргүүлэх ба зэрэгцээ хөрвүүлэх

Эллипсийн каноник тэгшитгэл, тухайлбал, энэ муруйн тухай анх дурьдсанаас хойш сониуч сэтгэлгээний нууцыг зовоож байсан нөхцөл байдал руу буцаж орцгооё. Тиймээс бид эллипсийг харав , гэхдээ практик дээр тэгшитгэлийг хангах боломжгүй юм уу ? Эцсийн эцэст, энэ нь бас эллипс юм шиг санагдаж байна!

Энэ төрлийн тэгшитгэл нь ховор боловч тааралддаг. Мөн энэ нь үнэндээ эллипсийг тодорхойлдог. Тодорхойлолтыг тайлъя:

Барилгын үр дүнд манай төрөлх эллипсийг 90 градусаар эргүүлсэн. Тэр бол, - Энэ канон бус оруулгаэллипс . Бичлэг!- тэгшитгэл тэнхлэг дээр эллипсийн тодорхойлолтыг хангах цэгүүд (фокус) байхгүй тул өөр эллипсийг тодорхойлдоггүй.

Зууван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1 ба F_2 нь эдгээрийн хоорондох зайнаас (2c) их (2а) тогтмол утга юм. оноо өгсөн(Зураг 3.36, а). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.

Эллипсийн фокусын шинж чанар

F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 нь фокусын урт, F_1F_2 сегментийн дунд О нь эллипсийн төв, 2a тоо нь эллипсийн гол тэнхлэгийн урт юм. эллипс (үүний дагуу a тоо нь эллипсийн хагас гол тэнхлэг юм). Эллипсийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Эллипсийн хоёр цэгийг холбосон сегментийг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.

e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн хазайлт гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, түүний фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:

Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36в). Бид эллипсийн төв O цэгийг координатын системийн эхлэл болгон авна; бид голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) абсцисса тэнхлэг болгон авдаг (түүн дээрх эерэг чиглэл нь F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); Фокусын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг ординатын тэнхлэг болгон эллипсийн төвөөр (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрдөг шулуун шугамыг авъя (ординатын тэнхлэг дээрх чиглэлийг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байхаар сонгосон) .

Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Бид хоёр дахь радикалыг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нэр томъёог авчирна.

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Томилогдсон b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр талыг a^2b^2\ne0-д хувааснаар бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ.

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.

Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36,6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем каноник болно O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь төв нь О цэгт, радиус нь a-тай тэнцүү тойргийн тэгшитгэл юм.

Үндэслэлийг урвуу дарааллаар хийснээр координат нь тэгшитгэл (3.49)-ийг хангасан бүх цэгүүд, зөвхөн тэдгээр нь эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой тэнцүү байна.

Зуувангийн чиглүүлэх шинж чанар

Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгтэй параллель, түүнээс ижил \frac(a^2)(c) зайд орших хоёр шулуун шугам юм. c=0 үед эллипс нь тойрог байх үед дистрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүйд байна гэж үзэж болно).

0 хазгайтай эллипс Хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрийн тус бүрийн хувьд өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн F (фокус) хүртэлх зайг өгөгдсөн цэгээр дамжаагүй өгөгдсөн шулуун d (шууд) хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь тогтмол бөгөөд хазгайтай тэнцүү байна. e ( эллипсийн найруулагч шинж чанар). Энд F ба d нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгийн нэг талд байрлах эллипсийн голомтуудын нэг ба түүний чиглүүлэлтийн нэг юм. F_1,d_1 эсвэл F_2,d_2 .

Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37,6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид каноник эллипсийн тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 болон захиралд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл

F_1r\varphi туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл (Зураг 3.37, c ба 3.37 (2)) хэлбэртэй байна.

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.

Чухамдаа туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (тайлбар 2.8-ын 2-р догол мөрийг үзнэ үү):

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Бид тэгшитгэлийн радикал, дөрвөлжин хоёр талыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хий e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Зуйван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга

Зууван (зураг 3.37а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (зуувангийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олъё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a. Тиймээс эллипсийн дотор байрлах фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн хагас том тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Тиймээс эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд b тоо нь эллипсийн хагас жижиг тэнхлэг юм.

Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн c=0 тохиолдолд л зууван тойрог байх үед олно. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн шахалтын харьцаа гэж нэрлэдэг.

Тайлбар 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b шулуун шугамууд нь координатын хавтгай дээрх гол тэгш өнцөгтийг хязгаарлаж, дотор нь эллипс байдаг (Зураг 3.37, а-г үз).

2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметр хүртэл нь шахаж олж авсан цэгүүдийн байрлал.

Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэлийг Oxy x^2+y^2=a^2 гэж үзье. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед

\эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд)

Тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y" тойргийг орлуулснаар M(x,y") цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэлийг олж авна. у):

(x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.

3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын системийн) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна.

4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үзнэ үү), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусаар дамждаг эллипсийн хөвчний хагасын урт юм ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна.

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2, !}

Энд k нь эллипсийн шахалтын харьцаа, 0

6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a

7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО"(x_0,y_0) цэг дээр төвтэй эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг (3.36) ашиглан каноник болгон бууруулна.

a=b=R үед тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2төв нь О цэг дээр R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) .

Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл

Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдлууд)0\leqslant t<2\pi.

Үнэн хэрэгтээ эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (3.49) орлуулснаар бид \cos^2t+\sin^2t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн ижилсэлд хүрнэ.

Жишээ 3.20.Зууван зур \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси. Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазайлт, шахалтын харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл хагас тэнхлэгийг тодорхойлно: a=2 - хагас том тэнхлэг, b=1 - эллипсийн хагас бага тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талтай гол тэгш өнцөгтийг төв нь эхэнд нь барьж байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, эллипсийн тэгшитгэлд x=1-ийг орлуулснаар бид олж авна

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- эллипсэд хамаарна.

Шахалтын харьцааг тооцоолох k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!

Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 1.

Лекц 15. Зууван.

Бүлэг 15. Зууван.

1-р зүйл. Үндсэн тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт. Эллипс нь онгоцны GMT бөгөөд фокус гэж нэрлэгддэг онгоцны хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм.

Тодорхойлолт. Хавтгайн дурын М цэгээс эллипсийн фокус хүртэлх зайг М цэгийн фокусын радиус гэнэ.

Тэмдэглэл:
- эллипсийн голомт;
- М цэгийн фокусын радиус.

Зуувангийн тодорхойлолтоор бол М цэг нь зөвхөн, хэрэв л бол эллипсийн цэг юм
- тогтмол утга. Энэ тогтмолыг ихэвчлэн 2a гэж тэмдэглэнэ.

. (1)

анзаараарай, тэр
.

Эллипсийн тодорхойлолтоор түүний голомтууд нь тогтмол цэгүүд тул тэдгээрийн хоорондох зай нь мөн өгөгдсөн эллипсийн тогтмол утга юм.

Тодорхойлолт. Эллипсийн голомтуудын хоорондох зайг фокусын урт гэж нэрлэдэг.

Зориулалт:
.

Гурвалжингаас
үүнийг дагадаг
, өөрөөр хэлбэл

.

-тэй тэнцүү тоог b гэж тэмдэглэе
, өөрөөр хэлбэл

. (2)

Тодорхойлолт. Хандлага

(3)

эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг.

Эллипсийн хувьд каноник гэж нэрлэх координатын системийг энэ хавтгайд танилцуулъя.

Тодорхойлолт. Зуувангийн голомтууд байрлах тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Эллипсийн хувьд каноник PDSC байгуулъя, 2-р зургийг үз.

Бид фокусын тэнхлэгийг абсцисса тэнхлэг болгон сонгож, ординат тэнхлэгийг сегментийн дундуур зурна.
фокусын тэнхлэгт перпендикуляр.

Дараа нь голомтууд нь координаттай байна
,
.

2-р зүйл. Эллипсийн каноник тэгшитгэл.

Теорем. Эллипсийн каноник координатын системд эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (4)

Баталгаа. Бид нотлох баримтыг хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхний шатанд эллипс дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд (4) тэгшитгэлийг хангаж байгааг нотлох болно. Хоёр дахь шатанд бид (4) тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь эллипс дээр байрлах цэгийн координатыг өгдөг болохыг батлах болно. Эндээс тэгшитгэл (4) нь зууван дээр байрлах координатын хавтгайн зөвхөн тэдгээр цэгүүдээр хангагдана. Эндээс болон муруйн тэгшитгэлийн тодорхойлолтоос харахад (4) тэгшитгэл нь эллипсийн тэгшитгэл болно.

1) M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг байг, өөрөөр хэлбэл. түүний фокусын радиусуудын нийлбэр нь 2a:

.

Координатын хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан өгөгдсөн M цэгийн фокусын радиусыг олъё.

,
, бид хаанаас авдаг:

Нэг язгуурыг тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, квадрат болгоё.

Бууруулахад бид дараахь зүйлийг авна.

Бид ижил төстэй зүйлсийг танилцуулж, 4-ээр багасгаж, радикалыг арилгана:

.

Дөрвөлжин

Хаалтуудыг нээж, богиносго
:

бид хаанаас авах вэ:

Тэгш байдлыг (2) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Сүүлийн тэгш байдлыг хуваах
, бид тэгш байдлыг олж авдаг (4) гэх мэт.

2) Одоо (x, y) хос тоо (4) тэгшитгэлийг хангаж, M(x, y) нь Oxy координатын хавтгай дээрх харгалзах цэг байя.

Дараа нь (4)-ээс дараах байдалтай байна.

.

Бид энэ тэгшитгэлийг M цэгийн фокусын радиусуудын илэрхийлэл болгон орлуулна.

.

Энд бид (2) ба (3) тэгш байдлыг ашигласан.

Тиймээс,
. Үүний нэгэн адил,
.

Одоо (4) тэгшитгэлээс ийм зүйл гарч байгааг анхаарна уу

эсвэл
гэх мэт.
, тэгвэл тэгш бус байдал дараах байдалтай байна.

.

Эндээс энэ нь эргээд үүнийг дагадаг

эсвэл
Тэгээд

,
. (5)

Тэнцүү байдлаас (5) ийм байна
, өөрөөр хэлбэл M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг гэх мэт.

Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт. (4) тэгшитгэлийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын тэнхлэгүүдийг эллипсийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын системийн гарал үүслийг эллипсийн төв гэж нэрлэдэг.

3-р зүйл. Эллипсийн шинж чанарууд.

Теорем. (Зууйвангийн шинж чанарууд.)

1. Эллипсийн каноник координатын системд бүх зүйл

эллипсийн цэгүүд тэгш өнцөгт дотор байна

,
.

2. Цэгүүд дээр байрладаг

3. Эллипс нь тэгш хэмтэй муруй юм

тэдний гол тэнхлэгүүд.

4. Зуувангийн төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм.

Баталгаа. 1, 2) Эллипсийн каноник тэгшитгэлээс нэн даруй гардаг.

3, 4) M(x, y) нь эллипсийн дурын цэг байг. Дараа нь түүний координатууд (4) тэгшитгэлийг хангана. Гэхдээ цэгүүдийн координатууд нь (4) тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул теоремын мэдэгдлүүд дагах эллипсийн цэгүүд болно.

Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт. 2а хэмжигдэхүүнийг эллипсийн гол тэнхлэг, a хэмжигдэхүүнийг эллипсийн хагас том тэнхлэг гэнэ.

Тодорхойлолт. 2b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн бага тэнхлэг, b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн хагас тэнхлэг гэнэ.

Тодорхойлолт. Эллипсийн гол тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг.

Сэтгэгдэл. Эллипсийг дараах байдлаар барьж болно. Онгоцонд бид "фокус цэгүүд рүү хадаас цохиж" урт утсыг холбоно
. Дараа нь бид харандаа аваад утсыг сунгахад ашигладаг. Дараа нь бид харандааны утсыг онгоцны дагуу хөдөлгөж, утас нь чангалж байгаа эсэхийг шалгаарай.

Хачирхалтай байдлын тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирдэг

А тоог засаад в тоог тэг рүү чиглүүлье. Дараа нь цагт
,
Тэгээд
. Бид авах хязгаарт

эсвэл
- тойргийн тэгшитгэл.

Одоо шууд хэлье
. Дараа нь
,
мөн хязгаарт эллипс нь шулуун шугамын сегмент болж доройтож байгааг бид харж байна
Зураг 3-ын тэмдэглэгээнд.

4-р зүйл. Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл.

Теорем. Болъё
- дурын бодит тоо. Дараа нь тэгшитгэлийн систем

,
(6)

нь эллипсийн каноник координатын систем дэх эллипсийн параметрийн тэгшитгэлүүд юм.

Баталгаа. Тэгшитгэлийн систем (6) нь тэгшитгэл (4) -тэй тэнцүү гэдгийг батлахад хангалттай, өөрөөр хэлбэл. Тэд ижил шийдэлтэй байдаг.

1) (x, y) нь (6) системийн дурын шийдэл байг. Эхний тэгшитгэлийг a-д, хоёр дахь тэгшитгэлийг b-д хувааж, хоёр тэгшитгэлийн квадратыг нэмээд:

.

Тэдгээр. (6) системийн дурын шийдэл (x, y) нь (4) тэгшитгэлийг хангана.

2) Үүний эсрэгээр (x, y) хосыг (4) тэгшитгэлийн шийдэл гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.

.

Энэ тэгшитгэлээс координаттай цэг гарч ирнэ
төв нь гарал үүсэлтэй нэгж радиустай тойрог дээр байрладаг, өөрөөр хэлбэл. нь тригонометрийн тойрог дээрх тодорхой өнцөг харгалзах цэг юм
:

Синус ба косинусын тодорхойлолтоос шууд дараах зүйлийг олж харна

,
, Хаана
, үүнээс (x, y) хос нь (6) системийн шийдэл гэх мэт.

Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. А радиустай тойргийг абсцисса тэнхлэг рүү жигд "шахсан" үр дүнд эллипсийг авч болно.

Болъё
– эхэнд төвтэй тойргийн тэгшитгэл. Тойргийг абсцисса тэнхлэгт "шахах" нь дараах дүрмийн дагуу хийгдсэн координатын хавтгайг өөрчлөхөөс өөр зүйл биш юм. M(x, y) цэг бүрийн хувьд бид нэг хавтгай дээрх цэгийг холбодог
, Хаана
,
- шахалтын харьцаа.

Энэхүү хувиргалтаар тойрог дээрх цэг бүр ижил абсциссатай, гэхдээ илүү жижиг ординаттай хавтгай дээрх өөр цэг рүү "шилждэг". Нэг цэгийн хуучин ординатыг шинэ цэгээр илэрхийлье.

тэгшитгэлд тойргийг орлуулна уу:

.

Эндээс бид дараахь зүйлийг авна.

. (7)

Үүнээс үзэхэд хэрэв "шахалтын" хувиргалтаас өмнө M(x, y) цэг тойрог дээр хэвтэж байсан, өөрөөр хэлбэл. түүний координатууд тойргийн тэгшитгэлийг хангасан бөгөөд дараа нь "шахалтын" хувирлын дараа энэ цэг нь цэг болгон "хувиргав"
, координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (7) хангадаг. Хэрэв бид хагас тэнхлэгтэй эллипсийн тэгшитгэлийг авахыг хүсвэл шахалтын коэффициентийг авах хэрэгтэй.

.

5-р зүйл. Эллипстэй шүргэгч.

Теорем. Болъё
– эллипсийн дурын цэг

.

Дараа нь цэг дээрх энэ эллипстэй шүргэгчийн тэгшитгэл
хэлбэртэй байна:

. (8)

Баталгаа. Шүргэх цэг нь координатын хавтгайн эхний эсвэл хоёрдугаар хэсэгт байрлах тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай.
. Дээд талын хагас хавтгай дахь эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (9)

Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэлийг ашиглая
цэг дээр
:

Хаана
– тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн деривативын утга
. Эхний улирлын эллипсийг (8) функцийн график гэж үзэж болно. Түүний дериватив ба шүргэлтийн цэг дэх утгыг олъё.

,

. Энд бид шүргэгч цэгийн давуу талыг ашигласан
нь эллипсийн цэг тул түүний координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (9) хангадаг, өөрөөр хэлбэл.

.

Бид деривативын олсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд (10) орлуулна.

,

бид хаанаас авах вэ:

Энэ нь:

Энэ тэгш байдлыг хувааж үзье
:

.

Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй
, учир нь цэг
Зуувант хамаарах ба координат нь тэгшитгэлийг хангана.

Шүргэгчийн тэгшитгэл (8) нь координатын хавтгайн гурав, дөрөв дэх хэсэгт байрлах шүргэх цэг дээр ижил төстэй байдлаар нотлогддог.

Эцэст нь (8) тэгшитгэл нь цэгүүдэд шүргэгч тэгшитгэлийг өгч байгааг бид хялбархан шалгаж болно
,
:

эсвэл
, Мөн
эсвэл
.

Теорем нь батлагдсан.

6-р зүйл. Зуувангийн толин тусгал шинж чанар.

Теорем. Эллипстэй шүргэгч нь шүргэлтийн цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөгтэй байна.

Болъё
- холбоо барих цэг,
,
– шүргэгч цэгийн фокусын радиус, P ба Q – цэг дээрх эллипс рүү татсан тангенс дээрх фокусын проекцууд.
.

Теоремд ингэж заасан байдаг

. (11)

Энэхүү тэгш байдлыг фокусаас гарсан эллипсээс гарах гэрлийн туяа тусах, тусгах өнцгийн тэгш байдал гэж тайлбарлаж болно. Энэ шинж чанарыг эллипсийн толин тусгал шинж чанар гэж нэрлэдэг:

Эллипсийн голомтоос ялгарсан гэрлийн туяа нь эллипсийн толин тусгалаас тусгасны дараа эллипсийн өөр нэг фокусаар дамждаг.

Теоремын баталгаа. (11) өнцгийн тэгш байдлыг батлахын тулд бид гурвалжны ижил төстэй байдлыг нотолж байна
Тэгээд
, аль нь талууд
Тэгээд
төстэй байх болно. Гурвалжингууд тэгш өнцөгт тул тэгш байдлыг батлахад хангалттай

Хоёр дахь эрэмбийн муруйхувьсах координатууд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог шулуунууд хавтгайд байна xТэгээд yхоёрдугаар зэрэгт агуулагддаг. Үүнд эллипс, гипербол, парабол орно.

Хоёрдахь эрэмбийн муруй тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

Хаана A, B, C, D, E, F- тоонууд ба хамгийн багадаа нэг коэффициент A, B, Cтэгтэй тэнцүү биш.

Хоёрдахь эрэмбийн муруйтай асуудлыг шийдвэрлэхдээ эллипс, гипербол, параболын каноник тэгшитгэлийг ихэвчлэн авч үздэг. Ерөнхий тэгшитгэлээс тэдэн рүү шилжихэд хялбар, эллипстэй холбоотой асуудлын 1-р жишээг үүнд зориулах болно.

Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс

Эллипсийн тодорхойлолт.Голомт гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн хоорондох зайн нийлбэр нь голомтын хоорондох зайнаас их тогтмол утгатай байх хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг эллипс гэнэ.

Фокусуудыг доорх зурагт үзүүлэв.

Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана аТэгээд б (а > б) - хагас тэнхлэгийн урт, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх эллипсээр таслагдсан сегментүүдийн хагасын урт.

Зуувангийн голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугам нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Эллипсийн өөр нэг тэгш хэмийн тэнхлэг нь энэ сегментэд перпендикуляр сегментийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Цэг ТУХАЙЭдгээр шугамын огтлолцол нь эллипсийн тэгш хэмийн төв эсвэл зүгээр л эллипсийн төв болдог.

Эллипсийн абсцисса тэнхлэг нь цэгүүдээр огтлолцдог ( а, ТУХАЙ) ба (- а, ТУХАЙ), ординатын тэнхлэг нь цэгт байна ( б, ТУХАЙ) ба (- б, ТУХАЙ). Эдгээр дөрвөн цэгийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Х тэнхлэг дээрх эллипсийн оройн хоорондох сегментийг түүний гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба ордны тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэдний эллипсийн дээд хэсгээс төв хүртэлх хэсгүүдийг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Хэрэв а = б, дараа нь эллипсийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна. Энэ бол радиустай тойргийн тэгшитгэл юм а, мөн тойрог нь эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Радиусын тойргоос эллипс авч болно а, хэрэв та үүнийг шахаж авбал а/бтэнхлэгийн дагуух удаа Өө .

Жишээ 1.Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам байгаа эсэхийг шалгана уу , эллипс.

Шийдэл. Бид ерөнхий тэгшитгэлийг өөрчилдөг. Бид чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлэх, тэгшитгэлийг ижил тоогоор хуваах, бутархайг багасгах аргыг ашигладаг.

Хариулах. Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан тэгшитгэл нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Тиймээс энэ шугам нь эллипс юм.

Жишээ 2.Хэрэв хагас тэнхлэг нь 5 ба 4 байвал эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл. Зууван ба орлуулагчийн каноник тэгшитгэлийн томъёог авч үзье: хагас гол тэнхлэг нь а= 5, хагас тэнхлэг нь байна б= 4. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна.

Гол тэнхлэг дээр ногооноор тэмдэглэгдсэн ба цэгүүд

гэж нэрлэдэг заль мэх.

дуудсан хазгай байдалэллипс.

Хандлага б/ань эллипсийн "хязгаарлалт" -ыг тодорхойлдог. Энэ харьцаа бага байх тусам эллипс гол тэнхлэгийн дагуу сунадаг. Гэсэн хэдий ч эллипсийн суналтын зэрэг нь ихэвчлэн хазгайгаар илэрхийлэгддэг бөгөөд томъёог дээр дурдсан болно. Янз бүрийн эллипсийн хувьд хазгай нь 0-ээс 1 хооронд хэлбэлздэг бөгөөд үргэлж нэгдмэл байдлаас бага хэвээр байна.

Жишээ 3.Фокусын хоорондох зай 8 ба гол тэнхлэг 10 бол эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл. Хэд хэдэн энгийн дүгнэлт хийцгээе:

Хэрэв гол тэнхлэг нь 10-тай тэнцүү бол түүний хагас, өөрөөр хэлбэл хагас тэнхлэг а = 5 ,

Хэрэв голомтын хоорондох зай 8 бол тоо вфокусын координат нь 4-тэй тэнцүү байна.

Бид орлуулж, тооцоолно:

Үр дүн нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.

Жишээ 4.Эллипсийн гол тэнхлэг нь 26, хазгай нь .

Шийдэл. Гол тэнхлэгийн хэмжээ болон хазгай тэгшитгэлийн аль алиных нь дагуу эллипсийн хагас том тэнхлэг а= 13. Эксцентрисийн тэгшитгэлээс бид тоог илэрхийлнэ в, бага хагас тэнхлэгийн уртыг тооцоолоход шаардлагатай:

.

Бид бага хагас тэнхлэгийн уртын квадратыг тооцоолно.

Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бүтээдэг.

Жишээ 5.Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн голомтуудыг тодорхойл.

Шийдэл. Тоогоо ол в, энэ нь эллипсийн голомтын эхний координатыг тодорхойлдог:

.

Бид эллипсийн фокусуудыг авдаг:

Жишээ 6.Эллипсийн голомтууд нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэргарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй. Дараах тохиолдолд эллипсийн каноник тэгшитгэлийг зохио.

1) голомтын хоорондох зай 30, гол тэнхлэг нь 34 байна

2) бага тэнхлэг 24, фокусуудын нэг нь (-5; 0) цэг дээр байна.

3) хазгай, голомтын нэг нь (6; 0) цэг дээр байна.

Үргэлжлүүлэн эллипсийн асуудлыг хамтдаа шийдье

Хэрэв энэ нь эллипсийн дурын цэг (зураг дээрх зуйвангийн баруун дээд хэсэгт ногооноор тэмдэглэгдсэн) бөгөөд голомтоос энэ цэг хүртэлх зай бол зайны томъёо дараах байдалтай байна.

Зуувант хамаарах цэг бүрийн хувьд фокусын хоорондох зайны нийлбэр нь 2-той тэнцүү тогтмол утгатай байна. а.

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамууд

гэж нэрлэдэг дарга нарэллипс (зураг дээр ирмэгийн дагуу улаан шугамууд байдаг).

Дээрх хоёр тэгшитгэлээс харахад эллипсийн аль ч цэгийн хувьд ийм байна

,

хаана ба энэ цэгийн директрикс хүртэлх зай ба .

Жишээ 7.Зууван өгөгдсөн. Түүний чиглүүлэлтийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Бид директрисын тэгшитгэлийг хараад эллипсийн хазгай байдлыг олох хэрэгтэйг олж мэдье, өөрөөр хэлбэл. Үүний тулд бидэнд бүх мэдээлэл бий. Бид тооцоолно:

.

Бид эллипсийн директоруудын тэгшитгэлийг олж авна.

Жишээ 8.Эллипсийн голомтууд нь цэг, директрикс нь шулуун байвал түүний каноник тэгшитгэлийг зохио.