Зааварчилгаа

Тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг хөл нь мэдэгдэх болтугай. |BC| гэж бодъё = б. Дараа нь бид гипотенузын дагуу Пифагорын теоремыг ашиглаж болно нийлбэртэй тэнцүү байнахөлийн квадратууд: a^2 + b^2 = c^2. -аас өгөгдсөн тэгшитгэлүл мэдэгдэх талыг ол |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг өнцгийг мэдье, ∟α гэж үзье. Дараа нь тригонометрийн функцийг ашиглан ABC тэгш өнцөгт гурвалжны AB ба BC-ийг олж болно. Тиймээс бид олж авна: синус ∟α нь эсрэг талын sin α = b / c, косинус ∟α нь зэргэлдээ талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна cos α = a / c. Эндээс бид шаардлагатай хажуугийн уртыг олно: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * нүгэл α.

Хөлийн харьцаа k = a / b мэдэгдэж байг. Бид мөн тригонометрийн функцуудыг ашиглан асуудлыг шийддэг. a / b харьцаа нь котангенс ∟α-аас өөр зүйл биш юм: зэргэлдээ тал ctg α = a / b. Энэ тохиолдолд энэ тэгшитгэлээс бид a = b * ctg α-г илэрхийлнэ. Бид Пифагорын теоремд a^2 + b^2 = c^2-г орлуулна.

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Хаалтнаас b ^ 2-ыг аваад бид b ^ 2 * (ctg ^ 2 α + 1) = c ^ 2 болно. Эндээс бид хөлний уртыг хялбархан олж авна b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), энд k нь хөлний өгөгдсөн харьцаа юм.

Үүнтэй адилтгаж үзвэл b / a хөлний харьцаа мэдэгдэж байвал бид тангенс α = b / a ашиглан асуудлыг шийднэ. Бид b = a * tan α утгыг Пифагорын теорем a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2 болгон орлуулна. Эндээс a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), энд k нь хөлний өгөгдсөн харьцаа юм.

Онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

∟α = 30°. Дараа нь |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Дараа нь |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Сэдвийн талаархи видео

тэмдэглэл

Квадрат үндсийг эерэг тэмдгээр гаргаж авдаг, учир нь урт нь сөрөг байж болохгүй. Энэ нь ойлгомжтой мэт боловч хэрэв та асуудлыг автоматаар шийдвэл энэ алдаа маш их тохиолддог.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг олохын тулд багасгах томъёог ашиглах нь тохиромжтой: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Эх сурвалжууд:

• Тригонометрийн функцүүдийн утгыг олох Bradis хүснэгт

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг математикийн тригонометр гэж нэрлэдэг салбарт авч үздэг. Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг олохын тулд Пифагорын теорем, тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, тригонометрийн функцүүдийн утгыг олох зарим хэрэгсэл, тухайлбал тооцоолуур эсвэл Брадисын хүснэгттэй байхад хангалттай. Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг олох асуудлын үндсэн тохиолдлуудыг доор авч үзье.

Танд хэрэгтэй болно

• Тооны машин, Bradis хүснэгт.

Зааварчилгаа

Хэрэв танд хурц өнцөг, жишээлбэл, А ба гипотенузын аль нэгийг өгсөн бол хөлийг үндсэн тригонометрийн тодорхойлолтоос олж болно.

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Хэрэв цочмог өнцгүүдийн аль нэг нь, жишээлбэл, А, нэг хөл, жишээлбэл, а өгөгдсөн бол гипотенуз ба нөгөө хөлийг дараах харьцаагаар тооцоолно: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв та тооцоолоход шаардлагатай аль нэг өнцгийн синус эсвэл косинусын утгыг мэдэхгүй байгаа тохиолдолд та Брадисын хүснэгтийг ашиглаж болно, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг өгдөг. их тообулангууд Нэмж дурдахад орчин үеийн ихэнх тооны машинууд өнцгийн синус ба косинусыг тооцоолох чадвартай байдаг.

Эх сурвалжууд:

• 2019 онд тэгш өнцөгт гурвалжны талыг хэрхэн тооцоолох

Зөвлөгөө 3: Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг мэддэг бол өнцгийг хэрхэн олох вэ

Tre дөрвөлжин, нэг өнцөг нь зөв (90°-тай тэнцүү) тэгш өнцөгт гэж нэрлэгддэг. Түүний хамгийн урт тал нь үргэлж зөв өнцгийн эсрэг байрладаг бөгөөд гипотенуз, нөгөө хоёрыг нь нэрлэдэг талуудхөл гэж нэрлэдэг. Хэрэв эдгээр гурван талын уртыг мэддэг бол гурвын бүх өнцгийн утгыг ол дөрвөлжинбөгөөд энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно, учир нь та зөвхөн нэг өнцгийг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг хийх хэд хэдэн арга байдаг.

Зааварчилгаа

Тэгш өнцөгт гурвалжингаар дамжуулан тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтуудын хэмжигдэхүүнийг (α, β, γ) тооцоолоход ашиглана. Жишээлбэл, хурц өнцгийн синусын хувьд эсрэг талын хөлний уртыг гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаагаар илэрхийлнэ. Энэ нь хэрэв хөлний урт (А ба В) ба гипотенуз (C) байвал уртыг хуваах замаар жишээлбэл, А хөлний эсрэг байрлах α өнцгийн синусыг олох боломжтой гэсэн үг юм. талуудМөн уртын хувьд талууд C (гипотенуз): sin(α)=A/C. Энэ өнцгийн синусын утгыг олж мэдсэний дараа та түүний утгыг синусын урвуу функц - арксиныг ашиглан градусаар олох боломжтой. Энэ нь α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Үүнтэй адилаар та гурвалжин дахь хурц өнцгийн хэмжээг олж болно. дөрвөлжинТийм ээ, гэхдээ энэ шаардлагагүй. Бүх өнцгүүдийн нийлбэр нь гурван тул дөрвөлжин a нь 180°, гурваар дөрвөлжинХэрэв өнцгүүдийн аль нэг нь 90 ° бол гурав дахь өнцгийн утгыг 90 ° ба олсон өнцгийн утгын зөрүүгээр тооцоолж болно: β=180°-90°-α=90°-α.

Синусыг тодорхойлохын оронд та хурц өнцгийн косинусын тодорхойлолтыг ашиглаж болох бөгөөд үүнийг хүссэн өнцөгтэй зэргэлдээх хөлний уртыг гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаагаар томъёолсон: cos(α)=B/. C. Энд эсрэгээр нь ашиглана уу тригонометрийн функц(arccosine) өнцгийг градусаар олохын тулд: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Үүний дараа өмнөх алхамын адил алга болсон өнцгийн утгыг олох л үлдлээ: β=90°-α.

Та ижил төстэй шүргэгчийг ашиглаж болно - энэ нь хүссэн өнцгийн эсрэг талын хөлний уртыг зэргэлдээх хөлний урттай харьцуулсан харьцаагаар илэрхийлэгдэнэ: tan(α)=A/B. Дахин хэлэхэд урвуу тригонометрийн функцийг ашиглан өнцгийг градусаар тодорхойлно -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Алга болсон өнцгийн томъёо өөрчлөгдөхгүй: β=90°-α.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 4: Тэгш өнцөгт гурвалжны хажуугийн уртыг хэрхэн олох вэ

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь зөв байвал түүнийг тэгш өнцөгт гэж үзнэ. Хажуу тал гурвалжинзөв өнцгийн эсрэг талд байрлах гипотенуз гэж нэрлэдэг ба нөгөө хоёр талууд- хөл. Тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг олох гурвалжин, та хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.

Зааварчилгаа

Та гурав дахь зүйлийг олж мэдэх боломжтой талууд, нөгөө хоёр талын уртыг мэдэх гурвалжин. Үүнийг тэгш өнцөгтийн квадрат гэж заасан Пифагорын теоремыг ашиглан хийж болно. гурвалжинтүүний хөлний квадратуудын нийлбэр. (a² = b²+ c²). Эндээс бид тэгш өнцөгтийн бүх талын уртыг илэрхийлж болно гурвалжин:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Жишээлбэл, тэгш өнцөгтийн хувьд гурвалжинГипотенузын урт a (18 см) ба нэг хөл, жишээлбэл c (14 см) мэдэгдэж байна. руу уртНөгөө талаас та 2 алгебрийн үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Хариулт: хөлний урт √128 см буюу ойролцоогоор 11.3 см

Хэрэв та гипотенузын урт ба өгөгдсөн тэгш өнцөгтийн хурц цэгүүдийн аль нэгний хэмжээг мэдэж байвал та хандаж болно. гурвалжин. Урт нь c, хурц өнцгүүдийн аль нэг нь α-тай тэнцүү байг. Энэ тохиолдолд өөр 2-ыг олоорой талуудтэгш өнцөгт гурвалжиндараах томъёог ашиглан боломжтой болно.
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Та өгч болно: гипотенузын урт нь 15 см, хурц өнцгүүдийн нэг нь 30 градус байна. Нөгөө хоёр талын уртыг олохын тулд та 2 алхам хийх хэрэгтэй.
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (ойролцоогоор)

Хайх хамгийн энгийн бус арга урт талуудтэгш өнцөгт гурвалжин- өгөгдсөн дүрсийн периметрээс үүнийг илэрхийлэх нь:
P = a + b + c, P нь тэгш өнцөгтийн периметр юм гурвалжин. Энэ илэрхийллээс илэрхийлэхэд хялбар байдаг урттэгш өнцөгтийн аль ч тал гурвалжин.

Зөвлөгөө 5: Бүх талыг нь мэдэж байгаа тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийг хэрхэн олох вэ

Гурван талын шууд мэдлэг нүүрсгурвалжин нь түүний аль нэг өнцгийг тооцоолоход хангалттай. Тригонометрийн функцийг хамгийн сайн ашиглахын тулд тооцоололд аль талыг ашиглахаа сонгох боломжтой маш их мэдээлэл байдаг.

Зааварчилгаа

Хэрэв та арксинустай харьцахыг илүүд үздэг бол гипотенузын уртыг (C) - хамгийн уртыг ашиглана уу талууд- мөн хүссэн өнцгийн (α) эсрэг талд байрлах хөл (A). Энэ хөлний уртыг гипотенузын уртад хуваах нь хүссэн өнцгийн синусын утгыг өгөх ба үр дүнгийн утгаас синусын урвуу функц - арксинус - дахь өнцгийн утгыг сэргээх болно. Иймд тооцоололдоо дараахыг ашиглана уу: α = arcsin(A/C).

Арксиныг арккосиноор солихын тулд хүссэн өнцгийг (α) үүсгэсэн талуудын уртын тооцоог ашиглана. Тэдний нэг нь гипотенуз (C), нөгөө нь хөл (B) байх болно. Тодорхойлолтоор косинус нь гипотенузын урттай өнцөгтэй зэргэлдээх хөлний урт бөгөөд косинусын утгаас өнцөг нь нумын косинусын функц юм. Дараах тооцооны томъёог ашиглана уу: α = arccos(B/C).

Тооцоололд ашиглах боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд танд хоёр богино талын урт хэрэгтэй - хөл. Шулуун шугамын хурц өнцгийн (α) тангенс нүүрсгурвалжин нь түүний эсрэг талд байрлах хөлний уртыг (A) зэргэлдээх хөлний урттай (B) харьцаагаар тодорхойлно. Дээр дурдсан сонголтуудтай адилтгаж дараах томъёог ашиглана: α = arktan(A/B).

Томъёо

Аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Хэд хэдэн төрлийн гурвалжин байдаг. Зарим нь бүх хурц өнцөгтэй, зарим нь нэг мохоо, хоёр хурц өнцөгтэй, бусад нь хоёр хурц, нэг шулуунтай. Үүний үндсэн дээр эдгээр геометрийн хэлбэр бүрийг хурц өнцөгт, мохоо өнцөгт, тэгш өнцөгт гэж нэрлэжээ. Өөрөөр хэлбэл аль нэг өнцөг нь 90° байх гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Эхнийхтэй төстэй өөр нэг зүйл бий. Хоёр тал нь перпендикуляр гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ.

Гипотенуз ба хөл

Хурц өнцөгт ба мохоо гурвалжинөнцгүүдийн оройг холбосон сегментүүдийг зүгээр л талууд гэж нэрлэдэг. Хажуу тал нь өөр нэртэй байдаг. Зэргэлдээ байгаа хүмүүс зөв өнцөг, хөл гэж нэрлэдэг. Зөв өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг. Грек хэлнээс орчуулбал "гипотенуз" гэдэг нь "хатуу", "катет" нь "перпендикуляр" гэсэн утгатай.

Гипотенуз ба хөлний хоорондын хамаарал

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд нь тодорхой харилцаа холбоогоор холбогддог бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчилдөг. Жишээлбэл, хөлний хэмжээсийг мэдсэнээр та гипотенузын уртыг тооцоолж болно. Үүнийг нээсэн хүний ​​нэрээр нэрлэгдсэн энэхүү харилцааг Пифагорын теорем гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдалтай байна.

c2=a2+b2, энд c нь гипотенуз, a ба b хөл. Өөрөөр хэлбэл, гипотенуз нь хөлний квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байх болно. Аль нэг хөлийг олохын тулд гипотенузын квадратаас нөгөө хөлийн квадратыг хасч, үүссэн зөрүүгээс квадрат язгуурыг авахад хангалттай.

Зэргэлдээ болон эсрэг талын хөл

DIA тэгш өнцөгт гурвалжинг зур. С үсэг нь ихэвчлэн зөв өнцгийн оройг, A ба B - хурц өнцгийн оройг илэрхийлдэг. a, b, c өнцөг бүрийн эсрэг талын талуудыг тэдгээрийн эсрэг талын өнцгүүдийн нэрсийн дараа нэрлэх нь тохиромжтой. А өнцгийг авч үзье. a хөл нь түүний эсрэг, b хөл нь зэргэлдээ байх болно. Эсрэг талын гипотенузын харьцааг нэрлэдэг. Энэхүү тригонометрийн функцийг sinA=a/c томъёогоор тооцоолж болно. Зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцааг косинус гэж нэрлэдэг. Үүнийг cosA=b/c томъёогоор тооцоолно.

Тиймээс аль нэг талын өнцөг болон өнцгийг мэдэж байгаа тул та эдгээр томъёог ашиглан нөгөө талыг тооцоолж болно. Хоёр тал нь мөн тригонометрийн харьцаагаар холбогддог. Эсрэг талынх нь зэргэлдээх харьцааг шүргэгч, зэргэлдээх нь эсрэг талын харьцааг котангенс гэнэ. Эдгээр хамаарлыг tgA=a/b эсвэл ctgA=b/a томъёогоор илэрхийлж болно.

Гурвалжны олон төрөл байдаг: эерэг, тэгш өнцөгт, цочмог гэх мэт. Тэд бүгдээрээ зөвхөн өөрт тохирсон сонгодог шинж чанаруудтай бөгөөд тус бүр нь хажуу тал эсвэл суурь дээр өнцөг гэх мэт хэмжигдэхүүнийг олох өөрийн гэсэн дүрэмтэй байдаг. Гэхдээ эдгээр геометрийн дүрсүүдийн төрөл бүрээс тэгш өнцөгт гурвалжинг тусдаа бүлэг болгон ялгаж салгаж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• Гурвалжны бүдүүвч дүрслэлд зориулсан хоосон хуудас, харандаа, захирагч.

Зааварчилгаа

1. Гурвалжны нэг өнцөг нь 90 градус байвал тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ нь 2 хөл, гипотенузаас бүрдэнэ. Гипотенуз нь энэ гурвалжны хамгийн том тал юм. Энэ нь зөв өнцгөөс эсрэгээрээ хэвтэж байна. Үүний дагуу хөлийг түүний жижиг талууд гэж нэрлэдэг. Тэд хоорондоо тэнцүү эсвэл өөр өөр хэмжээтэй байж болно. Хөлний тэгш байдал нь тэгш өнцөгт гурвалжинтай ажиллаж байна гэсэн үг юм. Түүний гоо үзэсгэлэн нь тэгш өнцөгт гурвалжин ба тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн хоёр дүрсийн шинж чанарыг хослуулсан явдал юм. Хэрэв хөл нь тэнцүү биш бол гурвалжин нь дур зоргоороо бөгөөд үндсэн хуулийг дагаж мөрддөг: өнцөг нь том байх тусам түүний эсрэг талд байрлах нь илүү том болно.

2. Гипотенузыг хөл, өнцгөөр олох хэд хэдэн арга байдаг. Гэхдээ тэдгээрийн аль нэгийг ашиглахаасаа өмнө аль хөл, өнцөг нь мэдэгдэж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. Хэрэв өнцөг ба түүнтэй зэргэлдээх хөлийг өгвөл өнцгийн косинусыг харахад гипотенузыг илрүүлэхэд хялбар болно. Хурц өнцгийн косинус (cos a) in зөв гурвалжинзэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа гэж нэрлэдэг. Үүнээс үзэхэд гипотенуз (c) нь зэргэлдээх хөл (b)-ийн а өнцгийн косинустай (cos a) харьцаатай тэнцүү байх болно. Үүнийг ингэж бичиж болно: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Хэрэв өнцөг ба эсрэг талын хөл өгөгдсөн бол та синустай ажиллах хэрэгтэй. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус (sin a) нь эсрэг талын (a) гипотенуз (c)-ийн харьцаа юм. Энд байгаа дипломын ажил нь өмнөх жишээн дээрх шиг ажилладаг бөгөөд зөвхөн косинусын функцийн оронд синусыг авдаг. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Та мөн шүргэгч гэх мэт тригонометрийн функцийг ашиглаж болно. Гэхдээ хүссэн утгыг олох нь арай илүү хэцүү болно. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс (tg a) нь эсрэг талын (a) хөлийн зэргэлдээх хөлтэй (b) харьцаа юм. Хоёр хөлийг олж мэдсэнийхээ дараа Пифагорын теоремыг ашиглавал (гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү) гурвалжны асар том тал нээгдэнэ.

Гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг байрлах тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм. Түүний уртыг тооцоолохын тулд нэг хөлний урт, гурвалжны хурц өнцгийн аль нэгний хэмжээг мэдэхэд хангалттай.

Зааварчилгаа

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэргүүлэгч хөл ба хурц өнцөгтэй бол гипотенузын хэмжээ нь хөлийг энэ өнцгийн косинус/синустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байж болно, хэрэв энэ өнцөг нь түүний эсрэг/зэргэлдээ байвал: h = C1 ( эсвэл C2)/sin? h = C1 (эсвэл C2 )/cos?.Жишээ нь: АВ-ийн гипотенузтай тэгш өнцөгт C өнцөгтийг 60 градус, А өнцөгийг өгье BC хөлийн урт нь 8 см. Бид AB гипотенузын уртыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та дээр дурдсан аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно: AB = BC/cos60 = AB = BC/sin30 = 8 см.

Үг" хөл" Аас гаралтай Грек үгс"Перпендикуляр" эсвэл "чавга" - энэ нь ерэн градусын өнцгийг бүрдүүлдэг тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг яагаад ингэж нэрлэдэг болохыг тайлбарладаг. Тус бүрийн уртыг ол хөлХэрэв та түүнтэй зэргэлдээх өнцгийн утга болон бусад параметрүүдийг мэдэх нь тийм ч хэцүү биш, учир нь энэ тохиолдолд бүх 3 өнцгийн утгууд тодорхой болно.

Зааварчилгаа

1. Хэрэв зэргэлдээх өнцгийн (β) утгаас гадна секундын урт хөл a (b), дараа нь урт хөлба (а) алдартай уртын коэффициент гэж тодорхойлж болно хөлба хүссэн өнцгийн тангенсийн хувьд: a=b/tg(β). Энэ нь энэхүү тригонометрийн функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Хэрэв та синусын теоремыг ашиглавал шүргэгчгүйгээр хийж болно. Үүнээс үзэхэд хүссэн талын уртыг эсрэг талын өнцгийн синустай харьцуулсан харьцаа нь хүссэн талын уртын харьцаатай тэнцүү байна. хөлмөн алдартай өнцгийн синус руу. Хүссэн зүйлийн эсрэг хөл y хурц өнцгийг алдартай өнцгөөр 180°-90°-β = 90°-β гэж илэрхийлж болно, учир нь аливаа гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180° байх ёстой ба тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхойлолтоор түүний нэг нь. өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү байна. Энэ нь хүссэн урт гэсэн үг юм хөлбөгөөд a=sin(90°-β)∗b/sin(β) томъёогоор тооцоолж болно.

2. Хэрэв зэргэлдээх өнцгийн утга (β) ба гипотенузын урт (c) мэдэгдэж байвал урт хөлба (а) гипотенузын урт ба алдартай өнцгийн косинусын үржвэрээр тооцоолж болно: a=c∗cos(β). Энэ нь косинусыг тригонометрийн функц гэж тодорхойлсоноос үүдэлтэй. Гэхдээ та өмнөх алхам шиг синусын теорем, дараа нь хүссэн уртыг ашиглаж болно хөл a нь 90° ба жишиг өнцгийн хоорондох зөрүүний синусын үржвэр ба гипотенузын уртыг зөв өнцгийн синустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Мөн 90°-ын синус нэгтэй тэнцүү тул томъёог дараах байдлаар бичиж болно: a=sin(90°-β)∗c.

3. Бодит тооцооллыг Windows үйлдлийн системд багтсан програм хангамжийн тооцоолуур ашиглан хийж болно. Үүнийг эхлүүлэхийн тулд та "Эхлүүлэх" товчлуурын үндсэн цэсний "Ажиллуулах" хэсгийг сонгоод calc командыг бичээд "OK" товчийг дарна уу. Анхдагчаар нээгддэг энэ програмын интерфэйсийн хамгийн энгийн хувилбарт тригонометрийн функцууд байхгүй тул үүнийг ажиллуулсны дараа цэсний "Харах" хэсгийг дарж "Эрдэмтэн" эсвэл "Инженер" гэсэн мөрийг сонгох хэрэгтэй. (ашигласан үйлдлийн системийн хувилбараас хамаарч).

Сэдвийн талаархи видео

"Катет" гэдэг үг Орос хэлэнд Грек хэлнээс гаралтай. Яг орчуулбал энэ нь дэлхийн гадаргуутай перпендикуляр шугам гэсэн үг юм. Математикийн хувьд хөл нь тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцөг үүсгэдэг талууд юм. Энэ өнцгийн эсрэг талын талыг гипотенуз гэж нэрлэдэг. Архитектур, тусгай гагнуурын технологид "хөл" гэсэн нэр томъёог бас ашигладаг.

DIA тэгш өнцөгт гурвалжинг зур. Түүний хөлийг a, b, гипотенузыг в гэж тэмдэглэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжны бүх тал ба өнцгүүд хоорондоо тодорхой харилцаа холбоогоор холбогддог. Цочмог өнцгүүдийн аль нэгний эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцааг энэ өнцгийн синус гэнэ. Энэ гурвалжинд sinCAB=a/c. Косинус нь зэргэлдээх хөлний гипотенузтай харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл cosCAB=b/c. Урвуу хамаарлыг секант ба косекант гэж нэрлэнэ. Өгөгдсөн өнцгийн секант нь гипотенузыг зэргэлдээх хөлөөр хуваах замаар олно, өөрөөр хэлбэл secCAB = c/b. Үр дүн нь косинусын эсрэг утгатай, өөрөөр хэлбэл secCAB=1/cosSAB томъёогоор илэрхийлж болно. Косекант нь гипотенузын эсрэг талдаа хуваагдсантай тэнцүү бөгөөд синусын эсрэг тал юм. Үүнийг cosecCAB = 1/sinCAB томъёогоор тооцоолж болно. Хоёр хөл нь тангенс ба котангенсаар бие биенээсээ хамааралтай. Энэ тохиолдолд шүргэгч нь а тал ба b тал, өөрөөр хэлбэл зэргэлдээ талын эсрэг тал байх болно. Энэ хамаарлыг tgCAB=a/b томъёогоор илэрхийлж болно. Үүний дагуу урвуу харьцаа нь котангенс болно: ctgCAB=b/a. Гипотенуз ба хоёр хөлний хэмжээ хоорондын хамаарлыг эртний Грекийн математикч Пифагор тодорхойлсон байдаг. Түүний нэрээр нэрлэгдсэн теоремыг хүмүүс өнөөг хүртэл ашигладаг. Гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл c2 = a2 + b2 гэж хэлдэг. Үүний дагуу хөл бүр нь гипотенуз ба нөгөө хөлийн квадратуудын ялгааны квадрат язгууртай тэнцүү байх болно. Энэ томьёог b=?(c2-a2) гэж бичиж болно. Хөлний уртыг мөн сайн мэддэг харилцаагаар илэрхийлж болно. Синус ба косинусын теоремуудын дагуу хөл нь гипотенуз ба эдгээр функцүүдийн аль нэгний үржвэртэй тэнцүү байна. Үүнийг мөн шүргэгч эсвэл котангенсаар илэрхийлж болно. A хөлийг a = b*tan CAB томьёог ашиглан олж болно. Үүнтэй адилаар өгөгдсөн тангенс эсвэл котангенсаас хамааран 2-р хөлийг архитектурт "хөл" гэсэн нэр томъёог ашигладаг. Энэ нь ионы нийслэлтэй холбоотой хэрэглэгддэг бөгөөд нурууны дундах шугамыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд энэ нэр томъёо нь өгөгдсөн шугамын перпендикулярыг илэрхийлдэг. Гагнуурын тусгай технологид "булангийн гагнуурын хөл" гэсэн ойлголт байдаг. Бусад тохиолдлын нэгэн адил энэ нь хамгийн богино зай юм. Энд бид өөр хэсгийн гадаргуу дээр байрлах давхаргын хил хүртэл гагнаж байгаа хэсгүүдийн аль нэгний хоорондох завсарын тухай ярьж байна.

Сэдвийн талаархи видео

Анхаар!
Пифагорын теоремтой ажиллахдаа та эрдмийн зэрэгтэй харьцаж байгаагаа санаарай. Хөлний квадратуудын нийлбэрийг олж мэдсэний дараа эцсийн үр дүнд хүрэхийн тулд та квадрат үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй.

Тэгш өнцөг үүсгэсэн тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг хөл гэж нэрлэдэг. Зөв өнцгийн эсрэг талын гурвалжны хамгийн урт талыг гипотенуз гэнэ. Гипотенузыг илрүүлэхийн тулд хөлний уртыг мэдэх хэрэгтэй.

Зааварчилгаа

1. Хөл ба гипотенузын урт нь Пифагорын теоремоор тодорхойлсон хамаарлаар холбогддог. Алгебрийн томъёолол: "Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна." Пифагорын томъёо дараах байдалтай байна: c2 = a2 + b2 гипотенузын урт, a ба b нь хөлний урт юм.

2. Пифагорын теоремын дагуу хөлний уртыг мэдэх нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг олох боломжтой: c = ?(a2 + b2).

3. Жишээ. Нэг хөлийн урт 3 см, нөгөө хөлийн урт 4 см квадратуудын нийлбэр 25 см?: 9 см? + 16 см? = 25 см?.Манай тохиолдолд гипотенузын урт нь 25 см-ийн квадрат язгууртай тэнцүү вэ? – 5 см Тиймээс гипотенузын урт 5 см байна.

Гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг байрлах тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм. Түүний уртыг тооцоолохын тулд нэг хөлний урт, гурвалжны хурц өнцгийн аль нэгний хэмжээг мэдэхэд хангалттай.

Зааварчилгаа

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны алдартай хөл ба хурц өнцгийн хувьд гипотенузын хэмжээ нь хөлийг энэ өнцгийн косинус/синустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байж болно, хэрэв энэ өнцөг нь түүний эсрэг/зэргэлдээ байвал: h = C1 (эсвэл C2)/sin?; h = C1 (эсвэл C2 )/cos?.Жишээ нь: АВ гипотенузтай тэгш өнцөгт C өнцөгтийг 60 градус, урт нь А өнцөг гэж өгье хөлийн BC нь 8 см байна. Бид AB гипотенузын уртыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та дээр дурдсан аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно: AB = BC/cos60 = AB = BC/sin30 = 8 см.

Гипотенуз бол тэгш өнцөгтийн хамгийн урт тал юм гурвалжин. Энэ нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрладаг. Тэгш өнцөгтийн гипотенузыг олох арга гурвалжинтаны анхны өгөгдөл байгаа эсэхээс хамаарна.

Зааварчилгаа

1. Хэрэв бид тэгш өнцөгт хөлтэй бол гурвалжин, дараа нь тэгш өнцөгтийн гипотенузын урт гурвалжинПифагорын теоремын тусламжтайгаар олж болно - гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: c2 = a2 + b2, энд a ба b нь хөлний урт юм. тэгш өнцөгт хэлбэртэй гурвалжин .

2. Хэрэв бид аль нэг хөл ба хурц өнцгийг зурвал гипотенузыг олох томьёо нь хөдөлж буй хөлтэй харьцуулахад аль өнцөг нь зэргэлдээ (хөлний ойролцоо байрладаг) эсвэл эсрэг (эсрэг талд нь байрладаг) байгаагаас хамаарна. зэргэлдээ өнцөг, гипотенуз нь энэ өнцгийн косинустай хөлийн харьцаатай тэнцүү байна: c = a/cos? E нь эсрэг өнцөг, гипотенуз нь хөлийн синустай тэнцүү байна: c = a/sin?.

Сэдвийн талаархи видео

Гипотенуз нь тэгш өнцөгтийн эсрэг байрлах тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм. Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал юм. Үүнийг Пифагорын теорем эсвэл тригонометрийн функцүүдийн томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

1. Тэгш өнцөгттэй зэргэлдээ орших тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг хөл гэж нэрлэдэг. Зураг дээр хөлийг AB ба BC гэж тодорхойлсон. Хоёр хөлний уртыг өгье. Тэдгээрийг |AB| гэж тэмдэглэе болон |BC|. Гипотенузын |AC|-ийн уртыг олохын тулд бид Пифагорын теоремыг ашиглана. Энэ теоремын дагуу хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. манай зургийн тэмдэглэгээнд |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Томъёогоор бид гипотенузын АС-ийн уртыг |AC| гэж олдог = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Нэг жишээ авч үзье. Хөлийн уртыг |AB| гэж өг. = 13, |BC| = 21. Пифагорын теоремоор бид |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Гипотенузын уртыг олохын тулд нийлбэрийн квадрат язгуурыг авах шаардлагатай. хөлний квадратуудын, өөрөөр хэлбэл. 610 дугаараас: |AC| =?610. Бүхэл тооны квадратуудын хүснэгтийг ашигласнаар 610 тоо нь ямар ч бүхэл тооны төгс квадрат биш болохыг олж мэдэв. Гипотенузын уртын эцсийн утгыг олж авахын тулд язгуур тэмдгийн доороос бүтэн квадратыг шилжүүлэхийг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд 610 тоог үржвэрлэе. 610 = 2 * 5 * 61. Команд тоонуудын хүснэгтийг харахад 61 бол анхдагч тоо гэдгийг бид харж байна. Улмаар дараа нь?610 гэсэн тоог цөөрүүлсэн нь бодит байдалд нийцэхгүй байна. Бид эцсийн үр дүнг авдаг |AC| = ?610 Хэрэв гипотенузын квадрат нь жишээлбэл, 675-тай тэнцүү байсан бол?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Хэрэв ижил төстэй бууралтыг зөвшөөрвөл урвуу шалгалтыг хийнэ - нийт дүнг квадрат болгож, анхны утгатай харьцуулна.

3. Нэг хөл болон түүний хажуугийн өнцгийг бидэнд мэдэгдээрэй. Тодорхой болгохын тулд эдгээр нь |AB| тал байг болон өнцөг?. Дараа нь бид косинусын тригонометрийн функцийн томъёог ашиглаж болно - өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийн гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна. Тэдгээр. бидний тэмдэглэгээнд учир нь ? = |AB| / |AC|. Эндээс бид гипотенузын уртыг |AC| авна = |AB| / cos ?.Хэрэв бид талыг нь мэддэг бол |BC| ба өнцөг?, тэгвэл бид өнцгийн синусыг тооцоолох томъёог ашиглана - өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна: нүгэл? = |BC| / |AC|. Гипотенузын урт нь |AC| гэдгийг бид олж мэдэв = |BC| /cos?.

4. Тодорхой болгохын тулд жишээг авч үзье. Хөлийн уртыг |AB| гэж өгье. = 15. Мөн өнцөг? = 60°. Бид |AC|-г авна = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. Пифагорын теоремыг ашиглан үр дүнгээ хэрхэн шалгахыг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр дахь хөлийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй |BC|. tg өнцгийн тангенсийн томъёог ашиглаж байна уу? = |BC| / |AC|, бид |BC|-г авна = |AB| *tg? = 15 * бор 60° = 15 * ?3. Дараа нь бид Пифагорын теоремыг ашигласнаар 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 болно. Шалгалт дууссан.

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Гипотенузыг тооцоолсны дараа гарсан утга нь Пифагорын теоремыг хангаж байгаа эсэхийг шалгана.

Зааварчилгаа

Хэрэв та Пифагорын теоремыг ашиглан тооцоолох шаардлагатай бол дараах алгоритмыг ашиглана уу: - Гурвалжинд аль тал нь хөл, аль нь гипотенуз болохыг тодорхойлно. Ерэн градусын өнцөг үүсгэсэн хоёр тал нь хөл, үлдсэн гуравны нэг нь гипотенуз юм. (см) - Энэ гурвалжны хөл бүрийг хоёр дахь зэрэгт өргөх, өөрөөр хэлбэл өөрөө үржүүлэх. Жишээ 1. Гурвалжны нэг хөл нь 12 см, нөгөө нь 5 см бол гипотенузыг тооцоолох шаардлагатай гэж үзье. Нэгдүгээрт, хөлний квадратууд нь тэнцүү: 12 * 12 = 144 см, 5 * 5 = 25 см. Дараа нь хөлний квадратуудын нийлбэрийг тодорхойлно. Тодорхой тоо байна гипотенуз, олохын тулд та тооны хоёр дахь хүчийг арилгах хэрэгтэй уртгурвалжны энэ тал. Үүнийг хийхийн тулд доороос нь салга квадрат язгуурхөлийн квадратуудын нийлбэрийн утга. Жишээ 1. 144+25=169. 169-ийн квадрат язгуур нь 13. Тиймээс энэ урт гипотенуз 13 см-тэй тэнцүү.

Уртыг тооцоолох өөр нэг арга гипотенузгурвалжин дахь синус ба өнцгийн нэр томъёонд оршдог. Тодорхойлолтоор: альфа өнцгийн синус - гипотенузын эсрэг талын хөл. Энэ нь зургийг харахад sin a = CB / AB байна. Эндээс гипотенуз AB = CB / sin a Жишээ 2. Өнцөг нь 30 градус, эсрэг тал нь 4 см байх ёстой. Шийдэл: AB = 4 см / нүгэл 30 = 4 см / 0.5 = 8 см Хариулт: урт гипотенуз 8 см-тэй тэнцүү.

Үүнтэй төстэй олох арга гипотенузөнцгийн косинусын тодорхойлолтоос. Өнцгийн косинус нь түүнтэй зэргэлдээх талын харьцаа ба гипотенуз. Энэ нь cos a = AC/AB, иймээс AB = AC/cos a. Жишээ 3. ABC гурвалжинд AB нь гипотенуз, BAC өнцөг 60 градус, AC хөл 2 см.
Шийдэл: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 см Хариулт: Гипотенуз 4 см урт.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Өнцгийн синус эсвэл косинусын утгыг олохдоо синус ба косинусын хүснэгт эсвэл Брадисын хүснэгтийг ашиглана уу.

Зөвлөгөө 2: Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртыг хэрхэн олох вэ

Гипотенуз нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал тул энэ нь гайхах зүйл биш юм Грек хэлЭнэ үгийг "хатуу" гэж орчуулдаг. Энэ тал нь үргэлж 90 ° өнцгийн эсрэг байрладаг бөгөөд энэ өнцгийг бүрдүүлж буй талуудыг хөл гэж нэрлэдэг. Эдгээр талуудын урт ба хурц өнцгийн утгуудыг эдгээр утгуудын янз бүрийн хослолоор мэдэж авснаар бид гипотенузын уртыг тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

Хэрэв гурвалжны (A ба B) хоёулангийнх нь уртыг мэддэг бол гипотенузын уртыг (C), магадгүй хамгийн алдартай математикийн постулат болох Пифагорын теоремыг ашиглана уу. Гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэр бөгөөд үүнээс та хоёр талын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндсийг тооцоолох хэрэгтэй гэж заасан: C = √ ( A² + B²). Жишээлбэл, хэрэв нэг хөлний урт нь 15 ба - 10 сантиметр бол гипотенузын урт нь ойролцоогоор 18.0277564 сантиметр байх болно, учир нь √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0275.

Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны зөвхөн нэг хөлийн урт (A) болон түүний эсрэг талын өнцгийн утга (α) мэдэгдэж байгаа бол гипотенузын уртыг (C) тригонометрийн аль нэгийг ашиглан ашиглаж болно. функцууд - синус. Үүний тулд мэдэгдэж буй талын уртыг мэдэгдэж буй өнцгийн синусанд хуваана: C=A/sin(α). Жишээлбэл, нэг хөлийн урт нь 15 сантиметр, гурвалжны эсрэг орой дээрх өнцөг нь 30 ° бол гипотенузын урт нь 30 сантиметртэй тэнцүү байх болно, учир нь 15/sin(30°) байна. =15/0.5=30.

Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгийн аль нэгний хэмжээ (α) ба зэргэлдээх хөлний урт (B) мэдэгдэж байгаа бол гипотенузын уртыг (C) тооцоолохын тулд та өөр тригонометрийн функц болох косинусыг ашиглаж болно. Мэдэгдэж буй хөлний уртыг мэдэгдэж буй өнцгийн косинусаар хуваах хэрэгтэй: C=B/ cos(α). Жишээлбэл, хэрэв энэ хөлний урт нь 15 сантиметр, түүний хажуугийн хурц өнцөг нь 30 ° бол гипотенузын урт нь ойролцоогоор 17.3205081 сантиметр байх болно, учир нь 15/cos(30°)=15/(0.5*) √3)=30/√3≈17.3205081.

Уртыг ихэвчлэн шугамын сегментийн хоёр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлоход ашигладаг. Энэ нь шулуун, тасархай, хаалттай шугам байж болно. Хэрэв та сегментийн бусад үзүүлэлтүүдийг мэддэг бол уртыг маш энгийнээр тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

Хэрэв та дөрвөлжингийн хажуугийн уртыг олох шаардлагатай бол энэ нь байхгүй болно, хэрэв та түүний талбайг мэддэг бол S. Квадратын бүх тал нь , учир нь та тэдгээрийн аль нэгний утгыг ашиглан тооцоолж болно. томъёо: a = √S.