Κανονικό ορθογώνιο πρίσμα. Εμβαδόν βάσης πρίσματος: από τριγωνικό έως πολυγωνικό
Γενικές πληροφορίες για το ευθύ πρίσμα
Η πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος (ακριβέστερα, η πλευρική επιφάνεια) ονομάζεται άθροισμαπεριοχές των πλευρικών όψεων. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος είναι ίση με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και των περιοχών των βάσεων.
Θεώρημα 19.1. Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος, δηλαδή το μήκος της πλευρικής ακμής.
Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια. Οι βάσεις αυτών των ορθογωνίων είναι οι πλευρές του πολυγώνου που βρίσκονται στη βάση του πρίσματος και τα ύψη είναι ίσα με το μήκος των πλευρικών άκρων. Από αυτό προκύπτει ότι η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος είναι ίση με
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
όπου a 1 και n είναι τα μήκη των άκρων της βάσης, p είναι η περίμετρος της βάσης του πρίσματος και I είναι το μήκος των πλευρικών άκρων. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Πρακτική εργασία
Πρόβλημα (22) . Σε κεκλιμένο πρίσμα διεξάγεται Ενότητα, κάθετα στις πλαϊνές νευρώσεις και τέμνονται όλα πλευρικές νευρώσεις. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος αν η περίμετρος της τομής είναι ίση με p και οι πλευρικές ακμές ίσες με l.
Λύση. Το επίπεδο του σχεδιασμένου τμήματος χωρίζει το πρίσμα σε δύο μέρη (Εικ. 411). Ας υποβάλουμε ένα από αυτά σε παράλληλη μετάφραση, συνδυάζοντας τις βάσεις του πρίσματος. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε ένα ευθύ πρίσμα, η βάση του οποίου είναι η διατομή του αρχικού πρίσματος και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με l. Αυτό το πρίσμα έχει την ίδια πλευρική επιφάνεια με το αρχικό. Έτσι, η πλευρική επιφάνεια του αρχικού πρίσματος είναι ίση με pl.
Περίληψη του καλυπτόμενου θέματος
Τώρα ας προσπαθήσουμε να συνοψίσουμε το θέμα που καλύψαμε για τα πρίσματα και να θυμηθούμε ποιες ιδιότητες έχει ένα πρίσμα.
Ιδιότητες πρίσματος
Πρώτον, ένα πρίσμα έχει όλες τις βάσεις του ως ίσα πολύγωνα.
Δεύτερον, σε ένα πρίσμα όλες οι πλευρικές του όψεις είναι παραλληλόγραμμες.
Τρίτον, σε ένα τόσο πολύπλευρο σχήμα όπως το πρίσμα, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες.
Επίσης, πρέπει να θυμόμαστε ότι τα πολύεδρα, όπως τα πρίσματα, μπορεί να είναι ίσια ή κεκλιμένα.
Ποιο πρίσμα ονομάζεται ευθύ πρίσμα;
Αν η πλευρική ακμή ενός πρίσματος βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ευθύγραμμο.
Δεν θα ήταν περιττό να θυμηθούμε ότι οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια.
Ποιο είδος πρίσματος ονομάζεται λοξό;
Αν όμως η πλευρική ακμή ενός πρίσματος δεν βρίσκεται κάθετα στο επίπεδο της βάσης του, τότε μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι είναι ένα κεκλιμένο πρίσμα.
Ποιο πρίσμα λέγεται σωστό;
Εάν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι κανονικό.
Ας θυμηθούμε τώρα τις ιδιότητες που έχει ένα κανονικό πρίσμα.
Ιδιότητες κανονικού πρίσματος
Πρώτον, τα κανονικά πολύγωνα χρησιμεύουν πάντα ως βάσεις ενός κανονικού πρίσματος.
Δεύτερον, αν λάβουμε υπόψη τις πλευρικές όψεις ενός κανονικού πρίσματος, είναι πάντα ίσα ορθογώνια.
Τρίτον, αν συγκρίνετε τα μεγέθη των πλευρικών πλευρών, τότε σε ένα κανονικό πρίσμα είναι πάντα ίσα.
Τέταρτον, ένα σωστό πρίσμα είναι πάντα ευθύ.
Πέμπτον, εάν σε ένα κανονικό πρίσμα οι πλευρικές όψεις έχουν σχήμα τετραγώνων, τότε ένα τέτοιο σχήμα συνήθως ονομάζεται ημικανονικό πολύγωνο.
Διατομή πρίσματος
Ας δούμε τώρα τη διατομή του πρίσματος:
Εργασία για το σπίτι
Τώρα ας προσπαθήσουμε να εμπεδώσουμε το θέμα που μάθαμε λύνοντας προβλήματα.
Ας σχεδιάσουμε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, η απόσταση μεταξύ των άκρων του θα είναι ίση με: 3 cm, 4 cm και 5 cm, και η πλευρική επιφάνεια αυτού του πρίσματος θα είναι ίση με 60 cm2. Έχοντας αυτές τις παραμέτρους, βρείτε την πλευρική άκρη αυτού του πρίσματος.
Γνωρίζετε ότι τα γεωμετρικά σχήματα μας περιβάλλουν συνεχώς όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε Καθημερινή ζωήΥπάρχουν αντικείμενα που μοιάζουν με το ένα ή το άλλο γεωμετρικό σχήμα.
Όλοι στο σπίτι, στο σχολείο ή στη δουλειά έχουν υπολογιστή, μονάδα του συστήματοςπου έχει σχήμα ευθύγραμμου πρίσματος.
Αν σηκώσετε ένα απλό μολύβι, θα δείτε ότι το κύριο μέρος του μολυβιού είναι ένα πρίσμα.
Περπατώντας στον κεντρικό δρόμο της πόλης, βλέπουμε ότι κάτω από τα πόδια μας απλώνεται ένα κεραμίδι που έχει σχήμα εξαγωνικού πρίσματος.
A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα
Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε την περιοχή της βάσης του πρίσματος, θα πρέπει να καταλάβετε τι τύπο έχει.
Γενική θεωρία
Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν σχήμα παραλληλογράμμου. Επιπλέον, η βάση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύεδρο - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτό που δεν ισχύει για τις πλαϊνές όψεις είναι ότι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.
Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν συναντάται μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος. Μπορεί να απαιτεί γνώση της πλάγιας επιφάνειας, δηλαδή όλων των όψεων που δεν είναι βάσεις. Πλήρης επιφάνειαθα υπάρχει ήδη μια ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.
Μερικές φορές τα προβλήματα περιλαμβάνουν ύψος. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Εάν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.
Τριγωνικό πρίσμα
Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να είναι διαφορετικό. Αν ναι, αρκεί να θυμάστε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.
Ο μαθηματικός συμβολισμός μοιάζει με αυτό: S = ½ av.
Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε γενική εικόνα, οι τύποι θα είναι χρήσιμοι: Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.
Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Αυτή η σημείωση περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.
Δεύτερον: S = ½ n a * a.
Εάν πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή της βάσης τριγωνικό πρίσμα, που είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Υπάρχει ένας τύπος για αυτό: S = ¼ a 2 * √3.
Τετράγωνο πρίσμα
Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράγωνα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.
Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = ab, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.
Όταν πρόκειται για ένα τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στα θεμέλια. S = a 2.
Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S = a * n a. Συμβαίνει να δίνονται η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου και μία από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: n a = b * sin A. Επιπλέον, η γωνία Α είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία.
Εάν υπάρχει ένας ρόμβος στη βάση του πρίσματος, τότε για να προσδιορίσετε το εμβαδόν του θα χρειαστείτε τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο (αφού είναι ειδική περίπτωση του). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.
Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα
Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό κορυφών.
Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε η περιοχή της βάσης του πρίσματος είναι ίση με την περιοχή ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.
Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα
Σύμφωνα με την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο της βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο που θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.
Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 a 2 * √3.
Καθήκοντα
Νο. 1. Δεδομένης μιας κανονικής ευθείας γραμμής, η διαγώνιος της είναι 22 cm, το ύψος του πολύεδρου είναι 14 cm. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.
Λύση.Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του είναι άγνωστη. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 = d 2 - n 2. Από την άλλη πλευρά, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 = a 2 + a 2. Έτσι αποδεικνύεται ότι a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 cm Τώρα απλώς μάθετε την περιοχή της βάσης: 12 * 12 = 144 cm 2.
Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε δύο φορές την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυέδρου και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος αποδεικνύεται ότι είναι 960 cm 2.
Απάντηση.Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 144 cm 2. Ολόκληρη η επιφάνεια είναι 960 cm 2.
Νο. 2. Δίνεται Στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρά 6 cm Σε αυτή την περίπτωση, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 cm.
Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με το 6 στο τετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο με το ¼ και την τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.
Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 cm Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, απλώς πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τραύματος αποδεικνύεται ότι είναι 180 cm 2.
Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.
“Lesson Pythagorean theorem” - Pythagorean theorem. Προσδιορίστε τον τύπο του τετράπλευρου ΚΜΝΠ. Ζέσταμα. Εισαγωγή στο θεώρημα. Προσδιορίστε τον τύπο του τριγώνου: Σχέδιο μαθήματος: Ιστορική εκδρομή. Επίλυση απλών προβλημάτων. Και θα βρείτε μια σκάλα μήκους 125 ποδιών. Υπολογίστε το ύψος CF του τραπεζοειδούς ABCD. Απόδειξη. Εμφάνιση εικόνων. Απόδειξη του θεωρήματος.
"Τόμος πρίσματος" - Η έννοια ενός πρίσματος. Ευθύ πρίσμα. Ο όγκος του αρχικού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο S · h. Πώς να βρείτε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος; Το πρίσμα μπορεί να χωριστεί σε ευθύγραμμα τριγωνικά πρίσματα με ύψος h. Σχεδιάζοντας το υψόμετρο του τριγώνου ABC. Η λύση του προβλήματος. Στόχοι μαθήματος. Βασικά βήματα για την απόδειξη του θεωρήματος του άμεσου πρίσματος; Μελέτη του θεωρήματος για τον όγκο ενός πρίσματος.
"Prism polyhedra" - Δώστε τον ορισμό του πολύεδρου. DABC – τετράεδρο, κυρτό πολύεδρο. Εφαρμογή πρισμάτων. Πού χρησιμοποιούνται τα πρίσματα; Το ABCDMP είναι ένα οκτάεδρο που αποτελείται από οκτώ τρίγωνα. ABCDA1B1C1D1 – παραλληλεπίπεδο, κυρτό πολύεδρο. Κυρτό πολύεδρο. Η έννοια του πολυέδρου. Πολύεδρο А1А2..АnB1B2..Bn - πρίσμα.
"Πρίσμα 10η τάξη" - Ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι σε παράλληλα επίπεδα. Χρήση πρισμάτων στην καθημερινή ζωή. Πλευρά = Βάση + h Για ευθύ πρίσμα: Sp.p = Pbas. h + 2Sbas. Κεκλιμένος. Σωστός. Ευθεία. Πρίσμα. Φόρμουλες για εύρεση περιοχής. Εφαρμογή πρίσματος στην αρχιτεκτονική. Sp.p = Siside + 2Sground
"Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος" - Γεωμετρική απόδειξη. Η έννοια του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Πυθαγόρειο θεώρημα. Η απόδειξη του Ευκλείδη. "ΣΕ ορθογώνιο τρίγωνοτετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα ποδιών». Απόδειξη του θεωρήματος. Η σημασία του θεωρήματος έγκειται στο ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του.
Ορισμός. Πρίσμαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου όλες οι κορυφές βρίσκονται σε δύο παράλληλα επίπεδα, και σε αυτά τα ίδια δύο επίπεδα βρίσκονται δύο όψεις του πρίσματος, που είναι ίσα πολύγωνα με αντίστοιχα παράλληλες πλευρές, και όλες οι ακμές που δεν βρίσκονται σε αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλες.
Καλούνται δύο ίσες όψεις βάσεις πρίσματος(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Όλες οι άλλες όψεις του πρίσματος ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπα(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Σχηματίζονται όλες οι πλευρικές όψεις πλευρική επιφάνεια του πρίσματος .
Όλες οι πλευρικές όψεις του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες .
Οι ακμές που δεν βρίσκονται στις βάσεις ονομάζονται πλευρικές ακμές του πρίσματος ( ΑΑ 1, ΒΒ 1, CC 1, ΔΔ 1, ΕΕ 1).
Διαγώνιος πρίσματος είναι ένα τμήμα του οποίου τα άκρα είναι δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη (AD 1).
Το μήκος του τμήματος που συνδέει τις βάσεις του πρίσματος και είναι κάθετο και στις δύο βάσεις ταυτόχρονα λέγεται ύψος πρίσματος .
Ονομασία:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Πρώτα, σε εγκάρσια σειρά, υποδεικνύονται οι κορυφές μιας βάσης και στη συνέχεια, με την ίδια σειρά, οι κορυφές μιας άλλης· τα άκρα κάθε πλευρικής ακμής ορίζονται με τα ίδια γράμματα, μόνο οι κορυφές που βρίσκονται σε μια βάση ορίζονται με γράμματα χωρίς ευρετήριο και στο άλλο - με ευρετήριο)
Το όνομα του πρίσματος σχετίζεται με τον αριθμό των γωνιών στο σχήμα που βρίσκεται στη βάση του, για παράδειγμα, στο σχήμα 1 υπάρχει ένα πεντάγωνο στη βάση, οπότε το πρίσμα ονομάζεται πενταγωνικό πρίσμα. Αλλά επειδή ένα τέτοιο πρίσμα έχει 7 όψεις, τότε αυτό επτάεδρο(2 όψεις - οι βάσεις του πρίσματος, 5 όψεις - παραλληλόγραμμα, - οι πλευρικές όψεις του)
Ανάμεσα στα ευθύγραμμα πρίσματα ξεχωρίζει ιδιωτική θέα: σωστά πρίσματα.
Το ευθύ πρίσμα ονομάζεται σωστός,αν οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.
Παραλληλεπίπεδο
Παραλληλεπίπεδοείναι ένα τετράγωνο πρίσμα, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα παραλληλόγραμμο (ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο). Δεξί παραλληλεπίπεδο- παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα της βάσης.Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο- ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο.
Ιδιότητες και θεωρήματα:
Ορισμένες ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου είναι παρόμοιες με τις γνωστές ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου κύβος
.Όλες οι όψεις ενός κύβου είναι ίσα τετράγωνα Το τετράγωνο της διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του 
,
όπου d είναι η διαγώνιος του τετραγώνου.
α είναι η πλευρά του τετραγώνου.
Μια ιδέα ενός πρίσματος δίνεται από:
- διάφορες αρχιτεκτονικές κατασκευές.
- Παιδικά παιχνίδια?
- κουτιά συσκευασίας?
- αντικείμενα σχεδιαστών κ.λπ.
Η περιοχή της συνολικής και πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος
Συνολική επιφάνεια του πρίσματοςείναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεών του Πλάγια επιφάνειαονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών του όψεων. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσα πολύγωνα, τότε τα εμβαδά τους είναι ίσα. Να γιατίS πλήρης = S πλευρά + 2S κύρια,
Οπου S γεμάτο- συνολική επιφάνεια, S πλευρά- πλευρική επιφάνεια, Βάση S- περιοχή βάσης
Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του πρίσματος.
S πλευρά= P βασικό * h,
Οπου S πλευρά- περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος,
P κύρια - περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος,
h είναι το ύψος του ευθύγραμμου πρίσματος, ίσο με το πλευρικό άκρο.
Όγκος πρίσματος
Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.
Πολύεδρα
Το κύριο αντικείμενο μελέτης της στερεομετρίας είναι τα χωρικά σώματα. Σώμααντιπροσωπεύει ένα μέρος του χώρου που περιορίζεται από μια συγκεκριμένη επιφάνεια.
Πολύεδροείναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων. Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου κάθε επίπεδου πολυγώνου στην επιφάνειά του. ένα κοινό μέροςένα τέτοιο επίπεδο και η επιφάνεια ενός πολύεδρου ονομάζεται άκρη. Οι όψεις ενός κυρτού πολυέδρου είναι επίπεδα κυρτά πολύγωνα. Οι πλευρές των προσώπων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου, και οι κορυφές είναι κορυφές του πολυέδρου.
Για παράδειγμα, ένας κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα, που είναι οι όψεις του. Περιέχει 12 άκρες (τις πλευρές των τετραγώνων) και 8 κορυφές (τις κορυφές των τετραγώνων).
Τα πιο απλά πολύεδρα είναι τα πρίσματα και οι πυραμίδες, τα οποία θα μελετήσουμε περαιτέρω.
Πρίσμα
Ορισμός και ιδιότητες πρίσματος
Πρίσμαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα συνδυασμένα με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων. Τα πολύγωνα λέγονται βάσεις πρίσματος, και τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές των πολυγώνων είναι πλευρικές άκρες του πρίσματος.
Ύψος πρίσματοςονομάζεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του (). Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιο πρίσματος(). Το πρίσμα λέγεται n-άνθρακας, αν η βάση του είναι ένα n-gon.
Κάθε πρίσμα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες, που προκύπτουν από το γεγονός ότι οι βάσεις του πρίσματος συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση:
1. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες.
2. Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.
Η επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από βάσεις και πλευρική επιφάνεια. Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από παραλληλόγραμμα (αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες του πρίσματος). Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός πρίσματος είναι το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων.
Ευθύ πρίσμα
Το πρίσμα λέγεται ευθεία, αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις. Διαφορετικά λέγεται το πρίσμα κεκλιμένος.
Οι όψεις ενός ορθού πρίσματος είναι ορθογώνια. Το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με τις πλευρικές του όψεις.
Πλήρης επιφάνεια πρίσματοςονομάζεται το άθροισμα του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας και των εμβαδών των βάσεων.
Με το σωστό πρίσμαονομάζεται ορθό πρίσμα με κανονικό πολύγωνο στη βάση του.
Θεώρημα 13.1. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου και του ύψους του πρίσματος (ή, που είναι το ίδιο, από την πλευρική άκρη).
Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ορθού πρίσματος είναι ορθογώνια, οι βάσεις των οποίων είναι οι πλευρές των πολυγώνων στις βάσεις του πρίσματος και τα ύψη είναι οι πλευρικές ακμές του πρίσματος. Τότε, εξ ορισμού, η πλευρική επιφάνεια είναι:
,
όπου είναι η περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος.
Παραλληλεπίπεδο
Εάν τα παραλληλόγραμμα βρίσκονται στις βάσεις ενός πρίσματος, τότε αυτό ονομάζεται παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα. Στην περίπτωση αυτή, οι απέναντι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.
Θεώρημα 13.2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.
Απόδειξη. Εξετάστε δύο αυθαίρετες διαγώνιους, για παράδειγμα, και . Επειδή οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα, τότε και , που σημαίνει σύμφωνα με το To υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες με την τρίτη. Επιπλέον, αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες γραμμές και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο). Αυτό το επίπεδο τέμνει παράλληλα επίπεδα και κατά μήκος παράλληλων ευθειών και . Έτσι, ένα τετράπλευρο είναι ένα παραλληλόγραμμο και από την ιδιότητα του παραλληλογράμμου, οι διαγώνιες του τέμνονται και διαιρούνται στο μισό από το σημείο τομής, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια. Τα μήκη των μη παράλληλων άκρων ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ονομάζονται γραμμικές του διαστάσεις (διαστάσεις). Υπάρχουν τρία τέτοια μεγέθη (πλάτος, ύψος, μήκος).
Θεώρημα 13.3. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, το τετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του 
(αποδεικνύεται εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Τ δύο φορές).
Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όλες τις άκρες ίσες κύβος.
Καθήκοντα
13.1 Πόσες διαγώνιες έχει; n- πρίσμα άνθρακα
13.2 Σε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, οι αποστάσεις μεταξύ των πλευρικών άκρων είναι 37, 13 και 40. Βρείτε την απόσταση μεταξύ του μεγαλύτερου πλευρικού άκρου και του απέναντι πλευρικού άκρου.
13.3 Ένα επίπεδο διασχίζεται από την πλευρά της κάτω βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος, τέμνοντας τις πλευρικές όψεις κατά μήκος τμημάτων με γωνία μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία κλίσης αυτού του επιπέδου ως προς τη βάση του πρίσματος.