Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тооцоо. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж буй оюутан бүр "Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох" сэдвийг давтах нь ашигтай байх болно. Статистик мэдээллээс харахад гэрчилгээ олгох шалгалтыг давахдаа стереометрийн энэ хэсгийн даалгавар нь олон тооны оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Үүний зэрэгцээ шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай даалгавруудыг улсын нэгдсэн шалгалтаас үндсэн болон тусгай түвшний аль алинд нь олдог. Энэ нь хүн бүр тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой гэсэн үг юм.

Үндсэн мөчүүд

Орон зай дахь шугамын харьцангуй байрлалын 4 төрөл байдаг. Тэд давхцаж, огтлолцож, параллель эсвэл огтлолцож болно. Тэдний хоорондох өнцөг нь хурц эсвэл шулуун байж болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын шугамын хоорондох өнцгийг олохын тулд, эсвэл жишээлбэл, Москва болон бусад хотын сургуулийн сурагчид стереометрийн энэ хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно. Та даалгавраа сонгодог бүтцийг ашиглан хийж болно. Үүнийг хийхийн тулд стереометрийн үндсэн аксиом, теоремуудыг сурах нь зүйтэй. Оюутан даалгаварыг планиметрийн бодлогод хүргэхийн тулд логикоор сэтгэж, зураг зурах чадвартай байх шаардлагатай.

Та мөн вектор координатын аргыг ашиглаж болно энгийн томъёонууд, дүрэм, алгоритм. Энэ тохиолдолд гол зүйл бол бүх тооцоог зөв хийх явдал юм. Энэ нь стереометр болон сургуулийн хичээлийн бусад хэсгүүдийн асуудлыг шийдвэрлэх ур чадвараа сайжруулахад тань туслах болно. боловсролын төсөл"Школково".

Зааварчилгаа

тэмдэглэл

Хугацаа тригонометрийн функцШүргэх нь 180 градустай тэнцүү бөгөөд энэ нь шулуун шугамын налуугийн өнцөг нь үнэмлэхүй утгаараа энэ утгаас хэтрэх боломжгүй гэсэн үг юм.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв налуугийн коэффициентүүдбие биетэйгээ тэнцүү бол ийм шугамууд нь давхцаж эсвэл параллель байдаг тул ийм шугамуудын хоорондох өнцөг нь 0-тэй тэнцүү байна.

Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийн утгыг тодорхойлохын тулд хоёр шугамыг (эсвэл тэдгээрийн аль нэгийг) огтлолцох хүртэл зэрэгцээ орчуулгын аргыг ашиглан шинэ байрлал руу шилжүүлэх шаардлагатай. Үүний дараа та үүссэн огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй.

Танд хэрэгтэй болно

• Шугам, зөв гурвалжин, харандаа, протектор.

Зааварчилгаа

Тэгэхээр V = (a, b, c) вектор ба A x + B y + C z = 0 хавтгай өгөгдсөн ба энд A, B, C нь хэвийн N-ийн координатууд байна. Дараа нь өнцгийн косинус. V ба N векторуудын хоорондох α нь тэнцүү байна: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Өнцгийг градусаар эсвэл радианаар тооцоолохын тулд үүссэн илэрхийллээс косинусын урвуу функцийг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Жишээ нь: олох буланхооронд вектор(5, -3, 8) ба онгоц, өгсөн ерөнхий тэгшитгэл 2 x – 5 y + 3 z = 0. Шийдэл: N = (2, -5, 3) хавтгайн хэвийн векторын координатыг бич. Бүгдийг орлуулах мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэөгөгдсөн томъёонд: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Сэдвийн талаархи видео

Үүнтэй ижил тойрогтой шулуун шугам нийтлэг цэг, тойрогтой шүргэгч байна. Шүргэгчийн өөр нэг онцлог нь шүргэх цэг рүү татсан радиустай үргэлж перпендикуляр байдаг, өөрөөр хэлбэл шүргэгч ба радиус нь шулуун шугам үүсгэдэг. булан. Хэрэв нэг А цэгээс AB ба АС тойргийн хоёр шүргэгчийг татвал тэдгээр нь үргэлж хоорондоо тэнцүү байна. Шүргэгчийн хоорондох өнцгийг тодорхойлох ( булан ABC) Пифагорын теоремыг ашиглан хийсэн.

Зааварчилгаа

Өнцгийг тодорхойлохын тулд та тойргийн OB ба OS тойргийн радиус, тойргийн төвөөс шүргэгчийн эхлэлийн цэгийн зайг мэдэх хэрэгтэй - O. Тэгэхээр, ABO ба ASO өнцөгүүд тэнцүү, OB радиус нь, жишээ нь 10 см, AO тойргийн төв хүртэлх зай нь 15 см Пифагорын теоремын дагуу шүргэгчийн уртыг тодорхойлно: AB = Квадрат язгуур AO2 – OB2 буюу 152 - 102 = 225 – 100 = 125-аас;

Шулуун шугамыг орон зайд өгье лТэгээд м. Сансар огторгуйн зарим А цэгээр бид шулуун шугам татдаг л 1 || лТэгээд м 1 || м(Зураг 138).

А цэгийг дур зоргоороо сонгож болно гэдгийг анхаарна уу, энэ нь эдгээр шугамын аль нэг дээр хэвтэж болно. Хэрэв шулуун бол лТэгээд могтлолцох бол А-г эдгээр шугамын огтлолцлын цэг болгон авч болно ( л 1 = лТэгээд м 1 = м).

Зэрэгцээ бус шугамуудын хоорондох өнцөг лТэгээд могтлолцсон шугамаар үүсгэсэн зэргэлдээх өнцгүүдийн хамгийн бага утга л 1 Тэгээд м 1 (л 1 || л, м 1 || м). Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг лТэгээд м\(\widehat((l;m))\) гэж тэмдэглэсэн. Тодорхойлолтоос үзэхэд хэрэв градусаар хэмжигдэх юм бол 0 ° байна < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, хэрэв радианаар байвал 0 байна < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо өгөгдсөн (Зураг 139).

AB ба DC 1 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шулуун шугамууд AB ба DC 1 огтлолцол. DC шулуун нь AB шулуунтай параллель байх тул AB ба DC 1 шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь тодорхойлолтын дагуу \(\widehat(C_(1)DC)\)-тэй тэнцүү байна.

Тиймээс \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Шууд лТэгээд мгэж нэрлэдэг перпендикуляр, хэрэв \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Жишээлбэл, шоо хэлбэрээр

Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тооцоо.

Сансар огторгуй дахь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох асуудлыг хавтгайд байгаатай адилаар шийддэг. Шугаман хоорондын өнцгийн хэмжээг φ-ээр тэмдэглэе л 1 Тэгээд л 2, ψ-ээр дамжуулан - чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ А Тэгээд б эдгээр шулуун шугамууд.

Дараа нь бол

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (Зураг 206.6), дараа нь φ = 180 ° - ψ. Мэдээжийн хэрэг, хоёуланд нь cos φ = |cos ψ| тэнцүү байна. Томъёоны дагуу (тэг биш a ба b векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг тэдгээрийн уртын үржвэрт хуваасантай тэнцүү) бид байна.

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

иймээс,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Шугамануудыг тэдгээрийн канон тэгшитгэлээр өгье

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Мөн \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Дараа нь шугамын хоорондох φ өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Хэрэв шугамуудын аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) каноник бус тэгшитгэлээр өгсөн бол өнцгийг тооцоолохын тулд эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын координатыг олж, дараа нь (1) томъёог ашиглана.

Даалгавар 1.Шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ба\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Шулуун шугамын чиглэлийн векторууд координаттай байна:

a = (-√2 ; √2 ; -2), б = (√3 ; √3 ; √6 ).

(1) томъёог ашиглан бид олдог

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь 60 ° байна.

Даалгавар 2.Шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол

$$ \эхлэх(тохиолдол)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\төгсгөх(тохиолдол) ба \эхлэх(тохиолдол)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\төгсгөл(тохиолдлууд)$$

Хөтөч векторын ард А Эхний мөрөнд бид хэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авна n 1 = (3; 0; -12) ба n 2 = (1; 1; -3) энэ шугамыг тодорхойлох хавтгай. \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) томъёог ашиглан бид олж авна.

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олно.

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Гэхдээ (1) томъёог ашиглан бид хүссэн өнцгийн косинусыг тооцоолно.

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь 90 ° байна.

Даалгавар 3. MABC гурвалжин пирамид дээр MA, MB ба MC ирмэгүүд нь харилцан перпендикуляр (Зураг 207);

тэдгээрийн урт нь тус тус 4, 3, 6. D цэг нь дунд [MA]. CA ба DB шулуунуудын хоорондох φ өнцгийг ол.

CA ба DB нь CA ба DB шулуун шугамын чиглэлийн векторууд байг.

М цэгийг координатын эхлэл гэж үзье. Тэгшитгэлийн нөхцөлөөр бид A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) байна. Тиймээс \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Томъёо (1) ашиглацгаая:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Косинусын хүснэгтийг ашигласнаар бид CA ба DB шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь ойролцоогоор 72 ° байна.

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор таслвал та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-н тийм утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үр дүнгийн үнэ цэнэ нь хангана энэ тэгшитгэл(ямар ч тоо ерөнхийдөө үүнийг хангадаг).

Тиймээс шугамууд давхцаж байна.

Хариулах:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би ямар нэгэн зүйл санал болгох нь утгагүй гэж үзэж байна бие даасан шийдвэр, геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь дээр.

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Үүнийг мэдэхгүйгээс болж хамгийн энгийн даалгавар Nightingale хулгайчийг хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Жишээний геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамын параллель байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Оновчтой, тийм ч оновчтой биш гэж байдаг оновчтой аргашийдлүүд. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөр давхцах нь сонирхол багатай тул танд танил болсон асуудлыг авч үзье. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийднэ үү.

Энд байна хоёр системийн геометрийн утга шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Жишээ 4

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График арга нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс аналитик аргыг ашиглан огтлолцох цэгийг хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулах:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр энэ нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэх векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулах:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье.

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Туршилтыг дахин амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулах:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхамуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг тоймлон харуулах болно завсрын үр дүн:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Энд тооцоолол хийхэд хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

дахь тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамыг авч үзье ерөнхий үзэл:

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд):

Хариулах:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

А. 1-р бүлэгт заасны дагуу эдгээр шулуун шугамууд нь хурц ба мохоо байж болох янз бүрийн эерэг ба сөрөг өнцөг үүсгэдэг. Эдгээр өнцгүүдийн аль нэгийг нь мэдсэнээр бид өөр өнцгийг хялбархан олох боломжтой.

Дашрамд хэлэхэд, эдгээр бүх өнцгийн хувьд шүргэгчийн тоон утга ижил, ялгаа нь зөвхөн тэмдэгт байж болно.

Шугамын тэгшитгэл. Тоонууд нь эхний ба хоёр дахь шулуунуудын чиглэлийн векторуудын проекцууд юм. Тиймээс бид векторуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлоход л асуудал гардаг

Энгийн байхын тулд бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь хурц эерэг өнцөг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч болно (жишээлбэл, 53-р зураг).

Тэгвэл энэ өнцгийн тангенс үргэлж эерэг байх болно. Тиймээс (1) томъёоны баруун талд хасах тэмдэг байгаа бол бид үүнийг хаях ёстой, өөрөөр хэлбэл зөвхөн үнэмлэхүй утгыг хадгалах ёстой.

Жишээ. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойл

(1) томъёоны дагуу бид байна

-тай. Хэрэв өнцгийн аль тал нь түүний эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг зааж өгсөн бол өнцгийн чиглэлийг үргэлж цагийн зүүний эсрэг тоолж байвал (1) томъёоноос илүү зүйлийг гаргаж авах боломжтой. Зураг дээрээс харахад хялбар байдаг. 53-р томьёоны (1) баруун талд олж авсан тэмдэг нь хоёр дахь шулуун шугам нь эхнийхтэй ямар өнцөг - хурц эсвэл мохоо - үүсэхийг заана.

(Үнэхээр 53-р зурагнаас бид эхний ба хоёр дахь чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг нь шулуун шугамын хоорондох хүссэн өнцөгтэй тэнцүү эсвэл ±180 ° -аар ялгаатай байгааг харж байна.)

г. Хэрэв шугамууд параллель байвал тэдгээрийн чиглэлийн векторууд нь параллель байна гэсэн хоёр векторын параллелизмын нөхцөлийг авч үзье.

Энэ нь хоёр шугамын зэрэгцээ байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.

Жишээ. Шууд

зэрэгцээ байна, учир нь

д. Хэрэв шулуунууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн чиглэлийн векторууд нь бас перпендикуляр байна. Хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг ашигласнаар бид хоёр шулуун шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг олж авна.

Жишээ. Шууд

гэсэнтэй холбоотойгоор перпендикуляр байна

Параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөлтэй холбогдуулан бид дараах хоёр асуудлыг шийднэ.

е. Өгөгдсөн шулуунтай параллель цэгээр шугам татна

Шийдэл нь иймэрхүү байдлаар хийгддэг. Хүссэн шугам нь үүнтэй параллель байх тул түүний чиглэлийн векторын хувьд бид өгөгдсөн шугамынхтай ижил, өөрөөр хэлбэл А ба В проекц бүхий векторыг авч болно. Дараа нь хүссэн шугамын тэгшитгэлийг бичнэ. маягт (§ 1)

Жишээ. Шугамтай параллель (1; 3) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

дараагийнх нь байх болно!

g. Өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр цэгээр шугам зур

Энд А проекцтэй векторыг чиглүүлэгч вектор болгон авах нь тохиромжгүй, харин түүнд перпендикуляр векторыг авах шаардлагатай. Тиймээс энэ векторын проекцийг хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцлийн дагуу, өөрөөр хэлбэл нөхцөлийн дагуу сонгох ёстой.

Энэ нөхцөлийг тоо томшгүй олон янзаар биелүүлж болно, учир нь энд хоёр үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэл байна, гэхдээ хамгийн хялбар арга бол авах эсвэл дараа нь хүссэн шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичих болно

Жишээ. Перпендикуляр шугамын (-7; 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

дараах (хоёр дахь томъёоны дагуу) байх болно!

h. Мөрүүдийг хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн тохиолдолд