Шулуун шугамаар үүссэн өнцгийг ол. Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг: тодорхойлолт, олох жишээ

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж буй оюутан бүр "Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох" сэдвийг давтах нь ашигтай байх болно. Статистик мэдээллээс харахад гэрчилгээ олгох шалгалтыг давахдаа стереометрийн энэ хэсгийн даалгавар нь олон тооны оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Үүний зэрэгцээ шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтанд үндсэн болон тусгай түвшний аль алинд нь олдог. Энэ нь хүн бүр тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой гэсэн үг юм.

Үндсэн мөчүүд

Сансарт 4 төрөл байдаг харьцангуй байрлалЧигээрээ Тэд давхцаж, огтлолцож, параллель эсвэл огтлолцож болно. Тэдний хоорондох өнцөг нь хурц эсвэл шулуун байж болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын шугамын хоорондох өнцгийг олохын тулд, эсвэл жишээлбэл, Москва болон бусад хотын сургуулийн сурагчид стереометрийн энэ хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно. Та даалгавраа сонгодог бүтцийг ашиглан хийж болно. Үүнийг хийхийн тулд стереометрийн үндсэн аксиом, теоремуудыг сурах нь зүйтэй. Даалгаврыг планиметрийн бодлогод хүргэхийн тулд оюутан логикоор сэтгэж, зураг зурах чадвартай байх шаардлагатай.

Та мөн вектор координатын аргыг ашиглаж болно энгийн томъёонууд, дүрэм, алгоритм. Энэ тохиолдолд гол зүйл бол бүх тооцоог зөв хийх явдал юм. Энэ нь стереометр болон сургуулийн хичээлийн бусад хэсгүүдийн асуудлыг шийдвэрлэх ур чадвараа сайжруулахад тань туслах болно. боловсролын төсөл"Школково".

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор таслвал та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-н тийм утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үр дүнгийн үнэ цэнэ нь хангана энэ тэгшитгэл(ямар ч тоо ерөнхийдөө үүнийг хангадаг).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулах:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би ямар нэгэн зүйл санал болгох нь утгагүй гэж үзэж байна бие даасан шийдвэр, геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь дээр.

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Үүнийг мэдэхгүйгээс болж хамгийн энгийн даалгавар Nightingale хулгайчийг хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Жишээ геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамуудын параллел байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Оновчтой, тийм ч оновчтой биш гэж байдаг оновчтой аргашийдлүүд. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөр давхцах нь сонирхол багатай тул танд танил болсон асуудлыг авч үзье. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийднэ үү.

Энд байна хоёр системийн геометрийн утга шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Жишээ 4

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График арга нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс аналитик аргыг ашиглан огтлолцох цэгийг хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулах:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэ.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэгч векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгана": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулах:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье:

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Дахин хэлэхэд туршилтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулах:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхамуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг тоймлон харуулах болно завсрын үр дүн:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Энд тооцоолол хийхэд бэрхшээлтэй байж болох ч энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг олгодог микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах болно. Би танд олон удаа зөвлөсөн, дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

дахь тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамыг авч үзье ерөнхий үзэл:

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулах:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Декартын координатын систем дэх хавтгай дээрх l ба m хоёр шулуун шугамыг өгье ерөнхий тэгшитгэл: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Эдгээр шугамын хэвийн векторууд: = (A 1 , B 1) – l мөрөнд,

= (A 2 , B 2) – m мөрөнд.

l ба m шулуунуудын хоорондох өнцгийг j гэж үзье.

Харилцан перпендикуляр талуудтай өнцөг нь тэнцүү эсвэл нийлбэр нь p хүртэл байдаг тул , өөрөөр хэлбэл cos j = байна.

Тиймээс бид дараах теоремыг баталсан.

Теорем.Хавтгай дээрх хоёр шулууны хоорондох өнцгийг j гэж үзээд эдгээр шулуунуудыг декартын координатын системд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойл. = 0. Дараа нь cos j = .

Дасгал.

1) Дараах тохиолдолд шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёог гарга.

(1) хоёр мөрийг параметрийн дагуу тодорхойлсон; (2) хоёр мөрийг каноник тэгшитгэлээр өгсөн; (3) нэг мөрийг параметрийн дагуу, нөгөө мөрийг ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно; (4) хоёр шулууныг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

2) Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг j гэж үзээд эдгээр шулууныг декартын координатын системд y = k 1 x + b 1 ба y =k 2 x + b 2 тэгшитгэлээр тодорхойлъё.

Дараа нь tan j =.

3) Декартын координатын систем дэх ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг судалж, хүснэгтийг бөглөнө үү.

Хавтгай дээрх цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай.

Декартын координатын систем дэх хавтгай дээрх l шулуун шугамыг Ax + By + C = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр өгье. M(x 0 , y 0) цэгээс l шулуун хүртэлх зайг олъё.

M цэгээс l шулуун шугам хүртэлх зай нь перпендикуляр HM (H О l, HM ^ l) урт юм.

l шулууны вектор ба нормаль вектор нь коллинеар тул | | = | | | | болон | | = .

H цэгийн координатыг (x,y) гэж үзье.

H цэг нь l шулуунд хамаарах тул Ax + By + C = 0 (*).

Векторуудын координат ба: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, (*) үзнэ үү)

Теорем. l шулуун шугамыг декартын координатын системд Ax + By + C = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойл. Дараа нь M(x 0 , y 0) цэгээс энэ шулуун шугам хүртэлх зайг дараах томъёогоор тооцоолно: r ( M; l) = .

Дасгал.

1) Цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолох томъёог гарга: (1) шугамыг параметрийн дагуу өгсөн; (2) мөрийг каноник тэгшитгэлд өгсөн; (3) шулуун шугамыг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр өгөв.

2) Төв нь Q(-2,4) цэгт 3x – y = 0 шулуунтай шүргэгч тойргийн тэгшитгэлийг бич.

3) 2x + y - 1 = 0 ба x + y + 1 = 0 шулуунуудын огтлолцолоос үүссэн өнцгийг хуваах шулуунуудын тэгшитгэлийг хагасаар бич.

§ 27. Сансар дахь хавтгайн аналитик тодорхойлолт

Тодорхойлолт. Хавтгай руу чиглэсэн хэвийн векторБид өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байх ямар ч төлөөлөгч тэгээс ялгаатай векторыг дуудна.

Сэтгэгдэл.Хэрэв векторын ядаж нэг төлөөлөгч хавтгайд перпендикуляр байвал векторын бусад бүх төлөөлөгчид энэ хавтгайд перпендикуляр байх нь тодорхой байна.

Орон зайд декартын координатын системийг өгье.

Хавтгай өгье, = (A, B, C) – энэ хавтгайн хэвийн вектор, M цэг (x 0 , y 0 , z 0) a хавтгайд хамаарна.

a хавтгайн дурын N(x, y, z) цэгийн хувьд ба векторууд нь ортогональ, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: = 0. Сүүлийн тэгшитгэлийг координатаар бичье: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

-Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, тэгвэл Ax + By + Cz + D = 0.

Ax + By + Cz + D = 0 байх K (x, y) цэгийг авцгаая. D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 тул A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.Чиглэгдсэн сегментийн координатууд = (x - x 0, y - y 0, z - z 0) тул сүүлчийн тэгшитгэл нь ^, тиймээс K О a гэсэн үг юм.

Тиймээс бид дараах теоремыг баталсан.

Теорем.Декартын координатын систем дэх орон зайн аливаа хавтгайг Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно, энд (A, B, C) нь Энэ хавтгайд хэвийн векторын координатууд.

Харин ч эсрэгээрээ.

Теорем.Декартын координатын систем дэх Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) хэлбэрийн аливаа тэгшитгэл нь тодорхой хавтгайг зааж өгдөг ба (A, B, C) нь хэвийн координатууд юм. энэ хавтгайд вектор.

Баталгаа.

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 ба вектор = (A, B, C) ( ≠ q) байх M (x 0 , y 0 , z 0) цэгийг ав.

Векторт перпендикуляр М цэгээр хавтгай (мөн зөвхөн нэг) дамжин өнгөрдөг. Өмнөх теоремын дагуу энэ хавтгай нь Ax + By + Cz + D = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Тодорхойлолт. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) хэлбэрийн тэгшитгэлийг гэнэ. ерөнхий хавтгай тэгшитгэл.

Жишээ.

M (0,2,4), N (1,-1,0) ба K (-1,0,5) цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичье.

1. Хавтгай (МНК) хүртэлх хэвийн векторын координатыг ол. ´ вектор үржвэр нь коллинеар бус векторуудад ортогональ ба , тэгвэл вектор нь коллинеар ´ байна.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Тэгэхээр хэвийн векторын хувьд = (-11, 3, -5) векторыг авна.

2. Одоо эхний теоремын үр дүнг ашиглая:

энэ хавтгайн тэгшитгэл A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, энд (A, B, C) нь хэвийн векторын координат, (x 0 ,) y 0 , z 0) – хавтгайд байрлах цэгийн координатууд (жишээлбэл, М цэг).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Хариулт: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Дасгал.

1) Хавтгайн тэгшитгэлийг бичнэ үү

(1) хавтгай нь 3x + y + z = 0 хавтгайтай параллель M (-2,3,0) цэгээр дамжин өнгөрөх;

(2) хавтгай нь (Ox) тэнхлэгийг агуулсан бөгөөд x + 2y – 5z + 7 = 0 хавтгайд перпендикуляр байна.

2) Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бич.

§ 28. Хагас орон зайн аналитик тодорхойлолт*

Сэтгэгдэл*. Зарим онгоцыг засуулъя. Доод хагас орон зайБид өгөгдсөн хавтгайн нэг талд байрлах цэгүүдийн багцыг ойлгох болно, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг холбосон хэрчим нь өгөгдсөн хавтгайтай огтлолцохгүй бол хоёр цэг ижил хагас орон зайд оршдог. Энэ онгоц гэж нэрлэгддэг энэ хагас орон зайн хил. Энэ хавтгай ба хагас орон зайн нэгдэл гэж нэрлэгдэх болно хаалттай хагас орон зай.

Декартын координатын системийг орон зайд тогтсон байя.

Теорем. a хавтгайг ерөнхий тэгшитгэлээр өгье Ax + By + Cz + D = 0. Дараа нь a хавтгай орон зайг хуваах хоёр хагас зайны нэг нь Ax + By + Cz + D > 0 тэгш бус байдалаар өгөгдөнө. , мөн хоёр дахь хагас орон зайг Ax + By + Cz + D тэгш бус байдлаар өгнө< 0.

Баталгаа.

Энэ хавтгайд хэвтэж буй M (x 0 , y 0 , z 0) цэгээс a хавтгайд = (A, B, C) хэвийн векторыг зуръя: = , M О a, MN ^ a. Онгоц орон зайг b 1 ба b 2 гэсэн хоёр хагас орон зайд хуваадаг. N цэг нь эдгээр хагас орон зайн аль нэгэнд хамаарах нь тодорхой байна. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид N О b 1 гэж таамаглах болно.

Хагас орон зай b 1 нь Ax + By + Cz + D > 0 тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог болохыг баталъя.

1) b 1 хагас орон зайд K(x,y,z) цэгийг ав. Өнцөг Ð NMK нь векторуудын хоорондох өнцөг ба - цочмог тул эдгээр векторуудын скаляр үржвэр эерэг байна: > 0. Энэ тэгш бус байдлыг координатаар бичье: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, өөрөөр хэлбэл Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

M О b 1 тул Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, тиймээс -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Иймд сүүлчийн тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ax + By + Cz + D > 0 байх L(x,y) цэгийг ав.

D-г (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (M О b 1 тул Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0) гэж сольж тэгш бус байдлыг дахин бичье: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

(x - x 0,y - y 0, z - z 0) координаттай вектор нь вектор тул A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) илэрхийлэл. векторуудын скаляр үржвэр болон . векторуудын скаляр үржвэр ба эерэг тул тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь хурц ба цэг L О b 1 .

Үүний нэгэн адил b 2 хагас орон зай нь Ax + By + Cz + D тэгш бус байдалаар өгөгдсөн болохыг баталж чадна.< 0.

Тэмдэглэл.

1) Дээр өгөгдсөн нотолгоо нь a хавтгайд М цэгийг сонгохоос хамаарахгүй нь тодорхой байна.

2) Ижил хагас орон зайг өөр өөр тэгш бус байдлаар тодорхойлж болох нь ойлгомжтой.

Харин ч эсрэгээрээ.

Теорем. Ax + By + Cz + D > 0 (эсвэл Ax + By + Cz + D) хэлбэрийн аливаа шугаман тэгш бус байдал< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Баталгаа.

Орон зай дахь Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) тэгшитгэл нь тодорхой a хавтгайг тодорхойлдог (§ ...-ыг үзнэ үү). Өмнөх теоремоор батлагдсанчлан хавтгай орон зайг хуваах хоёр хагас орон зайн нэг нь Ax Axe + By + Cz + D > 0 тэгш бус байдалаар өгөгдсөн.

Тэмдэглэл.

1) Хаалттай хагас орон зайг хатуу бус шугаман тэгш бус байдлаар тодорхойлж болох бөгөөд декартын координатын систем дэх ямар ч хатуу бус шугаман тэгш бус байдал нь битүү хагас орон зайг тодорхойлдог нь ойлгомжтой.

2) Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийг хаалттай хагас орон зайн огтлолцол (хязгаар нь олон өнцөгтийн нүүрийг агуулсан хавтгайнууд) гэж тодорхойлж болно, өөрөөр хэлбэл аналитик байдлаар - шугаман бус тэгш бус байдлын системээр тодорхойлж болно.

Дасгал.

1) Дурын аффины координатын системд зориулсан хоёр теоремыг батал.

2) Эсрэгээр нь үнэн үү, хатуу бус ямар ч тогтолцоо шугаман тэгш бус байдалгүдгэр олон өнцөгтийг тодорхойлох вэ?

Дасгал хийх.

1) Декартын координатын систем дэх ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр хавтгайн харьцангуй байрлалыг судалж, хүснэгтийг бөглөнө үү.

Би товчхон хэлье. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв та a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба b = (x 2 ; y 2; z 2) чиглэлийн векторуудын координатыг олж чадвал өнцгийг олох боломжтой. Илүү нарийвчлалтай, өнцгийн косинусыг томъёоны дагуу:

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ томъёо хэрхэн ажилладагийг харцгаая:

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - A 1 B 1 ба B 1 C 1 ирмэгүүдийн дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шоогийн ирмэгийг заагаагүй тул AB = 1 гэж тохируулъя. Бид стандарт координатын системийг нэвтрүүлж байна: эх цэг нь А цэг дээр, x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1-ийн дагуу тус тус чиглэнэ. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү. Одоо шугамуудынхаа чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.

AE векторын координатыг олъё. Үүний тулд бидэнд A = (0; 0; 0) ба E = (0.5; 0; 1) цэгүүд хэрэгтэй. E цэг нь A 1 B 1 сегментийн дунд байдаг тул координатууд нь төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундажтай тэнцүү байна. AE векторын гарал үүсэл нь координатын эхтэй давхцаж байгаа тул AE = (0.5; 0; 1) болохыг анхаарна уу.

Одоо BF векторыг харцгаая. Үүний нэгэн адил бид B = (1; 0; 0) ба F = (1; 0.5; 1) цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийдэг, учир нь F нь B 1 C 1 сегментийн дунд хэсэг юм. Бидэнд байгаа:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

Тэгэхээр чиглэлийн векторууд бэлэн боллоо. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинус нь чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинус тул бид дараах байдалтай байна.

Даалгавар. Ердийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү, D ба E цэгүүдийг тэмдэглэв - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд A 1 B 1 ба B 1 C 1 тус тус байна. AD ба BE шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x тэнхлэг нь AB дагуу, z - AA 1 дагуу. OXY хавтгай нь ABC хавтгайтай давхцахаар y тэнхлэгийг чиглүүлье. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү. Шаардлагатай шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг олъё.

Эхлээд AD векторын координатыг олъё. Цэгүүдийг анхаарч үзээрэй: A = (0; 0; 0) ба D = (0.5; 0; 1), учир нь D - сегментийн дунд хэсэг A 1 B 1. AD векторын эхлэл нь координатын эхлэлтэй давхцаж байгаа тул бид AD = (0.5; 0; 1) авна.

Одоо BE векторын координатыг олъё. B цэг = (1; 0; 0) нь тооцоолоход хялбар байдаг. E цэгтэй - сегментийн дунд хэсэг C 1 B 1 - энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Бидэнд байгаа:

Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.

Даалгавар. Энгийн зургаан өнцөгт призм ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , бүх ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү, K ба L цэгүүдийг тэмдэглэсэн - ирмэгүүдийн дунд цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 байна. . AK ба BL шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Призмийн стандарт координатын системийг танилцуулъя: бид координатын гарал үүслийг доод суурийн төвд байрлуулж, x тэнхлэг нь FC-ийн дагуу, у тэнхлэг нь AB ба DE сегментүүдийн дунд цэгүүдээр, z тэнхлэгүүдээр дамждаг. тэнхлэг нь босоо дээш чиглэсэн байна. Нэгж сегмент дахин AB = 1-тэй тэнцүү байна. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.

K ба L цэгүүд нь A 1 B 1 ба B 1 C 1 сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатыг арифметик дундажаар олно. Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AK ба BL чиглэлийн векторуудын координатыг олно.

Одоо өнцгийн косинусыг олъё.

Даалгавар. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү SABCD дөрвөлжин пирамид дээр E ба F цэгүүдийг тэмдэглэв - SB ба SC талуудын дунд цэгүүд. AE ба BF шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Стандарт координатын системийг нэвтрүүлье: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x ба у тэнхлэгүүд AB ба AD дагуу тус тус, z тэнхлэг нь босоо дээшээ чиглэсэн байна. Нэгж сегмент нь AB = 1-тэй тэнцүү байна.

E ба F цэгүүд нь SB ба SC сегментүүдийн дунд цэгүүд тул тэдгээрийн координатуудыг төгсгөлүүдийн арифметик дундажаар олно. Бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг бичье.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Цэгүүдийг мэдсэнээр бид AE ба BF чиглэлийн векторуудын координатыг олно.

А цэг нь эхлэл учраас AE векторын координатууд нь Е цэгийн координатуудтай давхцаж байна. Өнцгийн косинусыг олоход л үлддэг.

Энэ материал нь хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэх мэт ойлголтод зориулагдсан болно. Эхний догол мөрөнд бид энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, чимэглэлээр харуулах болно. Дараа нь бид энэ өнцгийн синус, косинус ба өнцгийг өөрөө олох аргуудыг авч үзэх болно (бид хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайтай тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно), бид шаардлагатай томьёог өгч, яг жишээгээр харуулах болно. тэдгээрийг практикт хэрхэн ашигладаг.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёр шугам огтлолцох үед үүссэн өнцөг гэж юу болохыг ойлгохын тулд өнцөг, перпендикуляр байдал, огтлолцлын цэгийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1

Хэрвээ нэг шугамтай бол бид огтлолцсон хоёр шугам гэж нэрлэдэг нийтлэг цэг. Энэ цэгийг хоёр шулууны огтлолцлын цэг гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугам бүр огтлолцох цэгээр туяанд хуваагдана. Шулуун шугамууд хоёулаа 4 өнцөг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь босоо, хоёр нь зэргэлдээ байна. Хэрэв бид тэдгээрийн аль нэгнийх нь хэмжүүрийг мэддэг бол үлдсэнийг нь тодорхойлж болно.

Нэг өнцөг нь α-тай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ гэж бодъё. Энэ тохиолдолд түүнтэй харьцуулахад босоо өнцөг нь α-тай тэнцүү байх болно. Үлдсэн өнцгийг олохын тулд бид 180 ° - α ялгааг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв α нь 90 градустай тэнцүү бол бүх өнцөг нь зөв өнцөг болно. Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг (перпендикуляр байдлын тухай ойлголтод тусдаа өгүүлэл зориулагдсан).

Зургийг харна уу:

Үндсэн тодорхойлолтыг томъёолох руу шилжье.

Тодорхойлолт 2

Хоёр огтлолцсон шулуунаас үүссэн өнцөг нь эдгээр хоёр шулууныг үүсгэсэн 4 өнцгийн жижиг хэсгийн хэмжүүр юм.

Бидний хийх ёстой тодорхойлолтоос чухал дүгнэлт: энэ тохиолдолд өнцгийн хэмжээг (0, 90) интервал дахь дурын бодит тоогоор илэрхийлнэ.Хэрэв шулуунууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг ямар ч тохиолдолд 90 градустай тэнцүү байна.

Хоёр огтлолцсон шугамын өнцгийн хэмжигдэхүүнийг олох чадвар нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай. Шийдлийн аргыг хэд хэдэн сонголтоос сонгож болно.

Эхлэхийн тулд бид авч болно геометрийн аргууд. Хэрэв бид нэмэлт өнцгүүдийн талаар ямар нэг зүйлийг мэддэг бол тэнцүү эсвэл ижил төстэй дүрсүүдийн шинж чанарыг ашиглан тэдгээрийг шаардлагатай өнцөгтэй холбож болно. Жишээлбэл, хэрэв бид гурвалжны талуудыг мэддэг бөгөөд эдгээр талууд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол косинусын теорем нь бидний шийдэлд тохиромжтой. Хэрэв бидэнд нөхцөл байгаа бол зөв гурвалжин, дараа нь тооцоололд бид мөн өнцгийн синус, косинус, тангенсийн талаархи мэдлэг хэрэгтэй болно.

Координатын арга нь энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн зөв ашиглах талаар тайлбарлая.

Бид тэгш өнцөгт (декарт) координатын O x y системтэй бөгөөд үүнд хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. Тэдгээрийг a, b үсгээр тэмдэглэе. Шулуун шугамыг зарим тэгшитгэл ашиглан дүрсэлж болно. Анхны шугамууд нь M огтлолцох цэгтэй байна. Эдгээр шулуун шугамын хоорондох шаардлагатай өнцгийг (үүнийг α гэж тэмдэглэе) хэрхэн тодорхойлох вэ?

Өгөгдсөн нөхцөлд өнцгийг олох үндсэн зарчмыг томъёолж эхэлье.

Шулуун шугамын тухай ойлголт нь чиглэлийн вектор, хэвийн вектор гэх мэт ойлголтуудтай нягт холбоотой гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид тодорхой шулууны тэгшитгэлтэй бол тэдгээр векторуудын координатыг түүнээс авч болно. Бид үүнийг хоёр огтлолцсон шугамын хувьд нэгэн зэрэг хийж болно.

Хоёр огтлолцсон шугамаар тусгаарлагдсан өнцгийг дараах байдлаар олж болно.

• чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг;
• хэвийн векторуудын хоорондох өнцөг;
• нэг шугамын хэвийн вектор ба нөгөө шугамын чиглэлийн вектор хоорондын өнцөг.

Одоо арга тус бүрийг тусад нь авч үзье.

1. Бид a → = (a x, a y) чиглэлтэй вектор бүхий a шулуун ба b → (b x, b y) чиглэлтэй вектортой b шулуун байна гэж үзье. Одоо уулзварын цэгээс a → ба b → хоёр векторыг зуръя. Үүний дараа бид тэдгээр нь тус бүр өөрийн шулуун шугам дээр байрлана гэдгийг харах болно. Дараа нь бид тэдгээрийн харьцангуй зохицуулалтын дөрвөн сонголт байна. Дүрслэлийг үзнэ үү:

Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг нь мохоо биш бол энэ нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг болно. Хэрэв энэ нь мохоо байвал хүссэн өнцөг нь a →, b → ^ өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс α = a → , b → ^ хэрэв a → , b → ^ ≤ 90 ° , α = 180 ° - a → , b → ^ хэрэв a →, b → ^ > 90 ° .

Тэнцүү өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байгааг үндэслэн бид үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: cos α = cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ > 90 °.

Хоёр дахь тохиолдолд багасгах томъёог ашигласан. Тиймээс,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Сүүлийн томъёог үгээр бичье.

Тодорхойлолт 3

Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгийн косинус нь түүний чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.

a → = (a x, a y) ба b → = (b x, b y) гэсэн хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны ерөнхий хэлбэр дараах байдалтай байна.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Үүнээс бид өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж болно.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Дараа нь дараах томъёог ашиглан өнцгийг өөрөө олж болно.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Энд a → = (a x , a y) ба b → = (b x , b y) нь өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд юм.

Асуудлыг шийдэх жишээг хэлье.

Жишээ 1

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд a ба b огтлолцох хоёр шулуун өгөгдсөн. Тэдгээрийг x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ба x 5 = y - 6 - 3 параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол.

Шийдэл

Бидний нөхцөл байдалд параметрийн тэгшитгэл байгаа бөгөөд энэ нь энэ шугамын хувьд бид түүний чиглэлийн векторын координатыг шууд бичиж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид параметрийн коэффициентүүдийн утгыг авах хэрэгтэй, жишээлбэл. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R шулуун шугам нь a → = (4, 1) чиглэлтэй вектортой байна.

Хоёрдахь мөрийг x 5 = y - 6 - 3 каноник тэгшитгэлийг ашиглан тайлбарлав. Энд бид хуваагчаас координатыг авч болно. Иймээс энэ шугам нь b → = (5 , - 3) чиглэлийн вектортой байна.

Дараа нь бид өнцгийг олоход шууд шилждэг. Үүнийг хийхийн тулд дээрх хоёр векторын одоо байгаа координатыг α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 томъёонд орлуулахад л болно. Бид дараахь зүйлийг авна.

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Хариулах: Эдгээр шулуун шугамууд нь 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.

Бид ердийн векторуудын хоорондох өнцгийг олох замаар ижил төстэй асуудлыг шийдэж чадна. Хэрэв n a → = (n a x, n a y) хэвийн вектортой a шулуун ба n b → = (n b x , n b y) хэвийн вектортой b шулуун байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь n a → ба хоёрын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байх болно. n b → эсвэл n a →, n b → ^-тэй зэргэлдээх өнцөг. Энэ аргыг зурагт үзүүлэв:

Энгийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцсон шугам ба энэ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a xy + n a xy + y 2

Энд n a → ба n b → өгөгдсөн хоёр шулууны хэвийн векторуудыг тэмдэглэнэ.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд 3 x + 5 y - 30 = 0 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хоёр шулуун шугамыг өгдөг. Тэдний хоорондох өнцгийн синус ба косинус болон энэ өнцгийн өөрийнх нь хэмжээг ол.

Шийдэл

Анхны мөрүүдийг A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ердийн шугамын тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. Бид хэвийн векторыг n → = (A, B) гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулууны эхний хэвийн векторын координатыг олоод бичье: n a → = (3, 5) . Хоёр дахь шугамын хувьд x + 4 y - 17 = 0, хэвийн вектор нь координат n b → = (1, 4) байна. Одоо олж авсан утгыг томъёонд нэмж, нийт дүнг тооцоолъё.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Хэрэв бид өнцгийн косинусыг мэддэг бол тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан түүний синусыг тооцоолж болно. Шулуун шугамаар үүссэн α өнцөг нь мохоо биш тул sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 болно.

Энэ тохиолдолд α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Хариулт: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Нэг шулуун шугамын чиглэлийн векторын координат ба нөгөөгийн хэвийн векторын координатыг мэдэж байгаа бол шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох гэсэн сүүлчийн тохиолдлыг шинжлэх болно.

Шулуун а шулуун нь a → = (a x , a y) чиглэлийн вектортой, b шулуун нь хэвийн вектор n b → = (n b x , n b y) байна гэж үзье. Бид эдгээр векторуудыг огтлолцох цэгээс хойш тавьж, тэдгээрийн харьцангуй байрлалын бүх хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Зураг дээр харна уу:

Хэрэв өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцөг 90 градусаас ихгүй байвал энэ нь a ба b хоорондох өнцгийг тэгш өнцөгт нөхөх болно.

a → , n b → ^ = 90 ° - α хэрэв a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Хэрэв энэ нь 90 градусаас бага байвал бид дараахь зүйлийг авна.

a → , n b → ^ > 90 ° , дараа нь a → , n b → ^ = 90 ° + α

Ижил өнцгийн косинусын тэгш байдлын дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → , n b → ^ ≤ 90 ° -ийн хувьд sin α.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 ° -ийн хувьд sin α.

Тиймээс,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Дүгнэлтийг томъёолъё.

Тодорхойлолт 4

Хавтгай дээр огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцгийн синусыг олохын тулд эхний шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь хэвийн векторын хоорондох өнцгийн косинусын модулийг тооцоолох хэрэгтэй.

Шаардлагатай томьёо бичье. Өнцгийн синусыг олох:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Өнцгийг өөрөө олох нь:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Энд a → эхний мөрийн чиглэлийн вектор, n b → хоёр дахь шугамын хэвийн вектор байна.

Жишээ 3

Хоёр огтлолцох шулууныг x - 5 = y - 6 3 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Уулзварын өнцгийг ол.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлээс чиглүүлэгч ба нормаль векторын координатыг авна. Энэ нь a → = (- 5, 3) ба n → b = (1, 4) болж хувирна. Бид α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 томъёог авч тооцоолно.

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Бид өмнөх бодлогын тэгшитгэлийг авч, яг ижил үр дүнг авсан боловч өөр аргаар авсан гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:α = a r c sin 7 2 34

Өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг ашиглан хүссэн өнцгийг олох өөр аргыг танилцуулъя.

Бидэнд тэгш өнцөгт координатын системд y = k 1 x + b 1 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a шугам, y = k 2 x + b 2 гэж тодорхойлогдсон b шулуун байна. Эдгээр нь налуутай шугамын тэгшитгэл юм. Уулзварын өнцгийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, энд k 1 ба k 2 байна. өнцгийн коэффициентүүдшулуун шугамуудыг өгсөн. Энэ бичлэгийг авахын тулд хэвийн векторуудын координатаар өнцгийг тодорхойлох томъёог ашигласан.

Жишээ 4

y = - 3 5 x + 6 ба y = - 1 4 x + 17 4 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгайд огтлолцсон хоёр шулуун байна. Уулзварын өнцгийн утгыг тооцоол.

Шийдэл

Манай шугамын өнцгийн коэффициентүүд нь k 1 = - 3 5 ба k 2 = - 1 4-тэй тэнцүү байна. Тэдгээрийг α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 томъёонд нэмж тооцоолъё.

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Хариулт:α = a r c cos 23 2 34

Энэ догол мөрийн дүгнэлтэд энд өгөгдсөн өнцгийг олох томъёог цээжээр сурах шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн шугамын чиглүүлэгч ба/эсвэл хэвийн векторуудын координатыг мэдэж, тэдгээрийг тодорхойлох чадвартай байхад хангалттай. янз бүрийн төрөлтэгшитгэл. Гэхдээ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёог санаж эсвэл бичих нь дээр.

Орон зайд огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ

Ийм өнцгийн тооцоог чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолох, эдгээр векторуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг тодорхойлох хүртэл багасгаж болно. Ийм жишээнүүдийн хувьд бидний өмнө нь хэлсэн үндэслэлийг ашигласан болно.

Гурван хэмжээст орон зайд байрлах тэгш өнцөгт координатын систем байна гэж бодъё. Энэ нь M огтлолцох цэгтэй a ба b хоёр шулуун шугамыг агуулна. Чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолохын тулд бид эдгээр шулуунуудын тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) чиглэлийн векторуудыг тэмдэглэе. Тэдний хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Өнцгийг өөрөө олохын тулд бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй.

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Жишээ 5

Бид x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 тэгшитгэлийг ашиглан гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугамтай. Энэ нь O z тэнхлэгтэй огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Таслах өнцөг ба тэр өнцгийн косинусыг тооцоол.

Шийдэл

Тооцоолох шаардлагатай өнцгийг α үсгээр тэмдэглэе. Эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг бичье – a → = (1, - 3, - 2) . Хэрэглээний тэнхлэгийн хувьд бид k → = (0, 0, 1) координатын векторыг хөтөч болгон авч болно. Бид шаардлагатай өгөгдлийг хүлээн авсан бөгөөд үүнийг хүссэн томъёонд нэмж болно:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй өнцөг нь r c cos 1 2 = 45 ° -тай тэнцүү болохыг олж мэдсэн.

Хариулт: cos α = 1 2, α = 45 ° .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу