Γραμμές δεύτερης τάξης.
Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση. Κύκλος

Μετά από ενδελεχή μελέτη ευθείες γραμμές στο επίπεδοΣυνεχίζουμε να μελετάμε τη γεωμετρία του δισδιάστατου κόσμου. Τα στοιχήματα διπλασιάζονται και σας προσκαλώ να επισκεφτείτε μια γραφική γκαλερί ελλείψεων, υπερβολών, παραβολών, που είναι τυπικοί εκπρόσωποι γραμμές δεύτερης τάξης. Η εκδρομή έχει ήδη ξεκινήσει, και πρώτα σύντομες πληροφορίεςγια ολόκληρη την έκθεση σε διάφορους ορόφους του μουσείου:

Η έννοια της αλγεβρικής γραμμής και η σειρά της

Μια γραμμή σε ένα επίπεδο ονομάζεται αλγεβρικός, εάν μέσα συγγενικό σύστημα συντεταγμένωνη εξίσωσή του έχει τη μορφή , όπου είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από όρους της μορφής ( – πραγματικός αριθμός, – μη αρνητικοί ακέραιοι).

Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση μιας αλγεβρικής γραμμής δεν περιέχει ημίτονο, συνημίτονο, λογάριθμους και άλλα συναρτησιακά beau monde. Μόνο τα Χ και Υ είναι μέσα μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίβαθμούς.

Γραμμική παραγγελίαίση με τη μέγιστη τιμή των όρων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Σύμφωνα με το αντίστοιχο θεώρημα, η έννοια μιας αλγεβρικής γραμμής, καθώς και η σειρά της, δεν εξαρτώνται από την επιλογή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων, επομένως, για ευκολία ύπαρξης, υποθέτουμε ότι όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται στο Καρτεσιανές συντεταγμένες.

Γενική εξίσωσηη δεύτερη γραμμή παραγγελίας έχει τη μορφή , όπου – αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί (Συνηθίζεται να το γράφουμε με συντελεστή δύο), και οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Αν , τότε η εξίσωση απλοποιείται σε , και αν οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα, τότε αυτό ακριβώς είναι γενική εξίσωση μιας «επίπεδης» γραμμής, που αντιπροσωπεύει γραμμή πρώτης παραγγελίας.

Πολλοί έχουν καταλάβει την έννοια των νέων όρων, αλλά, παρόλα αυτά, για να κατακτήσουμε 100% το υλικό, βάζουμε τα δάχτυλά μας στην υποδοχή. Για να προσδιορίσετε τη σειρά γραμμής, πρέπει να κάνετε επανάληψη όλους τους όρουςτις εξισώσεις του και βρείτε για καθένα από αυτά άθροισμα βαθμώνεισερχόμενες μεταβλητές.

Για παράδειγμα:

ο όρος περιέχει "x" στην 1η δύναμη.
ο όρος περιέχει "Y" στην 1η δύναμη.
Δεν υπάρχουν μεταβλητές στον όρο, επομένως το άθροισμα των δυνάμεών τους είναι μηδέν.

Τώρα ας καταλάβουμε γιατί η εξίσωση ορίζει τη γραμμή δεύτεροςπαραγγελία:

ο όρος περιέχει "x" στη 2η δύναμη.
το άθροισμα έχει το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών: 1 + 1 = 2;
ο όρος περιέχει "Y" στη 2η δύναμη.
όλοι οι άλλοι όροι - μείονβαθμούς.

Μέγιστη τιμή: 2

Εάν προσθέσουμε επιπλέον, ας πούμε, στην εξίσωσή μας, τότε θα καθορίσει ήδη γραμμή τρίτης τάξης. Προφανώς, η γενική μορφή της εξίσωσης γραμμής 3ης τάξης περιέχει « πλήρες σετ» όρους, το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών στις οποίες είναι ίσο με τρεις:
, όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Σε περίπτωση που προσθέσετε έναν ή περισσότερους κατάλληλους όρους που περιέχουν , τότε θα μιλήσουμε ήδη Γραμμές 4ης παραγγελίαςκ.λπ.

Θα πρέπει να συναντήσουμε αλγεβρικές γραμμές της 3ης, 4ης και υψηλότερης τάξης περισσότερες από μία φορές, ιδίως όταν εξοικειωθούμε με πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στη γενική εξίσωση και ας θυμηθούμε τις πιο απλές σχολικές παραλλαγές της. Ως παράδειγμα, μια παραβολή προτείνεται, η εξίσωση της οποίας μπορεί εύκολα να αναχθεί σε γενική εμφάνιση, και μια υπερβολή με την ισοδύναμη εξίσωση . Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο ομαλά...

Ένα σημαντικό μειονέκτημα της γενικής εξίσωσης είναι ότι σχεδόν πάντα δεν είναι σαφές ποια γραμμή ορίζει. Ακόμη και στην πιο απλή περίπτωση, δεν θα συνειδητοποιήσετε αμέσως ότι πρόκειται για υπερβολή. Τέτοιες διατάξεις είναι καλές μόνο σε μια μεταμφίεση, επομένως κατά τη διάρκεια της αναλυτικής γεωμετρίας θεωρούμε τυπική εργασία φέρνοντας την εξίσωση γραμμής 2ης τάξης σε κανονική μορφή.

Ποια είναι η κανονική μορφή μιας εξίσωσης;

Αυτό είναι γενικά αποδεκτό τυπική όψηεξίσωση, όταν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα γίνεται σαφές ποιο γεωμετρικό αντικείμενο ορίζει. Επιπλέον, η κανονική μορφή είναι πολύ βολική για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με κανονική εξίσωση «επίπεδη» ευθεία, πρώτον, είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια ευθεία γραμμή, και δεύτερον, το σημείο που ανήκει σε αυτήν και το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι εύκολα ορατά.

Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε γραμμή 1ης παραγγελίαςείναι μια ευθεία γραμμή. Στον δεύτερο όροφο, δεν μας περιμένει πλέον ο φύλακας, αλλά μια πολύ πιο διαφορετική παρέα από εννέα αγάλματα:

Ταξινόμηση γραμμών δεύτερης τάξης

Χρησιμοποιώντας ένα ειδικό σύνολο ενεργειών, οποιαδήποτε εξίσωση μιας γραμμής δεύτερης τάξης μειώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές:

(και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί)

1) – κανονική εξίσωση της έλλειψης.

2) – κανονική εξίσωση υπερβολής.

3) – κανονική εξίσωση παραβολής.

4) – φανταστικόςέλλειψη;

5) - ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών.

6) – ζεύγος φανταστικόςτεμνόμενες γραμμές (με ένα μόνο έγκυρο σημείο τομής στην αρχή).

7) – ένα ζευγάρι παράλληλων γραμμών.

8) – ζεύγος φανταστικόςπαράλληλες γραμμές?

9) – ένα ζευγάρι συμπίπτουσες γραμμές.

Ορισμένοι αναγνώστες μπορεί να έχουν την εντύπωση ότι η λίστα είναι ελλιπής. Για παράδειγμα, στο σημείο Νο. 7, η εξίσωση καθορίζει το ζεύγος απευθείας, παράλληλη προς τον άξονα, και τίθεται το ερώτημα: πού βρίσκεται η εξίσωση που καθορίζει τις ευθείες παράλληλες στον άξονα τεταγμένων; Απάντηση: αυτό δεν θεωρείται κανονική. Οι ευθείες γραμμές αντιπροσωπεύουν την ίδια τυπική περίπτωση, περιστρέφεται κατά 90 μοίρες και η πρόσθετη καταχώριση στην ταξινόμηση είναι περιττή, καθώς δεν φέρνει τίποτα ουσιαστικά νέο.

Έτσι υπάρχουν εννέα και μόνο εννέα διάφορα είδηγραμμές 2ης τάξης, αλλά στην πράξη βρίσκονται πιο συχνά έλλειψη, υπερβολή και παραβολή.

Ας δούμε πρώτα την έλλειψη. Ως συνήθως, επικεντρώνομαι σε εκείνα τα σημεία που έχουν μεγάλη αξίαγια να λύσετε προβλήματα και εάν χρειάζεστε λεπτομερή παραγωγή τύπων, αποδείξεις θεωρημάτων, ανατρέξτε, για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο των Bazylev/Atanasyan ή Aleksandrov.

Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση

Ορθογραφία... παρακαλώ μην επαναλάβετε τα λάθη ορισμένων χρηστών του Yandex που ενδιαφέρονται για το "πώς να φτιάξετε μια έλλειψη", "τη διαφορά μεταξύ μιας έλλειψης και ενός οβάλ" και "η εκκεντρότητα μιας έλλειψης".

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή , όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, και . Θα διατυπώσω τον ίδιο τον ορισμό της έλλειψης αργότερα, αλλά προς το παρόν είναι ώρα να κάνουμε ένα διάλειμμα από το κατάστημα που μιλάει και να λύσουμε ένα κοινό πρόβλημα:

Πώς να φτιάξετε μια έλλειψη;

Ναι, απλά πάρτε το και απλώς ζωγραφίστε το. Η εργασία γίνεται συχνά και ένα σημαντικό μέρος των μαθητών δεν αντιμετωπίζει σωστά το σχέδιο:

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε την έλλειψη που δίνεται από την εξίσωση

Διάλυμα: Αρχικά, ας φέρουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή:

Γιατί να φέρεις; Ένα από τα πλεονεκτήματα της κανονικής εξίσωσης είναι ότι σας επιτρέπει να προσδιορίσετε αμέσως κορυφές της έλλειψης, τα οποία βρίσκονται σε σημεία. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες καθενός από αυτά τα σημεία ικανοποιούν την εξίσωση.

Σε αυτή την περίπτωση:


Τμήμακάλεσε κύριος άξοναςέλλειψη;
τμήμα – μικρός άξονας;
αριθμός κάλεσε ημι-κύριος άξοναςέλλειψη;
αριθμός – μικρός άξονας.
στο παράδειγμά μας: .

Για να φανταστείτε γρήγορα πώς μοιάζει μια συγκεκριμένη έλλειψη, απλά κοιτάξτε τις τιμές του «a» και του «be» της κανονικής της εξίσωσης.

Όλα είναι καλά, ομαλά και όμορφα, αλλά υπάρχει μια προειδοποίηση: έφτιαξα το σχέδιο χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα. Και μπορείτε να κάνετε το σχέδιο χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εφαρμογή. Ωστόσο, στη σκληρή πραγματικότητα, υπάρχει ένα καρό χαρτί στο τραπέζι και τα ποντίκια χορεύουν κυκλικά στα χέρια μας. Άνθρωποι με καλλιτεχνικό ταλέντο, φυσικά, μπορούν να μαλώσουν, αλλά έχετε και ποντίκια (αν και μικρότερα). Δεν είναι μάταιο ότι η ανθρωπότητα επινόησε τον χάρακα, την πυξίδα, το μοιρογνωμόνιο και άλλες απλές συσκευές για το σχέδιο.

Για το λόγο αυτό, είναι απίθανο να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε με ακρίβεια μια έλλειψη γνωρίζοντας μόνο τις κορυφές. Είναι εντάξει αν η έλλειψη είναι μικρή, για παράδειγμα, με ημιάξονες. Εναλλακτικά, μπορείτε να μειώσετε την κλίμακα και, κατά συνέπεια, τις διαστάσεις του σχεδίου. Αλλά γενικά, είναι πολύ επιθυμητό να βρείτε επιπλέον σημεία.

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την κατασκευή μιας έλλειψης - γεωμετρική και αλγεβρική. Δεν μου αρέσει η κατασκευή με πυξίδα και χάρακα, επειδή ο αλγόριθμος δεν είναι ο συντομότερος και το σχέδιο είναι σημαντικά ακατάστατο. Σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ πιο λογικό να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία της άλγεβρας. Από την εξίσωση της έλλειψης στο προσχέδιο εκφράζουμε γρήγορα:

Στη συνέχεια, η εξίσωση αναλύεται σε δύο συναρτήσεις:
– ορίζει το άνω τόξο της έλλειψης.
– ορίζει το κάτω τόξο της έλλειψης.

Η έλλειψη που ορίζεται από την κανονική εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, καθώς και ως προς την αρχή. Και αυτό είναι υπέροχο - η συμμετρία είναι σχεδόν πάντα προάγγελος δωρεάν. Προφανώς, αρκεί να ασχοληθούμε με το 1ο τέταρτο συντεταγμένων, οπότε χρειαζόμαστε τη συνάρτηση . Θέτει το ζήτημα της εύρεσης πρόσθετων σημείων με τετμημένα . Ας πατήσουμε τρία μηνύματα SMS στην αριθμομηχανή:

Φυσικά, είναι επίσης ωραίο ότι εάν γίνει ένα σοβαρό λάθος στους υπολογισμούς, θα γίνει αμέσως σαφές κατά την κατασκευή.

Ας σημειώσουμε σημεία στο σχέδιο (κόκκινο), συμμετρικά σημεία στα υπόλοιπα τόξα ( μπλε) και συνδέστε προσεκτικά ολόκληρη την εταιρεία με μια γραμμή:


Είναι καλύτερα να σχεδιάσετε το αρχικό σκίτσο πολύ λεπτά και μόνο τότε να ασκήσετε πίεση με ένα μολύβι. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μια αρκετά αξιοπρεπής έλλειψη. Παρεμπιπτόντως, θα θέλατε να μάθετε ποια είναι αυτή η καμπύλη;

Ορισμός έλλειψης. Εστίες έλλειψης και εκκεντρικότητα έλλειψης

Η έλλειψη είναι μια ειδική περίπτωση οβάλ. Η λέξη "οβάλ" δεν πρέπει να κατανοηθεί με τη φιλισταϊκή έννοια ("το παιδί ζωγράφισε ένα οβάλ" κ.λπ.). Αυτός είναι ένας μαθηματικός όρος που έχει λεπτομερή διατύπωση. Ο σκοπός αυτού του μαθήματος δεν είναι να εξετάσει τη θεωρία των ωοειδών και των διάφορων τύπων τους, στα οποία ουσιαστικά δεν δίνεται προσοχή στο τυπικό μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Και, σύμφωνα με πιο πιεστικές ανάγκες, προχωράμε αμέσως στον αυστηρό ορισμό της έλλειψης:

Ελλειψηείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε καθένα από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται κόλπαέλλειψη, είναι μια σταθερή ποσότητα, αριθμητικά ίση με το μήκος του κύριου άξονα αυτής της έλλειψης: .
Σε αυτήν την περίπτωση, οι αποστάσεις μεταξύ των εστιών είναι μικρότερες από αυτήν την τιμή: .

Τώρα όλα θα γίνουν πιο ξεκάθαρα:

Φανταστείτε ότι η μπλε κουκκίδα «ταξιδεύει» κατά μήκος μιας έλλειψης. Έτσι, ανεξάρτητα από το σημείο της έλλειψης, το άθροισμα των μηκών των τμημάτων θα είναι πάντα το ίδιο:

Ας βεβαιωθούμε ότι στο παράδειγμά μας η τιμή του αθροίσματος είναι πραγματικά ίση με οκτώ. Τοποθετήστε διανοητικά το σημείο "um" στη δεξιά κορυφή της έλλειψης, στη συνέχεια: , που είναι αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Μια άλλη μέθοδος σχεδίασής του βασίζεται στον ορισμό της έλλειψης. Τα ανώτερα μαθηματικά είναι μερικές φορές η αιτία της έντασης και του άγχους, οπότε ήρθε η ώρα να κάνετε μια άλλη συνεδρία αποφόρτισης. Πάρτε χαρτί Whatman ή ένα μεγάλο φύλλο χαρτονιού και καρφώστε το στο τραπέζι με δύο καρφιά. Αυτά θα είναι κόλπα. Δέστε μια πράσινη κλωστή στις κεφαλές των νυχιών που προεξέχουν και τραβήξτε την μέχρι το τέλος με ένα μολύβι. Το καλώδιο μολυβιού θα καταλήξει σε ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στην έλλειψη. Τώρα αρχίστε να μετακινείτε το μολύβι σας κατά μήκος ενός φύλλου χαρτιού, κρατώντας πράσινη κλωστήπολύ τεταμένη. Συνεχίστε τη διαδικασία μέχρι να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης... υπέροχο... το σχέδιο μπορεί να ελεγχθεί από τον γιατρό και τον δάσκαλο =)

Πώς να βρείτε τις εστίες μιας έλλειψης;

Στο παραπάνω παράδειγμα, απεικόνισα «έτοιμα» εστιακά σημεία και τώρα θα μάθουμε πώς να τα εξάγουμε από τα βάθη της γεωμετρίας.

Εάν μια έλλειψη δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι εστίες της έχουν συντεταγμένες , που είναι αυτό απόσταση από κάθε εστία έως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης.

Οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι από απλοί:

! Οι συγκεκριμένες συντεταγμένες των εστιών δεν μπορούν να ταυτιστούν με την έννοια του «τσε»!Επαναλαμβάνω ότι αυτό είναι ΑΠΟΣΤΑΣΗ από κάθε εστίαση στο κέντρο(που στη γενική περίπτωση δεν χρειάζεται να βρίσκεται ακριβώς στην προέλευση).
Και, επομένως, η απόσταση μεταξύ των εστιών επίσης δεν μπορεί να συνδεθεί με την κανονική θέση της έλλειψης. Με άλλα λόγια, η έλλειψη μπορεί να μετακινηθεί σε άλλο μέρος και η τιμή θα παραμείνει αμετάβλητη, ενώ οι εστίες θα αλλάξουν φυσικά τις συντεταγμένες τους. Λάβετε αυτό υπόψη σας καθώς εξερευνάτε περαιτέρω το θέμα.

Η εκκεντρικότητα της έλλειψης και η γεωμετρική της σημασία

Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μια αναλογία που μπορεί να λάβει τιμές εντός του εύρους.

Στην περίπτωσή μας:

Ας μάθουμε πώς το σχήμα μιας έλλειψης εξαρτάται από την εκκεντρικότητά της. Για αυτό διορθώστε την αριστερή και τη δεξιά κορυφήτης υπό εξέταση έλλειψης, δηλαδή, η τιμή του ημιμείζονος άξονα θα παραμείνει σταθερή. Τότε ο τύπος εκκεντρικότητας θα πάρει τη μορφή: .

Ας αρχίσουμε να φέρνουμε την τιμή της εκκεντρικότητας πιο κοντά στην ενότητα. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν . Τι σημαίνει αυτό; ...θυμηθείτε τα κόλπα . Αυτό σημαίνει ότι οι εστίες της έλλειψης θα «απομακρυνθούν» κατά μήκος του άξονα της τετμημένης προς τις πλευρικές κορυφές. Και, δεδομένου ότι "τα πράσινα τμήματα δεν είναι καουτσούκ", η έλλειψη θα αρχίσει αναπόφευκτα να ισοπεδώνεται, μετατρέποντας σε ένα λεπτότερο και λεπτότερο λουκάνικο αρδευόμενο σε έναν άξονα.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας της έλλειψης στη μονάδα, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη.

Τώρα ας μοντελοποιήσουμε την αντίθετη διαδικασία: τις εστίες της έλλειψης περπάτησαν ο ένας προς τον άλλο πλησιάζοντας προς το κέντρο. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του «ce» γίνεται όλο και μικρότερη και, κατά συνέπεια, η εκκεντρότητα τείνει στο μηδέν: .
Σε αυτή την περίπτωση, τα «πράσινα τμήματα» αντίθετα θα «συνωστιστούν» και θα αρχίσουν να «σπρώχνουν» τη γραμμή έλλειψης πάνω-κάτω.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας στο μηδέν, τόσο πιο παρόμοια είναι η έλλειψη... κοιτάξτε την περιοριστική περίπτωση όταν οι εστίες επανενώνονται με επιτυχία στην αρχή:

Ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης

Πράγματι, στην περίπτωση της ισότητας των ημιαξόνων, η κανονική εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή , η οποία μετατρέπεται αντανακλαστικά στην εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή της ακτίνας «a», πολύ γνωστή από το σχολείο.

Στην πράξη, ο συμβολισμός με το «ομιλούμενο» γράμμα «er» χρησιμοποιείται συχνότερα: . Η ακτίνα είναι το μήκος ενός τμήματος, με κάθε σημείο του κύκλου να αφαιρείται από το κέντρο κατά μια απόσταση ακτίνας.

Σημειώστε ότι ο ορισμός της έλλειψης παραμένει απόλυτα σωστός: οι εστίες συμπίπτουν και το άθροισμα των μηκών των συμπίπτοντων τμημάτων για κάθε σημείο του κύκλου είναι σταθερά. Αφού η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι , λοιπόν η εκκεντρότητα οποιουδήποτε κύκλου είναι μηδέν.

Η κατασκευή ενός κύκλου είναι εύκολη και γρήγορη, απλά χρησιμοποιήστε μια πυξίδα. Ωστόσο, μερικές φορές είναι απαραίτητο να μάθουμε τις συντεταγμένες ορισμένων από τα σημεία του, σε αυτήν την περίπτωση ακολουθούμε τον γνωστό τρόπο - φέρνουμε την εξίσωση στη χαρούμενη μορφή Matanov:

– λειτουργία του άνω ημικυκλίου.
– λειτουργία του κάτω ημικυκλίου.

Στη συνέχεια βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές, διαφοροποιώ, ενοποιώκαι κάνε άλλα καλά πράγματα.

Το άρθρο, φυσικά, είναι μόνο για αναφορά, αλλά πώς μπορείτε να ζήσετε στον κόσμο χωρίς αγάπη; Δημιουργική εργασίαΓια ανεξάρτητη απόφαση

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν είναι γνωστή μια από τις εστίες και ο ημιμικρός άξονάς της (το κέντρο βρίσκεται στην αρχή). Βρείτε κορυφές, πρόσθετα σημεία και σχεδιάστε μια γραμμή στο σχέδιο. Υπολογίστε την εκκεντρικότητα.

Λύση και σχέδιο στο τέλος του μαθήματος

Ας προσθέσουμε μια ενέργεια:

Περιστροφή και παράλληλη μετάφραση μιας έλλειψης

Ας επιστρέψουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης, δηλαδή, στην κατάσταση, το μυστήριο της οποίας βασανίζει τα αδιάκριτα μυαλά από την πρώτη αναφορά αυτής της καμπύλης. Έτσι κοιτάξαμε την έλλειψη , αλλά δεν είναι δυνατό στην πράξη να ικανοποιηθεί η εξίσωση ? Άλλωστε κι εδώ φαίνεται να είναι έλλειψη!

Αυτό το είδος εξίσωσης είναι σπάνιο, αλλά συναντάται. Και στην πραγματικότητα ορίζει μια έλλειψη. Ας απομυθοποιήσουμε:

Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, λήφθηκε η μητρική μας έλλειψη, περιστρεφόμενη κατά 90 μοίρες. Ήτοι, - Αυτό μη κανονική καταχώρησηέλλειψη . Ρεκόρ!– εξίσωση δεν ορίζει καμία άλλη έλλειψη, αφού δεν υπάρχουν σημεία (εστίες) στον άξονα που να ικανοποιούν τον ορισμό της έλλειψης.

Ορισμός. Έλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων καθενός από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή (με την προϋπόθεση ότι αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών) .

Ας υποδηλώσουμε τις εστίες μέσω της απόστασης μεταξύ τους και μιας σταθερής τιμής, ίσο με το ποσόαποστάσεις από κάθε σημείο της έλλειψης έως τις εστίες, διαμέσου (ανάλογα με την συνθήκη).

Ας κατασκευάσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι εστίες να βρίσκονται στον άξονα της τετμημένης και η αρχή των συντεταγμένων να συμπίπτει με το μέσο του τμήματος (Εικ. 44). Τότε οι εστίες θα έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: αριστερή εστίαση και δεξιά εστίαση. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση της έλλειψης στο σύστημα συντεταγμένων που επιλέξαμε. Για το σκοπό αυτό, εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Εξ ορισμού της έλλειψης, το άθροισμα των αποστάσεων από αυτό το σημείο έως τις εστίες είναι ίσο με:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, λαμβάνουμε

Για να απλοποιήσουμε αυτή την εξίσωση, τη γράφουμε στη μορφή

Στη συνέχεια, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε

ή, μετά από προφανείς απλοποιήσεις:

Τώρα τετραγωνίζουμε ξανά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, μετά από την οποία έχουμε:

ή, μετά από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς:

Αφού, σύμφωνα με την συνθήκη στον ορισμό της έλλειψης, τότε ο αριθμός είναι θετικός. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία

Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Με τον ορισμό μιας έλλειψης, οι συντεταγμένες οποιουδήποτε από τα σημεία της ικανοποιούν την εξίσωση (26). Αλλά η εξίσωση (29) είναι συνέπεια της εξίσωσης (26). Κατά συνέπεια, ικανοποιείται και από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της έλλειψης.

Μπορεί να φανεί ότι οι συντεταγμένες των σημείων που δεν βρίσκονται στην έλλειψη δεν ικανοποιούν την εξίσωση (29). Έτσι, η εξίσωση (29) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης. Ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Ας καθορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση.

Αρχικά, ας προσέξουμε ότι αυτή η εξίσωση περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις των x και y. Αυτό σημαίνει ότι αν οποιοδήποτε σημείο ανήκει σε έλλειψη, τότε περιέχει επίσης ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης και ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα τεταγμένης. Έτσι, η έλλειψη έχει δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συμμετρίας, οι οποίοι στο σύστημα συντεταγμένων που επιλέξαμε συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων. Στο εξής θα ονομάζουμε άξονες συμμετρίας της έλλειψης άξονες της έλλειψης και το σημείο τομής τους κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της έλλειψης (στην περίπτωση αυτή ο άξονας της τετμημένης) ονομάζεται εστιακός άξονας.

Ας προσδιορίσουμε πρώτα το σχήμα της έλλειψης στο πρώτο τέταρτο. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση (28) για το y:

Είναι προφανές ότι εδώ , αφού το y παίρνει φανταστικές τιμές. Καθώς αυξάνετε από το 0 στο a, το y μειώνεται από το b στο 0. Το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο θα είναι ένα τόξο που οριοθετείται από τα σημεία B (0; b) και βρίσκεται στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 45). Χρησιμοποιώντας τώρα τη συμμετρία της έλλειψης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 45.

Τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Από τη συμμετρία της έλλειψης προκύπτει ότι, εκτός από τις κορυφές, η έλλειψη έχει δύο ακόμη κορυφές (βλ. Εικ. 45).

Τα τμήματα και οι συνδετικές απέναντι κορυφές της έλλειψης, καθώς και τα μήκη τους, ονομάζονται κύριος και δευτερεύων άξονες της έλλειψης, αντίστοιχα. Οι αριθμοί a και b ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα.

Ο λόγος του μισού της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα:

Επειδή , η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μικρότερη από τη μονάδα: Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης. Πράγματι, από τον τύπο (28) προκύπτει ότι όσο μικρότερη είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης, τόσο λιγότερο ο ημιμικρότερος άξονάς της b διαφέρει από τον ημι-κύριο άξονα α, δηλαδή τόσο λιγότερο επιμήκης είναι η έλλειψη (κατά μήκος του εστιακού άξονα).

Στην οριακή περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας κύκλος ακτίνας a: , ή . Ταυτόχρονα, οι εστίες της έλλειψης φαίνεται να συγχωνεύονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η εκκεντρότητα του κύκλου είναι μηδέν:

Η σύνδεση μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου μπορεί να εδραιωθεί από άλλη σκοπιά. Ας δείξουμε ότι μια έλλειψη με ημιάξονες a και b μπορεί να θεωρηθεί ως προβολή κύκλου ακτίνας a.

Ας εξετάσουμε δύο επίπεδα P και Q, που σχηματίζουν μεταξύ τους μια τέτοια γωνία α, για την οποία (Εικ. 46). Ας κατασκευάσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο P και στο επίπεδο Q ένα σύστημα Oxy με κοινή αρχή τις συντεταγμένες O και κοινό άξονατετμημένη που συμπίπτει με τη γραμμή τομής των επιπέδων. Θεωρήστε έναν κύκλο στο επίπεδο P

με κέντρο στην αρχή και ακτίνα ίση με α. Έστω ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο στον κύκλο, η προβολή του στο επίπεδο Q και έστω η προβολή του σημείου M στον άξονα Ox. Ας δείξουμε ότι το σημείο βρίσκεται σε μια έλλειψη με ημιάξονες a και b.

Διαλέξεις για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Εξάμηνο 1.

Διάλεξη 15. Έλειψη.

Κεφάλαιο 15. Έλειψη.

ρήτρα 1. Βασικοί ορισμοί.

Ορισμός. Μια έλλειψη είναι το GMT ενός επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή.

Ορισμός. Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο Μ του επιπέδου μέχρι την εστία της έλλειψης ονομάζεται εστιακή ακτίνα του σημείου Μ.

Ονομασίες:
– εστίες της έλλειψης,
– εστιακές ακτίνες του σημείου Μ.

Σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, ένα σημείο Μ είναι ένα σημείο έλλειψης εάν και μόνο εάν
– σταθερή τιμή. Αυτή η σταθερά συνήθως συμβολίζεται ως 2a:

. (1)

Σημειώστε ότι
.

Εξ ορισμού μιας έλλειψης, οι εστίες της είναι σταθερά σημεία, επομένως η απόσταση μεταξύ τους είναι επίσης σταθερή τιμή για μια δεδομένη έλλειψη.

Ορισμός. Η απόσταση μεταξύ των εστιών της έλλειψης ονομάζεται εστιακή απόσταση.

Ονομασία:
.

Από το τρίγωνο
προκύπτει ότι
, δηλ.

.

Ας συμβολίσουμε με b τον αριθμό ίσο με
, δηλ.

. (2)

Ορισμός. Στάση

(3)

ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης.

Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το επίπεδο, το οποίο θα ονομάσουμε κανονικό για την έλλειψη.

Ορισμός. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της έλλειψης ονομάζεται εστιακός άξονας.

Ας κατασκευάσουμε ένα κανονικό PDSC για την έλλειψη, βλ. Εικ. 2.

Επιλέγουμε τον εστιακό άξονα ως άξονα τετμημένης και σχεδιάζουμε τον άξονα τεταγμένης στο μέσο του τμήματος
κάθετα στον εστιακό άξονα.

Τότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες
,
.

ρήτρα 2. Κανονική εξίσωση έλλειψης.

Θεώρημα. Στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για μια έλλειψη, η εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή:

. (4)

Απόδειξη. Πραγματοποιούμε την απόδειξη σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, θα αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη ικανοποιούν την εξίσωση (4). Στο δεύτερο στάδιο θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (4) δίνει τις συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη. Από εδώ θα ακολουθήσει ότι η εξίσωση (4) ικανοποιείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα σημεία του επιπέδου συντεταγμένων που βρίσκονται στην έλλειψη. Από αυτό και από τον ορισμό της εξίσωσης μιας καμπύλης θα προκύψει ότι η εξίσωση (4) είναι μια εξίσωση μιας έλλειψης.

1) Έστω το σημείο M(x, y) σημείο της έλλειψης, δηλ. το άθροισμα των εστιακών ακτίνων του είναι 2a:

.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να βρούμε τις εστιακές ακτίνες ενός δεδομένου σημείου M:

,
, από όπου παίρνουμε:

Ας μετακινήσουμε μια ρίζα στη δεξιά πλευρά της ισότητας και ας την τετραγωνίσουμε:

Μειώνοντας, παίρνουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοια, μειώνουμε κατά 4 και αφαιρούμε το ριζικό:

.

Τετραγωνισμός

Ανοίξτε τις αγκύλες και συντομεύστε κατά
:

που φτάνουμε:

Χρησιμοποιώντας την ισότητα (2), παίρνουμε:

.

Διαιρώντας την τελευταία ισότητα με
, λαμβάνουμε ισότητα (4) κ.λπ.

2) Έστω τώρα ένα ζεύγος αριθμών (x, y) ικανοποιεί την εξίσωση (4) και έστω M(x, y) το αντίστοιχο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy.

Στη συνέχεια από το (4) προκύπτει:

.

Αντικαθιστούμε αυτήν την ισότητα στην έκφραση για τις εστιακές ακτίνες του σημείου M:

.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα (2) και (3).

Ετσι,
. Επίσης,
.

Τώρα σημειώστε ότι από την ισότητα (4) προκύπτει ότι

ή
και τα λοιπά.
, τότε η ανισότητα ακολουθεί:

.

Από εδώ προκύπτει, με τη σειρά του, ότι

ή
Και

,
. (5)

Από τις ισότητες (5) προκύπτει ότι
, δηλ. το σημείο M(x, y) είναι ένα σημείο της έλλειψης κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Η εξίσωση (4) ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Ορισμός. Οι κανονικοί άξονες συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης.

Ορισμός. Η αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.

ρήτρα 3. Ιδιότητες της έλλειψης.

Θεώρημα. (Ιδιότητες μιας έλλειψης.)

1. Στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για μια έλλειψη, τα πάντα

τα σημεία της έλλειψης βρίσκονται στο ορθογώνιο

,
.

2. Τα σημεία βρίσκονται επάνω

3. Μια έλλειψη είναι μια καμπύλη που είναι συμμετρική ως προς

βασικούς άξονές τους.

4. Το κέντρο της έλλειψης είναι το κέντρο συμμετρίας της.

Απόδειξη. 1, 2) Αμέσως προκύπτει από την κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3, 4) Έστω M(x, y) ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση (4). Αλλά τότε οι συντεταγμένες των σημείων ικανοποιούν επίσης την εξίσωση (4) και, επομένως, είναι σημεία της έλλειψης, από τα οποία ακολουθούν οι προτάσεις του θεωρήματος.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Η ποσότητα 2a ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης, η ποσότητα α ονομάζεται ημι-κύριος άξονας της έλλειψης.

Ορισμός. Η ποσότητα 2b ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης, η ποσότητα b ονομάζεται ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Ορισμός. Τα σημεία τομής μιας έλλειψης με τους κύριους άξονές της ονομάζονται κορυφές της έλλειψης.

Σχόλιο. Μια έλλειψη μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Στο αεροπλάνο, "χτυπάμε ένα καρφί στις εστίες" και στερεώνουμε ένα μήκος κλωστής σε αυτές
. Στη συνέχεια παίρνουμε ένα μολύβι και με αυτό σφίγγουμε την κλωστή. Στη συνέχεια μετακινούμε το καλώδιο μολυβιού κατά μήκος του επιπέδου, φροντίζοντας να είναι τεντωμένο το νήμα.

Από τον ορισμό της εκκεντρικότητας προκύπτει ότι

Ας διορθώσουμε τον αριθμό α και ας κατευθύνουμε τον αριθμό c στο μηδέν. Στη συνέχεια στο
,
Και
. Στο όριο που φτάνουμε

ή
– εξίσωση κύκλου.

Ας κατευθύνουμε τώρα
. Τότε
,
και βλέπουμε ότι στο όριο η έλλειψη εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα
στη σημειογραφία του σχήματος 3.

ρήτρα 4. Παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης.

Θεώρημα. Αφήνω
– αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Στη συνέχεια το σύστημα των εξισώσεων

,
(6)

είναι παραμετρικές εξισώσεις μιας έλλειψης στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για την έλλειψη.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων (6) είναι ισοδύναμο με την εξίσωση (4), δηλ. έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων.

1) Έστω (x, y) μια αυθαίρετη λύση στο σύστημα (6). Διαιρέστε την πρώτη εξίσωση με το a, τη δεύτερη με το b, τετραγωνίστε και τις δύο εξισώσεις και προσθέστε:

.

Εκείνοι. οποιαδήποτε λύση (x, y) του συστήματος (6) ικανοποιεί την εξίσωση (4).

2) Αντίστροφα, έστω το ζεύγος (x, y) λύση της εξίσωσης (4), δηλ.

.

Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι το σημείο με συντεταγμένες
βρίσκεται σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή, δηλ. είναι ένα σημείο σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο στο οποίο αντιστοιχεί μια ορισμένη γωνία
:

Από τον ορισμό του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς προκύπτει αμέσως ότι

,
, Πού
, από το οποίο προκύπτει ότι το ζεύγος (x, y) είναι λύση στο σύστημα (6) κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σχόλιο. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα της ομοιόμορφης «συμπίεσης» ενός κύκλου ακτίνας a προς τον άξονα της τετμημένης.

Αφήνω
– εξίσωση κύκλου με κέντρο στην αρχή. Η "συμπίεση" ενός κύκλου στον άξονα της τετμημένης δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας μετασχηματισμός του επιπέδου συντεταγμένων, που πραγματοποιείται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα. Για κάθε σημείο M(x, y) συσχετίζουμε ένα σημείο στο ίδιο επίπεδο
, Πού
,
– αναλογία συμπίεσης.

Με αυτόν τον μετασχηματισμό, κάθε σημείο του κύκλου «μεταβαίνει» σε ένα άλλο σημείο του επιπέδου, το οποίο έχει την ίδια τετμημένη, αλλά μια μικρότερη τεταγμένη. Ας εκφράσουμε την παλιά τεταγμένη ενός σημείου μέσω της νέας:

και αντικαταστήστε τους κύκλους στην εξίσωση:

.

Από εδώ παίρνουμε:

. (7)

Έπεται ότι αν πριν από τον μετασχηματισμό «συμπίεσης» το σημείο M(x, y) βρισκόταν στον κύκλο, δηλ. οι συντεταγμένες του ικανοποιούσαν την εξίσωση του κύκλου και μετά μετά τον μετασχηματισμό «συμπίεσης» αυτό το σημείο «μεταμορφώθηκε» σε σημείο
, του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση έλλειψης (7). Αν θέλουμε να λάβουμε την εξίσωση μιας έλλειψης με ημιμικρότερο άξονα b, τότε πρέπει να πάρουμε τον συντελεστή συμπίεσης

.

ρήτρα 5. Εφαπτομένη σε έλλειψη.

Θεώρημα. Αφήνω
– αυθαίρετο σημείο της έλλειψης

.

Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής της έλλειψης στο σημείο
έχει τη μορφή:

. (8)

Απόδειξη. Αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση όταν το σημείο εφαπτομένης βρίσκεται στο πρώτο ή το δεύτερο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων:
. Η εξίσωση της έλλειψης στο άνω ημιεπίπεδο έχει τη μορφή:

. (9)

Ας χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη εξίσωση στη γραφική παράσταση της συνάρτησης
στο σημείο
:

Οπου
– την τιμή της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης σε ένα σημείο
. Η έλλειψη στο πρώτο τρίμηνο μπορεί να θεωρηθεί ως γραφική παράσταση της συνάρτησης (8). Ας βρούμε την παράγωγο και την τιμή του στο σημείο εφαπτομενικής:

,

. Εδώ εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι το εφαπτομενικό σημείο
είναι σημείο της έλλειψης και επομένως οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωση έλλειψης (9), δηλ.

.

Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της παραγώγου στην εφαπτομενική εξίσωση (10):

,

που φτάνουμε:

Από αυτό προκύπτει:

Ας διαιρέσουμε αυτήν την ισότητα με
:

.

Μένει να σημειωθεί ότι
, γιατί τελεία
ανήκει στην έλλειψη και οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωσή της.

Η εξίσωση εφαπτομένης (8) αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο στο σημείο της εφαπτομένης που βρίσκεται στο τρίτο ή τέταρτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

Και τέλος, μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι η εξίσωση (8) δίνει την εφαπτομενική εξίσωση στα σημεία
,
:

ή
, Και
ή
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

ρήτρα 6. Η ιδιότητα του καθρέφτη μιας έλλειψης.

Θεώρημα. Η εφαπτομένη στην έλλειψη έχει ίσες γωνίες με τις εστιακές ακτίνες του σημείου εφαπτομένης.

Αφήνω
– σημείο επαφής,
,
– εστιακές ακτίνες του εφαπτομένου σημείου, P και Q – προβολές εστιών στην εφαπτομένη που έλκεται στην έλλειψη στο σημείο
.

Το θεώρημα λέει ότι

. (11)

Αυτή η ισότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως η ισότητα των γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλασης μιας ακτίνας φωτός από μια έλλειψη που απελευθερώνεται από την εστία της. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κατοπτρική ιδιότητα της έλλειψης:

Μια ακτίνα φωτός που απελευθερώνεται από την εστία της έλλειψης, μετά από ανάκλαση από τον καθρέφτη της έλλειψης, διέρχεται από μια άλλη εστία της έλλειψης.

Απόδειξη του θεωρήματος. Για να αποδείξουμε την ισότητα των γωνιών (11), αποδεικνύουμε την ομοιότητα των τριγώνων
Και
, στην οποία τα μέρη
Και
θα είναι παρόμοια. Εφόσον τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, αρκεί να αποδείξουμε την ισότητα

Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a) μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών δοθέντες πόντους(Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.

Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης

Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μεσαίο Ο του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (ανάλογα, ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες του ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Το τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.

Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - τη γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36γ). Παίρνουμε το κέντρο Ο της έλλειψης ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων. παίρνουμε την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (εστιακός άξονας ή πρώτος άξονας της έλλειψης) ως άξονας της τετμημένης (η θετική κατεύθυνση σε αυτήν είναι από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) ως άξονας τεταγμένων (η κατεύθυνση στον άξονα τεταγμένων επιλέγεται έτσι ώστε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να είναι σωστό) .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την έλλειψη χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Μετακινούμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και φέρνουμε παρόμοιους όρους:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Έχοντας ορίσει b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.

Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36,6), αφού a=b. Σε αυτή την περίπτωση, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο θα είναι κανονικό O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα ίση με a.

Εκτελώντας τον συλλογισμό με αντίστροφη σειρά, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49), και μόνο αυτά, ανήκουν στον τόπο των σημείων που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός της έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.

Διευθυντική ιδιότητα μιας έλλειψης

Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που εκτείνονται παράλληλες στον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Στο c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο).

Έλειψη με εκκεντρότητα 0 ο τόπος των σημείων στο επίπεδο, για καθένα από τα οποία ο λόγος της απόστασης προς ένα δεδομένο σημείο F (εστίαση) προς την απόσταση προς μια δεδομένη ευθεία d (directrix) που δεν διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι σταθερός και ίσος με την εκκεντρότητα ε ( σκηνοθετική ιδιότητα μιας έλλειψης). Εδώ τα F και d είναι μία από τις εστίες της έλλειψης και μία από τις κατευθύνσεις της, που βρίσκονται στη μία πλευρά του άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, δηλ. F_1,d_1 ή F_2,d_2.

Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37,6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τον σκηνοθέτη d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων

Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ. 3.37, c και 3.37 (2)) έχει τη μορφή

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi), σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a. Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ.):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)

Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Εκφράστε την πολική ακτίνα r και κάντε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης

Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές της έλλειψης). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm α. Κατά συνέπεια, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2α. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας x=0, παίρνουμε y=\pm b. Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b είναι ο ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται λόγος συμπίεσης έλλειψης.

Σημειώσεις 3.9

1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, μέσα στο οποίο υπάρχει έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).

2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συμπίεση ενός κύκλου στη διάμετρό του.

Πράγματι, έστω ότι η εξίσωση ενός κύκλου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy έχει τη μορφή x^2+y^2=a^2. Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0

\begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις)

Αντικαθιστώντας τους κύκλους x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση, λαμβάνουμε την εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x,y ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας.

Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία Μ"(x,-y) και Μ""(-x,y), συμμετρικά προς το σημείο Μ ως προς τους άξονες των συντεταγμένων.

4. Από την εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα (r=p στο \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Η εκκεντρότητα ε χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη, και όσο πιο κοντά το e είναι το μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η έλλειψη σε έναν κύκλο (Εικ. 3.38a). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2, παίρνουμε

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\αριστερά(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

όπου k είναι ο λόγος συμπίεσης της έλλειψης, 0

6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1σε ένα

7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο Ο"(x_0,y_0), οι άξονες της οποίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36).

Όταν a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) .

Παραμετρική εξίσωση έλλειψης

Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), φτάνουμε στην κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1.

Παράδειγμα 3.20.Σχεδιάστε μια έλλειψη \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Βρείτε ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, λόγο διαστάσεων, εστιακή παράμετρο, εξισώσεις κατευθύνσεων.

Διάλυμα.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ημι-κύριος άξονας, b=1 - ημι-μικρός άξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 με το κέντρο στην αρχή (Εικ. 3.39). Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση της έλλειψης, παίρνουμε

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν στην έλλειψη.

Υπολογισμός του λόγου συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακή απόσταση 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο είναι γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή συντεταγμένες xΚαι yπεριέχονται στον δεύτερο βαθμό. Αυτά περιλαμβάνουν την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή.

Η γενική μορφή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης είναι η εξής:

Οπου A, B, C, D, E, F- αριθμούς και τουλάχιστον έναν από τους συντελεστές Α, Β, Γόχι ίσο με μηδέν.

Κατά την επίλυση προβλημάτων με καμπύλες δεύτερης τάξης, λαμβάνονται υπόψη οι κανονικές εξισώσεις της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε αυτές από τις γενικές εξισώσεις.

Έλειψη που δίνεται από την κανονική εξίσωση

Ορισμός έλλειψης.Έλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Οι εστίες υποδεικνύονται όπως στο παρακάτω σχήμα.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή:

Οπου έναΚαι σι (ένα > σι) - τα μήκη των ημι-αξόνων, δηλ., τα μισά μήκη των τμημάτων που κόβονται από την έλλειψη στους άξονες συντεταγμένων.

Η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης είναι ο άξονας συμμετρίας της. Ένας άλλος άξονας συμμετρίας μιας έλλειψης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος κάθετου σε αυτό το τμήμα. Τελεία ΓΙΑη τομή αυτών των γραμμών χρησιμεύει ως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης ή απλώς το κέντρο της έλλειψης.

Ο άξονας της τετμημένης της έλλειψης τέμνεται στα σημεία ( ένα, ΓΙΑ) Και (- ένα, ΓΙΑ), και ο άξονας τεταγμένων είναι σε σημεία ( σι, ΓΙΑ) Και (- σι, ΓΙΑ). Αυτά τα τέσσερα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών της έλλειψης στον άξονα x ονομάζεται κύριος άξονας και στον άξονα τεταγμένης - δευτερεύων άξονά του. Τα τμήματα τους από την κορυφή έως το κέντρο της έλλειψης ονομάζονται ημιάξονες.

Αν ένα = σι, τότε η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ένα, και ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο ακτίνας ένα, εάν το συμπιέσετε σε ένα/σιφορές κατά μήκος του άξονα Oy .

Παράδειγμα 1.Ελέγξτε εάν μια γραμμή που δίνεται από μια γενική εξίσωση είναι , έλλειψη.

Διάλυμα. Μεταμορφώνουμε τη γενική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά του ελεύθερου όρου στη δεξιά πλευρά, τη διαίρεση όρου προς όρο της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και τη μείωση των κλασμάτων:

Απάντηση. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Επομένως, αυτή η γραμμή είναι έλλειψη.

Παράδειγμα 2.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι ημιάξονες της είναι ίσοι με 5 και 4, αντίστοιχα.

Διάλυμα. Εξετάζουμε τον τύπο για την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης και υποκαθιστούμε: ο ημικύριος άξονας είναι ένα= 5, ο ημικατώτερος άξονας είναι σι= 4. Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Σημεία και , υποδεικνύονται με πράσινο χρώμα στον κύριο άξονα, όπου

καλούνται κόλπα.

κάλεσε εκκεντρικότηταέλλειψη.

Στάση σι/έναχαρακτηρίζει την «απλότητα» της έλλειψης. Όσο μικρότερη είναι αυτή η αναλογία, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται η έλλειψη κατά μήκος του κύριου άξονα. Ωστόσο, ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης εκφράζεται συχνότερα μέσω της εκκεντρότητας, ο τύπος της οποίας δίνεται παραπάνω. Για διαφορετικές ελλείψεις, η εκκεντρότητα κυμαίνεται από 0 έως 1, παραμένοντας πάντα μικρότερη από τη μονάδα.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8 και του κύριου άξονα είναι 10.

Διάλυμα. Ας βγάλουμε μερικά απλά συμπεράσματα:

Αν ο κύριος άξονας είναι ίσος με 10, τότε το μισό του, δηλαδή ο ημιάξονας ένα = 5 ,

Εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8, τότε ο αριθμός ντοτων εστιακών συντεταγμένων ισούται με 4.

Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε:

Το αποτέλεσμα είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 4.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν ο κύριος άξονάς της είναι 26 και η εκκεντρότητά της είναι .

Διάλυμα. Όπως προκύπτει τόσο από το μέγεθος του κύριου άξονα όσο και από την εξίσωση της εκκεντρότητας, ο ημικύριος άξονας της έλλειψης ένα= 13. Από την εξίσωση της εκκεντρότητας εκφράζουμε τον αριθμό ντο, που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

.

Υπολογίζουμε το τετράγωνο του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 5.Να προσδιορίσετε τις εστίες της έλλειψης που δίνονται από την κανονική εξίσωση.

Διάλυμα. Βρείτε τον αριθμό ντο, που καθορίζει τις πρώτες συντεταγμένες των εστιών της έλλειψης:

.

Παίρνουμε τις εστίες της έλλειψης:

Παράδειγμα 6.Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Βόδισυμμετρικά ως προς την προέλευση. Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης αν:

1) η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 30 και ο κύριος άξονας είναι 34

2) μικρός άξονας 24, και μία από τις εστίες είναι στο σημείο (-5; 0)

3) εκκεντρικότητα και μία από τις εστίες βρίσκεται στο σημείο (6; 0)

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα έλλειψης μαζί

Αν είναι ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης (υποδεικνύεται με πράσινο χρώμα στο πάνω δεξιά μέρος της έλλειψης στο σχέδιο) και είναι η απόσταση σε αυτό το σημείο από τις εστίες, τότε οι τύποι για τις αποστάσεις είναι οι εξής:

Για κάθε σημείο που ανήκει στην έλλειψη, το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή τιμή ίση με 2 ένα.

Γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις

καλούνται διευθυντέςέλλειψη (στο σχέδιο υπάρχουν κόκκινες γραμμές κατά μήκος των άκρων).

Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης

,

όπου και είναι οι αποστάσεις αυτού του σημείου στις κατευθύνσεις και .

Παράδειγμα 7.Δίνεται έλλειψη. Να γράψετε μια εξίσωση για τις κατευθύνσεις του.

Διάλυμα. Εξετάζουμε την εξίσωση του directrix και διαπιστώνουμε ότι πρέπει να βρούμε την εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλ. Έχουμε όλα τα δεδομένα για αυτό. Υπολογίζουμε:

.

Λαμβάνουμε την εξίσωση των κατευθύνσεων της έλλειψης:

Παράδειγμα 8.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι εστίες της είναι σημεία και οι κατευθύνσεις ευθείες.