Ποιο σύνολο αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα q. Σύνολα αριθμών
Ακέραιοι
Ο ορισμός των φυσικών αριθμών είναι θετικοί ακέραιοι. Οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων και για πολλούς άλλους σκοπούς. Αυτοί είναι οι αριθμοί:
Αυτή είναι μια φυσική σειρά αριθμών.
Το μηδέν είναι φυσικός αριθμός; Όχι, το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός.
Πόσα φυσικούς αριθμούςυπάρχει; Υπάρχει άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών.
Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός; Ο ένας είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός; Είναι αδύνατο να το προσδιορίσουμε, γιατί υπάρχει άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών.
Το άθροισμα των φυσικών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα, προσθέτοντας φυσικούς αριθμούς a και b:
Το γινόμενο των φυσικών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα, το γινόμενο των φυσικών αριθμών a και b:
Το c είναι πάντα φυσικός αριθμός.
Διαφορά φυσικών αριθμών Δεν υπάρχει πάντα φυσικός αριθμός. Αν το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend, τότε η διαφορά των φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός, διαφορετικά δεν είναι.
Το πηλίκο των φυσικών αριθμών δεν είναι πάντα φυσικός αριθμός. Αν για φυσικούς αριθμούς α και β
όπου c είναι φυσικός αριθμός, αυτό σημαίνει ότι το a διαιρείται με το b. Σε αυτό το παράδειγμα, το a είναι το μέρισμα, το b είναι ο διαιρέτης, το c είναι το πηλίκο.
Ο διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού είναι ένας φυσικός αριθμός με τον οποίο ο πρώτος αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο.
Κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται με τον έναν και τον εαυτό του.
Οι πρώτοι φυσικοί αριθμοί διαιρούνται μόνο με τον έναν και τον εαυτό τους. Εδώ εννοούμε διχασμένοι εντελώς. Παράδειγμα, αριθμοί 2; 3; 5; Το 7 διαιρείται μόνο με το ένα και τον εαυτό του. Αυτοί είναι απλοί φυσικοί αριθμοί.
Το ένα δεν θεωρείται πρώτος αριθμός.
Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του ενός και δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Παραδείγματα σύνθετους αριθμούς:
Το ένα δεν θεωρείται σύνθετος αριθμός.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από έναν, πρώτους και σύνθετους αριθμούς.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται Λατινικό γράμμαΝ.
Ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών:
μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης
συνειρμική ιδιότητα προσθήκης
(a + b) + c = a + (b + c);
ανταλλακτική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
συνειρμική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
(αβ) γ = α (βγ);
διανεμητική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
A (b + c) = ab + ac;
Ολόκληροι αριθμοί
Ακέραιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, το μηδέν και τα αντίθετα των φυσικών αριθμών.
Οι αριθμοί απέναντι από τους φυσικούς αριθμούς είναι ακέραιοι αρνητικούς αριθμούς, Για παράδειγμα:
1; -2; -3; -4;...
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα Z.
Ρητοί αριθμοί
Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι ακέραιοι αριθμοί και κλάσματα.
Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως περιοδικό κλάσμα. Παραδείγματα:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Από τα παραδείγματα είναι σαφές ότι οποιοσδήποτε ακέραιος είναι ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο μηδέν.
Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα m/n, όπου m ακέραιος,nφυσικός αριθμός. Ας φανταστούμε τον αριθμό 3,(6) από το προηγούμενο παράδειγμα ως τέτοιο κλάσμα.
Η έννοια του αριθμού. Τύποι αριθμών.
Ο αριθμός είναι μια αφαίρεση που χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση των αντικειμένων. Οι αριθμοί προέκυψαν ξανά πρωτόγονη κοινωνίαλόγω της ανάγκης των ανθρώπων να μετρούν αντικείμενα. Με τον καιρό, καθώς αναπτύχθηκε η επιστήμη, ο αριθμός μετατράπηκε στην πιο σημαντική μαθηματική έννοια.
Για να λύσετε προβλήματα και να αποδείξετε διάφορα θεωρήματα, πρέπει να καταλάβετε ποιοι τύποι αριθμών υπάρχουν. Οι βασικοί τύποι αριθμών περιλαμβάνουν: φυσικούς αριθμούς, ακέραιους, ρητούς αριθμούς, πραγματικούς αριθμούς.
Ακέραιοι αριθμοί- αυτοί είναι αριθμοί που λαμβάνονται με φυσική μέτρηση αντικειμένων, ή μάλλον με αρίθμησή τους ("πρώτο", "δεύτερο", "τρίτο"...). Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με λατινικό γράμμα Ν (μπορείτε να θυμάστε με βάση Αγγλική λέξηφυσικός). Μπορεί να ειπωθεί ότι Ν ={1,2,3,....}
Ολόκληροι αριθμοί– αυτοί είναι αριθμοί από το σύνολο (0, 1, -1, 2, -2, ....). Αυτό το σύνολο αποτελείται από τρία μέρη - φυσικούς αριθμούς, αρνητικούς ακέραιους (το αντίθετο των φυσικών αριθμών) και τον αριθμό 0 (μηδέν). Οι ακέραιοι αριθμοί συμβολίζονται με λατινικό γράμμα Ζ . Μπορεί να ειπωθεί ότι Ζ ={1,2,3,....}.
Ρητοί αριθμοίείναι αριθμοί που παριστάνονται ως κλάσμα, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Το λατινικό γράμμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει ρητούς αριθμούς Q . Όλοι οι φυσικοί αριθμοί και οι ακέραιοι είναι ρητικοί.
Πραγματικοί αριθμοίείναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση συνεχών μεγεθών. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα R. Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τους ρητούς αριθμούς και τους άρρητους αριθμούς. Οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης διαφόρων πράξεων με ορθολογικούς αριθμούς (για παράδειγμα, ρίζες, υπολογισμός λογαρίθμων), αλλά δεν είναι ορθολογικοί.
1. Αριθμητικά συστήματα.
Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένας τρόπος ονομασίας και γραφής αριθμών. Ανάλογα με τη μέθοδο αναπαράστασης των αριθμών, χωρίζονται σε θέσεις - δεκαδικούς και μη θέσεις - ρωμαϊκούς.
Οι υπολογιστές χρησιμοποιούν συστήματα αριθμών 2 ψηφίων, 8 ψηφίων και 16 ψηφίων.
Διαφορές: η καταγραφή ενός αριθμού στο 16ο σύστημα αριθμών είναι πολύ μικρότερη σε σύγκριση με μια άλλη εγγραφή, δηλ. απαιτεί μικρότερο βάθος bit.
Σε ένα σύστημα αριθμών θέσης, κάθε ψηφίο διατηρεί τη σταθερή του τιμή ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Σε ένα σύστημα αριθμών θέσης, κάθε ψηφίο καθορίζει όχι μόνο τη σημασία του, αλλά εξαρτάται και από τη θέση που καταλαμβάνει στον αριθμό. Κάθε σύστημα αριθμών χαρακτηρίζεται από μια βάση. Η βάση είναι ο αριθμός των διαφορετικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών. Η βάση δείχνει πόσες φορές αλλάζει η τιμή του ίδιου ψηφίου όταν μετακινείται σε διπλανή θέση. Ο υπολογιστής χρησιμοποιεί ένα σύστημα 2 αριθμών. Η βάση του συστήματος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Οι αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς σε οποιαδήποτε θέση εκτελούνται σύμφωνα με κανόνες παρόμοιους με το σύστημα των 10 αριθμών. Ο αριθμός 2 χρησιμοποιεί δυαδική αριθμητική, η οποία υλοποιείται σε έναν υπολογιστή για την εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών.
Πρόσθεση δυαδικών αριθμών:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
Αφαίρεση:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
Πολλαπλασιασμός:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
Ο υπολογιστής χρησιμοποιεί ευρέως το σύστημα 8 αριθμών και το σύστημα αριθμών 16. Χρησιμοποιούνται για τη συντόμευση δυαδικών αριθμών.
2. Η έννοια του συνόλου.
Η έννοια του «συνόλου» είναι μια θεμελιώδης έννοια στα μαθηματικά και δεν έχει ορισμό. Η φύση της δημιουργίας οποιουδήποτε συνόλου είναι ποικίλη, ιδίως τα γύρω αντικείμενα, Ζωντανή φύσηκαι τα λοιπά.
Ορισμός 1: Τα αντικείμενα από τα οποία σχηματίζεται ένα σύνολο λέγονται στοιχεία αυτού του συνόλου. Για να δηλώσετε ένα σύνολο, χρησιμοποιήστε κεφαλαία γράμματαΛατινικό αλφάβητο: για παράδειγμα X, Y, Z, και σε σγουρές αγκύλες, χωρισμένες με κόμμα, τα στοιχεία του γράφονται με πεζά γράμματα, για παράδειγμα: (x,y,z).
Ένα παράδειγμα σημειογραφίας για ένα σύνολο και τα στοιχεία του:
X = (x 1, x 2,…, x n) – ένα σύνολο που αποτελείται από n στοιχεία. Εάν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο X, τότε θα πρέπει να γραφεί: xÎX, διαφορετικά το στοιχείο x δεν ανήκει στο σύνολο X, το οποίο γράφεται: xÏX. Στοιχεία ενός αφηρημένου συνόλου μπορεί να είναι, για παράδειγμα, αριθμοί, συναρτήσεις, γράμματα, σχήματα κ.λπ. Στα μαθηματικά, σε οποιαδήποτε ενότητα, χρησιμοποιείται η έννοια του συνόλου. Συγκεκριμένα, μπορούμε να δώσουμε ορισμένα συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x που ικανοποιεί τις ανισώσεις:
· ονομάζεται a ≤ x ≤ b τμήμακαι συμβολίζεται με ;
a ≤ x< b или а < x ≤ b называется μισό τμήμακαι συμβολίζεται με: ;
· ΕΝΑ< x < b называется διάστημακαι συμβολίζεται με (a,b).
Ορισμός 2: Ένα σύνολο που έχει πεπερασμένο αριθμό στοιχείων ονομάζεται πεπερασμένο. Παράδειγμα. X = (x 1 , x 2 , x 3 ).
Ορισμός 3: Το σετ καλείται ατελείωτες, αν αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι άπειρο. Παράδειγμα καταχώρισης. X = (x 1, x 2, ...).
Ορισμός 4: Ένα σύνολο που δεν έχει ένα μόνο στοιχείο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με το σύμβολο Æ.
Χαρακτηριστικό ενός συνόλου είναι η έννοια της δύναμης. Ισχύς είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Το σύνολο Y=(y 1 , y 2 ,...) έχει την ίδια πληθώρα με το σύνολο X=(x 1 , x 2 ,...) αν υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα y= f(x ) μεταξύ των στοιχείων αυτών των συνόλων. Τέτοια σύνολα έχουν την ίδια καρδινάτητα ή έχουν την ίδια καρδινάτητα. Ένα άδειο σύνολο έχει μηδενικό χαρακτήρα.
3. Μέθοδοι καθορισμού συνόλων.
Πιστεύεται ότι ένα σύνολο ορίζεται από τα στοιχεία του, δηλ. δίνεται το σετ,αν μπορούμε να πούμε για οποιοδήποτε αντικείμενο: ανήκει σε αυτό το σύνολο ή δεν ανήκει. Μπορείτε να καθορίσετε ένα σύνολο με τους εξής τρόπους:
1) Εάν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο, τότε μπορεί να οριστεί παραθέτοντας όλα τα στοιχεία του. Έτσι, εάν το σετ ΕΝΑαποτελείται από στοιχεία 2, 5, 7, 12 , μετά γράφουν A = (2, 5, 7, 12).Αριθμός στοιχείων του συνόλου ΕΝΑισοδυναμεί 4 , γράφουν n(A) = 4.
Αν όμως το σύνολο είναι άπειρο, τότε τα στοιχεία του δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Είναι δύσκολο να ορίσουμε ένα σύνολο με απαρίθμηση και ένα πεπερασμένο σύνολο με ένας μεγάλος αριθμόςστοιχεία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος καθορισμού ενός συνόλου.
2) Ένα σύνολο μπορεί να καθοριστεί υποδεικνύοντας τη χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων του. Χαρακτηριστική ιδιότητα- Αυτή είναι μια ιδιότητα που έχει κάθε στοιχείο που ανήκει σε ένα σύνολο και όχι ένα στοιχείο που δεν ανήκει σε αυτό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα σύνολο Χ διψήφιων αριθμών: η ιδιότητα που έχει κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου είναι «να είναι διψήφιος αριθμός». Αυτή η χαρακτηριστική ιδιότητα καθιστά δυνατό να αποφασίσουμε εάν ένα αντικείμενο ανήκει στο σύνολο X ή δεν ανήκει. Για παράδειγμα, ο αριθμός 45 περιέχεται σε αυτό το σύνολο, επειδή είναι διψήφιος και ο αριθμός 4 δεν ανήκει στο σύνολο Χ, γιατί είναι μονοσήμαντο και όχι δύο αξιών. Συμβαίνει ότι το ίδιο σύνολο μπορεί να οριστεί υποδεικνύοντας διαφορετικές χαρακτηριστικές ιδιότητες των στοιχείων του. Για παράδειγμα, ένα σύνολο τετραγώνων μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο από ορθογώνια με ίσες πλευρές και ως ένα σύνολο ρόμβων με ορθές γωνίες.
Σε περιπτώσεις όπου η χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων ενός συνόλου μπορεί να αναπαρασταθεί σε συμβολική μορφή, είναι δυνατή η αντίστοιχη σημείωση. Αν το σετ ΣΕαποτελείται από όλους τους φυσικούς αριθμούς μικρότερους από 10, μετά γράφουν B = (x N| x<10}.
Η δεύτερη μέθοδος είναι πιο γενική και σας επιτρέπει να καθορίσετε τόσο πεπερασμένα όσο και άπειρα σύνολα.
4. Αριθμητικά σύνολα.
Αριθμητικό - ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι αριθμοί. Τα αριθμητικά σύνολα καθορίζονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών R. Σε αυτόν τον άξονα επιλέγεται η κλίμακα και υποδεικνύονται η αρχή και η κατεύθυνση. Τα πιο κοινά σύνολα αριθμών:
· - σύνολο φυσικών αριθμών.
· - σύνολο ακεραίων αριθμών.
· - σύνολο ρητών ή κλασματικών αριθμών.
· - σύνολο πραγματικών αριθμών.
5. Ισχύς του σετ. Δώστε παραδείγματα πεπερασμένων και άπειρων συνόλων.
Τα σύνολα ονομάζονται εξίσου ισχυρά ή ισοδύναμα εάν υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα ή ένα προς ένα μεταξύ τους, δηλαδή μια αντιστοιχία ανά ζεύγη. όταν κάθε στοιχείο ενός συνόλου συσχετίζεται με ένα μόνο στοιχείο ενός άλλου συνόλου και αντίστροφα, ενώ διαφορετικά στοιχεία ενός συνόλου συνδέονται με διαφορετικά στοιχεία ενός άλλου συνόλου.
Για παράδειγμα, ας πάρουμε μια ομάδα τριάντα μαθητών και ας εκδόσουμε εισιτήρια εξετάσεων, ένα εισιτήριο για κάθε μαθητή από μια στοίβα που περιέχει τριάντα εισιτήρια, μια τέτοια αντιστοιχία ζευγών 30 μαθητών και 30 εισιτηρίων θα είναι ένα προς ένα.
Δύο σετ ίσης καρδιναικότητας με το ίδιο τρίτο σετ είναι ίσης καρδιναικότητας. Εάν τα σύνολα M και N είναι ίσης καρδιναικότητας, τότε τα σύνολα όλων των υποσυνόλων καθενός από αυτά τα σύνολα M και N είναι επίσης ίσης καρδιναικότητας.
Ένα υποσύνολο ενός δεδομένου συνόλου είναι ένα σύνολο έτσι ώστε κάθε στοιχείο του να είναι ένα στοιχείο του δεδομένου συνόλου. Έτσι το σύνολο των αυτοκινήτων και το σύνολο των φορτηγών θα είναι υποσύνολα του συνόλου των αυτοκινήτων.
Η ισχύς του συνόλου των πραγματικών αριθμών ονομάζεται δύναμη του συνεχούς και συμβολίζεται με το γράμμα «άλεφ» א . Το μικρότερο άπειρο πεδίο ορισμού είναι η καρδινάτητα του συνόλου των φυσικών αριθμών. Η καρδινάτητα του συνόλου όλων των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται με (αλεφ-μηδέν).
Οι δυνάμεις ονομάζονται συχνά βασικοί αριθμοί. Αυτή η έννοια εισήχθη από τον Γερμανό μαθηματικό G. Cantor. Εάν τα σύνολα συμβολίζονται με συμβολικά γράμματα M, N, τότε οι βασικοί αριθμοί συμβολίζονται με m, n. Ο G. Cantor απέδειξε ότι το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός δεδομένου συνόλου M έχει καρδινάτητα μεγαλύτερη από το ίδιο το σύνολο M.
Ένα σύνολο ίσο με το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο.
6. Υποσύνολα του καθορισμένου συνόλου.
Αν επιλέξουμε πολλά στοιχεία από το σύνολο μας και τα ομαδοποιήσουμε χωριστά, τότε αυτό θα είναι ένα υποσύνολο του συνόλου μας. Υπάρχουν πολλοί συνδυασμοί από τους οποίους μπορεί να ληφθεί ένα υποσύνολο ο αριθμός των συνδυασμών εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των στοιχείων στο αρχικό σύνολο.
Ας έχουμε δύο σύνολα Α και Β. Αν κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι στοιχείο του συνόλου Α, τότε το σύνολο Β ονομάζεται υποσύνολο του Α. Συμβολίζεται με: Β ⊂ Α. Παράδειγμα.
Πόσα υποσύνολα του συνόλου A=1;2;3 υπάρχουν;
Λύση. Υποσύνολα που αποτελούνται από στοιχεία του συνόλου μας. Τότε έχουμε 4 επιλογές για τον αριθμό των στοιχείων στο υποσύνολο:
Ένα υποσύνολο μπορεί να αποτελείται από 1 στοιχείο, 2, 3 στοιχεία και μπορεί να είναι κενό. Ας γράψουμε τα στοιχεία μας διαδοχικά.
Υποσύνολο 1 στοιχείου: 1,2,3
Υποσύνολο 2 στοιχείων: 1,2,1,3,2,3.
Υποσύνολο 3 στοιχείων: 1;2;3
Ας μην ξεχνάμε ότι και το κενό σύνολο είναι υποσύνολο του συνόλου μας. Τότε διαπιστώνουμε ότι έχουμε 3+3+1+1=8 υποσύνολα.
7. Λειτουργίες σε σετ.
Ορισμένες πράξεις μπορούν να εκτελεστούν σε σύνολα, παρόμοιες από ορισμένες απόψεις με πράξεις σε πραγματικούς αριθμούς στην άλγεβρα. Επομένως, μπορούμε να μιλήσουμε για άλγεβρα συνόλου.
Σχέση(σύνδεση) συνόλων ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ένα σύνολο (συμβολικά συμβολίζεται με ), που αποτελείται από όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα ΕΝΑή ΣΕ. Σε μορφή από Χη ένωση των συνόλων γράφεται ως εξής
Το λήμμα λέει: «Ενοποίηση ΕΝΑΚαι ΣΕ" ή " ΕΝΑ, συνδυασμένο με ΣΕ».
Οι λειτουργίες συνόλου αναπαρίστανται οπτικά γραφικά χρησιμοποιώντας κύκλους Euler (μερικές φορές χρησιμοποιείται ο όρος "διαγράμματα Venn-Euler"). Αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ΕΝΑθα συγκεντρωθεί μέσα στον κύκλο ΕΝΑ, και τα στοιχεία του συνόλου ΣΕ- μέσα σε κύκλο ΣΕ, η λειτουργία ενοποίησης χρησιμοποιώντας κύκλους Euler μπορεί να αναπαρασταθεί στην ακόλουθη μορφή
Παράδειγμα 1. Ένωση πολλών ΕΝΑ= (0, 2, 4, 6, 8) ζυγά ψηφία και σύνολα ΣΕ= (1, 3, 5, 7, 9) περιττά ψηφία είναι το σύνολο = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) όλων των ψηφίων του δεκαδικού συστήματος αριθμών.
8. Γραφική παράσταση συνόλων. Διαγράμματα Euler-Venn.
Τα διαγράμματα Euler-Venn είναι γεωμετρικές αναπαραστάσεις συνόλων. Η κατασκευή του διαγράμματος αποτελείται από τη σχεδίαση ενός μεγάλου ορθογωνίου που αντιπροσωπεύει το καθολικό σύνολο U, και μέσα σε αυτό - κύκλοι (ή κάποιες άλλες κλειστές φιγούρες) που αντιπροσωπεύουν σύνολα. Τα σχήματα πρέπει να τέμνονται με τον πιο γενικό τρόπο που απαιτείται από το πρόβλημα και πρέπει να επισημαίνονται ανάλογα. Τα σημεία που βρίσκονται μέσα σε διαφορετικές περιοχές του διαγράμματος μπορούν να θεωρηθούν ως στοιχεία των αντίστοιχων συνόλων. Με το διάγραμμα που έχει κατασκευαστεί, μπορείτε να σκιάζετε ορισμένες περιοχές για να υποδείξετε νεοσχηματισμένα σύνολα.
Οι λειτουργίες συνόλου θεωρείται ότι αποκτούν νέα σύνολα από υπάρχοντα.
Ορισμός. ΣχέσηΤα σύνολα Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α, Β (Εικ. 1):
Ορισμός. Με τη διέλευσηΤα σύνολα Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β (Εικ. 2):
Ορισμός. Με διαφοράΤα σύνολα Α και Β είναι το σύνολο όλων εκείνων και μόνο εκείνων των στοιχείων του Α που δεν περιέχονται στο Β (Εικ. 3):
Ορισμός. Συμμετρική διαφοράσκηνικάΤα Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων αυτών των συνόλων που ανήκουν είτε μόνο στο σύνολο Α είτε μόνο στο σύνολο Β (Εικ. 4):
Καρτεσιανό (ή άμεσο) γινόμενο συνόλωνΕΝΑΚαι σιένα τέτοιο προκύπτον σύνολο ζευγών της μορφής ( Χ,y) κατασκευασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε το πρώτο στοιχείο από το σύνολο ΕΝΑ, και το δεύτερο στοιχείο του ζεύγους είναι από το σετ σι. Κοινή ονομασία:
ΕΝΑ× σι={(Χ,y)|Χ∈ΕΝΑ,y∈σι}
Τα προϊόντα τριών ή περισσότερων σετ μπορούν να κατασκευαστούν ως εξής:
ΕΝΑ× σι× ντο={(Χ,y,z)|Χ∈ΕΝΑ,y∈σι,z∈ντο}
Προϊόντα της φόρμας ΕΝΑ× ΕΝΑ,ΕΝΑ× ΕΝΑ× ΕΝΑ,ΕΝΑ× ΕΝΑ× ΕΝΑ× ΕΝΑκαι τα λοιπά. Συνηθίζεται να το γράφουμε ως πτυχίο: ΕΝΑ 2 ,ΕΝΑ 3 ,ΕΝΑ 4 (η βάση του βαθμού είναι το σύνολο του πολλαπλασιαστή, ο εκθέτης είναι ο αριθμός των γινομένων). Διαβάζουν μια τέτοια καταχώρηση ως «καρτεσιανό τετράγωνο» (κύβος, κ.λπ.). Υπάρχουν και άλλες αναγνώσεις για τα κύρια σετ. Για παράδειγμα, ο R nΣυνηθίζεται να διαβάζεται ως "er nnoe".
Ιδιότητες
Ας εξετάσουμε διάφορες ιδιότητες του καρτεσιανού προϊόντος:
1. Αν ΕΝΑ,σιείναι πεπερασμένα σύνολα, λοιπόν ΕΝΑ× σι- τελικό. Και αντίστροφα, αν ένα από τα σύνολα παραγόντων είναι άπειρο, τότε το αποτέλεσμα του γινομένου τους είναι ένα άπειρο σύνολο.
2. Ο αριθμός των στοιχείων σε ένα καρτεσιανό γινόμενο είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμών των στοιχείων των συνόλων παραγόντων (αν είναι πεπερασμένα, φυσικά): | ΕΝΑ× σι|=|ΕΝΑ|⋅|σι| .
3. Ένα np ≠(A n) Π- στην πρώτη περίπτωση, είναι σκόπιμο να θεωρηθεί το αποτέλεσμα του καρτεσιανού προϊόντος ως μήτρα διαστάσεων 1× n.p., στο δεύτερο - ως μήτρα μεγεθών n× Π .
4. Δεν ικανοποιείται ο μετατροπικός νόμος, γιατί Τα ζεύγη στοιχείων του αποτελέσματος ενός καρτεσιανού προϊόντος ταξινομούνται: ΕΝΑ× σι≠σι× ΕΝΑ .
5. Δεν πληρούται ο συνεταιριστικός νόμος: ( ΕΝΑ× σι)× ντο≠ΕΝΑ×( σι× ντο) .
6. Υπάρχει διανεμητικότητα σε σχέση με τις βασικές πράξεις στα σύνολα: ( ΕΝΑ∗σι)× ντο=(ΕΝΑ× ντο)∗(σι× ντο),∗∈{∩,∪,∖}
10. Η έννοια της εκφοράς. Στοιχειώδεις και σύνθετες προτάσεις.
Δήλωσηείναι μια δήλωση ή δηλωτική πρόταση που μπορεί να ειπωθεί ότι είναι σωστή (I-1) ή ψευδής (F-0), αλλά όχι και τα δύο.
Για παράδειγμα, «Σήμερα βρέχει», «Ο Ιβάνοφ ολοκλήρωσε το εργαστήριο Νο. 2 στη φυσική».
Εάν έχουμε πολλές αρχικές δηλώσεις, τότε από αυτές, χρησιμοποιώντας λογικές ενώσεις ή σωματίδια μπορούμε να σχηματίσουμε νέες δηλώσεις, η τιμή της αλήθειας των οποίων εξαρτάται μόνο από τις τιμές αλήθειας των αρχικών δηλώσεων και από τους συγκεκριμένους συνδέσμους και τα σωματίδια που συμμετέχουν στην κατασκευή της νέας δήλωσης. Οι λέξεις και οι εκφράσεις «και», «ή», «όχι», «αν..., τότε», «άρα», «τότε και μόνο τότε» είναι παραδείγματα τέτοιων συνδέσμων. Οι αρχικές δηλώσεις καλούνται απλός και νέες δηλώσεις που κατασκευάστηκαν από αυτές με τη βοήθεια ορισμένων λογικών συνδέσεων - σύνθετος . Φυσικά, η λέξη «απλή» δεν έχει καμία σχέση με την ουσία ή τη δομή των αρχικών δηλώσεων, οι οποίες από μόνες τους μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκες. Σε αυτό το πλαίσιο, η λέξη «απλό» είναι συνώνυμη με τη λέξη «πρωτότυπο». Αυτό που έχει σημασία είναι ότι οι τιμές αλήθειας των απλών δηλώσεων θεωρείται ότι είναι γνωστές ή δεδομένες. σε κάθε περίπτωση δεν συζητιούνται με κανέναν τρόπο.
Αν και μια δήλωση όπως «Σήμερα δεν είναι Πέμπτη» δεν αποτελείται από δύο διαφορετικές απλές δηλώσεις, για ομοιομορφία κατασκευής θεωρείται επίσης ως σύνθετο, αφού η τιμή αλήθειας της καθορίζεται από την τιμή αλήθειας της άλλης πρότασης «Σήμερα είναι Πέμπτη. ”
Παράδειγμα 2.Οι ακόλουθες δηλώσεις θεωρούνται συστατικά:
Διαβάζω Moskovsky Komsomolets και διαβάζω Kommersant.
Αν το είπε, τότε είναι αλήθεια.
Ο ήλιος δεν είναι αστέρι.
Αν έχει ήλιο και η θερμοκρασία ξεπεράσει τους 25 0, θα φτάσω με τρένο ή αυτοκίνητο
Οι απλές δηλώσεις που περιλαμβάνονται στις ενώσεις μπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετες. Συγκεκριμένα, οι ίδιοι μπορούν να είναι σύνθετοι. Οι βασικοί τύποι σύνθετων δηλώσεων που περιγράφονται παρακάτω ορίζονται ανεξάρτητα από τις απλές προτάσεις που τις σχηματίζουν.
11. Πράξεις επί δηλώσεων.
1. Λειτουργία άρνησης.
Με την άρνηση της δήλωσης ΕΝΑ (γράφει «όχι ΕΝΑ», «δεν είναι αλήθεια αυτό ΕΝΑ"), το οποίο ισχύει όταν ΕΝΑψευδής και ψευδής όταν ΕΝΑ– αλήθεια.
Δηλώσεις που διαψεύδουν η μία την άλλη ΕΝΑΚαι λέγονται απεναντι απο.
2. Λειτουργία συνδυασμού.
Σύνδεσηδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕονομάζεται δήλωση που συμβολίζεται με Α Β(διαβάζει " ΕΝΑΚαι ΣΕ"), οι πραγματικές τιμές των οποίων καθορίζονται εάν και μόνο εάν και οι δύο δηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕείναι αληθινές.
Ο συνδυασμός των δηλώσεων ονομάζεται λογικό γινόμενο και συχνά συμβολίζεται ΑΒ.
Ας δοθεί δήλωση ΕΝΑ- «Τον Μάρτιο η θερμοκρασία του αέρα είναι από 0 Cσε + 7 Γ" και λέγοντας ΣΕ- «Στο Βίτεμπσκ βρέχει». Επειτα Α Βθα έχει ως εξής: «τον Μάρτιο η θερμοκρασία του αέρα είναι από 0 Cσε + 7 Γκαι βρέχει στο Βίτεμπσκ». Αυτός ο συνδυασμός θα ισχύει αν υπάρχουν δηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕαληθής. Αν αποδειχθεί ότι η θερμοκρασία ήταν μικρότερη 0 Cή δεν έβρεχε τότε στο Vitebsk Α Βθα είναι ψευδής.
3 . Λειτουργία διαχωρισμού.
Διαχώρισηδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕκάλεσε μια δήλωση Α Β (ΕΝΑή ΣΕ), το οποίο είναι αληθές εάν και μόνο εάν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις είναι αληθής και ψευδής - όταν και οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς.
Ο διαχωρισμός των δηλώσεων ονομάζεται επίσης λογικό άθροισμα Α+Β.
Η ΔΗΛΩΣΗ " 4<5 ή 4=5 " είναι αλήθεια. Από τη δήλωση " 4<5 "Είναι αλήθεια και η δήλωση" 4=5 » – ψεύτικο, λοιπόν Α Βαντιπροσωπεύει την αληθινή δήλωση" 4 5 ».
4 . Λειτουργία υπονοούμενων.
Με υπονοούμεναδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕκάλεσε μια δήλωση Α Β("Αν ΕΝΑ, Οτι ΣΕ", "από ΕΝΑπρέπει ΣΕ"), του οποίου η τιμή είναι ψευδής εάν και μόνο εάν ΕΝΑαλήθεια, αλλά ΣΕψευδής.
Σε υπονοούμενα Α Βδήλωση ΕΝΑπου ονομάζεται βάση,ή υπόθεση, και η δήλωση ΣΕ – συνέπεια,ή συμπέρασμα.
12. Πίνακες αληθείας δηλώσεων.
Ένας πίνακας αλήθειας είναι ένας πίνακας που δημιουργεί μια αντιστοιχία μεταξύ όλων των πιθανών συνόλων λογικών μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε μια λογική συνάρτηση και των τιμών της συνάρτησης.
Οι πίνακες αλήθειας χρησιμοποιούνται για:
Υπολογισμός της αλήθειας σύνθετων δηλώσεων.
Καθιέρωση της ισοδυναμίας των δηλώσεων.
Ορισμοί ταυτολογιών.
Από μια τεράστια ποικιλία όλων των ειδών σκηνικάΙδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα λεγόμενα σύνολα αριθμών, δηλαδή σύνολα των οποίων τα στοιχεία είναι αριθμοί. Είναι σαφές ότι για να εργαστείτε άνετα μαζί τους πρέπει να μπορείτε να τα γράψετε. Θα ξεκινήσουμε αυτό το άρθρο με τη σημείωση και τις αρχές της γραφής αριθμητικών συνόλων. Στη συνέχεια, ας δούμε πώς απεικονίζονται τα αριθμητικά σύνολα σε μια γραμμή συντεταγμένων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Γράψιμο αριθμητικών συνόλων
Ας ξεκινήσουμε με την αποδεκτή σημείωση. Όπως γνωρίζετε, τα κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν σύνολα. Τα αριθμητικά σύνολα, ως ειδική περίπτωση συνόλων, ορίζονται επίσης. Για παράδειγμα, μπορούμε να μιλήσουμε για σύνολα αριθμών A, H, W κ.λπ. Τα σύνολα φυσικών, ακέραιων, ρητών, πραγματικών, μιγαδικών αριθμών κ.λπ. έχουν ιδιαίτερη σημασία για αυτούς.
- N – σύνολο όλων των φυσικών αριθμών.
- Z – σύνολο ακεραίων αριθμών.
- Q – σύνολο ρητών αριθμών.
- J – σύνολο παράλογων αριθμών.
- R – σύνολο πραγματικών αριθμών.
- C είναι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
Από εδώ είναι σαφές ότι δεν πρέπει να υποδηλώνετε ένα σύνολο που αποτελείται, για παράδειγμα, από δύο αριθμούς 5 και −7 ως Q, αυτός ο προσδιορισμός θα είναι παραπλανητικός, καθώς το γράμμα Q συνήθως υποδηλώνει το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Για να δηλώσετε το καθορισμένο αριθμητικό σύνολο, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε κάποιο άλλο «ουδέτερο» γράμμα, για παράδειγμα, Α.
Εφόσον μιλάμε για σημειογραφία, ας υπενθυμίσουμε εδώ και τη σημειογραφία ενός κενού συνόλου, δηλαδή ενός συνόλου που δεν περιέχει στοιχεία. Συμβολίζεται με το πρόσημο ∅.
Ας θυμηθούμε επίσης τον προσδιορισμό του εάν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι σε ένα σύνολο. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τα σημάδια ∈ - ανήκει και ∉ - δεν ανήκει. Για παράδειγμα, ο συμβολισμός 5∈N σημαίνει ότι ο αριθμός 5 ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών και ο 5,7∉Z - το δεκαδικό κλάσμα 5,7 δεν ανήκει στο σύνολο των ακεραίων.
Και ας θυμηθούμε επίσης τη σημειογραφία που υιοθετήθηκε για τη συμπερίληψη ενός συνόλου σε ένα άλλο. Είναι σαφές ότι όλα τα στοιχεία του συνόλου N περιλαμβάνονται στο σύνολο Z, επομένως το αριθμητικό σύνολο N περιλαμβάνεται στο Z, αυτό συμβολίζεται ως N⊂Z. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον συμβολισμό Z⊃N, που σημαίνει ότι το σύνολο όλων των ακεραίων Z περιλαμβάνει το σύνολο N. Οι σχέσεις που δεν περιλαμβάνονται και δεν περιλαμβάνονται υποδεικνύονται με ⊄ και , αντίστοιχα. Χρησιμοποιούνται επίσης μη αυστηρά σημάδια συμπερίληψης της μορφής ⊆ και ⊇, που σημαίνει περιλαμβάνεται ή συμπίπτει και περιλαμβάνει ή συμπίπτει, αντίστοιχα.
Μιλήσαμε για σημειογραφία, ας περάσουμε στην περιγραφή των αριθμητικών συνόλων. Σε αυτή την περίπτωση, θα θίξουμε μόνο τις κύριες περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη.
Ας ξεκινήσουμε με αριθμητικά σύνολα που περιέχουν πεπερασμένο και μικρό αριθμό στοιχείων. Είναι βολικό να περιγράψουμε αριθμητικά σύνολα που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων παραθέτοντας όλα τα στοιχεία τους. Όλα τα αριθμητικά στοιχεία γράφονται χωρισμένα με κόμμα και περικλείονται σε , το οποίο είναι σύμφωνο με το γενικό κανόνες για την περιγραφή των συνόλων. Για παράδειγμα, ένα σύνολο που αποτελείται από τρεις αριθμούς 0, −0,25 και 4/7 μπορεί να περιγραφεί ως (0, −0,25, 4/7).
Μερικές φορές, όταν ο αριθμός των στοιχείων ενός αριθμητικού συνόλου είναι αρκετά μεγάλος, αλλά τα στοιχεία υπακούουν σε ένα συγκεκριμένο μοτίβο, χρησιμοποιείται μια έλλειψη για περιγραφή. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των περιττών αριθμών από το 3 έως το 99 συμπεριλαμβανομένου μπορεί να γραφτεί ως (3, 5, 7, ..., 99).
Έτσι προσεγγίσαμε ομαλά την περιγραφή αριθμητικών συνόλων, ο αριθμός των στοιχείων των οποίων είναι άπειρος. Μερικές φορές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας όλες τις ίδιες ελλείψεις. Για παράδειγμα, ας περιγράψουμε το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών: N=(1, 2. 3, …) .
Χρησιμοποιούν επίσης την περιγραφή των αριθμητικών συνόλων υποδεικνύοντας τις ιδιότητες των στοιχείων του. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός (χ| ιδιότητες). Για παράδειγμα, ο συμβολισμός (n| 8·n+3, n∈N) καθορίζει το σύνολο των φυσικών αριθμών που, όταν διαιρούνται με το 8, αφήνουν ένα υπόλοιπο 3. Αυτό το ίδιο σύνολο μπορεί να περιγραφεί ως (11,19, 27, ...).
Σε ειδικές περιπτώσεις, αριθμητικά σύνολα με άπειρο αριθμό στοιχείων είναι τα γνωστά σύνολα N, Z, R κ.λπ. ή διαστήματα αριθμών. Βασικά, τα αριθμητικά σύνολα αντιπροσωπεύονται ως Ενωσητα συστατικά τους μεμονωμένα αριθμητικά διαστήματα και αριθμητικά σύνολα με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων (για τα οποία μιλήσαμε ακριβώς παραπάνω).
Ας δείξουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι το σύνολο αριθμών αποτελείται από τους αριθμούς −10, −9, −8,56, 0, όλους τους αριθμούς του τμήματος [−5, −1,3] και τους αριθμούς της ανοιχτής αριθμητικής γραμμής (7, +∞). Λόγω του ορισμού μιας ένωσης συνόλων, το καθορισμένο αριθμητικό σύνολο μπορεί να γραφτεί ως {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει στην πραγματικότητα ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία των συνόλων (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] και (7, +∞).
Ομοίως, με το συνδυασμό διαφορετικών διαστημάτων αριθμών και συνόλων μεμονωμένων αριθμών, μπορεί να περιγραφεί οποιοδήποτε σύνολο αριθμών (που αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς). Εδώ καθίσταται σαφές γιατί εισήχθησαν τέτοιοι τύποι αριθμητικών διαστημάτων όπως το διάστημα, το μισό διάστημα, το τμήμα, η ανοιχτή αριθμητική ακτίνα και η αριθμητική ακτίνα: όλα αυτά, σε συνδυασμό με σημειώσεις για σύνολα μεμονωμένων αριθμών, καθιστούν δυνατή την περιγραφή οποιωνδήποτε αριθμητικών συνόλων μέσω την ένωσή τους.
Λάβετε υπόψη ότι όταν γράφετε ένα σύνολο αριθμών, οι αριθμοί που το αποτελούν και τα αριθμητικά διαστήματα ταξινομούνται με αύξουσα σειρά. Αυτή δεν είναι απαραίτητη αλλά επιθυμητή συνθήκη, καθώς ένα διατεταγμένο αριθμητικό σύνολο είναι πιο εύκολο να φανταστεί κανείς και να απεικονίσει σε μια γραμμή συντεταγμένων. Σημειώστε επίσης ότι τέτοιες εγγραφές δεν χρησιμοποιούν αριθμητικά διαστήματα με κοινά στοιχεία, καθώς τέτοιες εγγραφές μπορούν να αντικατασταθούν με συνδυασμό αριθμητικών διαστημάτων χωρίς κοινά στοιχεία. Για παράδειγμα, η ένωση αριθμητικών συνόλων με κοινά στοιχεία [−10, 0] και (−5, 3) είναι το μισό διάστημα [−10, 3) . Το ίδιο ισχύει και για την ένωση αριθμητικών διαστημάτων με τους ίδιους οριακούς αριθμούς, για παράδειγμα, η ένωση (3, 5]∪(5, 7] είναι ένα σύνολο (3, 7] , θα σταθούμε σε αυτό ξεχωριστά όταν μάθουμε να βρείτε την τομή και την ένωση αριθμητικών συνόλων
Αναπαράσταση συνόλων αριθμών σε μια γραμμή συντεταγμένων
Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε γεωμετρικές εικόνες αριθμητικών συνόλων - οι εικόνες τους ενεργοποιούνται. Για παράδειγμα, όταν επίλυση ανισοτήτων, στο οποίο είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το ODZ, είναι απαραίτητο να απεικονιστούν αριθμητικά σύνολα για να βρεθεί η τομή ή/και η ένωσή τους. Θα είναι λοιπόν χρήσιμο να κατανοήσουμε καλά όλες τις αποχρώσεις της απεικόνισης αριθμητικών συνόλων σε μια γραμμή συντεταγμένων.
Είναι γνωστό ότι υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των σημείων της γραμμής συντεταγμένων και των πραγματικών αριθμών, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η γραμμή συντεταγμένων είναι ένα γεωμετρικό μοντέλο του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών R. Έτσι, για να απεικονίσετε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, πρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή συντεταγμένων με σκίαση σε όλο το μήκος της:
Και συχνά δεν υποδεικνύουν καν την προέλευση και το τμήμα μονάδας: 
Τώρα ας μιλήσουμε για την εικόνα των αριθμητικών συνόλων, τα οποία αντιπροσωπεύουν έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων αριθμών. Για παράδειγμα, ας απεικονίσουμε το σύνολο αριθμών (−2, −0,5, 1,2) . Η γεωμετρική εικόνα αυτού του συνόλου, που αποτελείται από τρεις αριθμούς −2, −0,5 και 1,2, θα είναι τρία σημεία της γραμμής συντεταγμένων με τις αντίστοιχες συντεταγμένες: 
Σημειώστε ότι συνήθως για πρακτικούς σκοπούς δεν χρειάζεται να πραγματοποιηθεί ακριβώς το σχέδιο. Συχνά αρκεί ένα σχηματικό σχέδιο, το οποίο σημαίνει ότι δεν είναι απαραίτητο να διατηρηθεί η κλίμακα σε αυτή την περίπτωση, είναι σημαντικό μόνο να διατηρηθεί η σχετική θέση των σημείων μεταξύ τους: οποιοδήποτε σημείο με μικρότερη συντεταγμένη πρέπει να είναι προς το αριστερά από ένα σημείο με μεγαλύτερη συντεταγμένη. Το προηγούμενο σχέδιο θα μοιάζει σχηματικά ως εξής: 
Ξεχωριστά, από όλα τα είδη αριθμητικών συνόλων, διακρίνονται αριθμητικά διαστήματα (διαστήματα, ημιδιαστήματα, ακτίνες κ.λπ.), τα οποία αντιπροσωπεύουν τις γεωμετρικές τους εικόνες, τα εξετάσαμε αναλυτικά στην ενότητα. Δεν θα επαναλαμβανόμαστε εδώ.
Και μένει μόνο να σταθούμε στην εικόνα των αριθμητικών συνόλων, τα οποία είναι μια ένωση πολλών αριθμητικών διαστημάτων και συνόλων που αποτελούνται από μεμονωμένους αριθμούς. Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο εδώ: σύμφωνα με την έννοια της ένωσης σε αυτές τις περιπτώσεις, στη γραμμή συντεταγμένων είναι απαραίτητο να απεικονιστούν όλα τα συστατικά του συνόλου ενός δεδομένου αριθμητικού συνόλου. Για παράδειγμα, ας δείξουμε μια εικόνα ενός συνόλου αριθμών (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : 
Και ας σταθούμε σε αρκετά συνηθισμένες περιπτώσεις όπου το εικονιζόμενο αριθμητικό σύνολο αντιπροσωπεύει ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση ένα ή περισσότερα σημεία. Τέτοια σύνολα προσδιορίζονται συχνά από συνθήκες όπως x≠5 ή x≠−1, x≠2, x≠3.7, κ.λπ. Σε αυτές τις περιπτώσεις, γεωμετρικά αντιπροσωπεύουν ολόκληρη τη γραμμή συντεταγμένων, με εξαίρεση τα αντίστοιχα σημεία. Με άλλα λόγια, αυτά τα σημεία πρέπει να «ξεκολληθούν» από τη γραμμή συντεταγμένων. Απεικονίζονται ως κύκλοι με κενό κέντρο. Για λόγους σαφήνειας, ας απεικονίσουμε ένα αριθμητικό σύνολο που αντιστοιχεί στις συνθήκες 
(αυτό το σετ ουσιαστικά υπάρχει): 
Συνοψίζω. Ιδανικά, οι πληροφορίες από τις προηγούμενες παραγράφους θα πρέπει να σχηματίζουν την ίδια άποψη της εγγραφής και της απεικόνισης των αριθμητικών συνόλων με την προβολή μεμονωμένων αριθμητικών διαστημάτων: η εγγραφή ενός αριθμητικού συνόλου θα πρέπει να δίνει αμέσως την εικόνα του στη γραμμή συντεταγμένων και από την εικόνα στο τη γραμμή συντεταγμένων θα πρέπει να είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε εύκολα το αντίστοιχο αριθμητικό σύνολο μέσω της ένωσης μεμονωμένων διαστημάτων και συνόλων που αποτελούνται από μεμονωμένους αριθμούς.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Μόρντκοβιτς Α. Γ.Αλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2011. - 222 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01752-3.
Η μαθηματική ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη συναρτήσεων με βάση την ιδέα μιας απειροελάχιστης συνάρτησης.
Οι βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης είναι ποσότητα, σύνολο, συνάρτηση, απειροελάχιστη συνάρτηση, όριο, παράγωγος, ολοκλήρωμα.
ΜέγεθοςΟτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί και να εκφραστεί με αριθμό ονομάζεται.
Πολλάείναι μια συλλογή ορισμένων στοιχείων που ενώνονται με κάποιο κοινό χαρακτηριστικό. Στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι αριθμοί, σχήματα, αντικείμενα, έννοιες κ.λπ.
Τα σύνολα σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα και τα στοιχεία του συνόλου με πεζά γράμματα. Τα στοιχεία των σετ περικλείονται σε σγουρά τιράντες.
Αν στοιχείο Χανήκει στο σύνολο Χ, μετά γράψε Χ∈Χ (∈
- ανήκει).
Εάν το σύνολο Α είναι μέρος του συνόλου Β, τότε γράψτε A ⊂ B (⊂
- περιέχεται).
Ένα σύνολο μπορεί να οριστεί με έναν από τους δύο τρόπους: με απαρίθμηση και χρησιμοποιώντας μια καθοριστική ιδιότητα.
Για παράδειγμα, τα ακόλουθα σύνολα καθορίζονται με απαρίθμηση:- A=(1,2,3,5,7) - σύνολο αριθμών
- Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - σύνολο μερικών στοιχείων x 1 ,x 2 ,...,x n
- N=(1,2,...,n) — σύνολο φυσικών αριθμών
- Z=(0,±1,±2,...,±n) — σύνολο ακεραίων
Το σύνολο (-∞;+∞) καλείται αριθμός γραμμής, και οποιοσδήποτε αριθμός είναι ένα σημείο σε αυτή τη γραμμή. Έστω α ένα αυθαίρετο σημείο στην αριθμητική ευθεία και δ θετικός αριθμός. Το διάστημα (α-δ, α+δ) ονομάζεται δ-γειτονιά σημείου α.
Ένα σύνολο X περιορίζεται από πάνω (από κάτω) εάν υπάρχει ένας αριθμός c τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x ∈ X ισχύει η ανισότητα x≤с (x≥c). Ο αριθμός c σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται επάνω (κάτω) άκροσύνολο X. Ένα σύνολο που οριοθετείται τόσο πάνω όσο και κάτω ονομάζεται περιορισμένος. Η μικρότερη (μεγαλύτερη) από τις άνω (κάτω) όψεις ενός συνόλου ονομάζεται ακριβής επάνω (κάτω) άκρηαυτού του πλήθους.
Βασικά σύνολα αριθμών
| Ν | (1,2,3,...,n) Σύνολο όλων |
| Ζ | (0, ±1, ±2, ±3,...) Σετ ακέραιοι αριθμοί.Το σύνολο των ακεραίων περιλαμβάνει το σύνολο των φυσικών αριθμών. |
| Q |
Ενα μάτσο ρητοί αριθμοί. Εκτός από τους ακέραιους αριθμούς, υπάρχουν και τα κλάσματα. Ένα κλάσμα είναι μια έκφραση της μορφής όπου Π- ακέραιος, q- φυσικό. Τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν επίσης να γραφτούν ως . Για παράδειγμα: 0,25 = 25/100 = 1/4. Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν επίσης να γραφτούν ως . Για παράδειγμα, με τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή "ένα": 2 = 2/1. Έτσι, οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό κλάσμα - πεπερασμένο ή άπειρα περιοδικό. |
| R |
Πολλά από όλους πραγματικούς αριθμούς. Οι παράλογοι αριθμοί είναι άπειρα μη περιοδικά κλάσματα. Αυτά περιλαμβάνουν: Μαζί, δύο σύνολα (ορθολογικοί και παράλογοι αριθμοί) σχηματίζουν το σύνολο των πραγματικών (ή πραγματικών) αριθμών. |
Εάν ένα σύνολο δεν περιέχει ένα μόνο στοιχείο, τότε καλείται άδειο σετκαι καταγράφεται Ø .
Στοιχεία λογικού συμβολισμού
Σημείωση ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
ΠοσοτικοποιητήςΟι ποσοτικοί δείκτες χρησιμοποιούνται συχνά κατά τη σύνταξη μαθηματικών παραστάσεων.
Ποσοτικοποιητήςονομάζεται λογικό σύμβολο που χαρακτηρίζει ποσοτικά τα στοιχεία που το ακολουθούν.
- ∀- γενικός ποσοτικός δείκτης, χρησιμοποιείται αντί των λέξεων «για όλους», «για οποιονδήποτε».
- ∃- ποσοτικοποιητής ύπαρξης, χρησιμοποιείται αντί των λέξεων «υπάρχει», «είναι διαθέσιμο». Χρησιμοποιείται επίσης ο συνδυασμός συμβόλων ∃, ο οποίος διαβάζεται σαν να υπάρχει μόνο ένα.
Ορισμός Λειτουργιών
Δύο Τα σύνολα Α και Β είναι ίσα(Α=Β) αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία.
Για παράδειγμα, αν A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) τότε A=B.
Κατά ένωση (άθροισμα)Τα σύνολα A και B είναι ένα σύνολο A ∪ B του οποίου τα στοιχεία ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από αυτά τα σύνολα.
Για παράδειγμα, αν A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), τότε A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Με διασταύρωση (προϊόν)τα σύνολα Α και Β λέγονται ένα σύνολο Α ∩ Β, τα στοιχεία του οποίου ανήκουν τόσο στο σύνολο Α όσο και στο σύνολο Β.
Για παράδειγμα, αν A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), τότε A ∩ B = (2,4)
Με διαφοράΤα σύνολα Α και Β ονομάζονται το σύνολο ΑΒ, τα στοιχεία του οποίου ανήκουν στο σύνολο Α, αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο Β.
Για παράδειγμα, αν A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), τότε AB = (1,2)
Συμμετρική διαφοράσύνολα Α και Β ονομάζεται το σύνολο Α Δ Β, που είναι η ένωση των διαφορών των συνόλων ΑΒ και ΒΑ, δηλαδή Α Δ Β = (ΑΒ) ∪ (ΒΑ).
Για παράδειγμα, αν A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), τότε A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)
Ιδιότητες συνόλου λειτουργιών
Ιδιότητες μεταβλητότηταςA ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα
Για να συγκριθούν οποιαδήποτε δύο σύνολα Α και Β, δημιουργείται μια αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων τους.
Εάν αυτή η αντιστοιχία είναι ένα προς ένα, τότε τα σύνολα ονομάζονται ισοδύναμα ή εξίσου ισχυρά, Α Β ή Β Α.
Παράδειγμα 1Το σύνολο των σημείων στο σκέλος BC και η υποτείνουσα AC του τριγώνου ABC είναι ίσης ισχύος.
Η φράση " σύνολα αριθμών«Είναι αρκετά συνηθισμένο στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών. Εκεί μπορείτε συχνά να βρείτε φράσεις όπως αυτή:
«Μπλα μπλα μπλα, που ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών».
Συχνά, αντί για το τέλος μιας φράσης, μπορείτε να δείτε κάτι τέτοιο. Σημαίνει το ίδιο με το κείμενο λίγο πιο πάνω - έναν αριθμό ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Πολλοί άνθρωποι συχνά δεν δίνουν προσοχή σε ποιο σύνολο ορίζεται αυτή ή εκείνη η μεταβλητή. Ως αποτέλεσμα, χρησιμοποιούνται εντελώς λανθασμένες μέθοδοι κατά την επίλυση ενός προβλήματος ή την απόδειξη ενός θεωρήματος. Αυτό συμβαίνει επειδή οι ιδιότητες των αριθμών που ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα μπορεί να διαφέρουν.
Δεν υπάρχουν τόσα αριθμητικά σύνολα. Παρακάτω μπορείτε να δείτε τους ορισμούς των διαφόρων συνόλων αριθμών.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών περιλαμβάνει όλους τους ακέραιους μεγαλύτερους από το μηδέν—θετικούς ακέραιους.
Για παράδειγμα: 1, 3, 20, 3057. Το σετ δεν περιλαμβάνει τον αριθμό 0.
Αυτό το σύνολο αριθμών περιλαμβάνει όλους τους ακέραιους αριθμούς μεγαλύτερους και μικρότερους από το μηδέν, και επίσης μηδέν.
Για παράδειγμα: -15, 0, 139.
Οι ορθολογικοί αριθμοί, μιλώντας γενικά, είναι ένα σύνολο κλασμάτων που δεν μπορούν να ακυρωθούν (εάν ένα κλάσμα ακυρωθεί, τότε θα είναι ήδη ακέραιος και για αυτήν την περίπτωση δεν χρειάζεται να εισαχθεί άλλο σύνολο αριθμών).
Ένα παράδειγμα αριθμών που περιλαμβάνονται στο ορθολογικό σύνολο: 3/5, 9/7, 1/2.
,
όπου είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ψηφίων του ακέραιου μέρους ενός αριθμού που ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή η ακολουθία είναι πεπερασμένη, δηλαδή ο αριθμός των ψηφίων στο ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού είναι πεπερασμένος.
– μια άπειρη ακολουθία αριθμών που βρίσκονται στο κλασματικό μέρος ενός πραγματικού αριθμού. Αποδεικνύεται ότι το κλασματικό μέρος περιέχει άπειρο αριθμό αριθμών.
Τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα. Διαφορετικά, ένας τέτοιος αριθμός θα μπορούσε να ταξινομηθεί ως σύνολο ρητών αριθμών.
Παραδείγματα πραγματικών αριθμών:
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην έννοια της ρίζας των δύο. Το ακέραιο μέρος περιέχει μόνο ένα ψηφίο - 1, οπότε μπορούμε να γράψουμε:
Στο κλασματικό μέρος (μετά την τελεία), εμφανίζονται διαδοχικά οι αριθμοί 4, 1, 4, 2 κ.ο.κ. Επομένως, για τα τέσσερα πρώτα ψηφία μπορούμε να γράψουμε:
Τολμώ να ελπίζω ότι τώρα ο ορισμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών έχει γίνει πιο σαφής.
συμπέρασμα
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να εμφανίζει εντελώς διαφορετικές ιδιότητες ανάλογα με το σε ποιο σύνολο ανήκει η μεταβλητή. Θυμηθείτε λοιπόν τα βασικά - θα σας φανούν χρήσιμα.
Προβολές ανάρτησης: 5.103