Ορισμός. Πρίσμαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου όλες οι κορυφές βρίσκονται σε δύο παράλληλα επίπεδα, και σε αυτά τα ίδια δύο επίπεδα βρίσκονται δύο όψεις του πρίσματος, που είναι ίσα πολύγωνα με αντίστοιχα παράλληλες πλευρές, και όλες οι ακμές που δεν βρίσκονται σε αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλες.

Λέγονται δύο ίσες όψεις βάσεις πρίσματος(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Όλες οι άλλες όψεις του πρίσματος ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπα(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Σχηματίζονται όλες οι πλευρικές όψεις πλευρική επιφάνεια του πρίσματος .

Όλες οι πλευρικές όψεις του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες .

Οι ακμές που δεν βρίσκονται στις βάσεις ονομάζονται πλευρικές ακμές του πρίσματος ( ΑΑ 1, ΒΒ 1, CC 1, ΔΔ 1, ΕΕ 1).

Διαγώνιος πρίσματος είναι ένα τμήμα του οποίου τα άκρα είναι δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη (AD 1).

Το μήκος του τμήματος που συνδέει τις βάσεις του πρίσματος και είναι κάθετο και στις δύο βάσεις ταυτόχρονα λέγεται ύψος πρίσματος .

Ονομασία:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Πρώτα, σε εγκάρσια σειρά, υποδεικνύονται οι κορυφές μιας βάσης και στη συνέχεια, με την ίδια σειρά, οι κορυφές μιας άλλης· τα άκρα κάθε πλευρικής ακμής ορίζονται με τα ίδια γράμματα, μόνο οι κορυφές που βρίσκονται σε μια βάση ορίζονται με γράμματα χωρίς ευρετήριο και στο άλλο - με ευρετήριο)

Το όνομα του πρίσματος σχετίζεται με τον αριθμό των γωνιών στο σχήμα που βρίσκεται στη βάση του, για παράδειγμα, στο σχήμα 1 υπάρχει ένα πεντάγωνο στη βάση, οπότε το πρίσμα ονομάζεται πενταγωνικό πρίσμα. Αλλά επειδή ένα τέτοιο πρίσμα έχει 7 όψεις, τότε αυτό επτάεδρο(2 όψεις - οι βάσεις του πρίσματος, 5 όψεις - παραλληλόγραμμα, - οι πλευρικές όψεις του)

Ανάμεσα στα ευθύγραμμα πρίσματα ξεχωρίζει ιδιωτική θέα: σωστά πρίσματα.

Το ευθύ πρίσμα ονομάζεται σωστός,αν οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.

Παραλληλεπίπεδο

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο- ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο.

Ιδιότητες και θεωρήματα:

,

όπου d είναι η διαγώνιος του τετραγώνου.
α είναι η πλευρά του τετραγώνου.

Μια ιδέα ενός πρίσματος δίνεται από:

• διάφορες αρχιτεκτονικές κατασκευές.
• Παιδικά παιχνίδια?
• κουτιά συσκευασίας?
• αντικείμενα σχεδιαστών κ.λπ.

Η περιοχή της συνολικής και πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος

S πλήρης = S πλευρά + 2S κύρια,

Οπου S γεμάτο- συνολική επιφάνεια, S πλευρά- πλευρική επιφάνεια, Βάση S- περιοχή βάσης

Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος.

S πλευρά= P βασικό * h,

Οπου S πλευρά- περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος,

P κύρια - περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος,

h είναι το ύψος του ευθύγραμμου πρίσματος, ίσο με το πλευρικό άκρο.

Όγκος πρίσματος

Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε την περιοχή της βάσης του πρίσματος, θα πρέπει να καταλάβετε τι τύπο έχει.

Γενική θεωρία

Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν σχήμα παραλληλογράμμου. Επιπλέον, η βάση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύεδρο - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτό που δεν ισχύει για τις πλαϊνές όψεις είναι ότι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν συναντάται μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος. Μπορεί να απαιτεί γνώση της πλάγιας επιφάνειας, δηλαδή όλων των όψεων που δεν είναι βάσεις. Η πλήρης επιφάνεια θα είναι η ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.

Μερικές φορές τα προβλήματα περιλαμβάνουν ύψος. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.

Τριγωνικό πρίσμα

Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να είναι διαφορετικό. Αν ναι, αρκεί να θυμάστε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.

Ο μαθηματικός συμβολισμός μοιάζει με αυτό: S = ½ av.

Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε γενική εικόνα, οι τύποι θα είναι χρήσιμοι: Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Αυτή η σημείωση περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.

Δεύτερον: S = ½ n a * a.

Εάν θέλετε να μάθετε το εμβαδόν της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, το οποίο είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Υπάρχει ένας τύπος για αυτό: S = ¼ a 2 * √3.

Τετράγωνο πρίσμα

Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράγωνα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.

Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = ab, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.

Όταν πρόκειται για ένα τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στα θεμέλια. S = a 2.

Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S = a * n a. Συμβαίνει να δίνονται η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου και μία από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: n a = b * sin A. Επιπλέον, η γωνία Α είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία.

Εάν υπάρχει ένας ρόμβος στη βάση του πρίσματος, τότε για να προσδιορίσετε το εμβαδόν του θα χρειαστείτε τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο (αφού είναι ειδική περίπτωση του). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.

Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα

Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό κορυφών.

Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε η περιοχή της βάσης του πρίσματος είναι ίση με την περιοχή ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.

Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Σύμφωνα με την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο της βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο που θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.

Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 a 2 * √3.

Καθήκοντα

Νο. 1. Δεδομένης μιας κανονικής ευθείας γραμμής, η διαγώνιος της είναι 22 cm, το ύψος του πολύεδρου είναι 14 cm. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.

Λύση.Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του είναι άγνωστη. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 = d 2 - n 2. Από την άλλη πλευρά, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 = a 2 + a 2. Έτσι αποδεικνύεται ότι a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 cm Τώρα απλώς μάθετε την περιοχή της βάσης: 12 * 12 = 144 cm 2.

Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε δύο φορές την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυεδρικού και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος αποδεικνύεται ότι είναι 960 cm 2.

Απάντηση.Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 144 cm 2. Ολόκληρη η επιφάνεια είναι 960 cm 2.

Νο. 2. Δίνεται Στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρά 6 cm Σε αυτή την περίπτωση, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 cm.

Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με το 6 στο τετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο με το ¼ και την τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.

Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 cm Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, απλώς πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τραύματος αποδεικνύεται ότι είναι 180 cm 2.

Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.

Γενικές πληροφορίες για το ευθύ πρίσμα

Η πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος (ακριβέστερα, η πλευρική επιφάνεια) ονομάζεται άθροισμαπεριοχές των πλευρικών όψεων. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος είναι ίση με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και των περιοχών των βάσεων.

Θεώρημα 19.1. Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος, δηλαδή το μήκος της πλευρικής ακμής.

Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια. Οι βάσεις αυτών των ορθογωνίων είναι οι πλευρές του πολυγώνου που βρίσκονται στη βάση του πρίσματος και τα ύψη είναι ίσα με το μήκος των πλευρικών άκρων. Από αυτό προκύπτει ότι η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος είναι ίση με

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

όπου a 1 και n είναι τα μήκη των άκρων της βάσης, p είναι η περίμετρος της βάσης του πρίσματος και I είναι το μήκος των πλευρικών άκρων. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Πρακτική εργασία

Πρόβλημα (22) . Σε κεκλιμένο πρίσμα διεξάγεται Ενότητα, κάθετα στις πλευρικές νευρώσεις και τέμνοντας όλες τις πλευρικές νευρώσεις. Να βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος αν η περίμετρος της τομής είναι ίση με p και οι πλευρικές ακμές ίσες με l.

Λύση. Το επίπεδο του σχεδιασμένου τμήματος χωρίζει το πρίσμα σε δύο μέρη (Εικ. 411). Ας υποβάλουμε ένα από αυτά σε παράλληλη μετάφραση, συνδυάζοντας τις βάσεις του πρίσματος. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε ένα ευθύ πρίσμα, η βάση του οποίου είναι η διατομή του αρχικού πρίσματος και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με l. Αυτό το πρίσμα έχει την ίδια πλευρική επιφάνεια με το αρχικό. Έτσι, η πλευρική επιφάνεια του αρχικού πρίσματος είναι ίση με pl.

Περίληψη του καλυπτόμενου θέματος

Τώρα ας προσπαθήσουμε να συνοψίσουμε το θέμα που καλύψαμε για τα πρίσματα και να θυμηθούμε τι ιδιότητες έχει ένα πρίσμα.

Ιδιότητες πρίσματος

Πρώτον, ένα πρίσμα έχει όλες τις βάσεις του ως ίσα πολύγωνα.
Δεύτερον, σε ένα πρίσμα όλες οι πλευρικές του όψεις είναι παραλληλόγραμμες.
Τρίτον, σε ένα τόσο πολύπλευρο σχήμα όπως το πρίσμα, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες.

Επίσης, πρέπει να θυμόμαστε ότι τα πολύεδρα όπως τα πρίσματα μπορεί να είναι ευθύγραμμα ή κεκλιμένα.

Ποιο πρίσμα ονομάζεται ευθύ πρίσμα;

Αν η πλευρική ακμή ενός πρίσματος βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ευθύ.

Δεν θα ήταν περιττό να θυμηθούμε ότι οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια.

Ποιο είδος πρίσματος ονομάζεται λοξό;

Αν όμως η πλευρική ακμή ενός πρίσματος δεν βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι είναι ένα κεκλιμένο πρίσμα.

Ποιο πρίσμα λέγεται σωστό;

Εάν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι κανονικό.

Τώρα ας θυμηθούμε τις ιδιότητες που έχει ένα κανονικό πρίσμα.

Ιδιότητες κανονικού πρίσματος

Πρώτον, τα κανονικά πολύγωνα χρησιμεύουν πάντα ως βάσεις ενός κανονικού πρίσματος.
Δεύτερον, αν λάβουμε υπόψη τις πλευρικές όψεις ενός κανονικού πρίσματος, είναι πάντα ίσα ορθογώνια.
Τρίτον, αν συγκρίνετε τα μεγέθη των πλευρικών πλευρών, τότε σε ένα κανονικό πρίσμα είναι πάντα ίσα.
Τέταρτον, ένα σωστό πρίσμα είναι πάντα ευθύ.
Πέμπτον, εάν σε ένα κανονικό πρίσμα οι πλευρικές όψεις έχουν σχήμα τετραγώνων, τότε ένα τέτοιο σχήμα συνήθως ονομάζεται ημικανονικό πολύγωνο.

Διατομή πρίσματος

Ας δούμε τώρα τη διατομή του πρίσματος:

Εργασία για το σπίτι

Τώρα ας προσπαθήσουμε να εμπεδώσουμε το θέμα που μάθαμε λύνοντας προβλήματα.

Ας σχεδιάσουμε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, η απόσταση μεταξύ των άκρων του θα είναι ίση με: 3 cm, 4 cm και 5 cm, και η πλευρική επιφάνεια αυτού του πρίσματος θα είναι ίση με 60 cm2. Έχοντας αυτές τις παραμέτρους, βρείτε το πλευρικό άκρο αυτού του πρίσματος.

Γνωρίζετε ότι τα γεωμετρικά σχήματα μας περιβάλλουν συνεχώς όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε Καθημερινή ζωήΥπάρχουν αντικείμενα που μοιάζουν με το ένα ή το άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Όλοι στο σπίτι, στο σχολείο ή στη δουλειά έχουν έναν υπολογιστή, μονάδα του συστήματοςπου έχει σχήμα ευθύγραμμου πρίσματος.

Αν σηκώσετε ένα απλό μολύβι, θα δείτε ότι το κύριο μέρος του μολυβιού είναι ένα πρίσμα.

Περπατώντας στον κεντρικό δρόμο της πόλης, βλέπουμε ότι κάτω από τα πόδια μας απλώνεται ένα κεραμίδι που έχει σχήμα εξαγωνικού πρίσματος.

A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα

ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣε ένα μάθημα στερεομετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - το πολύεδρο ενός πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογωνίων, αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα;

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Ένα άλλο όνομα για αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Ένα σχέδιο που δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα ουσιαστικά στοιχεία, από το οποίο αποτελείται το γεωμετρικό σώμα. Αυτά περιλαμβάνουν:

Μερικές φορές σε προβλήματα γεωμετρίας μπορείτε να συναντήσετε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν σε ένα επίπεδο κοπής. Η τομή μπορεί να είναι κάθετη (τέμνει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), περνώντας από 2 ακμές και τις διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Για να βρεθούν τα μειωμένα πρισματικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες σχέσεις και τύποι. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sbas h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a²·h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την ανάπτυξή του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Posn h

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος, πρέπει να προσθέσετε 2 βασικές περιοχές στην πλευρική περιοχή:

Sfull = Πλαϊνό + 2 Smain

Σε σχέση με ένα τετράπλευρο κανονικό πρίσμα, ο τύπος μοιάζει με:

Συνολικό = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι τύποι μπορούν να προκύψουν:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sbas = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλαϊνό / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει το διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός πρίσματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις δεδομένες σχέσεις, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε πολλές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που βρέθηκαν σε κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 cm Ποιο θα είναι το επίπεδο της άμμου αν το μετακινήσετε σε ένα δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με βάση το διπλάσιο;

Θα πρέπει να αιτιολογηθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να υποδηλώσετε το μήκος της βάσης με ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha2 = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος του επιπέδου της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², παίρνουμε:

Σαν άποτέλεσμα νέο επίπεδοάμμος θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα σωστό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη βάση υπάρχει ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει το ίδιο μέγεθος, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από μια γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετραγώνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 m Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Ο χώρος θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50·30 = 1500ρούβλια

Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων ορθογώνιο πρίσμαΑρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και παραλληλογράμμου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους εύρεσης όγκου και επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου