Гурвалжин гэдэг нь хавтгай дээр гурван цэг болон эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон гурван хэрчмээр хязгаарлагдсан анхны олон өнцөгт юм. Гурвалжин дахь өнцөг нь хурц, мохоо, зөв ​​байна. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр тасралтгүй бөгөөд 180 градустай тэнцүү.

Танд хэрэгтэй болно

• Геометр, тригонометрийн үндсэн мэдлэг.

Зааварчилгаа

1. Гурвалжны талуудын уртыг a=2, b=3, c=4, өнцөг нь аль нэг талынх нь эсрэг орших u, v, w гэж тэмдэглэе. Косинусын теоремын дагуу гурвалжны хажуугийн уртын квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнабусад 2 талын уртын квадратууд нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэрийг хоёр дахин хасна. Өөрөөр хэлбэл, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Энэ илэрхийлэлд талуудын уртыг орлуулаад: 4 = 9 + 16 – 24cos(u) болъё.

2. Үүссэн тэгшитгэлээс cos(u)-г илэрхийлье. Бид дараахыг авна: cos(u) = 7/8. Дараа нь бид бодит u өнцгийг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд arccos(7/8)-ийг тооцоолъё. Өөрөөр хэлбэл u = arccos(7/8) өнцөг.

3. Үүний нэгэн адил, бусад талуудыг бусад талаас нь илэрхийлэхэд бид үлдсэн өнцгүүдийг олдог.

Анхаар!
Нэг өнцгийн утга 180 градусаас хэтрэхгүй. arccos() тэмдэг нь 1-ээс их, -1-ээс бага тоог агуулж болохгүй.

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Гурван өнцгийг бүгдийг нь илрүүлэхийн тулд бүх гурван талыг илэрхийлэх шаардлагагүй, зөвхөн 2 өнцгийг илрүүлэхийг зөвшөөрдөг бөгөөд 180 градусаас үлдсэн 2-ын утгыг хасах замаар 3-ыг авна. Энэ нь гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр тасралтгүй бөгөөд 180 градустай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Талуудын урт (a, b, c) мэдэгдэж байгаа тул косинусын теоремыг ашиглана уу. Энэ нь аль нэг талын уртын квадрат нь нөгөө хоёр талын уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс ижил хоёр талын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар хоёр дахин үржүүлсэн үржвэртэй тэнцүү байна гэж заасан. хасагдсан байна. Та энэ теоремыг аль ч орой дээрх өнцгийг тооцоолоход ашиглаж болно, энэ нь зөвхөн талуудтай харьцуулахад түүний байршлыг мэдэх нь чухал юм. Жишээлбэл, b ба c талуудын хооронд байрлах α өнцгийг олохын тулд теоремыг дараах байдлаар бичих ёстой: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Хүссэн өнцгийн косинусыг cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c) томъёогоор илэрхийл. Тэгш байдлын хоёр талд косинусын урвуу функц - нуман косинусыг хэрэглэнэ. Энэ нь косинусын утгыг ашиглан өнцгийг градусаар сэргээх боломжийг олгоно: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Зүүн талыг хялбарчилж болох ба b ба c талуудын хоорондох өнцгийн тооцоо нь эцсийн хэлбэрийг авна: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн утгыг олохдоо бүх талын уртыг мэдэх нь хангалттай биш юм. Хэрэв эдгээр хоёр тал нь хөл (a ба b) байвал хүссэн өнцгийн (α) эсрэг талынх нь уртыг нөгөө талын уртаар хуваана. Ингэснээр та хүссэн өнцгийн шүргэгч утгыг авах болно tg(α) = a/b, урвуу функц - арктангенс - тэгш байдлын хоёр талд хэрэглэж, өмнөх алхамын адил зүүн талыг хялбарчлах замаар гаргана. эцсийн томъёо: α = arctan(a/b ).

Хэрэв мэдэгдэж буй талууд нь хөл (a) ба гипотенуз (c) бол эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцгийг (β) тооцоолохын тулд косинусын функц ба түүний урвуу - нуман косинусыг ашиглана. Косинусыг хөлний урт ба гипотенузын харьцаагаар тодорхойлдог бөгөөд томъёог эцсийн хэлбэрээр нь дараах байдлаар бичиж болно: β = arccos(a/c). Тооцоолохын тулд ижил анхны утгыг ашиглан хурц өнцөг (α) эсрэг талд байрладаг алдартай хөл, ижил хамаарлыг ашиглан арккосиныг арксиноор сольж: α = arcsin(a/c).

Эх сурвалжууд:

• 2 талтай гурвалжны томъёо

Зөвлөгөө 2: Гурвалжны өнцгийг талуудын уртаар нь хэрхэн олох вэ

Гурвалжны урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны бүх өнцгийн утгыг олох хэд хэдэн сонголт байдаг. намууд. Нэг арга бол талбайг тооцоолохдоо хоёр өөр томъёог ашиглах явдал юм гурвалжин. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд та синус теорем болон өнцгийн нийлбэр теоремыг ашиглаж болно. гурвалжин.

Зааварчилгаа

Жишээлбэл, талбайг тооцоолохдоо хоёр томъёог ашиглана уу гурвалжин, тэдгээрийн нэг нь түүний мэдэгдэж буй гуравхан хувийг хамардаг намуудс (Херон), нөгөөд нь хоёр намууд s ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус. Хоёрдахь томъёонд өөр хосуудыг ашиглах намууд, та өнцөг бүрийн хэмжээг тодорхойлж болно гурвалжин.

Асуудлыг дотор нь шийдээрэй ерөнхий үзэл. Хэроны томъёо нь талбайг тодорхойлдог гурвалжин, Хэрхэн Квадрат язгуурхагас периметрийн бүтээгдэхүүнээс (бүх тэн хагас нь намууд) хагас периметр ба тус бүрийн ялгаан дээр намууд. Хэрэв бид нийлбэрээр солих юм бол намууд, тэгвэл томъёог дараах хэлбэрээр бичиж болно: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C бусад намууд s талбай гурвалжинхоёрынх нь хагас үржвэрээр илэрхийлж болно намуудтэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар. Жишээ нь, төлөө намууд a ба b-ийн хооронд γ өнцөгтэй бол энэ томьёог дараах байдлаар бичиж болно: S=a∗b∗sin(γ). Тэгш байдлын зүүн талыг Хэроны томъёогоор солино: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Энэ тэгшитгэлээс томъёог гарга

Амьдралд бид ихэвчлэн математикийн асуудлуудтай тулгарах болно: сургууль, их сургуульд, дараа нь хүүхдээ төгсөхөд нь туслах. гэрийн даалгавар. Хүмүүс тодорхой мэргэжилМатематиктай өдөр бүр тааралдана. Тиймээс математикийн дүрмийг цээжлэх эсвэл эргэн санах нь ашигтай байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийн аль нэгийг шинжлэх болно: хөлийг олох зөв гурвалжин.

Тэгш өнцөгт гурвалжин гэж юу вэ

Эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин гэж юу болохыг санацгаая. Тэгш өнцөгт гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван сегментээс бүрдсэн геометрийн дүрс бөгөөд энэ зургийн нэг өнцөг нь 90 градус байна. Зөв өнцгийг бүрдүүлж буй талуудыг хөл гэж нэрлэдэг ба эсрэг талд байрладаг зөв өнцөг- гипотенуз.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг олох

Хөлний уртыг мэдэх хэд хэдэн арга байдаг. Би тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзэхийг хүсч байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талыг олох Пифагорын теорем

Хэрэв бид гипотенуз ба хөлийг мэддэг бол Пифагорын теоремыг ашиглан үл мэдэгдэх хөлний уртыг олох боломжтой. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна: "Гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна." Томъёо: c²=a²+b², энд c нь гипотенуз, a ба b нь хөл юм. Бид томъёог хувиргаж аваад: a²=c²-b².

Жишээ. Гипотенуз нь 5 см, хөл нь 3 см байна: c²=a²+b² → a²=c²-b². Дараа нь бид шийднэ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг олох тригонометрийн харьцаа

Тэгш өнцөгт гурвалжны өөр тал болон хурц өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол үл мэдэгдэх хөлийг олж болно. Тригонометрийн функцийг ашиглан хөлийг олох дөрвөн сонголт байдаг: синус, косинус, тангенс, котангенс. Доорх хүснэгт нь асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Эдгээр сонголтыг авч үзье.

Синусыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг ол

Өнцгийн синус (нүгэл) нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Томъёо: sin=a/c, энд a нь өгөгдсөн өнцгийн эсрэг талын хөл, c нь гипотенуз юм. Дараа нь бид томъёог хувиргаж, дараахийг авна: a=sin*c.

Жишээ. Гипотенуз нь 10 см, А өнцөг нь 30 градус байна. Хүснэгтийг ашиглан бид А өнцгийн синусыг тооцоолно, энэ нь 1/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь хувиргасан томъёог ашиглан бид шийднэ: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Косинусыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг ол

Өнцгийн косинус (cos) нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Томъёо: cos=b/c, b нь өгөгдсөн өнцгийн зэргэлдээх хөл, c нь гипотенуз юм. Томьёог хувиргаж аваад: b=cos*c.

Жишээ. А өнцөг нь 60 градустай тэнцүү, гипотенуз нь 10 см-тэй тэнцүү байна Хүснэгтийг ашиглан бид А өнцгийн косинусыг тооцоолно, энэ нь 1/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид шийднэ: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Шүргэгчийн тусламжтайгаар тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг ол

Өнцгийн тангенс (tg) нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Томъёо: tg=a/b, энд a нь өнцгийн эсрэг тал, b нь зэргэлдээ тал юм. Томьёог хувиргаж аваад: a=tg*b.

Жишээ. А өнцөг нь 45 градустай тэнцүү, гипотенуз нь 10 см-тэй тэнцүү Хүснэгтийг ашиглан бид А өнцгийн тангенсыг тооцоолно, Шийдэхтэй тэнцүү байна: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Котангенс ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг ол

Өнцгийн котангенс (ctg) нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм. Томъёо: ctg=b/a, энд b нь өнцгийн зэргэлдээх хөл бөгөөд эсрэг талын хөл юм. Өөрөөр хэлбэл котангенс нь "урвуу шүргэгч" юм. Бид дараахийг авна: b=ctg*a.

Жишээ. А өнцөг нь 30 градус, эсрэг талын хөл нь 5 см, хүснэгтээс харахад А өнцгийн тангенс √3 байна. Бид тооцоолно: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Тэгэхээр одоо та тэгш өнцөгт гурвалжинд хөлийг хэрхэн олохыг мэддэг болсон. Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч хэцүү биш, гол зүйл бол томъёог санах явдал юм.

Бодит байдал дээр тэгш өнцөгт гурвалжин бараг бүх өнцөгт байдаг. Өгөгдсөн дүрсийн шинж чанаруудын талаархи мэдлэг, түүний талбайг тооцоолох чадвар нь зөвхөн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд төдийгүй амьдралын нөхцөл байдалд ашигтай байх нь дамжиггүй.

Гурвалжингийн геометр

Анхан шатны геометрийн хувьд тэгш өнцөгт гурвалжин нь гурван өнцөг (хоёр хурц, нэг шулуун) үүсгэдэг гурван холбогдсон сегментээс бүрдэх дүрс юм. Зөв гурвалжин - анхны зураг, тригонометрийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг хэд хэдэн чухал шинж чанаруудаар тодорхойлогддог. Энгийн гурвалжингаас ялгаатай нь тэгш өнцөгт дүрсийн талууд нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг.

• Гипотенуз нь гурвалжны зөв өнцгийн эсрэг талын хамгийн урт тал юм.
• Хөл нь зөв өнцөг үүсгэдэг сегментүүд юм. Харгалзан үзэж буй өнцгөөс хамааран хөл нь түүний хажууд (гипотенузтай энэ өнцгийг үүсгэдэг) эсвэл эсрэг талд (өнцгийн эсрэг талд хэвтэж) байж болно. Тэгш бус гурвалжны хувьд хөл байхгүй.

Энэ нь тригонометрийн үндэс болох хөл ба гипотенузын харьцаа юм: синус, тангенс, секантыг тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаа гэж тодорхойлдог.

Бодит байдал дээр тэгш өнцөгт гурвалжин

Энэ тоо бодит байдал дээр өргөн тархсан. Гурвалжин нь дизайн, технологид ашиглагддаг тул зургийн талбайг тооцоолохдоо инженер, архитектор, дизайнерууд хийх ёстой. Тетраэдр буюу призмийн суурь нь өдөр тутмын амьдралд амархан тааралддаг гурван хэмжээст дүрсүүд нь гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Нэмж дурдахад квадрат нь бодит байдал дээр "хавтгай" тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн энгийн дүрслэл юм. Талбай нь металл боловсруулах, зураг зурах, барилгын болон мужааны хэрэгсэл, энэ нь сургуулийн сурагчид болон инженерүүдийн аль алиных нь өнцөг үүсгэхэд ашигладаг.

Гурвалжны талбай

Геометрийн дүрсийн талбай нь гурвалжны талуудтай хавтгайн хэр зэрэг хүрээлэгдсэнийг тоон тооцоолол юм. Энгийн гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор эсвэл бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн суурь, тал, өнцөг, радиус гэх мэт хувьсагчдыг ашиглан таван аргаар олж болно. Хамгийн энгийн томъёоталбайг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох томъёо нь бүр энгийн:

a ба b нь хөл юм.

Манай онлайн тооцоолууртай ажиллахдаа гурвалжны талбайг гурван хос параметрээр тооцоолж болно.

• хоёр хөл;
• хөл ба зэргэлдээх өнцөг;
• хөл ба эсрэг өнцөг.

Асуудал эсвэл өдөр тутмын нөхцөлд танд янз бүрийн хувьсагчдын хослолыг өгөх тул тооцоолуурын энэ хэлбэр нь гурвалжны талбайг хэд хэдэн аргаар тооцоолох боломжийг танд олгоно. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Бодит амьдралын жишээнүүд

Керамик хавтанцар

Та гал тогооны өрөөний ханыг цэгцлэхийг хүсч байна гэж бодъё. керамик хавтанцар, энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй. Хавтанцарын хэрэглээг тодорхойлохын тулд та нэг бүрээсийн элементийн талбай болон боловсруулагдаж буй гадаргуугийн нийт талбайг олж мэдэх хэрэгтэй. Та 7-г боловсруулах хэрэгтэй гэж бодъё метр квадрат. Нэг элементийн хөлний урт нь 19 см, хавтангийн талбай нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Энэ нь нэг элементийн талбай нь 24.5 квадрат сантиметр буюу 0.01805 хавтгай дөрвөлжин метр гэсэн үг юм. Эдгээр параметрүүдийг мэдэхийн тулд та 7 квадрат метр ханыг дуусгахын тулд 7 / 0.01805 = 387 нүүрний хавтангийн элемент хэрэгтэй болно гэдгийг тооцоолж болно.

Сургуулийн даалгавар

Сургуулийн геометрийн асуудалд та нэг хөлний тал нь 5 см, эсрэг талын өнцөг нь 30 градус гэдгийг мэдэж, тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй гэж үзье. Манай онлайн тооцоолуур нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба өнцгийг харуулсан зурагтай ирдэг. Хэрэв тал нь a = 5 см бол түүний эсрэг талын өнцөг нь альфа өнцөг бөгөөд 30 градустай тэнцүү байна. Энэ өгөгдлийг тооцоолуурын маягт руу оруулаад үр дүнг авна уу.

Тиймээс тооцоолуур нь өгөгдсөн гурвалжны талбайг тооцоолохоос гадна зэргэлдээх хөл ба гипотенузын урт, мөн хоёр дахь өнцгийн утгыг тодорхойлдог.

Дүгнэлт

Тэгш өнцөгт гурвалжнууд бидний амьдралын өнцөг булан бүрт байдаг. Ийм тоонуудын талбайг тодорхойлох нь зөвхөн геометрийн хичээлийн даалгаврыг шийдвэрлэхэд төдийгүй өдөр тутмын болон мэргэжлийн үйл ажиллагаанд тустай байх болно.

Түүнд бичсэн тойрог (r). Үүнийг хийхийн тулд үүнийг зургаа дахин нэмэгдүүлж, гурвын язгуурт хуваана: A = r*6/√3.

Радиусыг (R) мэдсэнээр та уртыг тооцоолж болно талууд(A) зөв гурвалжин. Энэ радиус нь өмнөх томьёоныхоос хоёр дахин их байгаа тул үүнийг гурав дахин нэмэгдүүлж, гурвын язгуурт хуваана: A = R*3/√3.

(P) тэгш талт гурвалжинтүүний уртыг тооцоол талууд(A) энэ зураг дээрх талуудын урт нь ижил тул илүү энгийн. Зүгээр л периметрийг гурав хуваана: A = P/3.

Адил өнцөгт гурвалжинд уртыг тооцоолж байна талуудмэдэгдэж байгаа периметрийн дагуу энэ нь арай илүү төвөгтэй байдаг - та мөн талуудын аль нэгнийх нь уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв урт нь мэдэгдэж байвал талуудЗургийн суурь дээр хэвтэж буй A, аль нэг талын (B) уртыг периметр (P) ба суурийн хэмжээ хоорондын зөрүүний хагаст ол: B = (P-A)/2. Хэрэв хажуу тал нь мэдэгдэж байгаа бол периметрээс хажуугийн уртыг хоёр дахин хасаж суурийн уртыг тодорхойлно: A = P-2 * B.

Хавтгай дээрх энгийн гурвалжны талбайг (S) мэдэх нь түүний уртыг олоход хангалттай. талууд(A). Талбайн харьцаа ба гурвын язгуурын квадрат язгуурыг аваад үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ: A = 2*√(S/√3).

Аль нэг талын уртыг тооцоолохын тулд бусад хоёр талын уртыг мэдэхэд хангалттай. Хэрэв шаардлагатай тал нь (C) бол үүнийг хийхийн тулд мэдэгдэж буй талуудын (A ба B) уртын квадрат язгуурыг ол, квадрат: C = √(A²+B²). Хэрэв та аль нэг хөлний уртыг тооцоолох шаардлагатай бол дөрвөлжин язгуурыг гипотенуз ба нөгөө хөлийн уртаас авах хэрэгтэй: A = √ (C²-B²).

Эх сурвалжууд:

• тэгш талт гурвалжны талыг хэрхэн тооцоолох

Ерөнхий тохиолдолд, i.e. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт эсэх талаар мэдээлэл байхгүй тохиолдолд ашиглах шаардлагатай болно. тригонометрийн функцуудтүүний талуудын уртыг тооцоолох. Тэдгээрийг хэрэглэх дүрмийг синус, косинус, тангенсийн теорем гэж нэрлэдэг теоремоор тодорхойлдог.

Зааварчилгаа

Дурын талын талуудын уртыг тооцоолох нэг арга гурвалжинсинусын теоремуудыг авч үздэг. Үүний дагуу тэдгээрийн эсрэг талын өнцгийн талуудын уртын харьцаа гурвалжинтэнцүү байна. Энэ нь асуудлын нөхцлөөс дор хаяж нэг тал ба зургийн орой дээрх хоёр өнцгийг мэддэг тохиолдолд талын уртын томъёог гаргаж авах боломжийг олгодог. Хэрэв эдгээр хоёр өнцгийн аль нь ч (α ба β) мэдэгдэж байгаа А тал ба тооцоолсон В талуудын хооронд ороогүй бол мэдэгдэж буй талын уртыг зэргэлдээ байгаа мэдэгдэж буй β өнцгийн синусаар үржүүлж, нөгөө талын синусаар хуваана. мэдэгдэж байгаа өнцөг a: B = A*sin( β)/sin(α).

Хэрэв мэдэгдэж буй хоёр (α ба γ) өнцгийн нэг (γ) нь -ээр үүсгэгдэж, тэдгээрийн аль нэгнийх нь урт (A) -д өгөгдсөн бол хоёр дахь (B)-ийг тооцоолох шаардлагатай бол ижил теоремыг хэрэглэнэ. Хэрэв бид гурвалжин дахь өнцгийн нийлбэрийн теоремыг эргэн санах юм бол өмнөх алхамд олж авсан томъёогоор шийдлийг багасгаж болно - энэ утга нь үргэлж 180 ° байна. β өнцөг нь томьёонд тодорхойгүй байгаа бөгөөд энэ теоремыг ашиглан мэдэгдэж буй хоёр өнцгийн утгыг 180 ° -аас хасах замаар тооцоолж болно. Энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулснаар та B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α) томъёог авна.