Тэгшлүүлсний дараа бид дараах хэлбэрийн функцийг олж авна: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Бид энэ өгөгдлийг y = a x + b шугаман хамаарлыг ашиглан харгалзах параметрүүдийг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид арга гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах хэрэгтэй болно хамгийн бага квадратууд. Туршилтын өгөгдлийг аль шугамыг хамгийн сайн уялдуулахыг шалгахын тулд та мөн зураг зурах хэрэгтэй.

Yandex.RTB R-A-339285-1

OLS (хамгийн бага квадратын арга) гэж юу вэ?

Бидний хийх ёстой гол зүйл бол F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн утга нь шугаман хамаарлын ийм коэффициентийг олох явдал юм. хамгийн жижиг. Өөрөөр хэлбэл, a ба b-ийн тодорхой утгуудын хувьд үүссэн шулуун шугамаас танилцуулсан өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр нь хамгийн бага утгатай байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын утга юм. Жишээг шийдэхийн тулд бид хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход л хангалттай.

Коэффициентийг тооцоолох томъёог хэрхэн гаргах вэ

Коэффициентийг тооцоолох томъёог гаргахын тулд та хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативуудыг a ба b-д хамааруулан тооцож 0-тэй тэнцүүлнэ.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = y ∑ i = a ∑ i = y 1 ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд та ямар ч аргыг ашиглаж болно, жишээлбэл, орлуулах эсвэл Крамерын арга. Үүний үр дүнд бид хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан коэффициентийг тооцоолоход ашиглаж болох томьёотой байх ёстой.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n ∑ i - i n

Бид функц байгаа хувьсагчдын утгыг тооцоолсон
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 нь хамгийн бага утгыг авна. Гурав дахь догол мөрөнд бид яагаад яг ийм байгааг нотлох болно.

Энэ бол хамгийн бага квадратын аргыг практикт ашиглах явдал юм. a параметрийг олоход ашигладаг түүний томьёо нь ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, мөн параметрийг агуулна.
n – энэ нь туршилтын өгөгдлийн хэмжээг илэрхийлнэ. Бид танд тус бүрийг тусад нь тооцохыг зөвлөж байна. b коэффициентийн утгыг a-ийн дараа шууд тооцно.

Анхны жишээ рүү буцъя.

Жишээ 1

Энд бид n нь тавтай тэнцүү байна. Коэффициентийн томъёонд орсон шаардлагатай хэмжээг тооцоолоход илүү хялбар болгохын тулд хүснэгтийг бөглөнө үү.

	i=1	i=2	би = 3	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

Шийдэл

Дөрөв дэх эгнээнд хоёр дахь эгнээний утгыг i хүн бүрийн гурав дахь утгуудаар үржүүлэх замаар олж авсан өгөгдлийг оруулна. Тав дахь мөрөнд дөрвөлжин хэлбэртэй хоёр дахь өгөгдлийг агуулна. Сүүлийн баганад тусдаа мөрүүдийн утгуудын нийлбэрийг харуулав.

Бидэнд хэрэгтэй a, b коэффициентүүдийг тооцоолохдоо хамгийн бага квадратын аргыг ашиглая. Үүнийг хийхийн тулд сүүлчийн баганаас шаардлагатай утгыг орлуулж, дүнг тооцоолно уу.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n ∑ a = ∑ i - i 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Шаардлагатай ойролцоо шулуун шугам нь y = 0, 165 x + 2, 184 шиг харагдах болно. Одоо бид аль шугам нь өгөгдлийг илүү сайн ойртуулахыг тодорхойлох хэрэгтэй - g (x) = x + 1 3 + 1 эсвэл 0, 165 x + 2, 184. Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцоолъё.

Алдааг тооцоолохын тулд σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 ба σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) шулуун шугамуудаас өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. - g (x i)) 2, хамгийн бага утга нь илүү тохиромжтой шугамтай тохирно.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096

Хариулт:σ 1-ээс хойш< σ 2 , то прямой, хамгийн зөв заманхны өгөгдөлд ойртох болно
y = 0.165 x + 2.184.

Хамгийн бага квадратын аргыг график дүрслэлд тодорхой харуулав. Улаан шугам нь шулуун шугамыг g (x) = x + 1 3 + 1, цэнхэр шугам нь y = 0, 165 x + 2, 184-ийг тэмдэглэнэ. Анхны өгөгдлийг ягаан цэгээр тэмдэглэв.

Яагаад ийм төрлийн ойролцоо тооцоолол хэрэгтэй байгааг тайлбарлая.

Эдгээрийг өгөгдлийг тэгшитгэх шаардлагатай ажлууд, түүнчлэн өгөгдлийг интерполяци хийх эсвэл экстраполяци хийх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, дээр дурдсан бодлогод х = 3 эсвэл x = 6 үед ажиглагдсан у хэмжигдэхүүний утгыг олж болно. Ийм жишээнүүдэд бид тусдаа өгүүллийг зориулав.

OLS аргын нотолгоо

a ба b-г тооцоолоход функц хамгийн бага утгыг авахын тулд өгөгдсөн цэг дээр F (a, b) хэлбэрийн функцийн дифференциалын квадрат хэлбэрийн матриц = ∑ i = байх шаардлагатай. 1 n (y i - (a x i + b)) 2 эерэг тодорхой. Энэ нь хэрхэн харагдах ёстойг танд үзүүлье.

Жишээ 2

Бидэнд дараах хэлбэрийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал байна.

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 б

Шийдэл

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i +) b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Өөрөөр хэлбэл бид үүнийг ингэж бичиж болно: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

Бид M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n квадрат хэлбэрийн матрицыг олж авлаа.

Энэ тохиолдолд бие даасан элементүүдийн утга нь a ба b -ээс хамаарч өөрчлөгдөхгүй. Энэ матриц эерэг тодорхой мөн үү? Энэ асуултад хариулахын тулд түүний өнцгийн багачууд эерэг эсэхийг шалгацгаая.

Бид эхний эрэмбийн өнцгийн минорыг тооцоолно: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i цэгүүд давхцдаггүй тул тэгш бус байдал нь хатуу байна. Цаашид тооцоо хийхдээ бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

Бид хоёр дахь эрэмбийн өнцгийн минорыг тооцоолно.

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ x i = 12

Үүний дараа бид n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 тэгш бус байдлыг математик индукцийн аргаар батлах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

1. Энэ тэгш бус байдал нь дурын n-д хүчинтэй эсэхийг шалгая. 2-ыг аваад тооцоолъё:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Бид зөв тэгш байдлыг олж авлаа (хэрэв x 1 ба x 2 утгууд давхцахгүй бол).

1. Энэ тэгш бус байдал нь n-ийн хувьд үнэн байх болно гэсэн таамаглалыг дэвшүүлье. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – үнэн.
2. Одоо бид n + 1-ийн хүчинтэй байдлыг батлах болно, өөрөөр хэлбэл. (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, хэрэв n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Бид тооцоолно:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 +2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = + 1 n xi = + 1 n xi n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Буржгар хаалтанд оруулсан илэрхийлэл нь 0-ээс их байх болно (2-р алхам дээр бидний таамаглаж байсан зүйл дээр үндэслэн), үлдсэн нөхцөлүүд нь бүгд тооны квадрат тул 0-ээс их байх болно. Бид тэгш бус байдлыг нотолсон.

Хариулт:олсон a ба b нь F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 функцын хамгийн бага утгатай тохирч байх бөгөөд энэ нь тэдгээр нь хамгийн бага квадратын аргын шаардлагатай параметрүүд гэсэн үг юм. (LSM).

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Жишээ.

Хувьсагчийн утгын туршилтын өгөгдөл XТэгээд цагтхүснэгтэд өгсөн болно.

Тэдгээрийг тохируулсны үр дүнд функцийг олж авдаг

Ашиглаж байна хамгийн бага квадрат арга, эдгээр өгөгдлийг шугаман хамаарлаар ойролцоол y=ax+b(параметрүүдийг олох АТэгээд б). Хоёр мөрийн аль нь (хамгийн бага квадратын аргын утгаараа) туршилтын өгөгдлүүдийг зэрэгцүүлж байгааг олж мэд. Зураг зурах.

Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) мөн чанар.

Даалгавар бол хоёр хувьсагчийн функц ажиллах шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм АТэгээд б хамгийн бага утгыг авдаг. Өгөгдсөн гэсэн үг АТэгээд болсон шулуун шугамаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын бүх санаа юм.

Тиймээс жишээг шийдэх нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход хүргэдэг.

Коэффициент олох томьёо гаргана.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хувьсагчаар АТэгээд б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна.

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргыг ашиглан шийддэг (жишээлбэл орлуулах аргаарэсвэл Крамерын арга) ба хамгийн бага квадратын аргыг (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авна.

Өгсөн АТэгээд бфункц хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ баримтыг нотлох баримтыг өгсөн болно хуудасны төгсгөлд байгаа текстийн доор.

Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо а,,, болон параметрийн нийлбэрүүдийг агуулна n- туршилтын өгөгдлийн хэмжээ. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна. Коэффицент бтооцооны дараа олдсон а.

Анхны жишээг санах цаг болжээ.

Шийдэл.

Бидний жишээнд n=5. Шаардлагатай коэффициентүүдийн томъёонд орсон дүнг тооцоолоход хялбар байх үүднээс бид хүснэгтийг бөглөнө.

Хүснэгтийн дөрөв дэх эгнээний утгыг тоо бүрийн 2-р эгнээний утгыг 3-р эгнээний утгуудаар үржүүлэх замаар олж авна. би.

Хүснэгтийн тав дахь эгнээний утгыг тоо тус бүрийн 2-р эгнээний утгуудын квадратаар олж авна. би.

Хүснэгтийн сүүлчийн баганад байгаа утгууд нь мөр хоорондын утгуудын нийлбэр юм.

Коэффициентийг олохын тулд бид хамгийн бага квадратын аргын томъёог ашигладаг АТэгээд б. Бид хүснэгтийн сүүлчийн баганаас харгалзах утгуудыг тэдгээрт орлуулна.

Тиймээс, у = 0.165x+2.184- хүссэн ойролцоох шулуун шугам.

Энэ мөрүүдийн аль нь болохыг олж мэдэх л үлдлээ у = 0.165x+2.184эсвэл анхны өгөгдөлд илүү ойртож, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллыг хийдэг.

Хамгийн бага квадратын аргын алдааны тооцоо.

Үүнийг хийхийн тулд та эдгээр мөрүүдээс анхны өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй Тэгээд , жижиг утга нь хамгийн бага квадратын аргын утгаараа анхны өгөгдөлд илүү сайн ойртсон шугамтай тохирч байна.

-ээс хойш, дараа нь шууд у = 0.165x+2.184анхны өгөгдлийг илүү сайн ойртуулдаг.

Хамгийн бага квадратуудын (LS) аргын график дүрслэл.

График дээр бүх зүйл тодорхой харагдаж байна. Улаан шугам нь олсон шулуун шугам юм у = 0.165x+2.184, цэнхэр шугам нь , ягаан цэгүүд нь анхны өгөгдөл юм.

Практикт янз бүрийн үйл явцыг загварчлахдаа, тухайлбал эдийн засаг, физик, техникийн, нийгмийн - тодорхой тогтмол цэгүүдэд мэдэгдэж буй утгуудаас функцүүдийн ойролцоо утгыг тооцоолох нэг буюу өөр аргыг өргөн ашигладаг.

Энэ төрлийн функцийг ойртуулах асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг:

туршилтын үр дүнд олж авсан хүснэгтэн өгөгдлийг ашиглан судалж буй процессын шинж чанарын утгыг тооцоолох ойролцоо томъёог бүтээхдээ;

тоон интеграл, дифференциал, дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гэх мэт;

шаардлагатай бол авч үзсэн интервалын завсрын цэгүүдэд функцүүдийн утгыг тооцоолох;

харгалзан үзсэн интервалаас гадуурх үйл явцын шинж чанарын утгыг тодорхойлох, ялангуяа урьдчилан таамаглах үед.

Хүснэгтээр тодорхойлсон тодорхой процессыг загварчлахын тулд бид хамгийн бага квадратын аргад тулгуурлан энэ процессыг ойролцоогоор тодорхойлсон функцийг байгуулбал үүнийг ойролцоолох функц (регресс) гэж нэрлэх ба ойролцоох функцийг бүтээх ажлыг өөрөө нэрлэх болно. ойролцоолох асуудал.

Энэхүү нийтлэл нь MS Excel багцын ийм төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг авч үзэх бөгөөд үүнээс гадна хүснэгтийн регрессийг бий болгох (бүтээх) арга, техникийг өгдөг. заасан функцууд(энэ нь регрессийн шинжилгээний үндэс юм).

Excel нь регресс үүсгэх хоёр сонголттой.

Судалгаанд хамрагдаж буй процессын шинж чанарын өгөгдлийн хүснэгтэд үндэслэн хийсэн диаграммд сонгосон регресс (трэнд шугам) нэмэх (зөвхөн диаграммыг барьсан тохиолдолд л боломжтой);

Excel-ийн ажлын хуудасны суурилагдсан статистик функцийг ашиглан эх сурвалжийн өгөгдлийн хүснэгтээс шууд регресс (трэнд шугам) авах боломжийг танд олгоно.

Диаграммд чиг хандлагын шугам нэмэх

Процессыг дүрсэлсэн, диаграмаар дүрсэлсэн өгөгдлийн хүснэгтийн хувьд Excel нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгодог үр дүнтэй регрессийн шинжилгээний хэрэгсэлтэй.

хамгийн бага квадратын аргын үндсэн дээр барьж, диаграммд судалж буй процессыг янз бүрийн нарийвчлалтайгаар загварчлах таван төрлийн регрессийг нэмэх;

бүтээсэн регрессийн тэгшитгэлийг диаграммд нэмэх;

Сонгосон регрессийн диаграммд үзүүлсэн өгөгдөлтэй харьцах зэргийг тодорхойлох.

Графикийн өгөгдөл дээр үндэслэн Excel нь тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугаман, олон гишүүнт, логарифм, хүч, экспоненциал регрессийн төрлийг олж авах боломжийг олгодог.

у = у(х)

Энд x нь бие даасан хувьсагч бөгөөд ихэвчлэн натурал тоонуудын дарааллын утгыг (1; 2; 3; ...) авч, жишээлбэл, судалж буй үйл явцын цаг хугацааны (шинж чанар) тооллогыг үүсгэдэг.

1 . Шугаман регресс нь тогтмол хурдаар нэмэгдэж, буурах шинж чанарыг загварчлахад тохиромжтой. Энэ бол судалж буй процесст зориулж бүтээх хамгийн энгийн загвар юм. Энэ нь тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:

y = mx + b

энд m нь шугаман регрессийн налуугийн х тэнхлэгт шүргэгч; b - шугаман регрессийн ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

2 . Олон гишүүнт чиг хандлагын шугам нь хэд хэдэн ялгаатай туйл (максим ба минимум) бүхий шинж чанарыг тодорхойлоход хэрэгтэй. Олон гишүүнт зэргийн сонголтыг судалж буй шинж чанарын экстремумуудын тоогоор тодорхойлно. Тиймээс, хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт нь зөвхөн нэг максимум эсвэл хамгийн багатай процессыг сайн тодорхойлж чадна; гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт - хоёр экстремумаас илүүгүй; дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт - гурваас илүүгүй экстремум гэх мэт.

Энэ тохиолдолд чиг хандлагын шугамыг тэгшитгэлийн дагуу байгуулна.

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

Энд c0, c1, c2,... c6 коэффициентүүд нь барилгын ажлын явцад тодорхойлогддог тогтмолууд юм.

3 . Логарифмын чиг хандлагын шугамыг утгууд нь эхлээд хурдан өөрчлөгдөж, дараа нь аажмаар тогтворждог шинж чанаруудыг загварчлахад амжилттай ашигладаг.

y = c ln(x) + b

4 . Судалгаанд хамрагдаж буй харилцааны үнэ цэнэ нь өсөлтийн хурдны тогтмол өөрчлөлтөөр тодорхойлогддог бол эрчим хүчний хуулийн чиг хандлагын шугам нь сайн үр дүнг өгдөг. Ийм хамаарлын жишээ бол машины жигд хурдасгасан хөдөлгөөний график юм. Хэрэв өгөгдөлд тэг эсвэл сөрөг утга байгаа бол та эрчим хүчний чиг хандлагын шугамыг ашиглах боломжгүй.

Тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:

y = c xb

Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.

5 . Өгөгдлийн өөрчлөлтийн хурд тасралтгүй нэмэгдэж байгаа үед экспоненциал чиг хандлагын шугамыг ашиглах хэрэгтэй. Тэг эсвэл сөрөг утгатай өгөгдлийн хувьд энэ төрлийн ойролцооллыг мөн хэрэглэхгүй.

Тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:

y = c ebx

Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.

Трендийн шугамыг сонгохдоо Excel нь R2-ийн утгыг автоматаар тооцдог бөгөөд энэ нь ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлыг тодорхойлдог: R2 утга нь нэгдмэл байдалтай ойр байх тусам чиг хандлагын шугам нь судалж буй процессыг илүү найдвартай ойртуулдаг. Шаардлагатай бол R2 утгыг график дээр үргэлж харуулах боломжтой.

Томъёогоор тодорхойлно:

Өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд:

цуврал өгөгдөл дээр үндэслэн диаграмыг идэвхжүүлэх, өөрөөр хэлбэл диаграмын талбарт дарна уу. Диаграмын зүйл үндсэн цэсэнд гарч ирнэ;

Энэ зүйл дээр дарсны дараа дэлгэцэн дээр "Тренд нэмэх" командыг сонгох цэс гарч ирнэ.

Мэдээллийн цувралын аль нэгэнд тохирох график дээр хулганы заагчийг хөдөлгөж, хулганы баруун товчийг дарснаар ижил үйлдлүүдийг хялбархан хийж болно; Гарч ирэх контекст цэснээс Add Trend line командыг сонгоно. Тренд шугамын харилцах цонх нь Төрөл табыг нээсэн үед дэлгэцэн дээр гарч ирнэ (Зураг 1).

Үүний дараа танд хэрэгтэй:

Төрөл таб дээрээс шаардлагатай чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгоно уу (шугаман төрлийг анхдагчаар сонгосон). Олон гишүүнт төрлийн хувьд Degree талбарт сонгосон олон гишүүнтийн зэргийг зааж өгнө.

1 . Built on series талбар нь тухайн диаграм дахь бүх өгөгдлийн цувралуудыг жагсаадаг. Тодорхой өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд Built on series талбараас нэрийг нь сонгоно уу.

Шаардлагатай бол "Параметр" таб (Зураг 2) руу орж, чиг хандлагын шугамын хувьд дараах параметрүүдийг тохируулж болно.

Ойролцоо (гөлгөр) муруй талбарын нэр дэх трендийн шугамын нэрийг өөрчлөх.

Урьдчилан таамаглах талбарт урьдчилан таамаглах хугацааны тоог (урагш эсвэл урагш) тохируулах;

диаграмын талбарт чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг харуулах ба үүний тулд диаграмм дээрх тэгшитгэлийг харуулахыг идэвхжүүлэх ёстой;

диаграмын талбарт найдвартай байдлын ойролцоолсон R2 утгыг харуулах ба үүний тулд та "Оролцоогоор найдвартай байдлын утгыг диаграмм дээр байрлуулах" (R^2) нүдийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;

чиг хандлагын шугамын Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тохируулах ба үүний тулд та муруйг Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;

Харилцах цонхыг хаахын тулд OK товчийг дарна уу.

Аль хэдийн зурсан чиг хандлагын шугамыг засварлаж эхлэхийн тулд гурван арга бий:

Өмнө нь чиг хандлагын шугамыг сонгосны дараа Формат цэсний Сонгосон чиг хандлагын шугам командыг ашиглах;

чиг хандлагын шугам дээр хулганы баруун товчийг дарж дуудагдах контекст цэснээс Format Trend line командыг сонгоно уу;

чиг хандлагын шугам дээр давхар товш.

"Тренд шугамын формат" харилцах цонх дэлгэцэн дээр гарч ирэх болно (Зураг 3), "Харах", "Төрөл", "Үзүүлэлтүүд" гэсэн гурван таб агуулсан бөгөөд сүүлийн хоёрын агуулга нь Trend Line харилцах цонхны ижил төстэй табуудтай бүрэн давхцаж байна (Зураг 1). -2). Харах таб дээр та шугамын төрөл, түүний өнгө, зузааныг тохируулж болно.

Аль хэдийн зурсан трендийн шугамыг устгахын тулд устгах трендийн шугамыг сонгоод Delete товчийг дарна уу.

Регрессийн шинжилгээний хэрэгслийн давуу талууд нь:

өгөгдлийн хүснэгт үүсгэхгүйгээр график дээр чиг хандлагын шугамыг бий болгох харьцангуй хялбар байдал;

санал болгож буй чиг хандлагын шугамын төрлүүдийн нэлээд өргөн жагсаалт бөгөөд энэ жагсаалтад хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг регрессийн төрлүүд багтсан болно;

судалж буй үйл явцын зан төлөвийг дурын түвшинд урьдчилан таамаглах чадвар (дотор эрүүл ухаан) урагш болон хойшхи алхамуудын тоо;

чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр олж авах чадвар;

шаардлагатай бол ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлын үнэлгээг авах боломж.

Сул талууд нь дараахь зүйлийг агуулна.

чиг хандлагын шугамыг барих нь зөвхөн цуврал өгөгдөл дээр суурилсан диаграм байгаа тохиолдолд л хийгддэг;

Трендийн шугамын тэгшитгэл дээр үндэслэн судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх үйл явц нь бага зэрэг эмх замбараагүй байдаг: шаардлагатай регрессийн тэгшитгэлүүд нь анхны өгөгдлийн цувралын утгын өөрчлөлт бүрт шинэчлэгддэг, гэхдээ зөвхөн диаграмын хэсэгт л шинэчлэгддэг. , хуучин шугамын тэгшитгэлийн чиг хандлагын үндсэн дээр үүссэн өгөгдлийн цуваа өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;

Пивот диаграмын тайланд диаграмм эсвэл холбогдох Пивот хүснэгтийн тайлангийн харагдах байдлыг өөрчлөх нь одоо байгаа чиг хандлагын шугамыг хадгалахгүй бөгөөд энэ нь та чиг хандлагын шугам зурах эсвэл Пивот диаграмын тайланг өөр хэлбэрээр форматлахаас өмнө тайлангийн бүтэц шаардлагатай шаардлагад нийцэж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

График, гистограмм, хавтгай стандартын бус талбайн диаграм, баганан диаграм, тараах диаграм, бөмбөлөг диаграм, хувьцааны диаграм зэрэг диаграммд үзүүлсэн өгөгдлийн цувралыг нэмэхийн тулд чиг хандлагын шугамыг ашиглаж болно.

Та 3D, нормчлогдсон, радар, бялуу, гурилан графикт өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэх боломжгүй.

Excel-ийн суулгасан функцуудыг ашиглах

Excel нь диаграмын гадна талд чиг хандлагын шугамыг зурах регрессийн шинжилгээний хэрэгсэлтэй. Энэ зорилгоор ашиглаж болох хэд хэдэн статистикийн ажлын хуудасны функцууд байдаг ч тэдгээр нь зөвхөн шугаман эсвэл экспоненциал регрессийг бий болгох боломжийг олгодог.

Excel нь шугаман регрессийг бий болгох хэд хэдэн функцтэй, тухайлбал:

TREND;

• SLOPE болон CUT.

Мөн экспоненциал чиг хандлагын шугамыг бий болгох хэд хэдэн функцууд, тухайлбал:

LGRFPRIBL.

TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан регрессийг бий болгох арга техник нь бараг ижил гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. LINEST болон LGRFPRIBL хос функцүүдийн талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Эдгээр дөрвөн функцийн хувьд утгын хүснэгтийг үүсгэхдээ массивын томъёо гэх мэт Excel функцуудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь регрессийг бий болгох үйл явцыг тодорхой хэмжээгээр саатуулдаг. Шугаман регрессийн бүтээн байгуулалтыг бидний бодлоор SLOPE ба INTERCEPT функцийг ашиглан хамгийн хялбар гүйцэтгэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь шугаман регрессийн налууг, хоёр дахь нь регрессийн тасалдсан сегментийг тодорхойлдог. у тэнхлэг.

Регрессийн шинжилгээнд зориулсан суулгасан функцийн хэрэгслийн давуу талууд нь:

чиг хандлагын шугамыг тодорхойлдог бүх суурилагдсан статистик функцүүдэд судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх нэлээд энгийн, жигд үйл явц;

үүсгэсэн өгөгдлийн цуврал дээр тулгуурлан чиг хандлагын шугам байгуулах стандарт аргачлал;

судалж буй үйл явцын зан төлөвийг урьдчилан таамаглах чадвар шаардлагатай хэмжээурагш эсвэл ухрах алхам.

Сул тал нь Excel-д өөр төрлийн (шугаман ба экспоненциал) чиг хандлагын шугам үүсгэх зориулалттай суулгасан функц байхгүй байна. Энэ нөхцөл байдал нь ихэвчлэн судалж буй үйл явцын хангалттай үнэн зөв загварыг сонгох, бодит байдалд ойртсон урьдчилсан мэдээг олж авах боломжийг олгодоггүй. Түүнчлэн, TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглах үед чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл тодорхойгүй байна.

Зохиогчид регрессийн шинжилгээний явцыг ямар ч бүрэн дүүрэн байдлаар танилцуулахыг зориогүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний гол ажил бол ойролцоох асуудлыг шийдвэрлэхдээ Excel багцын чадварыг тодорхой жишээн дээр харуулах явдал юм; регресс болон таамаглалыг бий болгоход Excel-д ямар үр дүнтэй хэрэгсэл байгааг харуулах; Регрессийн шинжилгээний талаар өргөн мэдлэггүй хэрэглэгч хүртэл ийм асуудлыг хэрхэн харьцангуй амархан шийдэж болохыг харуулах.

Шийдлийн жишээ тодорхой ажлууд

Жагсаалтад орсон Excel хэрэгслүүдийг ашиглан тодорхой асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая.

Асуудал 1

Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн 1995-2002 оны ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгттэй. та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Диаграмм бүтээх.

Диаграммд шугаман болон олон гишүүнт (квадрат ба куб) чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.

Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж аваарай.

Аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн прогноз гарга.

Асуудлын шийдэл

Excel-ийн ажлын хуудасны A4:C11 нүднүүдийн хүрээнд Зураг дээр үзүүлсэн ажлын хуудсыг оруулна уу. 4.

B4:C11 нүднүүдийн хүрээг сонгосны дараа бид диаграммыг байгуулна.

Бид бүтээгдсэн диаграммыг идэвхжүүлж, дээр дурдсан аргын дагуу Trend Line харилцах цонхонд чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгосны дараа (1-р зургийг үз) диаграммд шугаман, квадрат, куб трендийн шугамуудыг ээлжлэн нэмнэ. Ижил харилцах цонхонд Параметрийн табыг нээнэ үү (Зураг 2-ыг үз), ойролцоох (тэгшгэсэн) муруй талбарт нэмж байгаа трендийн нэрийг оруулаад, Forecast forward for: periods талбарт хоёр жилийн хугацаанд ашгийн таамаглал гаргахаар төлөвлөж байгаа тул үнэ цэнэ 2. Диаграммын талбарт регрессийн тэгшитгэл болон ойролцоолсон найдвартай байдлын утгыг R2 харуулахын тулд дэлгэцийн хайрцган дээрх тэгшитгэлийг харуулахыг идэвхжүүлж, диаграм дээр ойртсон найдвартай байдлын утгыг (R^2) байрлуулна. Илүү сайн харагдахын тулд бид бий болгосон чиг хандлагын шугамын төрөл, өнгө, зузааныг өөрчилдөг бөгөөд үүний тулд Trend Line Format харилцах цонхны Харах табыг ашигладаг (3-р зургийг үз). Нэмэлт чиг хандлагын шугам бүхий үр дүнгийн диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 5.

1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрээр аж ахуйн нэгжийн ашгийн хүснэгтийн мэдээллийг авах. Зураг дээр үзүүлсэн чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглацгаая. 5. Үүнийг хийхийн тулд D3:F3 мужын нүднүүдэд сонгосон трендийн шугамын төрлийн тухай текстийн мэдээллийг оруулна: Шугаман тренд, Квадрат тренд, Куб тренд. Дараа нь D4 нүдэнд шугаман регрессийн томъёог оруулаад дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог D5:D13 нүдний мужид харьцангуй лавлагаатайгаар хуулна. D4:D13 нүдний мужаас шугаман регрессийн томьёотой нүд бүр нь аргумент болгон A4:A13 мужаас харгалзах нүдтэй байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний нэгэн адил квадрат регрессийн хувьд E4:E13 нүднүүдийн мужийг, куб регрессийн хувьд F4:F13 нүдний мужийг дүүргэнэ. Ийнхүү аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн урьдчилсан тооцоог гаргажээ. гурван чиг хандлагыг ашигладаг. Үр дүнгийн утгын хүснэгтийг Зураг дээр үзүүлэв. 6.

Асуудал 2

Диаграмм бүтээх.

Диаграммд логарифм, хүч, экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.

Хүлээн авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл, түүнчлэн тэдгээрийн R2 ойролцоох найдвартай байдлын утгыг гарга.

Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2002 оны чиг хандлагын шугам тус бүрийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж авна.

Эдгээр чиг хандлагын шугамыг ашиглан компанийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гарга.

Асуудлын шийдэл

1-р асуудлыг шийдэх аргачлалын дагуу бид логарифм, хүч, экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмсэн диаграммыг олж авна (Зураг 7). Дараа нь олж авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 2003, 2004 оны таамагласан утгыг багтаасан аж ахуйн нэгжийн ашгийн утгын хүснэгтийг бөглөнө. (Зураг 8).

Зураг дээр. 5 ба зураг. Логарифмын хандлагатай загвар нь найдвартай байдлын хамгийн бага утгатай тохирч байгааг харж болно.

R2 = 0.8659

R2-ийн хамгийн өндөр утга нь олон гишүүнт хандлагатай загваруудад тохирч байна: квадрат (R2 = 0.9263) ба куб (R2 = 0.933).

Асуудал 3

1-р даалгаварт өгөгдсөн 1995-2002 оны автотээврийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгтийн дагуу та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

TREND болон GROW функцийг ашиглан шугаман болон экспоненциал чиг хандлагын шугамын өгөгдлийн цувааг олж авна.

TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гарга.

Анхны өгөгдөл болон өгөгдлийн цувралын диаграммыг байгуул.

Асуудлын шийдэл

1-р асуудалд ажлын хуудсыг ашиглая (4-р зургийг үз). TREND функцээс эхэлье:

D4: D11 нүднүүдийн мужийг сонгох бөгөөд энэ нь аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх мэдэгдэж буй өгөгдөлд харгалзах TREND функцийн утгуудаар дүүргэгдсэн байх ёстой;

Insert цэснээс Function командыг дуудна. Гарч ирэх функцийн шидтэн харилцах цонхноос Статистик ангилалаас TREND функцийг сонгоод OK товчийг дарна уу. Стандарт хэрэгслийн самбар дээрх (Insert Function) товчийг дарснаар ижил үйлдлийг хийж болно.

Гарч буй "Функцийн аргументууд" харилцах цонхны "Мэдэгдэж буй_утга" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж;

Оруулсан томъёог массив томьёо болгохын тулд + + товчлуурын хослолыг ашиглана уу.

Томъёоны мөрөнд бидний оруулсан томъёо дараах байдалтай харагдана: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

Үүний үр дүнд D4: D11 нүднүүдийн хүрээ нь TREND функцийн харгалзах утгуудаар дүүрсэн байна (Зураг 9).

Аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглал гаргах. шаардлагатай:

TREND функцээр урьдчилан таамагласан утгуудыг оруулах D12:D13 нүдний мужийг сонгоно уу.

TREND функцийг дуудаж, гарч ирэх "Функцийн аргументууд" харилцах цонхонд "Мэдэгдэж буй_утга" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна уу; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж; мөн Шинэ_утга_х талбарт - B12:B13 нүдний муж.

Ctrl + Shift + Enter товчлуурын хослолыг ашиглан энэ томьёог массив томьёо болгон хувиргана уу.

Оруулсан томьёо нь дараах байдлаар харагдах болно: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), D12:D13 нүднүүдийн муж нь TREND функцийн урьдчилан таамагласан утгуудаар дүүрнэ (Зураг 1-ийг үз). 9).

Өгөгдлийн цуваа нь шугаман бус хамаарлыг шинжлэхэд ашигладаг GROWTH функцийг ашиглан бөглөсөн бөгөөд шугаман TREND-тэй яг адилхан ажилладаг.

Зураг 10-д хүснэгтийг томъёоны дэлгэцийн горимд харуулав.

Эхний өгөгдөл болон олж авсан өгөгдлийн цувралын хувьд диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. арван нэгэн.

Асуудал 4

Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн диспетчерийн үйлчилгээ үзүүлэх хүсэлтийг тухайн сарын 1-ээс 11-ний хооронд хүлээн авсан талаарх мэдээллийн хүснэгтийн дагуу та дараахь үйлдлүүдийг хийх ёстой.

Шугаман регрессийн өгөгдлийн цуваа авах: SLOPE болон INTERCEPT функцийг ашиглан; LINEST функцийг ашиглан.

LGRFPRIBL функцийг ашиглан экспоненциал регрессийн өгөгдлийн цувралыг олж авна.

Дээрх функцуудыг ашиглан тухайн сарын 12-ноос 14-ний хооронд диспетчерийн үйлчилгээнд өргөдөл хүлээн авах урьдчилсан мэдээг гарга.

Анхны болон хүлээн авсан өгөгдлийн цувралын диаграммыг үүсгэ.

Асуудлын шийдэл

TREND болон ӨСӨЛТ функцүүдээс ялгаатай нь дээр дурдсан функцүүдийн аль нь ч (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) регресс биш гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр функцууд нь шаардлагатай регрессийн параметрүүдийг тодорхойлоход туслах үүрэг гүйцэтгэдэг.

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB функцуудыг ашиглан бүтээгдсэн шугаман болон экспоненциал регрессийн хувьд TREND болон ӨСӨЛТ функцэд тохирох шугаман болон экспоненциал регрессээс ялгаатай нь тэгшитгэлийн харагдах байдал нь үргэлж мэдэгддэг.

1 . Шугаман регрессийг тэгшитгэлээр байгуулъя.

y = mx+b

SLOPE ба INTERCEPT функцийг ашиглан регрессийн налууг m SLOPE функцээр, чөлөөт b гишүүнийг INTERCEPT функцээр тодорхойлно.

Үүнийг хийхийн тулд бид дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

анхны хүснэгтийг A4:B14 нүдний мужид оруулна уу;

m параметрийн утгыг C19 нүдэнд тодорхойлно. Statistical ангилалаас Slope функцийг сонгох; мэдэгдэж байгаа_утга_y талбарт B4:B14 нүдний мужийг, мэдэгдэж буй_утга_х талбарт A4:A14 нүдний мужийг оруулна. Томьёог C19 нүдэнд оруулна: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

Үүнтэй төстэй техникийг ашиглан D19 нүдний b параметрийн утгыг тодорхойлно. Үүний агуулга нь дараах байдлаар харагдах болно: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Тиймээс шугаман регрессийг бий болгоход шаардагдах m ба b параметрийн утгыг C19, D19 нүдэнд тус тус хадгална;

Дараа нь C4 нүдэнд шугаман регрессийн томьёог =$C*A4+$D хэлбэрээр оруулна. Энэ томъёонд C19 ба D19 нүднүүд үнэмлэхүй лавлагаатай бичигдсэн байдаг (хуулбарлах явцад нүдний хаяг өөрчлөгдөх ёсгүй). Үнэмлэхүй лавлагааны тэмдгийг $ гараас эсвэл курсорыг нүдний хаяг дээр байрлуулсны дараа F4 товчлуурыг ашиглан бичиж болно. Бөглөх бариулыг ашиглан энэ томьёог C4:C17 нүдний мужид хуулна. Бид шаардлагатай өгөгдлийн цувралыг авдаг (Зураг 12). Хэрэглээний тоо нь бүхэл тоо байдаг тул "Cell Format" цонхны Number таб дээр аравтын бутархайн оронтой тооны форматыг 0 болгож тохируулах хэрэгтэй.

2 . Одоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугаман регрессийг байгуулъя.

y = mx+b

LINEST функцийг ашиглан.

Үүний тулд:

LINEST функцийг C20:D20 нүднүүдийн мужид массивын томьёо болгон оруулна уу: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Үүний үр дүнд бид C20 нүдэнд m параметрийн утгыг, D20 нүдэнд b параметрийн утгыг авна;

D4 нүдэнд томьёо оруулна: =$C*A4+$D;

Энэ томьёог бөглөх тэмдэглэгээг ашиглан D4:D17 нүдний мужид хуулж, хүссэн өгөгдлийн цувралыг аваарай.

3 . Бид тэгшитгэлээр экспоненциал регрессийг байгуулна.

LGRFPRIBL функцийг ашиглан дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

C21:D21 нүдний мужид бид LGRFPRIBL функцийг массив томъёогоор оруулна: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Энэ тохиолдолд m параметрийн утгыг C21 нүдэнд, b параметрийн утгыг D21 нүдэнд тодорхойлно;

томъёог E4 нүдэнд оруулна: =$D*$C^A4;

дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог экспоненциал регрессийн өгөгдлийн цуваа байрлах E4:E17 нүдний мужид хуулна (12-р зургийг үз).

Зураг дээр. 13-р зурагт бидний ашигладаг функцуудыг шаардлагатай нүдний мужууд болон томьёогоор харж болох хүснэгтийг харуулав.

Хэмжээ Р 2 дуудсан тодорхойлох коэффициент.

Регрессийн хамаарлыг бий болгох даалгавар нь R коэффициент хамгийн их утгыг авах загварын (1) m коэффициентүүдийн векторыг олох явдал юм.

R-ийн ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд томъёогоор тооцоолсон Фишерийн F тестийг ашигладаг

Хаана n- дээжийн хэмжээ (туршилтын тоо);

k нь загварын коэффициентүүдийн тоо юм.

Хэрэв F нь өгөгдлийн зарим чухал утгыг давсан бол nТэгээд кболон хүлээн зөвшөөрөгдсөн итгэлийн магадлал, дараа нь R утгыг чухал ач холбогдолтой гэж үзнэ. F-ийн чухал утгуудын хүснэгтийг математик статистикийн лавлах номонд өгсөн болно.

Тиймээс R-ийн ач холбогдлыг зөвхөн үнэ цэнээр нь биш, мөн туршилтын тоо болон загварын коэффициентүүдийн (параметрүүдийн) тоо хоорондын харьцаагаар тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ энгийн шугаман загварын хувьд n=2-ын корреляцийн харьцаа 1-тэй тэнцүү байна (хавтгайн 2 цэгээр үргэлж нэг шулуун шугамыг зурж болно). Гэхдээ туршилтын өгөгдөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол R-ийн ийм утгыг маш болгоомжтой итгэх хэрэгтэй. Ихэвчлэн мэдэгдэхүйц R ба найдвартай регрессийг олж авахын тулд туршилтын тоо нь загварын коэффициентүүдийн тооноос (n>k) ихээхэн давахыг хичээдэг.

Шугаман регрессийн загварыг бий болгохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1) туршилтын өгөгдөл агуулсан n мөр, m баганын жагсаалтыг бэлтгэх (гаралтын утгыг агуулсан багана) Южагсаалтын эхний эсвэл сүүлчийнх байх ёстой); Жишээлбэл, өмнөх даалгаврын өгөгдлийг авч, "Үеийн дугаар" гэсэн баганыг нэмж, 1-ээс 12 хүртэлх хугацааны дугаарыг дугаарлана. (эдгээр нь утгууд байх болно. X)

2) Data/Data Analysis/Regression цэс рүү орно

Хэрэв "Хэрэгслүүд" цэсний "Өгөгдлийн шинжилгээ" зүйл байхгүй бол та ижил цэсний "Нэмэлт" зүйл рүү очоод "Шинжилгээний багц" гэсэн нүдийг шалгана уу.

3) "Регресс" харилцах цонхонд:

· оролтын интервал Y;

· оролтын интервал X;

· гаралтын интервал - тооцооллын үр дүнг байрлуулах интервалын зүүн дээд нүд (шинэ ажлын хуудсан дээр байрлуулахыг зөвлөж байна);

4) "Ok" дээр дарж үр дүнд дүн шинжилгээ хийнэ.

• Заавар

Оршил

Би математикч, програмист хүн. Миний карьер дахь хамгийн том үсрэлт бол би ингэж хэлж сурсан үе байлаа. "Би юу ч ойлгохгүй байна!"Одоо би ичих ч үгүй ​​шинжлэх ухааны гэгээнтэн надад лекц уншиж байна, тэр гэгээнтэн надад юу хэлээд байгааг ойлгохгүй байна. Тэгээд их хэцүү. Тийм ээ, мунхаг гэдгээ хүлээн зөвшөөрөх нь хэцүү бөгөөд ичмээр юм. Ямар нэгэн зүйлийн үндсийг мэдэхгүй гэдгээ хэн хүлээн зөвшөөрөх дуртай вэ? Мэргэжлээсээ болоод би олон тооны илтгэл, лекцэнд оролцох шаардлагатай болдог бөгөөд ихэнх тохиолдолд би юу ч ойлгохгүй унтмаар байдаг. Гэхдээ би ойлгохгүй байна, учир нь шинжлэх ухааны өнөөгийн нөхцөл байдлын томоохон асуудал математикт оршдог. Энэ нь бүх сонсогчид математикийн бүх салбарыг мэддэг (энэ нь утгагүй зүйл) гэж үздэг. Дериватив гэж юу болохыг мэдэхгүй гэдгээ хүлээн зөвшөөрөх нь (энэ нь юу болохыг бид дараа нь ярих болно) ичмээр юм.

Гэхдээ үржүүлэх гэж юу байдгийг мэдэхгүй гэж хэлж сурсан. Тийм ээ, би Лие алгебрын дэд алгебр гэж юу болохыг мэдэхгүй. Тийм ээ, тэд яагаад амьдралд хэрэгтэй байгааг би мэдэхгүй квадрат тэгшитгэл. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та мэдэж байгаа гэдэгтээ итгэлтэй байвал бидэнд ярих зүйл байна! Математик бол хэд хэдэн заль мэх юм. Математикчид олон нийтийг төөрөгдүүлж, айлгах гэж оролддог; төөрөгдөл байхгүй газар нэр хүнд, эрх мэдэл байхгүй. Тийм ээ, аль болох хийсвэр хэлээр ярих нь нэр хүндтэй бөгөөд энэ нь шал дэмий зүйл юм.

Дериватив гэж юу болохыг та мэдэх үү? Магадгүй та зөрүүний харьцааны хязгаарын талаар надад хэлэх байх. Санкт-Петербургийн их сургуулийн математик механикийн нэгдүгээр курст Виктор Петрович Хавин надад хэлсэн. тодорхойлсондеривативыг тухайн цэг дэх функцийн Тейлорын цувралын эхний гишүүний коэффициент (энэ нь деривативгүйгээр Тейлорын цувралыг тодорхойлох тусдаа гимнастик байсан). Энэ тодорхойлолтыг би эцэст нь юу болохыг ойлгох хүртлээ удаан хугацаанд инээв. Дериватив нь бидний ялгаж буй функц нь y=x, y=x^2, y=x^3 функцтэй хэр төстэй болохыг энгийн хэмжүүрээс өөр зүйл биш юм.

Одоо би оюутнуудад лекц унших нэр төрийн хэрэг байна айж байнаматематик. Хэрэв та математикаас айдаг бол бид нэг замаар явж байна. Та зарим нэг текстийг уншихыг оролдоход энэ нь хэтэрхий төвөгтэй юм шиг санагдаж байвал үүнийг муу бичсэн гэдгийг мэдэж аваарай. Нарийвчлалыг алдалгүйгээр "хуруугаар" хэлэлцэх боломжгүй математикийн нэг ч салбар байдаггүй гэдгийг би баталж байна.

Ойрын ирээдүйд хийх даалгавар: Би сурагчдадаа шугаман квадрат зохицуулагч гэж юу болохыг ойлгуулах даалгавар өгсөн. Бүү ичиж, амьдралынхаа гурван минутыг зарцуулж, холбоосыг дагана уу. Хэрэв та юу ч ойлгохгүй байгаа бол бид нэг зам дээр байна. Би (мэргэжлийн математикч-програмист) бас юу ч ойлгосонгүй. Та үүнийг "хуруугаараа" ойлгож чадна гэдгийг би танд баталж байна. Одоогоор энэ нь юу болохыг би мэдэхгүй, гэхдээ бид үүнийг олж мэдэх болно гэдгийг би танд баталж байна.

Тиймээс, шавь нар маань над руу гүйж ирээд шугаман квадрат зохицуулагчийг амьдралдаа хэзээ ч эзэмшиж чадахгүй аймшигт зүйл гэж хэлсний дараа миний тэдэнд хэлэх эхний лекц бол хамгийн бага квадратын аргууд. Та шугаман тэгшитгэлийг шийдэж чадах уу? Хэрэв та энэ текстийг уншиж байгаа бол уншихгүй байх магадлалтай.

Тиймээс (x0, y0), (x1, y1), жишээлбэл (1,1) ба (3,2) гэсэн хоёр цэгийг өгснөөр эдгээр хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох даалгавар байна.

дүрслэл

Энэ шугам нь дараахтай адил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Энд альфа ба бета нь бидэнд мэдэгддэггүй, гэхдээ энэ шугамын хоёр цэг нь мэдэгдэж байна:

Бид энэ тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичиж болно.

Энд юу хийх ёстой вэ уянгын хазайлт: Матриц гэж юу вэ? Матриц нь хоёр хэмжээст массиваас өөр зүйл биш юм. Энэ нь өгөгдлийг хадгалах арга юм; Тодорхой матрицыг яг яаж тайлбарлах нь биднээс шалтгаална. Би үүнийг үе үе шугаман зураглал, үе үе квадрат хэлбэр, заримдаа зүгээр л векторуудын багц гэж тайлбарлах болно. Энэ бүгдийг контекстийн хүрээнд тодруулах болно.

Бетон матрицуудыг бэлгэдлийн дүрслэлээр сольж үзье.

Дараа нь (альфа, бета) амархан олно:

Бидний өмнөх өгөгдлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй:

Энэ нь (1,1) ба (3,2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны дараах тэгшитгэлд хүргэдэг.

За, энд бүх зүйл тодорхой байна. Өнгөрч буй шугамын тэгшитгэлийг олъё гуравоноо: (x0,y0), (x1,y1) ба (x2,y2):

Өө-өө-өө, гэхдээ бидэнд хоёр үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэл байна! Стандарт математикч ямар ч шийдэл байхгүй гэж хэлэх болно. Програмист юу гэж хэлэх вэ? Тэгээд тэр эхлээд өмнөх тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрээр дахин бичих болно.

Манай тохиолдолд i, j, b векторууд нь гурван хэмжээст тул (ерөнхий тохиолдолд) энэ системийн шийдэл байхгүй байна. Аливаа вектор (alpha\*i + beta\*j) векторуудын (i, j) хүрээлэгдсэн хавтгайд оршдог. Хэрэв b нь энэ хавтгайд хамаарахгүй бол шийдэл байхгүй (тэгшитгэлд тэгш байдлыг хангах боломжгүй). Юу хийх вэ? Буултыг хайцгаая. -ээр тэмдэглэе e(альфа, бета)яг хэр хол бид тэгш байдалд хүрч чадаагүй вэ?

Мөн бид энэ алдааг багасгахыг хичээх болно:

Яагаад дөрвөлжин?

Бид нормын хамгийн бага хэмжээг биш, харин нормативын квадратын доод хэмжээг эрэлхийлж байна. Яагаад? Хамгийн бага цэг нь өөрөө давхцаж, квадрат нь гөлгөр функцийг (аргументуудын квадрат функц (альфа, бета)) өгдөг бол зүгээр л урт нь конус хэлбэрийн функцийг өгдөг бөгөөд хамгийн бага цэг дээр ялгагдахгүй. Брр. Квадрат нь илүү тохиромжтой.

Мэдээжийн хэрэг, вектор үед алдаа багасдаг двекторуудаар тархсан хавтгайд ортогональ биТэгээд j.

Дүрслэл

Өөрөөр хэлбэл: бүх цэгээс энэ шулуун шугам хүртэлх зайны квадрат уртын нийлбэр хамгийн бага байхаар бид шулуун шугам хайж байна.

ШИНЭЧЛЭЛ: Надад асуудал байна, шулуун шугам хүртэлх зайг босоо проекцоор биш харин босоо байдлаар хэмжих ёстой. Энэ тайлбарлагчийн зөв.

Дүрслэл

Шал өөр үгээр (болгоомжтой, муу албан ёсны, гэхдээ энэ нь тодорхой байх ёстой): бид бүх хос цэгүүдийн хоорондох бүх боломжит шугамыг авч, бүх хоорондох дундаж шугамыг хайдаг:

Дүрслэл

Өөр нэг тайлбар нь ойлгомжтой: бид бүх өгөгдлийн цэгүүд (энд бид гурав байгаа) болон хайж буй шулуун шугамын хооронд хавар хавсаргасан бөгөөд тэнцвэрийн төлөвийн шулуун шугам нь яг бидний хайж буй зүйл юм.

Хамгийн бага квадрат хэлбэр

Тэгэхээр энэ векторыг өгөв бба матрицын баганын векторуудаар дамжсан хавтгай А(энэ тохиолдолд (x0,x1,x2) ба (1,1,1)) бид векторыг хайж байна. дхамгийн бага квадрат урттай. Мэдээжийн хэрэг, хамгийн багадаа зөвхөн векторын хувьд хүрэх боломжтой д, матрицын баганын векторуудаар дамжсан хавтгайд ортогональ А:

Өөрөөр хэлбэл, бид x=(альфа, бета) векторыг хайж байна.

Энэ вектор x=(альфа, бета) нь квадрат функцийн ||e(альфа, бета)||^2-ын минимум гэдгийг сануулъя:

Энд матрицыг квадрат хэлбэр гэж тайлбарлаж болно гэдгийг санах нь зүйтэй, жишээлбэл, таних матрицыг ((1,0),(0,1)) x^2 + y^ функц гэж тайлбарлаж болно. 2:

квадрат хэлбэр

Энэ бүх гимнастикийг шугаман регресс гэдэг нэрээр мэддэг.

Дирихлегийн хилийн нөхцөлтэй Лапласын тэгшитгэл

Одоо хамгийн энгийн бодит ажил: тодорхой гурвалжин гадаргуутай тул үүнийг тэгшлэх шаардлагатай. Жишээлбэл, миний нүүрний загварыг ачаалъя:

Анхны амлалт бэлэн байна. Гадны хамаарлыг багасгахын тулд би Habré дээр байгаа программ хангамжийнхаа кодыг авсан. Шийдлийн хувьд шугаман системБи OpenNL ашигладаг, энэ нь маш сайн шийдэгч боловч суулгахад маш хэцүү байдаг: та хоёр файлыг (.h+.c) төслийн хавтас руу хуулах хэрэгтэй. Бүх тэгшитгэх ажлыг дараах кодоор гүйцэтгэнэ.

For (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = faces[i]; төлөө (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y, Z координатуудыг салгах боломжтой, би тэдгээрийг тусад нь тэгшитгэдэг. Өөрөөр хэлбэл, би загварынхаа оройн тоотой тэнцүү хувьсагчтай, шугаман тэгшитгэлийн гурван системийг шийддэг. А матрицын эхний n мөрөнд нэг мөрөнд зөвхөн нэг 1, b векторын эхний n мөрөнд анхны загварын координатууд байна. Өөрөөр хэлбэл, би оройн шинэ байрлал ба оройн хуучин байрлалын хооронд хавар уядаг - шинэ нь хуучин хүмүүсээс хэт хол явах ёсгүй.

А матрицын дараачийн бүх мөрүүд (faces.size()*3 = торон дахь бүх гурвалжны ирмэгийн тоо) нэг тохиолдол 1, нэг тохиолдол -1 байх ба в вектор b эсрэг талдаа тэг бүрэлдэхүүнтэй байна. Энэ нь би гурвалжин торны ирмэг бүр дээр пүрш тавьсан гэсэн үг юм: бүх ирмэгүүд нь эхлэл ба төгсгөлийн цэгтэй ижил оройг авахыг хичээдэг.

Дахин нэг удаа: бүх орой нь хувьсах хэмжигдэхүүн бөгөөд тэдгээр нь анхны байрлалаасаа хол явж чадахгүй, гэхдээ нэгэн зэрэг тэд бие биетэйгээ ижил төстэй байхыг хичээдэг.

Үр дүн нь энд байна:

Бүх зүйл сайхан байх болно, загвар нь үнэхээр гөлгөр болсон, гэхдээ энэ нь анхны ирмэгээсээ холдсон. Кодоо бага зэрэг өөрчилье:

For (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

Манай А матрицад ирмэг дээр байгаа оройнуудын хувьд би v_i = verts[i][d] ангиллаас мөр биш, харин 1000*v_i = 1000*verts[i][d] нэмдэг. Энэ нь юу өөрчлөгддөг вэ? Энэ нь бидний алдааны квадрат хэлбэрийг өөрчилдөг. Одоо ирмэг дээр дээрээс нэг хазайлт нь өмнөх шигээ нэг нэгж биш, харин 1000*1000 нэгж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид туйлын орой дээр илүү хүчтэй булаг өлгөж, шийдэл нь бусдыг илүү хүчтэй сунгахыг илүүд үздэг. Үр дүн нь энд байна:

Оройнуудын хоорондох хаврын хүчийг хоёр дахин нэмэгдүүлье.
nlКоэффицент(нүүр[ j ], 2); nlКоэффицент(нүүр[(j+1)%3], -2);

Гадаргуу нь илүү гөлгөр болсон нь логик юм.

Одоо бүр зуу дахин хүчтэй:

Энэ юу вэ? Бид утсан цагиргийг савантай усанд дүрсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний үр дүнд үүссэн савангийн хальс нь хил дээр хүрч, хамгийн бага муруйлттай байхыг хичээх болно - бидний утас цагираг. Хил засаад дотор нь гөлгөр гөлгөр болгоод өгөөч гэж гуйсан нь яг ийм юм. Баяр хүргэе, бид дөнгөж сая Лапласын тэгшитгэлийг Дирихлетийн хилийн нөхцлөөр шийдлээ. Сайхан сонсогдож байна уу? Гэвч бодит байдал дээр та шугаман тэгшитгэлийн нэг системийг л шийдэх хэрэгтэй.

Пуассоны тэгшитгэл

Өөр нэг сайхан нэрийг санацгаая.

Надад ийм зураг байна гэж бодъё:

Хүн болгонд сайхан харагддаг ч би сандалдаа дургүй.

Би зургийг хагасаар нь хасах болно:

Тэгээд би өөрийн гараар сандал сонгох болно:

Дараа нь би маск дээрх цагаан өнгөтэй бүх зүйлийг зургийн зүүн тал руу татах бөгөөд зургийн туршид хоёр хөршийн пикселийн ялгаа нь баруун талын хоёр хөрш пикселийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байх ёстой гэж би хэлэх болно. зураг:

For (int i=0; i

Үр дүн нь энд байна:

Код болон зураг байгаа

Хамгийн бага квадратын арга нь шугамын тэгшитгэл дэх a ба b утгуудын утгыг олох замаар дараалсан хосуудын багцад хамгийн сайн тохирох шугаман тэгшитгэлийг байгуулах математикийн процедур юм. Хамгийн бага квадратын зорилго нь y ба ŷ утгуудын хоорондох нийт квадрат алдааг багасгах явдал юм. Хэрэв бид цэг бүрийн алдаа ŷ-ийг тодорхойлох юм бол хамгийн бага квадратын арга нь дараахь зүйлийг багасгадаг.

Энд n = шугамын эргэн тойронд эрэмбэлэгдсэн хосуудын тоо. өгөгдөлтэй аль болох ойр байх.

Энэ ойлголтыг зурагт үзүүлэв

Зураг дээр үндэслэн өгөгдөлд хамгийн сайн тохирох шугам болох регрессийн шугам нь график дээрх дөрвөн цэгийн нийт квадрат алдааг багасгадаг. Үүнийг хамгийн бага квадратын тусламжтайгаар хэрхэн тодорхойлохыг би дараах жишээн дээр харуулах болно.

Хамтдаа нүүж ирээд удаагүй залуу хосууд угаалгын өрөөндөө ширээгээ хуваалцаж байна гээд төсөөлөөд үз дээ. Залуу эр ширээнийхээ тал хувь нь үсний хөөс, шар буурцагны цогцолбороос болж эрс багасч байгааг анзаарч эхлэв. Сүүлийн хэдэн сарын хугацаанд тэр залуу ширээний хажууд байгаа зүйлсийн тоо нэмэгдэж байгааг анхааралтай ажиглаж байв. Доорх хүснэгтэд охины сүүлийн хэдэн сарын турш угаалгын өрөөнийхөө вааранд цуглуулсан зүйлсийн тоог харуулав.

Бидний зорилго цаг хугацааны явцад зүйлийн тоо нэмэгдэж байгаа эсэхийг мэдэх явдал тул “Сар” нь бие даасан хувьсагч, “Зүйлийн тоо” нь хамааралтай хувьсагч байх болно.

Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан бид а, у огтлолцол, b шугамын налуугийн утгыг тооцоолох замаар өгөгдөлд хамгийн сайн тохирох тэгшитгэлийг тодорхойлно.

a = y дундаж - bx дундаж

Энд x avg нь бие даасан хувьсагчийн x-ийн дундаж утга, y avg нь бие даасан хувьсагчийн дундаж утга юм.

Доорх хүснэгтэд эдгээр тэгшитгэлд шаардлагатай тооцооллыг нэгтгэн харуулав.

Манай ванны жишээний эффектийн муруйг дараах тэгшитгэлээр өгнө.

Бидний тэгшитгэл 0.976 эерэг налуутай тул ширээн дээрх зүйлсийн тоо цаг хугацааны явцад сард дунджаар 1 зүйлээр нэмэгддэг болохыг нотолж байна. График нь эмх цэгцтэй хосуудын эффектийн муруйг харуулж байна.

Ирэх зургаан сарын (16-р сар) бүтээгдэхүүний тоог дараах байдлаар тооцоолно.

ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = 21 зүйл

Тиймээс манай баатар ямар нэгэн арга хэмжээ авах цаг болжээ.

Excel дээрх TREND функц

Та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан Excel нь утгыг тооцоолох функцтэй байдаг хамгийн бага квадратын арга.Энэ функцийг TREND гэж нэрлэдэг. Түүний синтакс нь дараах байдалтай байна.

TREND (мэдэгдэж буй Y утгууд; мэдэгдэж буй X утгууд; шинэ X утгууд; тогтмол)

мэдэгдэж байгаа Y утгууд - хамааралтай хувьсагчдын массив, бидний тохиолдолд хүснэгт дээрх объектуудын тоо

мэдэгдэж байгаа утгууд X - бие даасан хувьсагчдын массив, манай тохиолдолд энэ нь сар юм

шинэ X утгууд - шинэ X утгууд (сарууд). TREND функцхамааралтай хувьсагчдын хүлээгдэж буй утгыг буцаана (зүйлүүдийн тоо)

const - нэмэлт. b тогтмол 0 байх шаардлагатай эсэхийг тодорхойлдог логикийн утга.

Жишээлбэл, 16 дахь сард угаалгын өрөөний ванны тавиур дээр байх ёстой зүйлсийн тоог тодорхойлоход ашигладаг TREND функцийг зурагт үзүүлэв.

Хамгийн бага квадратын арга (OLS) нь санамсаргүй алдаа агуулсан олон хэмжилтийн үр дүнг ашиглан янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох боломжийг олгодог.

БОЯ-ны онцлог

Энэ аргын гол санаа бол алдааны квадратын нийлбэрийг асуудлыг шийдвэрлэх нарийвчлалын шалгуур гэж үздэг бөгөөд үүнийг багасгахыг хичээдэг. Энэ аргыг ашиглахдаа тоон болон аналитик аргыг хоёуланг нь ашиглаж болно.

Тодруулбал, тоон хэрэгжилтийн хувьд хамгийн бага квадратын арга нь үл мэдэгдэх санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аль болох олон хэмжилт хийх явдал юм. Түүнээс гадна, илүү их тооцоолол хийх тусам шийдэл нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Энэхүү багц тооцоонд (анхны өгөгдөл) үндэслэн өөр нэг тооцоолсон шийдлийг гаргаж, хамгийн сайныг нь сонгоно. Хэрэв шийдлүүдийн багцыг параметржүүлсэн бол хамгийн бага квадратын аргыг параметрийн оновчтой утгыг олох хүртэл бууруулна.

Анхны өгөгдөл (хэмжилт) болон хүлээгдэж буй шийдлүүдийн багц дээр LSM-ийг хэрэгжүүлэх аналитик арга барилын хувьд тодорхой нэгийг (функциональ) тодорхойлдог бөгөөд үүнийг баталгаажуулахыг шаарддаг тодорхой таамаглалаар олж авсан томъёогоор илэрхийлж болно. Энэ тохиолдолд хамгийн бага квадратын арга нь анхны өгөгдлийн квадрат алдааны багц дээр энэ функцийн хамгийн бага утгыг олоход хүргэдэг.

Энэ нь алдаа өөрөө биш, харин алдааны квадратууд гэдгийг анхаарна уу. Яагаад? Үнэн хэрэгтээ хэмжилтийн тодорхой утгаас хазайх нь ихэвчлэн эерэг ба сөрөг байдаг. Дундаж хэмжээг тодорхойлохдоо энгийн нийлбэр нь үнэлгээний чанарын талаар буруу дүгнэлт гаргахад хүргэж болзошгүй тул эерэг ба сөрөг утгыг цуцлах нь олон хэмжилтийн түүврийн хүчийг бууруулна. Үүний үр дүнд үнэлгээний үнэн зөв байдал.

Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд квадрат хазайлтыг нэгтгэн дүгнэв. Түүнээс гадна хэмжсэн утга ба эцсийн тооцооны хэмжээсийг тэнцүүлэхийн тулд алдааны квадратын нийлбэрийг гаргаж авдаг.

Зарим MNC програмууд

MNC нь янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, магадлалын онол ба математик статистикийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын хүрээний өргөнийг тодорхойлдог стандарт хазайлт гэх мэт санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох аргыг ашигладаг.