సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం, పరిష్కార పద్ధతులు, ఉదాహరణలు. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలు: పరిష్కార పద్ధతి

విభాగం 5. లీనియర్ ఆల్జీబ్రా యొక్క మూలకాలు

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు

ప్రాథమిక భావనలు

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ,కలిగి ఉంది టిసమీకరణాలు మరియు పితెలియని వాటిని రూపం యొక్క వ్యవస్థ అంటారు

సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి ఎ ij , i=
, జె=అంటారు గుణకాలువ్యవస్థలు, సంఖ్యలు బి i - ఉచిత సభ్యులు.కనుగొనవలసిన సంఖ్యలు X పి .

అటువంటి వ్యవస్థను కాంపాక్ట్‌లో వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది మాతృక రూపం
.

ఇక్కడ A అనేది సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క మాతృక, అంటారు ప్రధాన మాతృక:

,

-తెలియని కాలమ్ వెక్టర్ X జె , - ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ వెక్టర్ బి i .

విస్తరించిందిసిస్టమ్ యొక్క మాతృకను మాతృక అంటారు సిస్టమ్ ఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌తో అనుబంధించబడింది

.

నిర్ణయం ద్వారావ్యవస్థ అంటారు పితెలియని విలువలు X 1 = సి 1 , X 2 = సి 2 , ..., X పి = సి పి , ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత, వ్యవస్థ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు నిజమైన సమానత్వంగా మారుతాయి. సిస్టమ్‌కు ఏదైనా పరిష్కారాన్ని కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్‌గా వ్రాయవచ్చు .

సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటారు ఉమ్మడి, అది కనీసం ఒక పరిష్కారం కలిగి ఉంటే, మరియు ఉమ్మడి కాని, దానికి ఒకే పరిష్కారం లేకపోతే.

ఉమ్మడి వ్యవస్థ అంటారు ఖచ్చితంగా, అది ఒక ఏకైక పరిష్కారం కలిగి ఉంటే, మరియు అనిశ్చిత, ఇది ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే. తరువాతి సందర్భంలో, దాని ప్రతి పరిష్కారాలను పిలుస్తారు ప్రైవేట్ పరిష్కారంవ్యవస్థలు. అన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారాల సమితిని అంటారు సాధారణ పరిష్కారం.

వ్యవస్థను పరిష్కరించండి -దీనర్థం ఇది అనుకూలంగా ఉందో లేదో కనుగొనడం. సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటే, దానిని కనుగొనండి సాధారణ నిర్ణయం.

రెండు వ్యవస్థలు అంటారు సమానమైన(సమానమైనది) వారు ఒకే సాధారణ పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాటిలో ఒకదాని యొక్క ప్రతి పరిష్కారం మరొకదానికి పరిష్కారం అయితే వ్యవస్థలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటాయి.

సమానమైన వ్యవస్థలు పొందబడతాయి, ప్రత్యేకించి, ఎప్పుడు ప్రాథమిక రూపాంతరాలువ్యవస్థ, పరివర్తనలు మాతృక వరుసలపై మాత్రమే నిర్వహించబడతాయి.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను అంటారు సజాతీయమైన, అన్ని ఉచిత నిబంధనలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే:

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే X 1 =x 2 =…=x పి =0 వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం. ఈ పరిష్కారం అంటారు సున్నాలేదా అల్పమైన.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ఏకపక్ష వ్యవస్థ ఇవ్వాలి టితో సరళ సమీకరణాలు పితెలియని

సిద్ధాంతం 1(క్రోనెకర్-కాపెల్లి). విస్తారిత మాతృక యొక్క ర్యాంక్ ప్రధాన మాత్రిక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉంటేనే సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 2.ర్యాంక్ ఉంటే ఉమ్మడి వ్యవస్థతెలియని వారి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 3.స్థిరమైన సిస్టమ్ యొక్క ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటే, సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ అనుకూలత కోసం సిస్టమ్‌ను పరిశీలించండి

పరిష్కారం.
,ఆర్(ఎ)=1;
, ఆర్()=2,
.

ఈ విధంగా, ఆర్(ఎ) ఆర్(), కాబట్టి సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది.

సరళ సమీకరణాల యొక్క క్షీణించని వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం. క్రామెర్ సూత్రాలు

వ్యవస్థ ఇవ్వనివ్వండి పితో సరళ సమీకరణాలు పితెలియని

లేదా మాతృక రూపంలో A∙X=B.

అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక A చదరపు. ఈ మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి అంటారు వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి. సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినెంట్ సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు సిస్టమ్ అంటారు క్షీణించని.

∆0 విషయంలో ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. A ∙ X=B సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమవైపున ఉన్న మాతృక A  1తో గుణిస్తే, మేము A  1 ∙ A ∙ X= A  1 ∙Bని పొందుతాము. A  1 ∙ A=E మరియు E ∙ X=X, ఆపై X= A  1 ∙ B. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించే ఈ పద్ధతిని అంటారు. మాతృక.

మాతృక పద్ధతి నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది క్రామెర్ సూత్రాలు
, ఇక్కడ ∆ ​​అనేది సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి, మరియు ∆ iభర్తీ చేయడం ద్వారా డిటర్మినెంట్ ∆ నుండి పొందిన డిటర్మినెంట్ iగుణకాల యొక్క వ నిలువు వరుస ఉచిత నిబంధనల కాలమ్.

ఉదాహరణ వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం.
, 70,
,
. అంటే, X 1 =, X 2 =
.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

గాస్సియన్ పద్ధతి తెలియని వాటి యొక్క వరుస తొలగింపును కలిగి ఉంటుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి

గాస్సియన్ పరిష్కార ప్రక్రియ రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటి దశలో (డైరెక్ట్ మోషన్), సిస్టమ్ తీసుకురాబడుతుంది దశలవారీగా(ముఖ్యంగా, త్రిభుజాకార) మనస్సు.

ఎక్కడ కె≤ n, a ii  0, i= . అసమానత ఎ iiఅంటారు ప్రధానవ్యవస్థ యొక్క అంశాలు.

రెండవ దశలో (రివర్స్) ఈ స్టెప్‌వైస్ సిస్టమ్ నుండి తెలియని వాటి యొక్క వరుస నిర్ణయం ఉంది.

గమనికలు:

దశల వ్యవస్థ త్రిభుజాకారంగా మారినట్లయితే, అనగా. కె= n, అప్పుడు అసలు సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది. చివరి సమీకరణం నుండి మనం కనుగొన్నాము X పి , మేము కనుగొన్న చివరి సమీకరణం నుండి X పి  1 , వ్యవస్థను మరింత పైకి ఎక్కేటప్పుడు, మిగిలిన అన్ని తెలియని వాటిని మేము కనుగొంటాము.

ఆచరణలో, సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకతో పని చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, దాని వరుసలలో అన్ని ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహిస్తుంది. ఇది గుణకం అని సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది ఎ 11 1కి సమానం (సమీకరణాలను క్రమాన్ని మార్చండి లేదా విభజించండి ఎ 11 1).

ఉదాహరణ గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృకపై ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా

~
~
~

~

అసలు సిస్టమ్ దశలవారీగా కుదించబడింది:

కాబట్టి, సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం: x 2 =5 x 4  13 x 3  3; x 1 =5 x 4  8 x 3  1.

మనం ఉంచినట్లయితే, ఉదాహరణకు, X 3 =x 4 =0, అప్పుడు మేము ఈ వ్యవస్థ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాలలో ఒకదాన్ని కనుగొంటాము X 1 =  1, x 2 =  3, x 3 =0, x 4 =0.

సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు

సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, దీనికి సున్నా (చిన్న) పరిష్కారం ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 4.సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండటానికి, దాని ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది, అనగా. ఆర్< n.

సిద్ధాంతం 5.సజాతీయ వ్యవస్థ కోసం పితో సరళ సమీకరణాలు పితెలియని వారికి సున్నా కాని పరిష్కారం ఉంది, దాని ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారం అవసరం మరియు సరిపోతుంది సున్నాకి సమానం, అనగా ∆=0.

సిస్టమ్ సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ∆=0.

ఉదాహరణ వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం.
,ఆర్(ఎ)=2
, n=3.ఎందుకంటే ఆర్< n, అప్పుడు సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

,
. అంటే, X 1 ==2x 3 , X 2 ==3x 3 - ఉమ్మడి నిర్ణయం.

పెట్టడం X 3 =0, మేము ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని పొందుతాము: X 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. పెట్టడం X 3 =1, మేము రెండవ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము: X 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 మొదలైనవి

నియంత్రణ కోసం ప్రశ్నలు

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటే ఏమిటి?

కింది భావనలను వివరించండి: గుణకం, నకిలీ పదం, ప్రాథమిక మరియు విస్తరించిన మాత్రికలు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల రకాలు ఏమిటి? క్రోంకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని పేర్కొనండి (సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతపై).

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను జాబితా చేయండి మరియు వివరించండి.

నిర్వచనం.వ్యవస్థ mసాధారణ రూపంలో తెలియని nతో సమీకరణాలు క్రింది విధంగా వ్రాయబడ్డాయి:

ఎక్కడ ఒక ijగుణకాలు, మరియు b i- శాశ్వత.

వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు nసిస్టమ్‌లో ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, దానిలోని ప్రతి సమీకరణాలను ఒక గుర్తింపుగా మార్చే సంఖ్యలు.

నిర్వచనం.సిస్టమ్‌కు కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంటే, దానిని జాయింట్ అంటారు. సిస్టమ్‌కు ఒకే పరిష్కారం లేకపోతే, దానిని అస్థిరత అంటారు.

నిర్వచనం.ఒక వ్యవస్థకు ఒకే పరిష్కారం ఉంటే డిటర్మినేట్ అని మరియు ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే నిరవధికంగా అంటారు.

నిర్వచనం.సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం మాతృక

ఎ = సిస్టమ్ యొక్క మాతృక మరియు మాతృక అని పిలుస్తారు

A * = సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక అని పిలుస్తారు

నిర్వచనం.ఉంటే b 1 , b 2 , …,b m = 0, అప్పుడు వ్యవస్థ సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది. వ్యాఖ్య.ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఎల్లప్పుడూ సున్నా పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

వ్యవస్థల ప్రాథమిక రూపాంతరాలు.

1. ఒక సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా మరొక దాని సంబంధిత భాగాలను జోడించడం, అదే సంఖ్యతో గుణించడం, సున్నాకి సమానం కాదు.

2. సమీకరణాల పునర్వ్యవస్థీకరణ.

3. అందరికీ గుర్తింపుగా ఉండే సిస్టమ్ సమీకరణాల నుండి తీసివేయడం X.

క్రామెర్ సూత్రాలు.

ఈ పద్ధతి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల విషయంలో కూడా వర్తిస్తుంది, ఇక్కడ వేరియబుల్స్ సంఖ్య సమీకరణాల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం. n తెలియని వాటితో n సమీకరణాల వ్యవస్థ

సిస్టమ్ మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది మరియు ఈ పరిష్కారం సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది: x i =ఎక్కడ D = det A, ఎ D iనిలువు వరుసను భర్తీ చేయడం ద్వారా సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ నుండి పొందిన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి iఉచిత సభ్యుల కాలమ్ b i.

D i =

ఉదాహరణ.సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D 1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D 2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D 3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

గమనిక 1.వ్యవస్థ సజాతీయంగా ఉంటే, అనగా. b i = 0, అప్పుడు D¹0 కోసం సిస్టమ్ ప్రత్యేకమైన సున్నా పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది x 1 = x 2 = … = x n = 0.

గమనిక 2.వద్ద D=0సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

విలోమ మాతృక పద్ధతి.

మాతృక పద్ధతి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించేందుకు వర్తిస్తుంది, ఇక్కడ సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి: మాత్రికలను సృష్టిద్దాం:

A= - వ్యవస్థ యొక్క వేరియబుల్స్ లేదా మ్యాట్రిక్స్ కోసం కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క మాతృక;

B = - మాతృక – ఉచిత నిబంధనల కాలమ్;

X = - మాతృక – తెలియని కాలమ్.

అప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థను వ్రాయవచ్చు: A×X = B.సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమ నుండి గుణిద్దాం A -1: A -1 ×A×X = A -1 ×B, ఎందుకంటే A -1 ×A = E,ఆ E×X = A -1 ×B, అప్పుడు క్రింది సూత్రం చెల్లుతుంది:

X = A -1 ×B

అందువలన, దరఖాస్తు చేయడానికి ఈ పద్ధతికనుగొనేందుకు అవసరం విలోమ మాతృక.

ఉదాహరణ.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

X = , B = , A =

విలోమ మాతృక A -1ని కనుగొనండి.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30≠0 ⇒ విలోమ మాతృక ఉంది.

M 11 = ; M 21 = ; M 31 = ;

M 12 = M 22 = M 32 =

M 13 = M 23 = M 33 =

A -1 = ;

తనిఖీ చేద్దాం:

A×A -1 =
= ఇ.

X మాతృకను కనుగొనడం.

X = = A -1 B = × = .

మేము సిస్టమ్ పరిష్కారాలను అందుకున్నాము: x =1; y = 2; z = 3.

4.గాస్ పద్ధతి.

వ్యవస్థ ఇవ్వనివ్వండి mతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని:

వ్యవస్థలో గుణకం అని ఊహిస్తూ a 11 సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది (ఇది అలా కాకపోతే, నాన్ జీరో కోఎఫీషియంట్‌తో సమీకరణం x 1) మేము సిస్టమ్‌ను ఈ క్రింది విధంగా మారుస్తాము: మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చకుండా వదిలివేయండి మరియు అన్ని ఇతర సమీకరణాల నుండి తెలియని వాటిని మినహాయించండి x 1 పైన వివరించిన పద్ధతిలో సమానమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించడం.

ఫలితంగా వ్యవస్థలో

,

(ఇది ఎల్లప్పుడూ సమీకరణాలలో సమీకరణాలు లేదా నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా పొందవచ్చు), మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాలను మార్చకుండా వదిలివేస్తాము మరియు మిగిలిన సమీకరణాల నుండి, రెండవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, ప్రాథమిక పరివర్తనల సహాయంతో తెలియని వాటిని తొలగిస్తాము x 2. కొత్తగా స్వీకరించిన వ్యవస్థలో

మేము మొదటి మూడు సమీకరణాలను మార్చకుండా వదిలివేస్తే, మిగిలిన అన్నింటి నుండి, మూడవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, ప్రాథమిక పరివర్తనల ద్వారా తెలియని వాటిని తొలగిస్తాము x 3 .

సాధ్యమయ్యే మూడు కేసులలో ఒకటి సంభవించే వరకు ఈ ప్రక్రియ కొనసాగుతుంది:

1) ఫలితంగా మనం ఒక సిస్టమ్‌కు చేరుకున్నట్లయితే, దానిలోని సమీకరణాలలో ఒకటి తెలియని వాటికి సున్నా గుణకాలు మరియు నాన్‌జీరో ఫ్రీ పదం ఉంటే, అసలు సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంటుంది;

2) పరివర్తనల ఫలితంగా మేము గుణకాల యొక్క త్రిభుజాకార మాతృకతో వ్యవస్థను పొందినట్లయితే, అప్పుడు సిస్టమ్ స్థిరంగా మరియు ఖచ్చితమైనది;

3) గుణకాల యొక్క దశలవారీ వ్యవస్థను పొందినట్లయితే (మరియు పాయింట్ 1 యొక్క షరతుకు అనుగుణంగా లేదు), అప్పుడు సిస్టమ్ స్థిరంగా మరియు నిరవధికంగా ఉంటుంది.

చదరపు వ్యవస్థను పరిగణించండి : (1)

ఈ వ్యవస్థకు గుణకం ఉంది a 11 సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ షరతు నెరవేరకపోతే, దాన్ని పొందడానికి, సమీకరణాలను క్రమాన్ని మార్చడం అవసరం, దాని గుణకం వద్ద ఉన్న సమీకరణాన్ని మొదట ఉంచాలి. x 1 సున్నాకి సమానం కాదు.

మేము క్రింది సిస్టమ్ పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము:

1) ఎందుకంటే a 11 ¹0, మేము మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చకుండా వదిలివేస్తాము;

2) రెండవ సమీకరణానికి బదులుగా, రెండవ సమీకరణం నుండి 4 ద్వారా గుణించిన మొదటి దాన్ని తీసివేస్తే మేము పొందిన సమీకరణాన్ని వ్రాస్తాము;

3) మూడవ సమీకరణానికి బదులుగా, మేము మూడవ మరియు మొదటి వాటి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని 3 ద్వారా గుణించి వ్రాస్తాము;

4) నాల్గవ సమీకరణానికి బదులుగా, మేము నాల్గవ మరియు మొదటి వాటి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని 5 ద్వారా గుణించి వ్రాస్తాము.

అందుకుంది కొత్త వ్యవస్థఅసలైన దానికి సమానం మరియు మొదటిది మినహా అన్ని సమీకరణాలలో సున్నా గుణకాలు ఉంటాయి x 1 (ఇది పరివర్తనల ప్రయోజనం 1 - 4): (2)

పై పరివర్తన కోసం మరియు అన్ని తదుపరి పరివర్తనల కోసం, మీరు పూర్తి సిస్టమ్‌ను పూర్తిగా తిరిగి వ్రాయకూడదు, ఇప్పుడే జరిగింది. అసలు వ్యవస్థను మాతృకగా సూచించవచ్చు

. (3)

మ్యాట్రిక్స్ (3) అంటారు పొడిగించిన మాతృకసమీకరణాల అసలు వ్యవస్థ కోసం. మేము పొడిగించిన మాతృక నుండి ఉచిత నిబంధనల నిలువు వరుసను తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్ మ్యాట్రిక్స్, ఇది కొన్నిసార్లు కేవలం అని పిలుస్తారు వ్యవస్థ యొక్క మాతృక.

సిస్టమ్ (2) పొడిగించిన మాతృకకు అనుగుణంగా ఉంటుంది

.

ఈ మాతృకను ఈ క్రింది విధంగా మారుద్దాం:

1) మూలకం నుండి మేము మొదటి రెండు పంక్తులను మార్చకుండా ఉంచుతాము a 22 సున్నా కాదు;

2) మూడవ పంక్తికి బదులుగా, మేము రెండవ పంక్తి మరియు మూడవ పంక్తి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని వ్రాస్తాము;

3) నాల్గవ పంక్తిని రెండవ పంక్తి రెట్టింపు మరియు నాల్గవ పంక్తిని 5తో గుణించడం మధ్య వ్యత్యాసంతో భర్తీ చేయండి.

ఫలితం తెలియని సిస్టమ్‌కు సంబంధించిన మ్యాట్రిక్స్ x 1 మొదటిది మరియు తెలియనిది మినహా అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడింది x 2 - మొదటి మరియు రెండవది మినహా అన్ని సమీకరణాల నుండి:

.

ఇప్పుడు తెలియని వాటిని మినహాయిద్దాం xనాల్గవ సమీకరణం నుండి 3. దీన్ని చేయడానికి, మేము చివరి మాతృకను ఈ క్రింది విధంగా మారుస్తాము:

1) మేము మొదటి మూడు పంక్తులను మార్చకుండా ఉంచుతాము a 33¹0;

2) నాల్గవ పంక్తిని మూడవ దాని మధ్య వ్యత్యాసంతో భర్తీ చేయండి, 39తో గుణించండి మరియు నాల్గవది: .

ఫలిత మాతృక వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది

. (4)

ఈ వ్యవస్థ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాము x 4 = 2. ఈ విలువను మూడవ సమీకరణంలోకి మార్చడం, మేము పొందుతాము x 3 = 3. ఇప్పుడు రెండవ సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది x 2 = 1, మరియు మొదటి నుండి - x 1 = –1. ఫలిత పరిష్కారం ప్రత్యేకమైనదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది (విలువ ఒకే విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి x 4 అప్పుడు x 3, మొదలైనవి).

నిర్వచనం:ప్రధాన వికర్ణంలో సున్నా కాని సంఖ్యలు మరియు ప్రధాన వికర్ణం క్రింద సున్నాలు ఉన్న స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ అని పిలుద్దాం, త్రిభుజాకార మాతృక.

సిస్టమ్ యొక్క గుణకం మాతృక (4) ఒక త్రిభుజాకార మాతృక.

వ్యాఖ్య:ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, చతురస్రాకార వ్యవస్థ యొక్క గుణకం మాతృకను త్రిభుజాకార మాతృకకు తగ్గించగలిగితే, అప్పుడు వ్యవస్థ స్థిరంగా మరియు నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం: . (5)

సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృక యొక్క క్రింది రూపాంతరాలను చేద్దాం:

1) మొదటి పంక్తిని మార్చకుండా వదిలివేయండి;

2) రెండవ పంక్తికి బదులుగా, రెండవ పంక్తి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని వ్రాసి మొదటిదానిని రెట్టింపు చేయండి;

3) మూడవ పంక్తికి బదులుగా, మేము మూడవ పంక్తి మరియు మొదటిదానిని మూడు రెట్లు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని వ్రాస్తాము;

4) నాల్గవ మరియు మొదటి మధ్య వ్యత్యాసంతో నాల్గవ పంక్తిని భర్తీ చేయండి;

5) ఐదవ పంక్తిని ఐదవ పంక్తి తేడాతో భర్తీ చేయండి మరియు మొదటిదాన్ని రెట్టింపు చేయండి.

పరివర్తనల ఫలితంగా, మేము మాతృకను పొందుతాము

.

ఈ మాతృక యొక్క మొదటి రెండు వరుసలను మార్చకుండా వదిలివేస్తే, ప్రాథమిక రూపాంతరాల ద్వారా మేము దానిని క్రింది రూపానికి తగ్గిస్తాము:

.

ఇప్పుడు, గాస్ పద్ధతిని అనుసరిస్తే, ఇది తెలియని వాటిని సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతి అని కూడా పిలుస్తారు, మూడవ పంక్తిని ఉపయోగించి మనం గుణకాలను తీసుకువస్తాము x 3 నాల్గవ మరియు ఐదవ వరుసలలో, రెండవ వరుసలోని అన్ని మూలకాలను 5 ద్వారా విభజించి మరియు మూడవ వరుసలోని అన్ని మూలకాలను 2 ద్వారా విభజించిన తర్వాత, మేము మాతృకను పొందుతాము

.

ఈ మాతృక యొక్క చివరి రెండు వరుసలలో ప్రతి ఒక్కటి సమీకరణం 0కి అనుగుణంగా ఉంటుంది x 1 +0x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 = 0. ఈ సమీకరణం ఏదైనా సంఖ్యల సెట్ ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది x 1 ,x 2, ¼, x 5 మరియు సిస్టమ్ నుండి తీసివేయబడాలి. అందువల్ల, ఇప్పుడే పొందిన పొడిగించిన మాతృకతో ఉన్న సిస్టమ్ ఫారమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకతో వ్యవస్థకు సమానం

. (6)

ఈ మాతృక యొక్క చివరి వరుస సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది
x 3 – 2x 4 + 3x 5 = –4. తెలియకపోతే x 4 మరియు x 5 ఏకపక్ష విలువలను ఇవ్వండి: x 4 = సి 1; x 5 = సి 2, అప్పుడు మాతృక (6) కు సంబంధించిన సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి, మేము పొందుతాము x 3 = –4 + 2సి 1 – 3సి 2. వ్యక్తీకరణలను భర్తీ చేయడం x 3 ,x 4, మరియు xఅదే సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలో 5, మేము పొందుతాము x 2 = –3 + 2సి 1 – 2సి 2. ఇప్పుడు మొదటి సమీకరణం నుండి మనం పొందవచ్చు x 1 = 4 – సి 1+ సి 2. వ్యవస్థ యొక్క తుది పరిష్కారం రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది .

దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృకను పరిగణించండి ఎ, దీని నిలువు వరుసల సంఖ్య mలైన్ల సంఖ్య కంటే ఎక్కువ n. అటువంటి మాతృక ఎపిలుద్దాం అడుగు పెట్టాడు.

మాతృక (6) ఒక స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థకు సమానమైన పరివర్తనలను వర్తింపజేసేటప్పుడు, కనీసం ఒక సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తగ్గించినట్లయితే

0x 1 + 0x 2 + ¼ 0 x n = బి జె (బి జె ¹ 0),

అప్పుడు సిస్టమ్ అసంబద్ధం లేదా విరుద్ధమైనది, ఎందుకంటే ఒక్క సంఖ్యలు కూడా లేవు x 1 , x 2, ¼, x nఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను మార్చేటప్పుడు, గుణకాల మాతృక దశలవారీ రూపానికి తగ్గించబడితే మరియు సిస్టమ్ అస్థిరంగా మారకపోతే, సిస్టమ్ స్థిరంగా మరియు నిరవధికంగా ఉంటుంది, అనగా, అది కలిగి ఉంటుంది అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు.

తరువాతి వ్యవస్థలో నిర్దిష్టంగా ఇవ్వడం ద్వారా అన్ని పరిష్కారాలను పొందడం సాధ్యమవుతుంది సంఖ్యా విలువలుపారామితులు సి 1మరియు సి 2.

నిర్వచనం:స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ప్రధాన వికర్ణంలో గుణకాలు ఉన్న వేరియబుల్స్ (ఈ గుణకాలు సున్నాకి భిన్నంగా ఉన్నాయని అర్థం) o అంటారు. ప్రధాన. పైన చర్చించిన ఉదాహరణలో, ఇవి తెలియనివి x 1 , x 2 , x 3. మిగిలిన వేరియబుల్స్ అంటారు నాన్-కోర్.పై ఉదాహరణలో, ఇవి వేరియబుల్స్ x 4, మరియు x 5 . నాన్-ప్రైమరీ వేరియబుల్స్‌కు చివరి ఉదాహరణలో చేసినట్లుగా ఏదైనా విలువలు ఇవ్వవచ్చు లేదా పారామితుల ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

కోర్ వేరియబుల్స్ నాన్‌కోర్ వేరియబుల్స్ ద్వారా ప్రత్యేకంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి.

నిర్వచనం:నాన్-మెయిన్ వేరియబుల్స్‌కు నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువలు ఇవ్వబడి, ప్రధాన వేరియబుల్స్ వాటి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడినట్లయితే, ఫలిత పరిష్కారం అంటారు ప్రైవేట్ పరిష్కారం.

నిర్వచనం:నాన్-బేసిక్ వేరియబుల్స్ పారామితుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడితే, అప్పుడు ఒక పరిష్కారం లభిస్తుంది, దీనిని అంటారు సాధారణ పరిష్కారం.

నిర్వచనం:అన్ని మైనర్ వేరియబుల్స్‌కు సున్నా విలువలు ఇచ్చినట్లయితే, ఫలిత పరిష్కారం అంటారు ప్రాథమిక.

వ్యాఖ్య:ఒకే సిస్టమ్ కొన్నిసార్లు ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ యొక్క విభిన్న సెట్లకు తగ్గించబడుతుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మీరు మ్యాట్రిక్స్ (6)లో 3వ మరియు 4వ నిలువు వరుసలను మార్చుకోవచ్చు. అప్పుడు ప్రధాన వేరియబుల్స్ ఉంటుంది x 1 , x 2 ,x 4, మరియు ప్రధానం కానివి - x 3 మరియు x 5 .

నిర్వచనం:వద్ద ప్రాథమిక వేరియబుల్స్ యొక్క రెండు వేర్వేరు సెట్లు పొందినట్లయితే వివిధ మార్గాల్లోఅదే సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం, అప్పుడు ఈ సెట్‌లు తప్పనిసరిగా అదే సంఖ్యలో వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటాయి సిస్టమ్ ర్యాంక్.

అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న మరొక వ్యవస్థను పరిశీలిద్దాం: .

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను మారుద్దాం:

.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌ను పొందలేదు, కానీ చివరి మాత్రికను మూడవ మరియు నాల్గవ నిలువు వరుసలను మార్చడం ద్వారా మార్చవచ్చు: .

ఈ మాతృక ఇప్పటికే అడుగు పెట్టింది. సంబంధిత సిస్టమ్‌లో రెండు నాన్-బేసిక్ వేరియబుల్స్ ఉన్నాయి - x 3 , x 5 మరియు మూడు ప్రధానమైనవి - x 1 , x 2 , x 4 . అసలు వ్యవస్థకు పరిష్కారం క్రింది రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది:

పరిష్కారం లేని సిస్టమ్ యొక్క ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది:

.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్‌ని మారుద్దాం:

.

చివరి మాతృక యొక్క చివరి వరుస పరిష్కరించలేని సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1. పర్యవసానంగా, అసలు వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంది.

ఉపన్యాసం నం. 3.

అంశం: వెక్టర్స్. స్కేలార్, వెక్టర్ మరియు వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి

1. వెక్టర్ యొక్క భావన. వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ, ఆర్తోగోనాలిటీ మరియు కోప్లానారిటీ.

2. వెక్టర్స్ పై లీనియర్ ఆపరేషన్.

3. వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి మరియు దాని అప్లికేషన్

4. వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ మరియు దాని అప్లికేషన్

5. వెక్టర్స్ మరియు దాని అప్లికేషన్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి

1. వెక్టార్ యొక్క కొలినారిటీ, ఆర్తోగోనాలిటీ మరియు కోప్లానారిటీ యొక్క భావన.

నిర్వచనం:వెక్టర్ అనేది ప్రారంభ బిందువు A మరియు ముగింపు బిందువుతో నిర్దేశించిన విభాగం.

హోదా: , ,

నిర్వచనం:వెక్టార్ వెక్టర్ యొక్క పొడవు లేదా మాడ్యులస్ అనేది వెక్టర్‌ను సూచించే సెగ్మెంట్ AB యొక్క పొడవుకు సమానమైన సంఖ్య.

నిర్వచనం:వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభం మరియు ముగింపు ఒకేలా ఉంటే వెక్టార్‌ను సున్నా అంటారు.

నిర్వచనం:యూనిట్ పొడవు గల వెక్టర్‌ను యూనిట్ అంటారు. నిర్వచనం:వెక్టర్స్ ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై ఉంటే వాటిని కొల్లినియర్ అంటారు ( || ).

వ్యాఖ్య:

1.Collinear వెక్టర్‌లను ఒకేలా లేదా వ్యతిరేకంగా నిర్దేశించవచ్చు.

2. సున్నా వెక్టార్ ఏదైనా వెక్టర్‌కు కొలినియర్‌గా పరిగణించబడుతుంది.

నిర్వచనం:రెండు వెక్టార్‌లు కొలినియర్‌గా ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి

ఒకే దిశలను కలిగి ఉంటాయి మరియు అదే పొడవులను కలిగి ఉంటాయి ( = )

• వ్యవస్థలు mతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని.
  సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం- ఇది అటువంటి సంఖ్యల సమితి ( x 1, x 2, ..., x n), సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది.
  ఎక్కడ a ij , i = 1, ..., m; j = 1,…, n- సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్;
  b i, i = 1,…, m- ఉచిత సభ్యులు;
  x j , j = 1, …, n- తెలియదు.
  పై వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో వ్రాయవచ్చు: A X = B,
  
  
  
  
  ఎక్కడ ( ఎ|బి) వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక;
  ఎ- పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్;
  X- తెలియని కాలమ్;
  బి- ఉచిత సభ్యుల కాలమ్.
  మాతృక ఉంటే బిశూన్య మాతృక కాదు ∅, అప్పుడు ఈ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను అసమానత అంటారు.
  మాతృక ఉంటే బి= ∅, అప్పుడు ఈ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది. ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సున్నా (చిన్న) పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  సరళ సమీకరణాల ఉమ్మడి వ్యవస్థఅనేది ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
  సరళ సమీకరణాల అస్థిరమైన వ్యవస్థఅనేది సరళ సమీకరణాల యొక్క పరిష్కరించలేని వ్యవస్థ.
  సరళ సమీకరణాల యొక్క నిర్దిష్ట వ్యవస్థఅనేది ఒక ఏకైక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
  సరళ సమీకరణాల నిరవధిక వ్యవస్థఅనేది అనంతమైన పరిష్కారాలతో కూడిన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
• n తెలియని వాటితో n సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు
  తెలియని వారి సంఖ్య సమీకరణాల సంఖ్యకు సమానం అయితే, మాతృక చతురస్రం. మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి అని పిలుస్తారు మరియు Δ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది.
  క్రామెర్ పద్ధతిపరిష్కార వ్యవస్థల కోసం nతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని.
  క్రామెర్ నియమం.
  సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, సిస్టమ్ స్థిరంగా మరియు నిర్వచించబడి ఉంటుంది మరియు క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి మాత్రమే పరిష్కారం లెక్కించబడుతుంది:
  ఇక్కడ Δ i అనేది సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణాయకం నుండి Δ భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన నిర్ణాయకాలు iఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌కి వ నిలువు వరుస. .
• n తెలియని వాటితో m సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు
  క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం.
  
  
  ఇచ్చిన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉండటానికి, సిస్టమ్ మాతృక యొక్క ర్యాంక్ సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది, రాంగ్(Α) = రాంగ్(Α|B).
  ఉంటే రాంగ్(Α) ≠ రాంగ్(Α|B), అప్పుడు వ్యవస్థకు స్పష్టంగా పరిష్కారాలు లేవు.
  ఉంటే రాంగ్(Α) = రాంగ్(Α|B), అప్పుడు రెండు కేసులు సాధ్యమే:
  1) ర్యాంక్(Α) = n(తెలియని వారి సంఖ్య) - పరిష్కారం ప్రత్యేకమైనది మరియు క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి పొందవచ్చు;
  2) ర్యాంక్ (Α)< n - అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
• గాస్ పద్ధతిసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి
  
  
  పొడిగించిన మాతృకను సృష్టిద్దాం ( ఎ|బి) తెలియని మరియు కుడి-భుజాల గుణకాల నుండి ఇచ్చిన సిస్టమ్.
  గాస్సియన్ పద్ధతి లేదా తెలియని వాటిని తొలగించే పద్ధతి పొడిగించిన మాతృకను తగ్గించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది ( ఎ|బి) దాని అడ్డు వరుసలపై వికర్ణ రూపానికి (ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి) ప్రాథమిక రూపాంతరాలను ఉపయోగించడం. సమీకరణాల వ్యవస్థకు తిరిగి రావడం, అన్ని తెలియనివి నిర్ణయించబడతాయి.
  తీగలపై ప్రాథమిక రూపాంతరాలు క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి:
  1) రెండు పంక్తులను మార్చుకోండి;
  2) స్ట్రింగ్‌ను 0 కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం;
  3) స్ట్రింగ్‌కు మరొక స్ట్రింగ్ జోడించడం, ఏకపక్ష సంఖ్యతో గుణించడం;
  4) సున్నా గీతను విసరడం.
  వికర్ణ రూపానికి తగ్గించబడిన పొడిగించిన మాతృక, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సరళ వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీని పరిష్కారం ఇబ్బందులను కలిగించదు. .
• సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
  సజాతీయ వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
  
  అది మాతృక సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది A X = 0.
  1) సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే r(A) = r(A|B), ఎల్లప్పుడూ సున్నా పరిష్కారం ఉంటుంది (0, 0, ..., 0).
  2) సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారం కలిగి ఉండటానికి, ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది r = r(A)< n , ఇది Δ = 0కి సమానం.
  3) ఉంటే ఆర్< n , అప్పుడు స్పష్టంగా Δ = 0, అప్పుడు ఉచిత తెలియనివి తలెత్తుతాయి c 1 , c 2 , …, c n-r, సిస్టమ్ నాన్-ట్రివియల్ సొల్యూషన్స్‌ని కలిగి ఉంది మరియు వాటిలో చాలా వరకు ఉన్నాయి.
  4) సాధారణ పరిష్కారం Xవద్ద ఆర్< n మాతృక రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  పరిష్కారాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి X 1 , X 2 , …, X n-rపరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తుంది.
  5) పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం నుండి పొందవచ్చు:
  
  ,
  మనం పరామితి విలువలను (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)కి సమానంగా సెట్ చేస్తే.
  పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ పరంగా సాధారణ పరిష్కారం యొక్క విస్తరణప్రాథమిక వ్యవస్థకు చెందిన పరిష్కారాల సరళ కలయిక రూపంలో సాధారణ పరిష్కారం యొక్క రికార్డు.
  సిద్ధాంతం. సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండటానికి, ఇది Δ ≠ 0 అవసరం మరియు సరిపోతుంది.
  కాబట్టి, డిటర్మినెంట్ Δ ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది.
  Δ ≠ 0 అయితే, సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.
  సిద్ధాంతం. సజాతీయ వ్యవస్థకు నాన్ జీరో సొల్యూషన్ ఉండాలంటే, అది అవసరం మరియు సరిపోతుంది r(A)< n .
  రుజువు:
  1) ఆర్ఎక్కువ ఉండకూడదు n(మాతృక యొక్క ర్యాంక్ నిలువు వరుసలు లేదా వరుసల సంఖ్యను మించదు);
  2) ఆర్< n , ఎందుకంటే ఉంటే r = n, అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి Δ ≠ 0, మరియు, క్రామెర్ సూత్రాల ప్రకారం, ఒక ప్రత్యేకమైన పనికిమాలిన పరిష్కారం ఉంది x 1 = x 2 = … = x n = 0, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది. అంటే, r(A)< n .
  పర్యవసానం. సజాతీయ వ్యవస్థ కోసం nతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని వారికి సున్నా కాని పరిష్కారం ఉంది, ఇది Δ = 0 అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ 1. సాధారణ పరిష్కారం మరియు సిస్టమ్ యొక్క కొన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారంమేము కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి దీన్ని చేస్తాము. విస్తరించిన మరియు ప్రధాన మాత్రికలను వ్రాస్దాం:

ప్రధాన మాతృక A చుక్కల పంక్తితో వేరు చేయబడుతుంది, మేము సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల్లోని పదాల పునర్వ్యవస్థీకరణను దృష్టిలో ఉంచుకుని ఎగువన తెలియని సిస్టమ్‌లను వ్రాస్తాము. పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను నిర్ణయించడం ద్వారా, మేము ఏకకాలంలో ప్రధాన ర్యాంక్‌ను కనుగొంటాము. మాతృక Bలో, మొదటి మరియు రెండవ నిలువు వరుసలు అనుపాతంలో ఉంటాయి. రెండు అనుపాత నిలువు వరుసలలో, ఒకటి మాత్రమే ప్రాథమిక మైనర్‌లోకి పడిపోతుంది, కాబట్టి, ఉదాహరణకు, చుక్కల రేఖకు మించిన మొదటి నిలువు వరుసను వ్యతిరేక గుర్తుతో తరలిద్దాం. సిస్టమ్ కోసం, దీని అర్థం x 1 నుండి సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపుకు నిబంధనలను బదిలీ చేయడం.

మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిద్దాం. మేము వరుసలతో మాత్రమే పని చేస్తాము, ఎందుకంటే మాతృక అడ్డు వరుసను సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం మరియు సిస్టమ్ కోసం మరొక అడ్డు వరుసకు జోడించడం అంటే సమీకరణాన్ని అదే సంఖ్యతో గుణించడం మరియు మరొక సమీకరణంతో జోడించడం, ఇది పరిష్కారాన్ని మార్చదు. వ్యవస్థ. మేము మొదటి వరుసతో పని చేస్తాము: మాతృక యొక్క మొదటి వరుసను (-3) ద్వారా గుణించండి మరియు క్రమంగా రెండవ మరియు మూడవ వరుసలకు జోడించండి. అప్పుడు మొదటి పంక్తిని (-2) ద్వారా గుణించి, దానిని నాల్గవదానికి జోడించండి.

రెండవ మరియు మూడవ పంక్తులు అనుపాతంలో ఉంటాయి, అందువల్ల, వాటిలో ఒకటి, ఉదాహరణకు రెండవది, దాటవచ్చు. ఇది సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని దాటడానికి సమానం, ఎందుకంటే ఇది మూడవది యొక్క పరిణామం.

ఇప్పుడు మేము రెండవ పంక్తితో పని చేస్తాము: దానిని (-1) ద్వారా గుణించి మూడవదానికి జోడించండి.

చుక్కల రేఖతో సర్కిల్ చేయబడిన మైనర్ అత్యధిక క్రమాన్ని కలిగి ఉంటుంది (సాధ్యమైన మైనర్‌లలో) మరియు సున్నా కాదు (ఇది ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం), మరియు ఈ మైనర్ ప్రధాన మాతృక మరియు పొడిగించినది రెండింటికీ చెందినది. , కాబట్టి rangA = rangB = 3.
మైనర్ ప్రాథమికమైనది. ఇది తెలియని x 2 , x 3 , x 4 లకు గుణకాలు ఉన్నాయి, అంటే తెలియనివి x 2 , x 3 , x 4 ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు x 1 , x 5 ఉచితం.
మాతృకను మారుద్దాం, ఆధారాన్ని మాత్రమే ఎడమవైపు చిన్నదిగా వదిలివేద్దాం (ఇది పై సొల్యూషన్ అల్గోరిథం యొక్క పాయింట్ 4కి అనుగుణంగా ఉంటుంది).

ఈ మాతృక యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన సిస్టమ్ అసలు సిస్టమ్‌కు సమానం మరియు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

తెలియని వాటిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:
, ,

మేము x 1 మరియు x 5 ఉచిత వాటి ద్వారా x 2, x 3, x 4 డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్‌ను వ్యక్తీకరించే సంబంధాలను పొందాము, అంటే, మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాము:

ఉచిత తెలియని వాటికి ఏదైనా విలువలను కేటాయించడం ద్వారా, మేము ఎన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను పొందుతాము. రెండు ప్రత్యేక పరిష్కారాలను కనుగొనండి:
1) x 1 = x 5 = 0, ఆపై x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1 ఉంచండి, ఆపై x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
అందువలన, రెండు పరిష్కారాలు కనుగొనబడ్డాయి: (0,1,-3,3,0) - ఒక పరిష్కారం, (1,4,-7,7,-1) - మరొక పరిష్కారం.

ఉదాహరణ 2. అనుకూలతను అన్వేషించండి, సిస్టమ్‌కు సాధారణ మరియు ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం. మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలను మొదటి సమీకరణంలో ఒకటి ఉండేలా క్రమాన్ని మార్చండి మరియు మాతృక Bని వ్రాస్దాం.

మొదటి అడ్డు వరుసతో పనిచేయడం ద్వారా మేము నాల్గవ నిలువు వరుసలో సున్నాలను పొందుతాము:

ఇప్పుడు మనం రెండవ పంక్తిని ఉపయోగించి మూడవ నిలువు వరుసలో సున్నాలను పొందుతాము:

మూడవ మరియు నాల్గవ పంక్తులు అనుపాతంలో ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకదానిని ర్యాంక్‌ను మార్చకుండా దాటవచ్చు:
మూడవ పంక్తిని (–2) ద్వారా గుణించి, దానిని నాల్గవ దానికి జోడించండి:

ప్రధాన మరియు పొడిగించిన మాత్రికల ర్యాంక్‌లు 4కి సమానంగా ఉన్నాయని మేము చూస్తాము మరియు ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

ఉదాహరణ 3. అనుకూలత కోసం సిస్టమ్‌ను పరిశీలించండి మరియు అది ఉనికిలో ఉంటే పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను కంపోజ్ చేస్తాము.

మేము మొదటి రెండు సమీకరణాలను క్రమాన్ని మార్చాము, తద్వారా ఎగువ ఎడమ మూలలో 1 ఉంటుంది:
మొదటి పంక్తిని (-1) ద్వారా గుణించడం, దానిని మూడవ దానికి జోడించడం:

రెండవ పంక్తిని (-2) ద్వారా గుణించండి మరియు దానిని మూడవ దానికి జోడించండి:

సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది, ఎందుకంటే ప్రధాన మాతృకలో మేము సున్నాలతో కూడిన వరుసను అందుకున్నాము, ఇది ర్యాంక్ కనుగొనబడినప్పుడు దాటుతుంది, కానీ పొడిగించిన మాతృకలో చివరి వరుస మిగిలి ఉంది, అంటే r B > r A .

వ్యాయామం. పరిశోధన ఈ వ్యవస్థఅనుకూలత సమీకరణాలు మరియు మ్యాట్రిక్స్ కాలిక్యులస్ ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం

ఉదాహరణ. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతను నిరూపించండి మరియు దానిని రెండు విధాలుగా పరిష్కరించండి: 1) గాస్ పద్ధతి ద్వారా; 2) క్రామెర్ పద్ధతి. (సమాధానాన్ని ఫారమ్‌లో నమోదు చేయండి: x1,x2,x3)
పరిష్కారం :doc :doc :xls
సమాధానం: 2,-1,3.

ఉదాహరణ. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది. దాని అనుకూలతను నిరూపించండి. సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని మరియు ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం
సమాధానం: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

వ్యాయామం. ప్రతి సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.మేము క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను అధ్యయనం చేస్తాము.
విస్తరించిన మరియు ప్రధాన మాత్రికలను వ్రాస్దాం:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

ఇక్కడ మ్యాట్రిక్స్ A బోల్డ్‌లో హైలైట్ చేయబడింది.
మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిద్దాం. మేము వరుసలతో మాత్రమే పని చేస్తాము, ఎందుకంటే మాతృక అడ్డు వరుసను సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం మరియు సిస్టమ్ కోసం మరొక అడ్డు వరుసకు జోడించడం అంటే సమీకరణాన్ని అదే సంఖ్యతో గుణించడం మరియు మరొక సమీకరణంతో జోడించడం, ఇది పరిష్కారాన్ని మార్చదు. వ్యవస్థ.
1వ పంక్తిని (3)తో గుణిద్దాం. 2వ పంక్తిని (-1)తో గుణించండి. 2వ పంక్తిని 1వ దానికి జోడిద్దాం:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2వ పంక్తిని (2)తో గుణిద్దాం. 3వ పంక్తిని (-3)తో గుణించండి. 3వ పంక్తిని 2వ దానికి జోడిద్దాం:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2వ పంక్తిని (-1)తో గుణించండి. 2వ పంక్తిని 1వ దానికి జోడిద్దాం:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

ఎంచుకున్న మైనర్ అత్యధిక క్రమాన్ని కలిగి ఉంటుంది (సాధ్యమైన మైనర్‌లలో) మరియు నాన్-జీరో (ఇది రివర్స్ వికర్ణంలోని మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం), మరియు ఈ మైనర్ ప్రధాన మాతృక మరియు పొడిగించినది రెండింటికీ చెందినది, కాబట్టి రాంగ్( ఎ) = రాంగ్ (బి) = 3 ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన దాని ర్యాంక్‌కు సమానం కాబట్టి, అప్పుడు వ్యవస్థ సహకారంతో ఉంది.
ఈ మైనర్ ప్రాథమికమైనది. ఇది తెలియని x 1 , x 2 , x 3 గుణకాలు ఉన్నాయి, అంటే తెలియనివి x 1 , x 2 , x 3 ఆధారపడి ఉంటాయి (ప్రాథమిక), మరియు x 4 , x 5 ఉచితం.
మాత్రికను మారుద్దాం, ఆధారం మైనర్‌ని ఎడమవైపు మాత్రమే వదిలివేద్దాం.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

ఈ మాతృక యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన సిస్టమ్ అసలు సిస్టమ్‌కు సమానం మరియు రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
తెలియని వాటిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:
మేము x 1 , x 2 , x 3 డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్ x 4 , x 5 ద్వారా వ్యక్తీకరించే సంబంధాలను పొందాము, అంటే మేము కనుగొన్నాము సాధారణ నిర్ణయం:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
అనిశ్చిత, ఎందుకంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

వ్యాయామం. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.
సమాధానం:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
ఉచిత తెలియని వాటికి ఏదైనా విలువలను కేటాయించడం ద్వారా, మేము ఎన్ని నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను పొందుతాము. వ్యవస్థ ఉంది అనిశ్చిత

లీనియర్ ఆల్జీబ్రా కోర్సులో సరళ బీజగణిత సమీకరణాల (SLAEs) వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అనేది నిస్సందేహంగా అత్యంత ముఖ్యమైన అంశం. గణిత శాస్త్రంలోని అన్ని శాఖల నుండి భారీ సంఖ్యలో సమస్యలు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి వస్తాయి. ఈ అంశాలు ఈ కథనానికి కారణాన్ని వివరిస్తాయి. వ్యాసం యొక్క పదార్థం ఎంపిక చేయబడింది మరియు దాని సహాయంతో మీరు చేయగలిగిన విధంగా నిర్మాణాత్మకంగా రూపొందించబడింది

• మీ సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సరైన పద్ధతిని ఎంచుకోండి,
• ఎంచుకున్న పద్ధతి యొక్క సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయండి,
• సాధారణ ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా మీ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

వ్యాసం పదార్థం యొక్క సంక్షిప్త వివరణ.

మొదట, మేము అవసరమైన అన్ని నిర్వచనాలు, భావనలను ఇస్తాము మరియు సంజ్ఞామానాలను పరిచయం చేస్తాము.

తరువాత, మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానం మరియు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మొదట, మేము క్రామెర్ యొక్క పద్ధతిపై దృష్టి పెడతాము, రెండవది, అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి మాతృక పద్ధతిని చూపుతాము మరియు మూడవదిగా, మేము గాస్ పద్ధతిని విశ్లేషిస్తాము (తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క వరుస తొలగింపు పద్ధతి). సిద్ధాంతాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ఖచ్చితంగా అనేక SLAEలను వివిధ మార్గాల్లో పరిష్కరిస్తాము.

దీని తరువాత, మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థలకు వెళ్తాము సాధారణ వీక్షణ, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యతో ఏకీభవించదు లేదా సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ఏకవచనం. క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని రూపొందిద్దాం, ఇది SLAEల అనుకూలతను స్థాపించడానికి అనుమతిస్తుంది. మాతృక యొక్క బేస్ మైనర్ భావనను ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ల పరిష్కారాన్ని (అవి అనుకూలంగా ఉంటే) విశ్లేషిద్దాం. మేము గాస్ పద్ధతిని కూడా పరిశీలిస్తాము మరియు ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను వివరంగా వివరిస్తాము.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క సజాతీయ మరియు అసమాన వ్యవస్థల యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణంపై మేము ఖచ్చితంగా నివసిస్తాము. పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క భావనను ఇద్దాం మరియు SLAE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్‌లను ఉపయోగించి ఎలా వ్రాయబడిందో చూపిద్దాం. మంచి అవగాహన కోసం, కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ముగింపులో, మేము సరళమైన వాటికి తగ్గించగల సమీకరణాల వ్యవస్థలను, అలాగే SLAEలు ఉత్పన్నమయ్యే పరిష్కారంలో వివిధ సమస్యలను పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

నిర్వచనాలు, భావనలు, హోదాలు.

మేము ఫారమ్ యొక్క n తెలియని వేరియబుల్స్ (p nకి సమానం కావచ్చు)తో p లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిశీలిస్తాము

తెలియని వేరియబుల్స్, - గుణకాలు (కొన్ని వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు), - ఉచిత నిబంధనలు (వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు కూడా).

SLAE రికార్డింగ్ యొక్క ఈ రూపం అంటారు సమన్వయం.

IN మాతృక రూపంఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను వ్రాయడం ఒక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది,
ఎక్కడ - సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక, - తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క కాలమ్ మాతృక, - ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్.

(n+1)వ కాలమ్‌గా మాతృక Aకి ఉచిత పదాల మాతృక కాలమ్‌ని జోడిస్తే, మనం పిలవబడేవి పొందుతాము పొడిగించిన మాతృకసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. సాధారణంగా, పొడిగించిన మాతృక T అక్షరంతో సూచించబడుతుంది మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ మిగిలిన నిలువు వరుసల నుండి నిలువు వరుస ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది, అనగా,

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంసిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను గుర్తింపుగా మార్చే తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల సమితి అని పిలుస్తారు. తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువలకు మాతృక సమీకరణం కూడా ఒక గుర్తింపుగా మారుతుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థ కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే, దానిని అంటారు ఉమ్మడి.

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేనట్లయితే, దానిని అంటారు ఉమ్మడి కాని.

SLAEకి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటే, దానిని అంటారు ఖచ్చితంగా; ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలు ఉంటే, అప్పుడు - అనిశ్చిత.

సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల ఉచిత నిబంధనలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే , అప్పుడు వ్యవస్థ అంటారు సజాతీయమైన, లేకపోతే - విజాతీయమైన.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే మరియు దాని ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, అటువంటి SLAEలు అంటారు ప్రాథమిక. ఇటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు సజాతీయ వ్యవస్థ విషయంలో, అన్ని తెలియని వేరియబుల్స్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

మేము అటువంటి SLAEలను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించాము ఉన్నత పాఠశాల. వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము ఒక సమీకరణాన్ని తీసుకున్నాము, ఒక తెలియని వేరియబుల్‌ను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించాము మరియు దానిని మిగిలిన సమీకరణాలలోకి మార్చాము, తరువాత సమీకరణాన్ని తీసుకున్నాము, తదుపరి తెలియని వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించాము మరియు దానిని ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చాము. లేదా వారు అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగించారు, అంటే, వారు కొన్ని తెలియని వేరియబుల్స్ తొలగించడానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలను జోడించారు. మేము ఈ పద్ధతులపై వివరంగా నివసించము, ఎందుకంటే అవి తప్పనిసరిగా గాస్ పద్ధతి యొక్క సవరణలు.

సరళ సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులు క్రామెర్ పద్ధతి, మాతృక పద్ధతి మరియు గాస్ పద్ధతి. వాటిని క్రమబద్ధీకరిద్దాం.

క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

మనం సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలని అనుకుందాం

దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది, అంటే, .

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిగా ఉండనివ్వండి మరియు - భర్తీ ద్వారా A నుండి పొందిన మాత్రికల నిర్ణాయకాలు 1వ, 2వ, …, వఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌కి వరుసగా నిలువు వరుస:

ఈ సంజ్ఞామానంతో, తెలియని వేరియబుల్స్ క్రామెర్ పద్ధతి యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి . ఈ విధంగా క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం కనుగొనబడింది.

ఉదాహరణ.

క్రామెర్ పద్ధతి .

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది . దాని నిర్ణయాన్ని గణిద్దాం (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం నాన్ జీరో అయినందున, సిస్టమ్ క్రామెర్ పద్ధతి ద్వారా కనుగొనగలిగే ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది.

అవసరమైన నిర్ణాయకాలను కంపోజ్ చేసి గణిద్దాం (మాతృక Aలోని మొదటి కాలమ్‌ని ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా డిటర్‌మినెంట్‌ను పొందుతాము, రెండవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా మరియు మాతృక A యొక్క మూడవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా మేము డిటర్మినెంట్‌ను పొందుతాము) :

సూత్రాలను ఉపయోగించి తెలియని వేరియబుల్‌లను కనుగొనడం :

సమాధానం:

క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి యొక్క ప్రధాన ప్రతికూలత (దీనిని ప్రతికూలత అని పిలవగలిగితే) సిస్టమ్‌లోని సమీకరణాల సంఖ్య మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడంలో సంక్లిష్టత.

మాతృక పద్ధతిని (విలోమ మాతృకను ఉపయోగించి) ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో ఇవ్వనివ్వండి, ఇక్కడ మాతృక Aకి n ద్వారా n పరిమాణం ఉంటుంది మరియు దాని నిర్ణాయకం నాన్‌జీరో.

, మాతృక A విలోమమైనది, అనగా విలోమ మాతృక ఉంది. మేము సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమచే గుణించినట్లయితే, మనకు తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క మాతృక-కాలమ్‌ను కనుగొనడానికి ఒక ఫార్ములా వస్తుంది. మాతృక పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు ఈ విధంగా మేము పరిష్కారాన్ని పొందాము.

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి మాతృక పద్ధతి.

పరిష్కారం.

మాతృక రూపంలో సమీకరణాల వ్యవస్థను తిరిగి వ్రాద్దాం:

ఎందుకంటే

అప్పుడు SLAEని మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. విలోమ మాతృకను ఉపయోగించి, ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని ఇలా కనుగొనవచ్చు .

మాతృక A యొక్క మూలకాల బీజగణిత జోడింపుల నుండి మాతృకను ఉపయోగించి విలోమ మాతృకను నిర్మిస్తాము (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

విలోమ మాతృకను గుణించడం ద్వారా తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క మాతృకను లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది ఉచిత సభ్యుల మాతృక కాలమ్‌కు (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

సమాధానం:

లేదా మరొక సంజ్ఞామానంలో x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

మాతృక పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో ప్రధాన సమస్య విలోమ మాతృకను కనుగొనడంలో సంక్లిష్టత, ప్రత్యేకించి మూడవ కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క చదరపు మాత్రికల కోసం.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

n తెలియని వేరియబుల్స్‌తో n లీనియర్ సమీకరణాల వ్యవస్థకు మనం పరిష్కారం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం.
ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది.

గాస్ పద్ధతి యొక్క సారాంశంతెలియని వేరియబుల్స్‌ను వరుసగా తొలగించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది: మొదటిది, x 1 అనేది సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, రెండవది నుండి ప్రారంభించబడుతుంది, ఆపై x 2 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, మూడవది నుండి మొదలవుతుంది, ఇంకా తెలియని వేరియబుల్ x n మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. చివరి సమీకరణంలో. తెలియని వేరియబుల్స్‌ను వరుసగా తొలగించడానికి సిస్టమ్ సమీకరణాలను మార్చే ఈ ప్రక్రియ అంటారు ప్రత్యక్ష గాస్సియన్ పద్ధతి. గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్‌ను పూర్తి చేసిన తర్వాత, చివరి సమీకరణం నుండి x n కనుగొనబడింది, చివరి సమీకరణం నుండి ఈ విలువను ఉపయోగించి, x n-1 లెక్కించబడుతుంది మరియు అందువలన, మొదటి సమీకరణం నుండి x 1 కనుగొనబడుతుంది. సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మొదటిదానికి వెళ్లేటప్పుడు తెలియని వేరియబుల్స్‌ను లెక్కించే ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.

తెలియని వేరియబుల్స్‌ని తొలగించే అల్గారిథమ్‌ను క్లుప్తంగా వివరిస్తాము.

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా మేము దీన్ని ఎల్లప్పుడూ సాధించగలము కాబట్టి మేము దానిని ఊహించుకుంటాము. రెండవదానితో ప్రారంభించి సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని తొలగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మూడవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు .

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో ఇతర తెలియని వేరియబుల్స్ పరంగా x 1ని వ్యక్తీకరించి, ఫలిత వ్యక్తీకరణను అన్ని ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చినట్లయితే మనం అదే ఫలితానికి చేరుకుంటాము. అందువలన, వేరియబుల్ x 1 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, రెండవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము ఇదే విధంగా కొనసాగుతాము, కానీ ఫలిత వ్యవస్థలో కొంత భాగం మాత్రమే, ఇది చిత్రంలో గుర్తించబడింది

దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి, నాల్గవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి గుణించాలి, మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు . అందువలన, వేరియబుల్ x 2 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, ఇది మూడవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము తెలియని x 3ని తొలగించడానికి కొనసాగుతాము, అదే సమయంలో చిత్రంలో గుర్తించబడిన సిస్టమ్ భాగంతో మేము అదే విధంగా వ్యవహరిస్తాము.

కాబట్టి సిస్టమ్ రూపాన్ని తీసుకునే వరకు మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతిని కొనసాగిస్తాము

ఈ క్షణం నుండి మనం గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌ను ప్రారంభిస్తాము: మేము చివరి సమీకరణం నుండి x n ను గణిస్తాము, x n యొక్క పొందిన విలువను ఉపయోగించి మనం చివరి సమీకరణం నుండి x n-1ని కనుగొంటాము మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి x 1ని కనుగొంటాము .

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి గాస్ పద్ధతి.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని మినహాయిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల యొక్క రెండు వైపులా మేము మొదటి సమీకరణం యొక్క సంబంధిత భాగాలను జోడిస్తాము, వరుసగా మరియు గుణించి:

ఇప్పుడు మేము మూడవ సమీకరణం నుండి x 2ని తొలగిస్తాము, దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించి:

ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్‌ను పూర్తి చేస్తుంది;

ఫలిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మనం x 3ని కనుగొంటాము:

రెండవ సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాము.

మొదటి సమీకరణం నుండి మనం మిగిలిన తెలియని వేరియబుల్‌ను కనుగొంటాము మరియు తద్వారా గాస్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌ను పూర్తి చేస్తాము.

సమాధానం:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సాధారణంగా, సిస్టమ్ p యొక్క సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ n సంఖ్యతో ఏకీభవించదు:

ఇటువంటి SLAEలు ఎటువంటి పరిష్కారాలను కలిగి ఉండకపోవచ్చు, ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు లేదా అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండవచ్చు. ఈ ప్రకటన సమీకరణాల వ్యవస్థలకు కూడా వర్తిస్తుంది, దీని ప్రధాన మాతృక చతురస్రం మరియు ఏకవచనం.

క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనే ముందు, దాని అనుకూలతను స్థాపించడం అవసరం. SLAE ఎప్పుడు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఎప్పుడు అస్థిరంగా ఉంటుంది అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వబడుతుంది క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం:
n తెలియని (p nకి సమానం కావచ్చు) ఉన్న p సమీకరణాల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉండాలంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. , ర్యాంక్(A)=ర్యాంక్(T).

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతను గుర్తించడానికి క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని ఉదాహరణగా పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉందో లేదో తెలుసుకోండి పరిష్కారాలు.

పరిష్కారం.

. మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం. రెండవ క్రమంలో మైనర్ సున్నా నుండి భిన్నమైనది. దాని సరిహద్దులో ఉన్న థర్డ్-ఆర్డర్ మైనర్‌లను చూద్దాం:

మూడవ క్రమంలో సరిహద్దు మైనర్‌లందరూ సున్నాకి సమానం కాబట్టి, ప్రధాన మాతృక ర్యాంక్ రెండుకి సమానం.

క్రమంగా, పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మైనర్ మూడవ క్రమానికి చెందినది కనుక ఇది మూడింటికి సమానం

సున్నా నుండి భిన్నమైనది.

ఈ విధంగా, రాంగ్(A), కాబట్టి, క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలు వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉందని మేము నిర్ధారించగలము.

సమాధానం:

వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.

కాబట్టి, మేము క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క అస్థిరతను స్థాపించడం నేర్చుకున్నాము.

కానీ దాని అనుకూలత స్థాపించబడినట్లయితే SLAEకి పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

దీన్ని చేయడానికి, మాకు మాతృక యొక్క బేస్ మైనర్ భావన మరియు మాతృక యొక్క ర్యాంక్ గురించి సిద్ధాంతం అవసరం.

సున్నాకి భిన్నమైన మాతృక A యొక్క అత్యధిక క్రమాన్ని మైనర్ అంటారు ప్రాథమిక.

బేసిస్ మైనర్ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని క్రమం మాతృక ర్యాంక్‌కు సమానం అని అనుసరిస్తుంది. సున్నా కాని మాతృక A కోసం అనేక ప్రాతిపదికన మైనర్లు ఉండవచ్చు;

ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి .

ఈ మాతృక యొక్క మూడవ వరుసలోని మూలకాలు మొదటి మరియు రెండవ వరుసల సంబంధిత మూలకాల మొత్తం అయినందున, ఈ మాతృకలోని అన్ని మూడవ-క్రమం మైనర్‌లు సున్నాకి సమానం.

కింది సెకండ్-ఆర్డర్ మైనర్‌లు ప్రాథమికమైనవి, ఎందుకంటే అవి సున్నా కాదు

మైనర్లు ప్రాథమికమైనవి కావు, ఎందుకంటే అవి సున్నాకి సమానం.

మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ సిద్ధాంతం.

n ద్వారా p ఆర్డర్ యొక్క మాతృక యొక్క ర్యాంక్ rకి సమానం అయితే, ఎంచుకున్న ఆధారం మైనర్‌ను ఏర్పరచని మాతృకలోని అన్ని అడ్డు వరుస (మరియు నిలువు వరుస) మూలకాలు సంబంధిత అడ్డు వరుస (మరియు నిలువు వరుస) మూలకాలు ఏర్పడే పరంగా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఆధారం మైనర్.

మాతృక ర్యాంక్ సిద్ధాంతం మనకు ఏమి చెబుతుంది?

ఒకవేళ, క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మేము సిస్టమ్ యొక్క అనుకూలతను ఏర్పరచినట్లయితే, అప్పుడు మేము సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకలో ఏదైనా చిన్న ప్రాతిపదికను ఎంచుకుంటాము (దాని క్రమం r కి సమానం), మరియు సిస్టమ్ నుండి అన్ని సమీకరణాలను మినహాయించండి ఎంచుకున్న ప్రాతిపదికన మైనర్‌గా ఏర్పడదు. ఈ విధంగా పొందిన SLAE అసలైన దానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే విస్మరించబడిన సమీకరణాలు ఇప్పటికీ అనవసరంగా ఉంటాయి (మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవి మిగిలిన సమీకరణాల సరళ కలయిక).

ఫలితంగా, సిస్టమ్ యొక్క అనవసరమైన సమీకరణాలను విస్మరించిన తర్వాత, రెండు కేసులు సాధ్యమే.

ఫలిత వ్యవస్థలో r సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే, అది ఖచ్చితంగా ఉంటుంది మరియు క్రామెర్ పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతి ద్వారా మాత్రమే పరిష్కారం కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మైనర్ రెండవ శ్రేణికి చెందినది కనుక ఇది రెండింటికి సమానం సున్నా నుండి భిన్నమైనది. విస్తరించిన మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ మూడవ ఆర్డర్ మైనర్ మాత్రమే సున్నా కాబట్టి, ఇది రెండుకి సమానం

మరియు పైన పరిగణించబడిన రెండవ-ఆర్డర్ మైనర్ సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం ఆధారంగా, మేము ర్యాంక్(A)=ర్యాంక్(T)=2 కాబట్టి, సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతను నొక్కి చెప్పవచ్చు.

మైనర్‌గా మనం తీసుకుంటాము . ఇది మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాల గుణకాల ద్వారా ఏర్పడుతుంది:


సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణం బేస్ మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనదు, కాబట్టి మేము దానిని మాతృక ర్యాంక్‌పై సిద్ధాంతం ఆధారంగా సిస్టమ్ నుండి మినహాయించాము:


ఈ విధంగా మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థను పొందాము. క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం:


సమాధానం:

x 1 = 1, x 2 = 2.

ఫలితంగా వచ్చే SLAEలోని r సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ n కంటే తక్కువగా ఉంటే, సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున చిన్న ఆధారాన్ని ఏర్పరిచే నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు మిగిలిన నిబంధనలను కుడి వైపులా బదిలీ చేస్తాము వ్యతిరేక గుర్తుతో సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలు.

సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున మిగిలి ఉన్న తెలియని వేరియబుల్స్ (వాటిలో r) అంటారు ప్రధాన.

కుడి వైపున ఉన్న తెలియని వేరియబుల్స్ (n - r ముక్కలు ఉన్నాయి) అంటారు ఉచిత.

ఇప్పుడు మేము ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ ఏకపక్ష విలువలను తీసుకోవచ్చని మేము విశ్వసిస్తున్నాము, అయితే r ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్స్ ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ ద్వారా ప్రత్యేక మార్గంలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. క్రామర్ పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఫలిత SLAEని పరిష్కరించడం ద్వారా వాటి వ్యక్తీకరణను కనుగొనవచ్చు.

దానిని ఒక ఉదాహరణతో పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి .

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి మైనర్లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతి ద్వారా. మొదటి ఆర్డర్‌లో 1 1 = 1ని సున్నా కాని మైనర్‌గా తీసుకుందాం. ఈ మైనర్ సరిహద్దులో ఉన్న రెండవ ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్ కోసం వెతకడం ప్రారంభిద్దాం:


ఈ విధంగా మేము రెండవ క్రమంలో సున్నా కాని మైనర్‌ని కనుగొన్నాము. మూడవ క్రమంలో సున్నా కాని సరిహద్దు మైనర్ కోసం శోధించడం ప్రారంభిద్దాం:


అందువలన, ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మూడు. పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ కూడా మూడుకి సమానం, అంటే సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది.

మేము మూడవ క్రమంలో కనుగొనబడిన నాన్-జీరో మైనర్‌ను ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటాము.

స్పష్టత కోసం, మేము మైనర్ ఆధారంగా ఉండే అంశాలను చూపుతాము:


మేము సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున చిన్న ప్రాతిపదికన ఉన్న నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు మిగిలిన వాటిని కుడి వైపులా వ్యతిరేక సంకేతాలతో బదిలీ చేస్తాము:


ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ x 2 మరియు x 5 ఏకపక్ష విలువలను ఇద్దాం, అంటే మేము అంగీకరిస్తాము , ఏకపక్ష సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, SLAE రూపం తీసుకుంటుంది


క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ఫలితంగా వచ్చే ప్రాథమిక వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:


అందుకే, .

మీ సమాధానంలో, ఉచిత తెలియని వేరియబుల్‌లను సూచించడం మర్చిపోవద్దు.

సమాధానం:

ఏకపక్ష సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

సంగ్రహించండి.

సాధారణ రేఖీయ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మేము మొదట క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి దాని అనుకూలతను నిర్ణయిస్తాము. ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా లేకుంటే, సిస్టమ్ అననుకూలంగా ఉందని మేము నిర్ధారించాము.

ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానం అయితే, మేము బేసిస్ మైనర్‌ను ఎంచుకుంటాము మరియు ఎంచుకున్న ప్రాతిపదికన మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనని సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను విస్మరిస్తాము.

బేసిస్ మైనర్ యొక్క క్రమం తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానం అయితే, SLAEకి ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది, ఇది మనకు తెలిసిన ఏ పద్ధతి ద్వారా అయినా కనుగొనబడుతుంది.

బేసిస్ మైనర్ యొక్క క్రమం తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటే, సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున మేము ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్స్‌తో నిబంధనలను వదిలివేస్తాము, మిగిలిన నిబంధనలను కుడి వైపులా బదిలీ చేస్తాము మరియు ఏకపక్ష విలువలను ఇస్తాము. ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్. సరళ సమీకరణాల యొక్క ఫలిత వ్యవస్థ నుండి మేము క్రామెర్ పద్ధతి, మాతృక పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్‌లను కనుగొంటాము.

సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతి.

ముందుగా అనుకూలత కోసం పరీక్షించకుండానే ఏ రకమైన సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ ప్రక్రియ SLAE యొక్క అనుకూలత మరియు అననుకూలత రెండింటి గురించి ఒక తీర్మానం చేయడం సాధ్యపడుతుంది మరియు ఒక పరిష్కారం ఉన్నట్లయితే, దానిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది.

గణన కోణం నుండి, గాస్సియన్ పద్ధతి ఉత్తమం.

చూడు వివరణాత్మక వివరణమరియు సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతిని వ్యాసంలోని ఉదాహరణలను విశ్లేషించారు.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్లను ఉపయోగించి సజాతీయ మరియు అసమాన సరళ బీజగణిత వ్యవస్థలకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయడం.

ఈ విభాగంలో మనం అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ఏకకాల సజాతీయ మరియు అసమాన వ్యవస్థల గురించి మాట్లాడుతాము.

మొదట సజాతీయ వ్యవస్థలతో వ్యవహరిస్తాము.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ n తెలియని వేరియబుల్స్‌తో p లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ ఈ వ్యవస్థ యొక్క (n - r) సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాల సమాహారం, ఇక్కడ r అనేది సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ఆధారమైన మైనర్ యొక్క క్రమం.

మేము X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) వంటి సజాతీయ SLAE యొక్క సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను సూచిస్తే n పరిమాణం యొక్క స్తంభాల మాత్రికలు ద్వారా 1) , అప్పుడు ఈ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఏకపక్ష స్థిరమైన గుణకాలు C 1, C 2, ..., C (n-r), అనగా పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయికగా సూచించబడుతుంది.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల (ఓరోస్లా) సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం అనే పదానికి అర్థం ఏమిటి?

అర్థం సులభం: సూత్రం ప్రతిదీ సెట్ చేస్తుంది సాధ్యమైన పరిష్కారాలుఅసలు SLAE, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏకపక్ష స్థిరాంకాల C 1, C 2, ..., C (n-r) యొక్క ఏదైనా సెట్‌ను తీసుకుంటే, ఫార్ములా ప్రకారం మేము అసలు సజాతీయ SLAEకి పరిష్కారాలలో ఒకదాన్ని పొందుతాము.

ఈ విధంగా, మేము పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొంటే, మేము ఈ సజాతీయ SLAE యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను ఇలా నిర్వచించవచ్చు.

సజాతీయ SLAEకి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను నిర్మించే ప్రక్రియను చూపుదాం.

మేము సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన సిస్టమ్ యొక్క ఆధారమైన మైనర్‌ని ఎంచుకుంటాము, సిస్టమ్ నుండి అన్ని ఇతర సమీకరణాలను మినహాయించి మరియు ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌ని కలిగి ఉన్న అన్ని పదాలను వ్యతిరేక సంకేతాలతో సిస్టమ్ సమీకరణాల కుడి వైపునకు బదిలీ చేస్తాము. ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు 1,0,0,...,0 విలువలను ఇద్దాం మరియు ఏ విధంగానైనా సరళ సమీకరణాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రధాన తెలియని వాటిని లెక్కించండి, ఉదాహరణకు, క్రామర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి. ఇది X (1)కి దారి తీస్తుంది - ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క మొదటి పరిష్కారం. మేము ఉచిత తెలియని వాటికి 0,1,0,0,…,0 విలువలను ఇచ్చి, ప్రధాన తెలియని వాటిని గణిస్తే, మనకు X (2) వస్తుంది. మరియు అందువలన న. మనం ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు 0.0,...,0.1 విలువలను కేటాయించి, ప్రధాన తెలియని వాటిని గణిస్తే, మేము X (n-r)ని పొందుతాము. ఈ విధంగా, ఒక సజాతీయ SLAEకి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ నిర్మించబడుతుంది మరియు దాని సాధారణ పరిష్కారాన్ని రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క అసమాన వ్యవస్థల కోసం, సాధారణ పరిష్కారం రూపంలో సూచించబడుతుంది, ఇక్కడ సంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు అసలైన అసమానమైన SLAE యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం, ఇది ఉచితంగా తెలియని వాటికి విలువలను అందించడం ద్వారా మేము పొందుతాము 0,0,...,0 మరియు ప్రధాన తెలియని వాటి విలువలను గణించడం.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ మరియు సరళ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

సరళ సమీకరణాల యొక్క సజాతీయ వ్యవస్థల యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ ఎల్లప్పుడూ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి. మొదటి ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్‌గా, మేము సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకలో 1 1 = 9 మూలకాన్ని తీసుకుంటాము. రెండవ ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్ సరిహద్దును కనుగొనండి:

సున్నాకి భిన్నమైన రెండవ ఆర్డర్‌లో మైనర్ కనుగొనబడింది. సున్నా కాని వాటి కోసం దాని సరిహద్దులో ఉన్న మూడవ-ఆర్డర్ మైనర్‌ల ద్వారా వెళ్దాం:

అన్ని మూడవ-ఆర్డర్ సరిహద్దు మైనర్‌లు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ప్రధాన మరియు పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండుకి సమానం. తీసుకుందాం. స్పష్టత కోసం, దానిని రూపొందించే సిస్టమ్ యొక్క అంశాలను గమనించండి:

అసలు SLAE యొక్క మూడవ సమీకరణం బేస్ మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనదు, కాబట్టి, దీనిని మినహాయించవచ్చు:

మేము సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపున ప్రధాన తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు ఉచిత తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను కుడి వైపులకు బదిలీ చేస్తాము:

సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం. ఈ SLAE యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థ రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే అసలు SLAE నాలుగు తెలియని వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు దాని ప్రాతిపదిక మైనర్ యొక్క క్రమం రెండుకి సమానం. X (1)ని కనుగొనడానికి, మేము ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు x 2 = 1, x 4 = 0 విలువలను ఇస్తాము, ఆపై సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి ప్రధాన తెలియని వాటిని కనుగొంటాము
.