Тангенсийн диаграм. Шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс

Тангенснь муруй дээрх цэгийг дайран өнгөрч, энэ цэг дээр нэгдүгээр зэрэглэл хүртэл давхцаж буй шулуун шугам юм (Зураг 1).

Өөр нэг тодорхойлолт: энэ нь Δ дахь секантын хязгаарлах байрлал юм x→0.

Тайлбар: Муруйг хоёр цэгээр огтолж буй шулуун шугамыг ав. АТэгээд б(зураг харна уу). Энэ бол секант юм. Бид үүнийг зөвхөн нэг болтол цагийн зүүний дагуу эргүүлнэ нийтлэг цэгмуруйтай. Энэ нь бидэнд тангенс өгөх болно.

Тангенсийн хатуу тодорхойлолт:

Функцийн графикт шүргэгч е, цэг дээр ялгах боломжтой xО, цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам ( xО; е(xО)) болон налуутай байна е′( xО).

Налуу нь хэлбэрийн шулуун шугамтай байдаг у =kx +б. Коэффицент кмөн байна налууэнэ шулуун шугам.

Өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгтэй энэ шулуун шугамаас үүссэн хурц өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

к = бор α

Энд α өнцөг нь шулуун шугамын хоорондох өнцөг юм у =kx +бба x тэнхлэгийн эерэг (өөрөөр хэлбэл цагийн зүүний эсрэг) чиглэл. гэж нэрлэдэг шулуун шугамын налуу өнцөг(Зураг 1 ба 2).

Хэрэв налуугийн өнцөг шулуун байвал у =kx +бцочмог, дараа нь налуу эерэг тоо байна. График нэмэгдэж байна (Зураг 1).

Хэрэв налуугийн өнцөг шулуун байвал у =kx +бмохоо байвал налуу нь сөрөг тоо байна. График буурч байна (Зураг 2).

Хэрэв шулуун шугам нь x тэнхлэгтэй параллель байвал шулуун шугамын налуу өнцөг болно тэгтэй тэнцүү. Энэ тохиолдолд шугамын налуу нь мөн тэг байна (тэгтэй шүргэгч тэгтэй тэнцүү тул). Шулуун шугамын тэгшитгэл нь y = b хэлбэртэй болно (Зураг 3).

Хэрэв шулуун шугамын налуу өнцөг нь 90º (π/2), өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгнө. x =в, Хаана в– зарим бодит тоо (Зураг 4).

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлy = е(x) цэг дээр xО:

Жишээ: Функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол е(x) = x 3 – 2xАбсцисса 2-той цэг дээр 2 + 1.

Шийдэл.

Бид алгоритмыг дагаж мөрддөг.

1) Мэдрэгч цэг xОтэнцүү байна 2. Тооцоол е(xО):

е(xО) = е(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) олох е′( x). Үүнийг хийхийн тулд бид өмнөх хэсэгт дурдсан ялгах томъёог ашиглана. Эдгээр томъёоны дагуу, X 2 = 2X, А X 3 = 3X 2. гэсэн утгатай:

е′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Одоо гарсан утгыг ашиглана уу е′( x), тооцоолох е′( xО):

е′( xО) = е′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Тиймээс бидэнд шаардлагатай бүх мэдээлэл байна: xО = 2, е(xО) = 1, е ′( xО) = 4. Эдгээр тоог шүргэгч тэгшитгэлд орлуулж эцсийн шийдийг ол.

у = е(xО) + е′( xО) (х – х о) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Хариулт: y = 4x – 7.

Жишээ 1.Функц өгсөн е(x) = 3x 2 + 4x– 5. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x) абсциссатай графикийн цэг дээр x 0 = 1.

Шийдэл.Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Дараа нь е(x 0) = е(1) = 2; (x 0) = = 10. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = (x 0) (x – x 0) + е(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Хариулах. y = 10x – 8.

Жишээ 2.Функц өгсөн е(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x), шугамтай зэрэгцээ y = 2x – 11.

Шийдэл.Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.

Функцийн графикт шүргэгч тул е(x) абсцисса цэг дээр x 0 нь шугамтай параллель байна y = 2x– 11, дараа нь түүний налуу нь 2-той тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл ( x 0) = 2. 3 гэсэн нөхцлөөс энэ абсциссыг олъё x– 6x 0 + 2 = 2. Энэ тэгш байдал нь зөвхөн үед хүчинтэй x 0 = 0 ба цагт x 0 = 2. Хоёр тохиолдолд хоёуланд нь е(x 0) = 5, дараа нь шулуун y = 2x + бфункцийн графикт (0; 5) цэг дээр эсвэл (2; 5) цэг дээр хүрнэ.

Эхний тохиолдолд 5 = 2 × 0 + тоон тэгш байдал нь үнэн юм б, хаана б= 5, хоёр дахь тохиолдолд 5 = 2 × 2 + тоон тэгш байдал нь үнэн юм б, хаана б = 1.

Тэгэхээр хоёр шүргэгч байна y = 2x+ 5 ба y = 2x+ 1 функцийн графикт е(x), шугамтай зэрэгцээ y = 2x – 11.

Хариулах. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Жишээ 3.Функц өгсөн е(x) = x 2 – 6x+ 7. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x), цэгээр дамжин өнгөрөх А (2; –5).

Шийдэл.Учир нь е(2) -5, дараа нь цэг Афункцийн графикт хамаарахгүй е(x). Болъё x 0 - шүргэгч цэгийн абсцисса.

Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:

= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.

Дараа нь е(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Гол нь Ашүргэхэд хамаарах бол тоон тэгш байдал үнэн болно

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

хаана x 0 = 0 эсвэл x 0 = 4. Энэ нь цэгээр дамжина гэсэн үг Афункцийн графикт хоёр шүргэгч зурж болно е(x).

Хэрэв x 0 = 0 бол шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = –6x+ 7. Хэрэв x 0 = 4, тэгвэл шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = 2x – 9.

Хариулах. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Жишээ 4.Өгөгдсөн функцууд е(x) = x 2 – 2x+ 2 ба g(x) = –x 2 – 3. Эдгээр функцүүдийн графикт нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье.

Шийдэл.Болъё x 1 - функцийн графиктай хүссэн шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса е(x), А x 2 - функцийн графиктай ижил шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса g(x).

Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:

= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.

Дараа нь е(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Функцийн деривативыг олъё g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Хэзээ нэгэн цагт x 0 нь f (x 0) төгсгөлтэй деривативтай f функцийг өгье. Дараа нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрөх, f '(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг шүргэгч гэж нэрлэдэг.

X 0 цэг дээр дериватив байхгүй бол яах вэ? Хоёр сонголт байна:

1. Графиктай шүргэгч байхгүй. Сонгодог жишээ бол y = |x | функц юм цэг дээр (0; 0).
2. Шүргэх нь босоо болно. Энэ нь жишээлбэл (1; π /2) цэг дээрх y = arcsin x функцийн хувьд үнэн юм.

Тангенсийн тэгшитгэл

Босоо бус аливаа шулуун шугамыг y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд k нь налуу юм. Тангенс нь үл хамаарах зүйл биш бөгөөд x 0 цэг дээр тэгшитгэлээ бүрдүүлэхийн тулд энэ цэг дэх функц болон деривативын утгыг мэдэхэд хангалттай.

Тэгэхээр хэрчим дээр y = f ’(x) деривативтай y = f (x) функц өгөгдье. Дараа нь x 0 ∈ (a; b) дурын цэг дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ функцийн графикт шүргэгчийг зурж болно.

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Энд f ’(x 0) нь x 0 цэг дэх деривативын утга, f (x 0) нь функцийн өөрийнх нь утга юм.

Даалгавар. y = x 3 функц өгөгдсөн. x 0 = 2 цэг дээрх энэ функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Тангенсийн тэгшитгэл: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бидэнд x 0 = 2 цэгийг өгсөн боловч f (x 0) ба f '(x 0) утгуудыг тооцоолох шаардлагатай болно.

Эхлээд функцийн утгыг олъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Одоо деривативыг олъё: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Бид x 0 = 2-г дериватив болгон орлоно: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Бид нийтдээ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16 болно.
Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм.

Даалгавар. x 0 = π /2 цэг дээрх f (x) = 2sin x + 5 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Энэ удаад бид үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлахгүй - бид зөвхөн гол алхмуудыг зааж өгөх болно. Бидэнд байгаа:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Тангенс тэгшитгэл:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Сүүлчийн тохиолдолд шулуун шугам нь хэвтээ болж хувирав, учир нь түүний өнцгийн коэффициент k = 0. Үүнд буруу зүйл байхгүй - бид зүгээр л экстремум цэг дээр бүдэрсэн.

Энэ нийтлэлд бид олохын тулд бүх төрлийн асуудлыг шинжлэх болно

Санаж үзье деривативын геометрийн утга: хэрэв тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч зурсан бол шүргэгчийн налуугийн коэффициент (тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийн тангенстай тэнцүү) функцийн деривативтай тэнцүү байна. цэг дээр.

Координаттай шүргэгч дээр дурын цэгийг авч үзье.

Мөн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье:

Энэ гурвалжинд

Эндээс

Энэ нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл юм.

Шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичихийн тулд бид зөвхөн функцийн тэгшитгэл болон шүргэгч зурсан цэгийг мэдэх хэрэгтэй. Дараа нь бид олж болно.

Шүргэх тэгшитгэлийн бодлого гурван үндсэн төрөл байдаг.

1. Холбоо барих цэгийг өгсөн

2. Шүргэгчийн налуугийн коэффициент буюу тухайн цэг дээрх функцийн деривативын утгыг өгөв.

3. Шүргэх цэг биш харин шүргэгч татагдах цэгийн координатууд өгөгдсөн.

Даалгаврын төрөл бүрийг авч үзье.

1 . Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр .

.

б) цэг дээрх деривативын утгыг ол. Эхлээд функцийн деривативыг олъё

Олдсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлъё.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе. Бид авах:

Хариулт: .

2. Функцууд графикт шүргэгч байх цэгүүдийн абсциссыг ол x тэнхлэгтэй параллель.

Хэрэв шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байвал шүргэгч ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг тэг байх тул шүргэгч өнцгийн тангенс тэг болно. Энэ нь шүргэлтийн цэгүүд дэх функцийн деривативын утга тэг байна гэсэн үг юм.

a) Функцийн деривативыг ол.

б) Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, тангенс нь тэнхлэгтэй параллель байх утгуудыг олцгооё.

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт: 0;3;5

3. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич , Зэрэгцээ Чигээрээ .

Шүргэх нь шулуунтай параллель байна. Энэ шугамын налуу нь -1 байна. Шүргэх нь энэ шулуунтай параллель байх тул шүргэгчийн налуу нь мөн -1 байна. Тэр бол шүргэгчийн налууг бид мэднэ, улмаар, шүргэлтийн цэг дэх дериватив утга.

Энэ бол шүргэгч тэгшитгэлийг олох хоёр дахь төрлийн бодлого юм.

Тиймээс бидэнд шүргэлтийн цэг дээрх деривативын функц ба утгыг өгсөн болно.

a) Функцийн дериватив -1-тэй тэнцүү байх цэгүүдийг ол.

Эхлээд дериватив тэгшитгэлийг олъё.

Деривативыг -1 тоотой тэнцүүлье.

Цэг дэх функцийн утгыг олъё.

(нөхцөлөөр)

.

б) цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.

Цэг дэх функцийн утгыг олъё.

(нөхцөлөөр).

Эдгээр утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлъё:

.

Хариулт:

4 . Муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич , цэгээр дамжин өнгөрөх

Эхлээд цэг нь шүргэгч цэг мөн эсэхийг шалгая. Хэрэв цэг нь шүргэгч цэг бол энэ нь функцийн графикт хамаарах бөгөөд координат нь функцийн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Функцийн тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулъя.

Гарчиг="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} сөрөг тоо, тэгш байдал нь үнэн биш, цэг нь функцийн графикт хамаарахгүй ба холбоо барих цэг биш юм.

Энэ бол шүргэгч тэгшитгэлийг олох сүүлчийн төрлийн бодлого юм. Эхний зүйл шүргэгч цэгийн абсциссыг олох хэрэгтэй.

Үнэ цэнийг нь олъё.

Холбоо барих цэг байцгаая. Уг цэг нь функцийн графикт шүргэхэд хамаарна. Хэрэв бид энэ цэгийн координатыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулбал зөв тэгшитгэлийг авна.

.

Тухайн цэг дэх функцийн утга нь .

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын утгыг олъё.

Эхлээд функцийн деривативыг олъё. Энэ .

Нэг цэг дэх дериватив нь тэнцүү байна .

Шүргэдэг тэгшитгэлийн илэрхийллүүдийг орлуулъя. Бид тэгшитгэлийг авна:

Энэ тэгшитгэлийг шийдье.

Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 2-оор бууруул.

Тэгшитгэлийн баруун талыг нийтлэг хуваагч руу авъя. Бид авах:

Бутархайн тоог хялбарчилж, хоёр талыг үржүүлье - энэ илэрхийлэл нь тэгээс их байна.

Бид тэгшитгэлийг авдаг

Үүнийг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд хоёр хэсгийг дөрвөлжин болгоод систем рүү шилжье.

Гарчиг="delim(lbrace)(матриц(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))))( )">!}

Эхний тэгшитгэлийг шийдье.

Ингээд шийдье квадрат тэгшитгэл, бид авдаг

Хоёрдахь үндэс нь title="8-3x_0>=0) нөхцөлийг хангахгүй байна">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Цэг дэх муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье. Үүнийг хийхийн тулд утгыг тэгшитгэлд орлуулна уу -Бид аль хэдийн бичлэг хийсэн.

Хариулт:
.

"Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл" видео хичээлийг үзүүлэв боловсролын материалсэдвийг эзэмших. Видео хичээлийн үеэр өгөгдсөн цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг томъёолоход шаардлагатай онолын материал, ийм шүргэгчийг олох алгоритм, судалж буй онолын материалыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээг тайлбарласан болно. .

Видео заавар нь материалын тодорхой байдлыг сайжруулах аргуудыг ашигладаг. Танилцуулга нь зураг, диаграм, чухал дуут тайлбар, хөдөлгөөнт дүрс, онцлох болон бусад хэрэгслийг агуулдаг.

Видео хичээл нь тухайн хичээлийн сэдвийг танилцуулж, M(a;f(a)) цэгийн зарим y=f(x) функцийн графиктай шүргэгчийн дүрсээр эхэлнэ. Өгөгдсөн цэг дээр графикт зурсан шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь энэ цэг дэх f΄(a) функцын деривативтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Мөн алгебрийн хичээлээс y=kx+m шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг. Нэг цэг дээрх шүргэгч тэгшитгэлийг олох асуудлын шийдлийг бүдүүвчээр харуулсан бөгөөд энэ нь k, m коэффициентүүдийг олоход хүргэдэг. Функцийн графикт хамаарах цэгийн координатыг мэдэж байгаа тул координатын утгыг f(a)=ka+m шүргэгч тэгшитгэлд орлуулж m-ийг олно. Үүнээс бид m=f(a)-ka-г олно. Иймд тухайн цэг дэх деривативын утга болон цэгийн координатыг мэдсэнээр шүргэгч тэгшитгэлийг y=f(a)+f΄(a)(x-a) байдлаар илэрхийлж болно.

Дараах нь диаграммын дагуу шүргэгч тэгшитгэл зохиох жишээ юм. y=x 2 , x=-2 функц өгөгдсөн. a=-2 гэж авбал өгөгдсөн цэг дэх функцийн утгыг f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 олно. f΄(x)=2x функцийн деривативыг тодорхойлно. Энэ үед дериватив нь f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4-тэй тэнцүү байна. Тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 бүх коэффициентүүд олдсон тул шүргэгч тэгшитгэл нь y=4+(-4)(x+2) болно. Тэгшитгэлийг хялбарчлахад бид y = -4-4x болно.

Дараах жишээнд y=tgx функцийн графикийн эхэн дэх шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулахыг санал болгож байна. Өгөгдсөн цэгт a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Тэгэхээр шүргэгч тэгшитгэл нь y=x шиг харагдаж байна.

Дүгнэлт болгон тодорхой цэгт функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл үүсгэх үйл явцыг 4 алхамаас бүрдэх алгоритм хэлбэрээр албан ёсны болгож байна.

• Шүргэдэг цэгийн абсциссад a тэмдэглэгээг оруулна уу;
• f(a) тооцоолсон;
• f΄(x)-ийг тодорхойлж, f΄(a)-г тооцоолно. a, f(a), f΄(a)-ын олдсон утгуудыг y=f(a)+f΄(a)(x-a) шүргэгч тэгшитгэлийн томъёонд орлуулна.

Жишээ 1-д x=1 цэг дээрх y=1/x функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэлийг байгуулахыг авч үзнэ. Асуудлыг шийдэхийн тулд бид алгоритмыг ашигладаг. a=1 цэгт өгөгдсөн функцийн хувьд f(a)=-1 функцийн утга. f΄(x)=1/x 2 функцийн дериватив. a=1 цэг дээр f΄(a)= f΄(1)=1 дериватив. Олж авсан өгөгдлийг ашиглан y=-1+(x-1) буюу y=x-2 шүргэгч тэгшитгэлийг байгуулав.

2-р жишээнд y=x 3 +3x 2 -2x-2 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Гол нөхцөл нь шүргэгч ба шулуун шугамын y=-2x+1 параллелизм юм. Эхлээд y=-2x+1 шулуун шугамын өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг олно. Өгөгдсөн шугамын хувьд f΄(a)=-2 тул хүссэн шүргэгчийн хувьд k=-2 байна. (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 функцийн деривативыг олно. f΄(a)=-2 гэдгийг мэдээд 3а 2 цэгийн координатыг +6а-2=-2 олно. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид 1 =0, 2 =-2 гэсэн утгыг авна. Олдсон координатыг ашиглан та сайн мэддэг алгоритмыг ашиглан шүргэгч тэгшитгэлийг олох боломжтой. f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 цэгүүдээс функцийн утгыг олно. f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 цэг дэх деривативын утга. Олдсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулснаар эхний цэгийн хувьд 1 =0 y=-2x-2, хоёр дахь цэгийн хувьд 2 =-2 шүргэгч тэгшитгэл y=-2x-22 болно.

y=√x функцийн графикийн (0;3) цэгт шүргэгч тэгшитгэлийн найрлагыг 3-р жишээнд дүрсэлсэн болно. Шийдэл нь сайн мэддэг алгоритмыг ашиглан хийгддэг. Шүргэдэг цэг нь x=a координаттай, a>0. f(a)=√x цэг дээрх функцийн утга. f΄(х)=1/2√х функцийн дериватив тул өгөгдсөн цэгт f΄(а)=1/2√а байна. Бүх олж авсан утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулснаар бид y = √a + (x-a)/2√a-г авна. Тэгшитгэлийг хувиргаснаар y=x/2√а+√а/2 болно. Шүргэх нь (0;3) цэгийг дайран өнгөрдөг гэдгийг мэдээд бид a-ийн утгыг олно. Бид 3=√a/2-аас a-г олно. Эндээс √a=6, a=36. y=x/12+3 шүргэгч тэгшитгэлийг олно. Зураг дээр авч үзэж буй функцийн график болон баригдсан хүссэн шүргэгчийг харуулав.

Суралцагчдад Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx ойролцоо тэнцүүг сануулна. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a гэж авбал f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), иймээс f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Жишээ 4-т 2.003 6 илэрхийллийн ойролцоо утгыг олох шаардлагатай. f(x) = x 6 функцийн утгыг x = 2.003 цэгээс олох шаардлагатай тул бид ашиглаж болно. алдартай томъёо, f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5 гэж авна. f΄(2)=192 цэгийн дериватив. Иймд 2.003 6 ≈65-192·0.003. Илэрхийллийг тооцоолсны дараа бид 2.003 6 ≈64.576 болно.

"Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл" видео хичээлийг сургуулийн уламжлалт математикийн хичээлд ашиглахыг зөвлөж байна. Алсын зайнаас хичээл заадаг багшийн хувьд видео материал нь сэдвийг илүү тодорхой тайлбарлахад тусална. Оюутнуудад тухайн сэдвийн талаарх ойлголтыг гүнзгийрүүлэхийн тулд шаардлагатай бол бие даан давтан үзэхийг санал болгож болно.

Текстийг тайлах:

Хэрэв M (a; f(a)) цэг (эм координат нь a ба ef) нь y = f (x) функцийн графикт хамаарах бөгөөд хэрэв энэ цэг дээр шүргэгч зурах боломжтой бол бид мэднэ. абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициент f"(a)-тай тэнцүү байна (a-аас eff анхдагч).

y = f(x) функц ба M цэг (a; f(a)) өгөгдөх ба f´(a) байгаа нь бас мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя өгсөн оноо. Энэ тэгшитгэл нь ординатын тэнхлэгтэй параллель биш аливаа шулуун шугамын тэгшитгэлийн нэгэн адил y = kx+m хэлбэртэй байна (y нь ka x нэмэх em-тэй тэнцүү) тул даалгавар нь -ийн утгыг олох явдал юм. k ба m коэффициентүүд (ка ба em)

Өнцгийн коэффициент k= f"(a). m-ийн утгыг тооцоолохдоо бид хүссэн шулуун шугам нь M(a; f (a)) цэгийг дайран өнгөрч байгааг ашигладаг. Энэ нь хэрэв бид координатуудыг орлуулах юм бол гэсэн үг юм. М цэгийг шулуун шугамын тэгшитгэлд оруулбал бид зөв тэгшитгэлийг олж авна: f(a) = ka+m, эндээс бид m = f(a) - ka гэдгийг олно.

Шулуун шугамын тэгшитгэлд ki ба m коэффициентүүдийн олсон утгыг орлуулах хэвээр байна.

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= е(а)+ е"(а) (x- а). ( y нь ef-ээс ef-тэй тэнцүү бөгөөд a-аас ef-ийн анхны тоо, x хасах a).

Бид x=a цэг дээрх y = f(x) функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хэрэв y = x 2 ба x = -2 (өөрөөр хэлбэл a = -2) гэж хэлбэл, f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, энэ нь f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 гэсэн утгатай. (тэгвэл a-ийн ef нь дөрөвтэй тэнцүү, анхны үеийн ef нь x нь хоёр х-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь 4-ээс ef анхны гэсэн утгатай)

Олсон утгыг a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахийг олж авна: y = 4+(-4)(x+2), өөрөөр хэлбэл y = -4х -4.

(E нь хасах дөрөв х хасах дөрөвтэй тэнцүү)

y=tanx функцийн (y нь x шүргэгчтэй тэнцүү) графикийн эхэнд шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Бидэнд: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , энэ нь f"(0) = l гэсэн утгатай. Олсон утгыг a=0, f(a)=0, f´(a) = 1-ийг тэгшитгэлд орлуулснаар бид: y=x болно.

Алгоритм ашиглан х цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олох алхмуудыг нэгтгэн дүгнэцгээе.

y = f(x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэлийг боловсруулах АЛГОРИТМ:

1) Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.

2) f(a)-г тооцоол.

3) f´(x)-г олоод f´(a)-г тооцоол.

4) Олдсон тоонуудыг a, f(a), f´(a) томъёонд орлуулна y= е(а)+ е"(а) (x- а).

Жишээ 1. y = - in функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл үүсгэ

цэг x = 1.

Шийдэл. Энэ жишээнд үүнийг харгалзан алгоритмыг ашиглацгаая

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Олсон гурван тоог томьёонд орлуулаарай: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Бид дараахийг авна: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Хариулт: y = x-2.

Жишээ 2. y = функц өгөгдсөн x 3 +3x 2 -2x-2. y = -2x +1 шулуунтай параллель y = f(x) функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шүргэдэг тэгшитгэл зохиох алгоритмыг ашиглан бид энэ жишээнд f(x) = гэдгийг харгалзан үзнэ. x 3 +3x 2 -2x-2, гэхдээ шүргэгч цэгийн абсциссыг энд заагаагүй.

Ингэж бодож эхэлцгээе. Хүссэн шүргэгч нь y = -2x+1 шулуун шугамтай параллель байх ёстой. Мөн зэрэгцээ шугамууд нь ижил өнцгийн коэффициенттэй байдаг. Энэ нь шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байна гэсэн үг: k тангенс. = -2. Хок кас. = f"(a). Тиймээс бид f ´(a) = -2 тэгшитгэлээс a-ийн утгыг олж болно.

Функцийн деривативыг олъё у=е(x):

е"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;е"(a)= 3a 2 +6a-2.

Тэгшитгэлээс f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 бид 1 =0, a 2 =-2-ыг олно. Бодлогын нөхцөлийг хангасан хоёр шүргэгч байна гэсэн үг: нэг нь абсцисса 0, нөгөө нь абсцисса -2 цэг дээр.

Одоо та алгоритмыг дагаж болно.

1) a 1 =0, ба 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Томъёонд a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Томъёонд a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 утгуудыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Хариулт: y=-2x-2, y=-2x+2.

Жишээ 3. (0; 3) цэгээс у = функцийн график руу шүргэгч зур. Шийдэл. Энэ жишээнд f(x) = гэдгийг харгалзан шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритмыг ашиглая. Энд жишээ 2-ын адил шүргэгч цэгийн абсциссыг тодорхой заагаагүй болохыг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч бид алгоритмыг дагаж мөрддөг.

1) x = a нь шүргэлтийн цэгийн абсцисса байх; a >0 гэдэг нь тодорхой байна.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = утгуудыг томъёонд орлуулах

y=f (a) +f "(a) (x-a), бид авах:

Нөхцөлөөр шүргэгч нь (0; 3) цэгээр дамждаг. Тэгшитгэлд x = 0, y = 3 утгыг орлуулснаар бид: 3 =, дараа нь =6, a =36 болно.

Таны харж байгаагаар энэ жишээн дээр зөвхөн алгоритмын дөрөв дэх алхам дээр бид шүргэгч цэгийн абсциссыг олж чадсан. Тэгшитгэлд a =36 утгыг орлуулбал: y=+3

Зураг дээр. Зураг 1-д авч үзсэн жишээний геометрийн дүрслэлийг үзүүлэв: y = функцийн графикийг байгуулж, y = +3 шулуун шугамыг зурав.

Хариулт: y = +3.

Х цэгт деривативтай y = f(x) функцийн хувьд ойролцоогоор тэгшитгэл хүчинтэй гэдгийг бид мэднэ: Δyf´(x)Δx (дельта y нь х-ийн eff анхны тоог дельта х-ээр үржүүлсэнтэй ойролцоогоор тэнцүү)

эсвэл илүү дэлгэрэнгүй авч үзвэл f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (х-ээс eff нэмэх дельта х-ээс ef-ийг хассан нь x-ийн дельта х-ийн ef анхны хэмжээтэй ойролцоогоор тэнцүү).

Цаашдын хэлэлцүүлэгт хялбар болгох үүднээс тэмдэглэгээг өөрчилье:

x-ийн оронд бид бичих болно А,

x+Δx-ийн оронд бид x бичнэ

Δx-ийн оронд бид x-a гэж бичнэ.

Дараа нь дээр бичсэн ойролцоо тэгш байдал нь дараах хэлбэртэй болно.

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (х-ийн eff нь ойролцоогоор ef-тэй тэнцүү байна. ef-ийн нэмэх нь a-аас ef-ийн анхны тоог x ба а-ын зөрүүгээр үржүүлсэн).

Жишээ 4. 2.003 6 тоон илэрхийллийн ойролцоо утгыг ол.

Шийдэл. y = x 6 функцийн утгыг х = 2.003 цэгээс олох тухай ярьж байна. Энэ жишээнд f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) гэдгийг харгалзан f(x)f(a)+f´(a)(x-a) томъёог ашиглая. = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5, тиймээс f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Үүний үр дүнд бид:

2.003 6 64+192· 0.003, i.e. 2.003 6 =64.576.

Хэрэв бид тооцоолуур ашиглавал дараахь зүйлийг авна.

2,003 6 = 64,5781643...

Таны харж байгаагаар ойролцоо нарийвчлалыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.