Να γράψετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης β. Γραμμές δεύτερης παραγγελίας

Ορισμός 7.1.Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 είναι δεδομένη σταθερή τιμή ονομάζεται έλλειψη.

Ο ορισμός της έλλειψης δίνει την ακόλουθη μέθοδο γεωμετρικής κατασκευής της. Καθορίζουμε δύο σημεία F 1 και F 2 στο επίπεδο και συμβολίζουμε μια μη αρνητική σταθερή τιμή με 2a. Έστω η απόσταση μεταξύ των σημείων F 1 και F 2 είναι 2c. Ας φανταστούμε ότι ένα μη εκτατό νήμα μήκους 2a στερεώνεται στα σημεία F 1 και F 2, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας δύο βελόνες. Είναι σαφές ότι αυτό είναι δυνατό μόνο για ≥ c. Αφού τραβήξετε το νήμα με ένα μολύβι, τραβήξτε μια γραμμή, η οποία θα είναι μια έλλειψη (Εικ. 7.1).

Άρα, το περιγραφόμενο σύνολο δεν είναι κενό εάν a ≥ c. Όταν a = c, η έλλειψη είναι ένα τμήμα με άκρα F 1 και F 2, και όταν c = 0, δηλ. Εάν τα σταθερά σημεία που καθορίζονται στον ορισμό μιας έλλειψης συμπίπτουν, είναι ένας κύκλος ακτίνας a. Απορρίπτοντας αυτές τις εκφυλισμένες περιπτώσεις, θα υποθέσουμε περαιτέρω, κατά κανόνα, ότι a > c > 0.

Τα σταθερά σημεία F 1 και F 2 στον ορισμό 7.1 της έλλειψης (βλ. Εικ. 7.1) ονομάζονται εστίες έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους, που υποδεικνύεται με 2c, - εστιακή απόστασηκαι τα τμήματα F 1 M και F 2 M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M στην έλλειψη με τις εστίες του είναι εστιακές ακτίνες.

Το σχήμα της έλλειψης καθορίζεται πλήρως από την εστιακή απόσταση |F 1 F 2 | = 2c και παράμετρος a, και η θέση της στο επίπεδο - ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2.

Από τον ορισμό της έλλειψης προκύπτει ότι είναι συμμετρική ως προς την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες F 1 και F 2, καθώς και ως προς την ευθεία που διαιρεί το τμήμα F 1 F 2 στο μισό και είναι κάθετο σε αυτό (Εικ. 7.2, α). Αυτές οι γραμμές ονομάζονται άξονες έλλειψης. Το σημείο Ο της τομής τους είναι το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης, και λέγεται το κέντρο της έλλειψης, και τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συμμετρίας (σημεία Α, Β, Γ και Δ στο Σχ. 7.2, α) - κορυφές της έλλειψης.

Ο αριθμός α ονομάζεται ημικύριος άξονας της έλλειψης, και b = √(a 2 - c 2) - του μικρός άξονας. Είναι εύκολο να δούμε ότι για c > 0, ο ημι-κύριος άξονας a είναι ίσος με την απόσταση από το κέντρο της έλλειψης σε εκείνες από τις κορυφές της που βρίσκονται στον ίδιο άξονα με τις εστίες της έλλειψης (κορυφές Α και Β στο Σχ. 7.2, α), και ο ημιμικρός άξονας b είναι ίσος με την απόσταση από την κεντρική έλλειψη έως τις δύο άλλες κορυφές της (κορυφές C και D στο Σχ. 7.2, α).

Εξίσωση έλλειψης.Ας εξετάσουμε κάποια έλλειψη στο επίπεδο με εστίες στα σημεία F 1 και F 2, κύριος άξονας 2a. Έστω 2c η εστιακή απόσταση, 2c = |F 1 F 2 |

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το κέντρο της έλλειψης και οι εστίες του να είναι άξονας x(Εικ. 7.2, β). Ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται κανονικόςγια την εν λόγω έλλειψη, και οι αντίστοιχες μεταβλητές είναι κανονικός.

Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, οι εστίες έχουν συντεταγμένες F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ των σημείων, γράφουμε την συνθήκη |F 1 M| + |F 2 M| = 2a σε συντεταγμένες:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Αυτή η εξίσωση δεν είναι βολική γιατί περιέχει δύο τετράγωνες ρίζες. Ας το μεταμορφώσουμε λοιπόν. Ας μετακινήσουμε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης (7.2) στη δεξιά πλευρά και ας την τετραγωνίσουμε:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

όπου ε = c/a. Επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία τετραγωνισμού για να αφαιρέσουμε τη δεύτερη ρίζα: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ή, λαμβάνοντας υπόψη την τιμή της εισαγόμενης παραμέτρου ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Αφού a 2 - c 2 = b 2 > 0, τότε

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Η εξίσωση (7.4) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες όλων των σημείων που βρίσκονται στην έλλειψη. Αλλά κατά την εξαγωγή αυτής της εξίσωσης, χρησιμοποιήθηκαν μη ισοδύναμοι μετασχηματισμοί της αρχικής εξίσωσης (7.2) - δύο τετραγωνισμοί που αφαιρούν τις τετράγωνες ρίζες. Ο τετραγωνισμός μιας εξίσωσης είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός εάν και οι δύο πλευρές έχουν ποσότητες με το ίδιο πρόσημο, αλλά δεν το ελέγξαμε αυτό στους μετασχηματισμούς μας.

Μπορούμε να αποφύγουμε τον έλεγχο της ισοδυναμίας των μετασχηματισμών αν λάβουμε υπόψη τα ακόλουθα. Ένα ζεύγος σημείων F 1 και F 2, |F 1 F 2 | = 2c, στο επίπεδο ορίζει μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες σε αυτά τα σημεία. Κάθε σημείο του επιπέδου, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2, ανήκει σε κάποια έλλειψη της υποδεικνυόμενης οικογένειας. Στην περίπτωση αυτή, δεν τέμνονται δύο ελλείψεις, αφού το άθροισμα των εστιακών ακτίνων καθορίζει μοναδικά μια συγκεκριμένη έλλειψη. Έτσι, η περιγραφόμενη οικογένεια ελλείψεων χωρίς τομές καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο, εκτός από τα σημεία του τμήματος F 1 F 2. Ας εξετάσουμε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (7.4) με μια δεδομένη τιμή της παραμέτρου α. Μπορεί αυτό το σύνολο να κατανεμηθεί σε πολλές ελλείψεις; Μερικά από τα σημεία του συνόλου ανήκουν σε έλλειψη με ημικύριο άξονα α. Ας υπάρχει ένα σημείο σε αυτό το σύνολο που βρίσκεται σε μια έλλειψη με ημικύριο άξονα α. Τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου υπακούουν στην εξίσωση

εκείνοι. οι εξισώσεις (7.4) και (7.5) έχουν γενικές λύσεις. Ωστόσο, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το σύστημα

για ã ≠ a δεν έχει λύσεις. Για να γίνει αυτό, αρκεί να εξαιρέσουμε, για παράδειγμα, το x από την πρώτη εξίσωση:

που μετά από μετασχηματισμούς οδηγεί στην εξίσωση

που δεν έχει λύσεις για ã ≠ a, αφού . Άρα, (7.4) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης με ημι-κύριο άξονα a > 0 και ημι-μικρό άξονα b =√(a 2 - c 2) > 0. Ονομάζεται κανονική εξίσωση έλλειψης.

Άποψη έλλειψης.Η γεωμετρική μέθοδος κατασκευής μιας έλλειψης που συζητήθηκε παραπάνω δίνει μια επαρκή ιδέα εμφάνισηέλλειψη. Αλλά το σχήμα της έλλειψης μπορεί επίσης να μελετηθεί χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση (7.4). Για παράδειγμα, μπορείτε, υποθέτοντας y ≥ 0, να εκφράσετε το y μέσω του x: y = b√(1 - x 2 /a 2) και, έχοντας μελετήσει αυτή τη συνάρτηση, να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση της. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κατασκευάσετε μια έλλειψη. Ένας κύκλος ακτίνας a με κέντρο στην αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων της έλλειψης (7.4) περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + y 2 = a 2. Αν συμπιέζεται με συντελεστή a/b > 1 κατά μήκος άξονας y, τότε παίρνετε μια καμπύλη που περιγράφεται από την εξίσωση x 2 + (ya/b) 2 = a 2, δηλ. μια έλλειψη.

Παρατήρηση 7.1.Αν ο ίδιος κύκλος συμπιέζεται από έναν παράγοντα α/β

Έκλειψη εκκεντρικότητα. Ο λόγος της εστιακής απόστασης μιας έλλειψης προς τον κύριο άξονά της ονομάζεται εκκεντρικότητα της έλλειψηςκαι συμβολίζεται με ε. Για έλλειψη δεδομένης

κανονική εξίσωση (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Αν στο (7.4) οι παράμετροι a και b σχετίζονται με την ανίσωση a

Όταν c = 0, όταν η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο, και ε = 0. Σε άλλες περιπτώσεις, 0

Η εξίσωση (7.3) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (7.4), αφού οι εξισώσεις (7.4) και (7.2) είναι ισοδύναμες. Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης είναι επίσης (7.3). Επιπλέον, η σχέση (7.3) είναι ενδιαφέρουσα γιατί δίνει έναν απλό τύπο χωρίς ρίζες για το μήκος |F 2 M| μία από τις εστιακές ακτίνες του σημείου M(x; y) της έλλειψης: |F 2 M| = a + εx.

Ένας παρόμοιος τύπος για τη δεύτερη εστιακή ακτίνα μπορεί να ληφθεί από εκτιμήσεις συμμετρίας ή επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς στους οποίους, πριν από τον τετραγωνισμό της εξίσωσης (7.2), η πρώτη ρίζα μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και όχι η δεύτερη. Έτσι, για οποιοδήποτε σημείο M(x; y) στην έλλειψη (βλ. Εικ. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

και καθεμία από αυτές τις εξισώσεις είναι μια εξίσωση μιας έλλειψης.

Παράδειγμα 7.1.Ας βρούμε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης με ημικύριο άξονα 5 και εκκεντρότητα 0,8 και ας την κατασκευάσουμε.

Γνωρίζοντας τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης a = 5 και την εκκεντρότητα ε = 0,8, θα βρούμε τον ημι-μικρό άξονά της b. Αφού b = √(a 2 - c 2), και c = εa = 4, τότε b = √(5 2 - 4 2) = 3. Άρα η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Για την κατασκευή μιας έλλειψης, είναι βολικό να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο με κέντρο στην αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, οι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες με τους άξονες συμμετρίας της έλλειψης και ίσες με τους αντίστοιχους άξονές της (Εικ. 7.4). Αυτό το ορθογώνιο τέμνεται με

οι άξονες της έλλειψης στις κορυφές της A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), και η ίδια η έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε αυτήν. Στο Σχ. Το 7.4 δείχνει επίσης τις εστίες F 1.2 (±4; 0) της έλλειψης.

Γεωμετρικές ιδιότητες της έλλειψης.Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση στο (7.6) ως |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Σημειώστε ότι η τιμή a/ε - x για a > c είναι θετική, αφού η εστία F 1 δεν ανήκει στην έλλειψη. Αυτή η τιμή αντιπροσωπεύει την απόσταση από την κατακόρυφη γραμμή d: x = a/ε από το σημείο M(x; y) που βρίσκεται στα αριστερά αυτής της γραμμής. Η εξίσωση έλλειψης μπορεί να γραφτεί ως

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Σημαίνει ότι αυτή η έλλειψη αποτελείται από εκείνα τα σημεία M(x; y) του επιπέδου για τα οποία ο λόγος του μήκους της εστιακής ακτίνας F 1 M προς την απόσταση από την ευθεία γραμμή d είναι σταθερή τιμή ίση με ε (Εικ. 7.5).

Η ευθεία γραμμή d έχει ένα "διπλό" - την κατακόρυφη ευθεία γραμμή d, συμμετρική προς το d σε σχέση με το κέντρο της έλλειψης, η οποία δίνεται από την εξίσωση x = -a/ε Ως προς το d, η έλλειψη περιγράφεται στο όπως και σε σχέση με το δ. Καλούνται και οι δύο γραμμές d και d". κατευθύνσεις της έλλειψης. Οι κατευθύνσεις της έλλειψης είναι κάθετες στον άξονα συμμετρίας της έλλειψης στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της και απέχουν από το κέντρο της έλλειψης σε απόσταση a/ε = a 2 /c (βλ. Εικ. 7.5).

Η απόσταση p από την ευθεία προς την εστία που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν ονομάζεται εστιακή παράμετρος της έλλειψης. Αυτή η παράμετρος είναι ίση με

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Η έλλειψη έχει μια άλλη σημαντική γεωμετρική ιδιότητα: οι εστιακές ακτίνες F 1 M και F 2 M κάνουν ίσες γωνίες με την εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο M (Εικ. 7.6).

Αυτή η ιδιότητα έχει σαφή φυσική σημασία. Εάν μια πηγή φωτός τοποθετηθεί στην εστία F 1, τότε η ακτίνα που αναδύεται από αυτήν την εστία, μετά την ανάκλαση από την έλλειψη, θα πάει κατά μήκος της δεύτερης εστιακής ακτίνας, αφού μετά την ανάκλαση θα βρίσκεται στην ίδια γωνία με την καμπύλη όπως πριν από την ανάκλαση. Έτσι, όλες οι ακτίνες που αναδύονται από την εστία F 1 θα συγκεντρωθούν στη δεύτερη εστία F 2 και αντίστροφα. Με βάση αυτή την ερμηνεία, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται οπτική ιδιότηταέλλειψη.

Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο είναι γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή συντεταγμένες xΚαι yπεριέχονται στον δεύτερο βαθμό. Αυτά περιλαμβάνουν την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή.

Η γενική μορφή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης είναι η εξής:

Οπου Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ- αριθμούς και τουλάχιστον έναν από τους συντελεστές Α, Β, Γόχι ίσο με μηδέν.

Κατά την επίλυση προβλημάτων με καμπύλες δεύτερης τάξης, λαμβάνονται υπόψη οι κανονικές εξισώσεις της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε αυτές από τις γενικές εξισώσεις.

Έλειψη που δίνεται από την κανονική εξίσωση

Ορισμός έλλειψης.Έλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Οι εστίες υποδεικνύονται όπως στο παρακάτω σχήμα.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή:

Οπου έναΚαι σι (ένα > σι) - τα μήκη των ημιαξόνων, δηλαδή τα μισά μήκη των τμημάτων που κόβονται από την έλλειψη στους άξονες συντεταγμένων.

Η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης είναι ο άξονας συμμετρίας της. Ένας άλλος άξονας συμμετρίας μιας έλλειψης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος κάθετου σε αυτό το τμήμα. Τελεία ΓΙΑη τομή αυτών των γραμμών χρησιμεύει ως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης ή απλώς το κέντρο της έλλειψης.

Ο άξονας της τετμημένης της έλλειψης τέμνεται στα σημεία ( ένα, ΓΙΑ) Και (- ένα, ΓΙΑ), και ο άξονας τεταγμένων είναι σε σημεία ( σι, ΓΙΑ) Και (- σι, ΓΙΑ). Αυτά τα τέσσερα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών της έλλειψης στον άξονα x ονομάζεται κύριος άξονας και στον άξονα τεταγμένης - δευτερεύων άξονά του. Τα τμήματα τους από την κορυφή μέχρι το κέντρο της έλλειψης ονομάζονται ημιάξονες.

Αν ένα = σι, τότε η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ένα, και ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο ακτίνας ένα, εάν το συμπιέσετε σε ένα/σιφορές κατά μήκος του άξονα Oy .

Παράδειγμα 1.Ελέγξτε εάν μια γραμμή που δίνεται από μια γενική εξίσωση είναι , έλλειψη.

Διάλυμα. Κάνουμε μεταμορφώσεις γενική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά του ελεύθερου όρου στη δεξιά πλευρά, τη διαίρεση όρου προς όρο της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και τη μείωση των κλασμάτων:

Απάντηση. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Επομένως, αυτή η γραμμή είναι έλλειψη.

Παράδειγμα 2.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι ημιάξονες της είναι ίσοι με 5 και 4, αντίστοιχα.

Διάλυμα. Εξετάζουμε τον τύπο για την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης και υποκαθιστούμε: ημικύριος άξονας- Αυτό ένα= 5, ο ημικατώτερος άξονας είναι σι= 4. Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Σημεία και , υποδεικνύονται με πράσινο χρώμα στον κύριο άξονα, όπου

καλούνται κόλπα.

κάλεσε εκκεντρικότηταέλλειψη.

Στάση σι/έναχαρακτηρίζει την «απλότητα» της έλλειψης. Όσο μικρότερη είναι αυτή η αναλογία, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται η έλλειψη κατά μήκος του κύριου άξονα. Ωστόσο, ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης εκφράζεται συχνότερα μέσω της εκκεντρότητας, ο τύπος της οποίας δίνεται παραπάνω. Για διαφορετικές ελλείψεις, η εκκεντρότητα κυμαίνεται από 0 έως 1, παραμένοντας πάντα μικρότερη από τη μονάδα.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8 και του κύριου άξονα είναι 10.

Διάλυμα. Ας βγάλουμε μερικά απλά συμπεράσματα:

Αν ο κύριος άξονας είναι ίσος με 10, τότε το μισό του, δηλαδή ο ημιάξονας ένα = 5 ,

Εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8, τότε ο αριθμός ντοτων εστιακών συντεταγμένων ισούται με 4.

Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε:

Το αποτέλεσμα είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 4.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν ο κύριος άξονάς της είναι 26 και η εκκεντρότητά της είναι .

Διάλυμα. Όπως προκύπτει τόσο από το μέγεθος του κύριου άξονα όσο και από την εξίσωση της εκκεντρότητας, ο ημικύριος άξονας της έλλειψης ένα= 13. Από την εξίσωση της εκκεντρότητας εκφράζουμε τον αριθμό ντο, που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

.

Υπολογίζουμε το τετράγωνο του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 5.Να προσδιορίσετε τις εστίες της έλλειψης που δίνονται από την κανονική εξίσωση.

Διάλυμα. Βρείτε τον αριθμό ντο, που καθορίζει τις πρώτες συντεταγμένες των εστιών της έλλειψης:

.

Παίρνουμε τις εστίες της έλλειψης:

Παράδειγμα 6.Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Βόδισυμμετρικά ως προς την προέλευση. Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης αν:

1) η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 30 και ο κύριος άξονας είναι 34

2) μικρός άξονας 24, και μία από τις εστίες είναι στο σημείο (-5; 0)

3) εκκεντρικότητα και μία από τις εστίες βρίσκεται στο σημείο (6; 0)

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα έλλειψης μαζί

Αν είναι ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης (υποδεικνύεται με πράσινο χρώμα στο πάνω δεξιά μέρος της έλλειψης στο σχέδιο) και είναι η απόσταση σε αυτό το σημείο από τις εστίες, τότε οι τύποι για τις αποστάσεις είναι οι εξής:

Για κάθε σημείο που ανήκει στην έλλειψη, το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή τιμή ίση με 2 ένα.

Γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις

καλούνται διευθυντέςέλλειψη (στο σχέδιο υπάρχουν κόκκινες γραμμές κατά μήκος των άκρων).

Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης

,

όπου και είναι οι αποστάσεις αυτού του σημείου προς τις κατευθύνσεις και .

Παράδειγμα 7.Δίνεται έλλειψη. Να γράψετε μια εξίσωση για τις κατευθύνσεις του.

Διάλυμα. Εξετάζουμε την εξίσωση της ευθείας και διαπιστώνουμε ότι πρέπει να βρούμε την εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλ. Έχουμε όλα τα δεδομένα για αυτό. Υπολογίζουμε:

.

Λαμβάνουμε την εξίσωση των κατευθύνσεων της έλλειψης:

Παράδειγμα 8.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι εστίες της είναι σημεία και οι κατευθύνσεις ευθείες.

Ορισμός. Έλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων καθενός από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή (με την προϋπόθεση ότι αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών) .

Ας υποδηλώσουμε τις εστίες μέσω της απόστασης μεταξύ τους και μιας σταθερής τιμής, ίσο με το ποσόαποστάσεις από κάθε σημείο της έλλειψης έως τις εστίες, διαμέσου (ανάλογα με την συνθήκη).

Ας κατασκευάσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι εστίες να βρίσκονται στον άξονα της τετμημένης και η αρχή των συντεταγμένων να συμπίπτει με το μέσο του τμήματος (Εικ. 44). Τότε οι εστίες θα έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: αριστερή εστίαση και δεξιά εστίαση. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση της έλλειψης στο σύστημα συντεταγμένων που επιλέξαμε. Για το σκοπό αυτό, εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Εξ ορισμού της έλλειψης, το άθροισμα των αποστάσεων από αυτό το σημείο έως τις εστίες είναι ίσο με:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, λαμβάνουμε

Για να απλοποιήσουμε αυτή την εξίσωση, τη γράφουμε στη μορφή

Στη συνέχεια, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε

ή, μετά από προφανείς απλοποιήσεις:

Τώρα τετραγωνίζουμε ξανά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, μετά από την οποία έχουμε:

ή, μετά από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς:

Αφού, σύμφωνα με την συνθήκη στον ορισμό της έλλειψης, τότε ο αριθμός είναι θετικός. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία

Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Με τον ορισμό μιας έλλειψης, οι συντεταγμένες οποιουδήποτε από τα σημεία της ικανοποιούν την εξίσωση (26). Αλλά η εξίσωση (29) είναι συνέπεια της εξίσωσης (26). Κατά συνέπεια, ικανοποιείται και από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της έλλειψης.

Μπορεί να φανεί ότι οι συντεταγμένες των σημείων που δεν βρίσκονται στην έλλειψη δεν ικανοποιούν την εξίσωση (29). Έτσι, η εξίσωση (29) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης. Ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Ας καθορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας την κανονική της εξίσωση.

Αρχικά, ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι αυτή η εξίσωση περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις των x και y. Αυτό σημαίνει ότι αν οποιοδήποτε σημείο ανήκει σε έλλειψη, τότε περιέχει επίσης ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης και ένα σημείο συμμετρικό με το σημείο σε σχέση με τον άξονα τεταγμένης. Έτσι, η έλλειψη έχει δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συμμετρίας, οι οποίοι στο επιλεγμένο μας σύστημα συντεταγμένων συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων. Στο εξής θα ονομάζουμε άξονες συμμετρίας της έλλειψης άξονες της έλλειψης και το σημείο τομής τους κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της έλλειψης (στην περίπτωση αυτή ο άξονας της τετμημένης) ονομάζεται εστιακός άξονας.

Ας προσδιορίσουμε πρώτα το σχήμα της έλλειψης στο πρώτο τέταρτο. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση (28) για το y:

Είναι προφανές ότι εδώ , αφού το y παίρνει φανταστικές τιμές. Καθώς αυξάνετε από το 0 στο a, το y μειώνεται από το b στο 0. Το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο θα είναι ένα τόξο που οριοθετείται από τα σημεία B (0; b) και βρίσκεται στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 45). Χρησιμοποιώντας τώρα τη συμμετρία της έλλειψης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 45.

Τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Από τη συμμετρία της έλλειψης προκύπτει ότι, εκτός από τις κορυφές, η έλλειψη έχει δύο ακόμη κορυφές (βλ. Εικ. 45).

Τα τμήματα και οι συνδετικές απέναντι κορυφές της έλλειψης, καθώς και τα μήκη τους, ονομάζονται κύριος και δευτερεύων άξονες της έλλειψης, αντίστοιχα. Οι αριθμοί a και b ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα.

Ο λόγος του μισού της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον ημι-κύριο άξονα της έλλειψης ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα:

Επειδή , η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μικρότερη από τη μονάδα: Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης. Πράγματι, από τον τύπο (28) προκύπτει ότι όσο μικρότερη είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης, τόσο λιγότερο ο μικρότερος ημιάξονάς της b διαφέρει από τον κύριο ημιάξονα a, δηλ. τόσο λιγότερο επιμήκης είναι η έλλειψη (κατά μήκος του εστιακού άξονα).

Στην οριακή περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ένας κύκλος ακτίνας a: , ή . Ταυτόχρονα, οι εστίες της έλλειψης φαίνεται να συγχωνεύονται σε ένα σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η εκκεντρότητα του κύκλου είναι μηδέν:

Η σύνδεση μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου μπορεί να εδραιωθεί από άλλη σκοπιά. Ας δείξουμε ότι μια έλλειψη με ημιάξονες a και b μπορεί να θεωρηθεί ως προβολή κύκλου ακτίνας a.

Ας εξετάσουμε δύο επίπεδα P και Q, που σχηματίζουν μεταξύ τους μια τέτοια γωνία α, για την οποία (Εικ. 46). Ας κατασκευάσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο P και στο επίπεδο Q ένα σύστημα Oxy με κοινή αρχή Ο και κοινό άξονατετμημένη που συμπίπτει με τη γραμμή τομής των επιπέδων. Θεωρήστε έναν κύκλο στο επίπεδο P

με κέντρο στην αρχή και ακτίνα ίση με α. Έστω ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο στον κύκλο, η προβολή του στο επίπεδο Q και έστω η προβολή του σημείου M στον άξονα Ox. Ας δείξουμε ότι το σημείο βρίσκεται σε μια έλλειψη με ημιάξονες a και b.

Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a) μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών δοθέντες πόντους(Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.

Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης

Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μεσαίο Ο του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (ανάλογα, ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες του ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Το τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.

Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - τη γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36γ). Παίρνουμε το κέντρο Ο της έλλειψης ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων. παίρνουμε την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (εστιακός άξονας ή πρώτος άξονας της έλλειψης) ως άξονας τετμημένης (η θετική κατεύθυνση σε αυτήν είναι από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) ως άξονας τεταγμένων (η κατεύθυνση στον άξονα τεταγμένων επιλέγεται έτσι ώστε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να είναι σωστό) .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την έλλειψη χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Μετακινούμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και φέρνουμε παρόμοιους όρους:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Έχοντας ορίσει b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.

Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36,6), αφού a=b. Σε αυτή την περίπτωση, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο θα είναι κανονικό O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα ίση με a.

Εκτελώντας τον συλλογισμό με αντίστροφη σειρά, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49), και μόνο αυτά, ανήκουν στον τόπο των σημείων που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.

Διευθυντική ιδιότητα μιας έλλειψης

Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που εκτείνονται παράλληλες στον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Στο c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο).

Έλειψη με εκκεντρότητα 0 ο τόπος των σημείων στο επίπεδο, για καθένα από τα οποία ο λόγος της απόστασης προς ένα δεδομένο σημείο F (εστίαση) προς την απόσταση προς μια δεδομένη ευθεία d (directrix) που δεν διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι σταθερός και ίσος με την εκκεντρότητα ε ( σκηνοθετική ιδιότητα μιας έλλειψης). Εδώ τα F και d είναι μία από τις εστίες της έλλειψης και μία από τις κατευθύνσεις της, που βρίσκονται στη μία πλευρά του άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, δηλ.

F_1,d_1 ή F_2,d_2. Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37,6) η συνθήκη\frac(r_2)(\rho_2)=e

μπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τον σκηνοθέτη d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων

Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ. 3.37, c και 3.37 (2)) έχει τη μορφή

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi), σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a. Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ. παράγραφο 2 των παρατηρήσεων 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)

Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Εκφράστε την πολική ακτίνα r και κάντε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης

Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37, α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές της έλλειψης). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm α. Κατά συνέπεια, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2α. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας x=0, παίρνουμε y=\pm b. Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b είναι ο ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται λόγος συμπίεσης έλλειψης.

Σημειώσεις 3.9

1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, μέσα στο οποίο υπάρχει έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).

2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συμπίεση ενός κύκλου στη διάμετρό του.

Πράγματι, έστω x^2+y^2=a^2 η εξίσωση ενός κύκλου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0

\begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις)

Αντικαθιστώντας τους κύκλους x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση, λαμβάνουμε την εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x, y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας.

Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία Μ"(x,-y) και Μ""(-x,y), συμμετρικά προς το σημείο Μ ως προς τους άξονες των συντεταγμένων.

4. Από την εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Η εκκεντρότητα ε χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη, και όσο πιο κοντά το e είναι το μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η έλλειψη σε έναν κύκλο (Εικ. 3.38a). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2, παίρνουμε

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

όπου k είναι ο συντελεστής συμπίεσης έλλειψης, 0

6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1σε ένα

7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο Ο"(x_0,y_0), οι άξονες της οποίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36).

Όταν a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) .

Παραμετρική εξίσωση έλλειψης

Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), καταλήγουμε στην κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1 .

Παράδειγμα 3.20.Σχεδιάστε μια έλλειψη \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Βρείτε ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, λόγο διαστάσεων, εστιακή παράμετρο, εξισώσεις κατευθύνσεων.

Διάλυμα.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ημι-κύριος άξονας, b=1 - ημι-μικρός άξονας της έλλειψης. Χτίζουμε ένα βασικό ορθογώνιο με πλευρές 2a=4,~2b=2 με το κέντρο στην αρχή (Εικ. 3.39). Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση της έλλειψης, παίρνουμε

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν στην έλλειψη.

Υπολογισμός του λόγου συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακή απόσταση 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Για να εκτελέσετε υπολογισμούς, πρέπει να ενεργοποιήσετε τα στοιχεία ελέγχου ActiveX!