Ηλεκτρονική αριθμομηχανή τύπου ορθογώνιων πλευρών. Πώς να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου; Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας

Ο κύκλος που εγγράφεται σε αυτό (r). Για να το κάνετε αυτό, αυξήστε το κατά έξι φορές και διαιρέστε με Τετραγωνική ρίζααπό τα τρία: A = r*6/√3.

Γνωρίζοντας την ακτίνα (R), μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το μήκος πλευρές(Α) σωστό τρίγωνο. Αυτή η ακτίνα είναι διπλάσια από αυτή που χρησιμοποιήθηκε στον προηγούμενο τύπο, άρα τριπλασιάστε την και διαιρέστε την με την τετραγωνική ρίζα των τριών: A = R*3/√3.

Κατά (Ρ) ισόπλευρο τρίγωνουπολογίστε το μήκος του πλευρέςΤο (Α) είναι ακόμα πιο απλό, αφού τα μήκη των πλευρών σε αυτό το σχήμα είναι τα ίδια. Απλώς διαιρέστε την περίμετρο με τρία: A = P/3.

Σε ισοσκελές τρίγωνο, υπολογίζοντας το μήκος πλευρέςκατά μήκος μιας γνωστής περιμέτρου είναι λίγο πιο περίπλοκο - πρέπει επίσης να γνωρίζετε το μήκος τουλάχιστον μιας από τις πλευρές. Αν το μήκος είναι γνωστό πλευρές A, που βρίσκεται στη βάση του σχήματος, βρείτε το μήκος οποιασδήποτε πλευράς (Β) στο μισό της διαφοράς μεταξύ της περιμέτρου (P) και του μεγέθους της βάσης: B = (P-A)/2. Και αν η πλευρική πλευρά είναι γνωστή, τότε προσδιορίστε το μήκος της βάσης αφαιρώντας το διπλάσιο μήκος της πλευράς από την περίμετρο: A = P-2*B.

Η γνώση της περιοχής (S) που καταλαμβάνει ένα κανονικό τρίγωνο σε ένα επίπεδο είναι επίσης αρκετή για να βρεθεί το μήκος του πλευρές(ΕΝΑ). Πάρτε την τετραγωνική ρίζα του λόγου του εμβαδού και της ρίζας του τρία και διπλασιάστε το αποτέλεσμα: A = 2*√(S/√3).

Σε , σε από οποιαδήποτε άλλη, για να υπολογίσουμε το μήκος μιας από τις πλευρές αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των άλλων δύο. Εάν η απαιτούμενη πλευρά είναι (C), για να το κάνετε αυτό, βρείτε την τετραγωνική ρίζα των μηκών των γνωστών πλευρών (Α και Β), στο τετράγωνο: C = √(A²+B²). Και αν πρέπει να υπολογίσετε το μήκος ενός από τα σκέλη, τότε η τετραγωνική ρίζα πρέπει να ληφθεί από τα μήκη της υποτείνουσας και το άλλο σκέλος: A = √(C²-B²).

Πηγές:

• πώς να υπολογίσετε την πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου

Στη γενική περίπτωση, δηλ. Όταν δεν υπάρχουν πληροφορίες για το αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο, ισοσκελές ή ορθό, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να υπολογίσουμε τα μήκη των πλευρών του. Οι κανόνες για την εφαρμογή τους καθορίζονται από θεωρήματα, τα οποία ονομάζονται θεώρημα ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων.

Οδηγίες

Ένας τρόπος για να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τρίγωνουποθέτει τα ημιτονοειδή θεωρήματα. Σύμφωνα με αυτό, ο λόγος των μηκών των πλευρών των γωνιών που βρίσκονται απέναντι τους τρίγωνοείναι ίσα. Αυτό μας επιτρέπει να εξαγάγουμε έναν τύπο για το μήκος μιας πλευράς για εκείνες τις περιπτώσεις όπου τουλάχιστον μία πλευρά και δύο γωνίες στις κορυφές του σχήματος είναι γνωστές από τις συνθήκες του προβλήματος. Εάν καμία από αυτές τις δύο γωνίες (α και β) δεν βρίσκεται μεταξύ της γνωστής πλευράς Α και της υπολογιζόμενης πλευράς Β, τότε πολλαπλασιάστε το μήκος της γνωστής πλευράς με το ημίτονο της γνωστής γωνίας β που βρίσκεται δίπλα της και διαιρέστε με το ημίτονο της άλλης γνωστή γωνία α: B = A*sin( β)/sin(α).

Εάν μία (γ) από δύο (α και γ) γνωστές γωνίες σχηματίζεται από , το μήκος μιας από τις οποίες (Α) δίνεται σε , και η δεύτερη (Β) πρέπει να υπολογιστεί, τότε εφαρμόστε το ίδιο θεώρημα. Η λύση μπορεί να αναχθεί στον τύπο που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα, αν θυμηθούμε επίσης το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο - αυτή η τιμή είναι πάντα 180°. Η γωνία β είναι άγνωστη στον τύπο, ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα αφαιρώντας τις τιμές δύο γνωστών γωνιών από 180°. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην εξίσωση και θα λάβετε τον τύπο B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α).

Τα πρώτα είναι τα τμήματα που βρίσκονται δίπλα στη σωστή γωνία και η υποτείνουσα είναι το μεγαλύτερο μέρος του σχήματος και βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι εκείνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες φυσικούς αριθμούς; τα μήκη τους σε αυτή την περίπτωση ονομάζονται «πυθαγόρεια τριπλή».

Αιγυπτιακό τρίγωνο

Προκειμένου η σημερινή γενιά να αναγνωρίσει τη γεωμετρία με τη μορφή που διδάσκεται στο σχολείο τώρα, έχει αναπτυχθεί εδώ και αρκετούς αιώνες. Το θεμελιώδες σημείο θεωρείται το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι πλευρές ενός ορθογώνιου είναι γνωστές σε όλο τον κόσμο) είναι 3, 4, 5.

Λίγοι άνθρωποι δεν είναι εξοικειωμένοι με τη φράση «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα προς όλες τις κατευθύνσεις». Ωστόσο, στην πραγματικότητα το θεώρημα ακούγεται ως εξής: c 2 (τετράγωνο της υποτείνουσας) = a 2 + b 2 (άθροισμα των τετραγώνων των σκελών).

Μεταξύ των μαθηματικών, ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 (cm, m, κ.λπ.) ονομάζεται "Αιγυπτιακό". Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτό που αναγράφεται στο σχήμα είναι ίσο με ένα. Το όνομα προέκυψε γύρω στον 5ο αιώνα π.Χ., όταν Έλληνες φιλόσοφοι ταξίδεψαν στην Αίγυπτο.

Κατά την κατασκευή των πυραμίδων, οι αρχιτέκτονες και οι τοπογράφοι χρησιμοποιούσαν την αναλογία 3:4:5. Τέτοιες κατασκευές αποδείχθηκαν αναλογικές, ευχάριστες στην εμφάνιση και ευρύχωρες, και επίσης σπάνια κατέρρευσαν.

Για να χτίσουν μια ορθή γωνία, οι οικοδόμοι χρησιμοποίησαν ένα σχοινί με 12 κόμπους δεμένους πάνω του. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα κατασκευής ακριβώς ορθογώνιο τρίγωνοαυξήθηκε στο 95%.

Σημάδια ισότητας μορφών

• Οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο και μεγάλη πλευρά, που ισούνται με τα ίδια στοιχεία στο δεύτερο τρίγωνο, είναι αδιαμφισβήτητο σημάδι ισότητας των μορφών. Λαμβάνοντας υπόψη το άθροισμα των γωνιών, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οι δεύτερες οξείες γωνίες είναι επίσης ίσες. Έτσι, τα τρίγωνα είναι πανομοιότυπα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο.
• Όταν βάζουμε δύο φιγούρες το ένα πάνω στο άλλο, τις περιστρέφουμε ώστε όταν συνδυαστούν να γίνουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Σύμφωνα με την ιδιότητά του, οι πλευρές, ή ακριβέστερα, οι υποτείνουσες, είναι ίσες, καθώς και οι γωνίες στη βάση, πράγμα που σημαίνει ότι αυτά τα σχήματα είναι ίδια.

Με βάση το πρώτο σημάδι, είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι πράγματι ίσα, το κυριότερο είναι ότι οι δύο μικρότερες πλευρές (δηλαδή τα πόδια) είναι ίσες μεταξύ τους.

Τα τρίγωνα θα είναι πανομοιότυπα σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο, η ουσία του οποίου είναι η ισότητα του σκέλους και η οξεία γωνία.

Ιδιότητες τριγώνου με ορθή γωνία

Το ύψος που κατέβηκε από ορθή γωνία, χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα μέρη.

Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και η διάμεσος του μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν από τον κανόνα: η διάμεσος που πέφτει στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της. μπορεί να βρεθεί τόσο από τον τύπο του Heron όσο και από τη δήλωση ότι είναι ίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ιδιότητες των γωνιών 30°, 45° και 60°.

• Με γωνία 30°, θυμηθείτε ότι το απέναντι σκέλος θα είναι ίσο με το 1/2 της μεγαλύτερης πλευράς.
• Εάν η γωνία είναι 45°, τότε η δεύτερη οξεία γωνία είναι επίσης 45°. Αυτό υποδηλώνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα πόδια του είναι ίδια.
• Η ιδιότητα μιας γωνίας 60° είναι ότι η τρίτη γωνία έχει μέτρο μοίρας 30°.

Η περιοχή μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους:

1. μέσω του ύψους και της πλευράς στην οποία κατεβαίνει.
2. σύμφωνα με τον τύπο του Heron.
3. στις πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.

Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, ή μάλλον τα σκέλη, συγκλίνουν με δύο υψόμετρα. Για να βρείτε το τρίτο, είναι απαραίτητο να εξετάσετε το τρίγωνο που προκύπτει και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, να υπολογίσετε το απαιτούμενο μήκος. Εκτός από αυτόν τον τύπο, υπάρχει επίσης μια σχέση μεταξύ του διπλάσιου εμβαδού και του μήκους της υποτείνουσας. Η πιο κοινή έκφραση μεταξύ των μαθητών είναι η πρώτη, καθώς απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς.

Θεωρήματα που ισχύουν για ορθογώνιο τρίγωνο

Η ορθογώνια γεωμετρία περιλαμβάνει τη χρήση θεωρημάτων όπως:

Στη γεωμετρία, γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ακτίνες που εκπέμπονται από ένα σημείο (την κορυφή της γωνίας). Οι γωνίες συνήθως μετρώνται σε μοίρες, με μια πλήρη γωνία ή περιστροφή να είναι 360 μοίρες. Μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία ενός πολυγώνου εάν γνωρίζετε τον τύπο του πολυγώνου και το μέγεθος των άλλων γωνιών του ή, στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου, το μήκος δύο από τις πλευρές του.

Βήματα

Υπολογισμός γωνιών πολυγώνου

Μετρήστε τον αριθμό των γωνιών στο πολύγωνο.

Να βρείτε το άθροισμα όλων των γωνιών του πολυγώνου.Τύπος για την εύρεση του αθροίσματος όλων εσωτερικές γωνίεςενός πολυγώνου μοιάζει με (n - 2) x 180, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών καθώς και οι γωνίες του πολυγώνου. Ακολουθούν τα αθροίσματα γωνιών ορισμένων πολυγώνων που συναντώνται συχνά:

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου (τρίπλευρο πολύγωνο) είναι 180 μοίρες.
• Το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου (τετράπλευρου πολυγώνου) είναι 360 μοίρες.
• Το άθροισμα των γωνιών ενός πενταγώνου (πεντάπλευρο πολύγωνο) είναι 540 μοίρες.
• Το άθροισμα των γωνιών ενός εξαγώνου (εξάπλευρο πολύγωνο) είναι 720 μοίρες.
• Το άθροισμα των γωνιών ενός οκτάγωνου (οκτάπλευρου πολυγώνου) είναι 1080 μοίρες.

1. Προσδιορίστε αν το πολύγωνο είναι κανονικό.Κανονικό πολύγωνο είναι αυτό στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Παραδείγματα κανονικών πολυγώνων περιλαμβάνουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο, ενώ το Πεντάγωνο στην Ουάσιγκτον είναι χτισμένο σε σχήμα κανονικού πενταγώνου και ένα σημάδι στάσης έχει σχήμα κανονικού οκτάγωνου.

   Προσθέστε τις γνωστές γωνίες του πολυγώνου και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό το άθροισμα από συνολικό ποσόόλες τις γωνιές του.Τα περισσότερα γεωμετρικά προβλήματα αυτού του είδους αφορούν τρίγωνα ή τετράπλευρα, καθώς απαιτούν λιγότερα δεδομένα εισόδου, οπότε θα κάνουμε το ίδιο.

   • Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με 60 μοίρες και 80 μοίρες, αντίστοιχα, προσθέστε αυτούς τους αριθμούς. Το αποτέλεσμα θα είναι 140 μοίρες. Στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό το ποσό από το συνολικό άθροισμα όλων των γωνιών του τριγώνου, δηλαδή από τις 180 μοίρες: 180 - 140 = 40 μοίρες. (Ένα τρίγωνο του οποίου οι γωνίες είναι όλες άνισες ονομάζεται ισόπλευρο.)
   • Μπορείτε να γράψετε αυτή τη λύση ως τον τύπο a = 180 - (b + c), όπου a είναι η γωνία της οποίας η τιμή πρέπει να βρεθεί, b και c είναι οι τιμές των γνωστών γωνιών. Για πολύγωνα με περισσότερες από τρεις πλευρές, αντικαταστήστε το 180 με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου αυτού του τύπου και προσθέστε έναν όρο στο άθροισμα στις παρενθέσεις για κάθε γνωστή γωνία.
   • Μερικά πολύγωνα έχουν τα δικά τους «κόλπα» που θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια άγνωστη γωνία. Για παράδειγμα, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές και δύο ίσες γωνίες. Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο με αντίθετες πλευρές και αντίθετες γωνίεςτα οποία είναι ίσα.

   Υπολογισμός των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου

   1. Προσδιορίστε ποια δεδομένα γνωρίζετε.Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται έτσι επειδή μια από τις γωνίες του είναι ορθή. Μπορείτε να βρείτε το μέγεθος μιας από τις δύο υπόλοιπες γωνίες εάν γνωρίζετε ένα από τα ακόλουθα:

      Προσδιορίστε ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιήσετε.Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εκφράζουν τους λόγους δύο από τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου. Υπάρχουν έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αλλά τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα ακόλουθα:

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκεται στην πραγματικότητα σχεδόν σε κάθε γωνία. Η γνώση των ιδιοτήτων ενός δεδομένου σχήματος, καθώς και η ικανότητα υπολογισμού του εμβαδού του, θα σας είναι αναμφίβολα χρήσιμη όχι μόνο για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας, αλλά και σε καταστάσεις ζωής.

Γεωμετρία τριγώνου

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία συνδεδεμένα τμήματα που σχηματίζουν τρεις γωνίες (δύο οξείες και μία ευθεία). Ορθογώνιο τρίγωνο - πρωτότυπη φιγούρα, που χαρακτηρίζεται από μια σειρά από σημαντικές ιδιότητες που αποτελούν το θεμέλιο της τριγωνομετρίας. Σε αντίθεση με ένα κανονικό τρίγωνο, οι πλευρές ενός ορθογώνιου σχήματος έχουν τα δικά τους ονόματα:

• Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου, απέναντι από τη σωστή γωνία.
• Τα πόδια είναι τμήματα που σχηματίζουν ορθή γωνία. Ανάλογα με τη γωνία που εξετάζουμε, το σκέλος μπορεί να είναι δίπλα του (που σχηματίζει αυτή τη γωνία με την υποτείνουσα) ή απέναντι (να βρίσκεται απέναντι από τη γωνία). Δεν υπάρχουν πόδια για μη ορθογώνια τρίγωνα.

Είναι η αναλογία των ποδιών και της υποτείνουσας που αποτελεί τη βάση της τριγωνομετρίας: τα ημίτονο, οι εφαπτομένες και οι διατομές ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ορθογώνιο τρίγωνο στην πραγματικότητα

Αυτός ο αριθμός έχει γίνει ευρέως διαδεδομένος στην πραγματικότητα. Τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό και την τεχνολογία, επομένως ο υπολογισμός του εμβαδού μιας φιγούρας πρέπει να γίνεται από μηχανικούς, αρχιτέκτονες και σχεδιαστές. Οι βάσεις των τετραέδρων ή των πρισμάτων - τρισδιάστατες φιγούρες που είναι εύκολο να συναντηθούν στην καθημερινή ζωή - έχουν σχήμα τριγώνου. Επιπλέον, ένα τετράγωνο είναι η απλούστερη αναπαράσταση ενός «επίπεδου» ορθογωνίου τριγώνου στην πραγματικότητα. Το τετράγωνο είναι μεταλλουργία, σχέδιο, κατασκευή και ξυλουργικό εργαλείο, το οποίο χρησιμοποιείται για την κατασκευή γωνιών τόσο από μαθητές όσο και από μηχανικούς.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος είναι μια ποσοτική εκτίμηση για το πόσο από το επίπεδο οριοθετείται από τις πλευρές του τριγώνου. Το εμβαδόν ενός συνηθισμένου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με πέντε τρόπους, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή χρησιμοποιώντας μεταβλητές όπως η βάση, η πλευρά, η γωνία και η ακτίνα του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου. Το περισσότερο απλή φόρμουλαΗ περιοχή εκφράζεται ως:

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ακόμα πιο απλός:

όπου α και β είναι τα πόδια.

Δουλεύοντας με την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τρία ζεύγη παραμέτρων:

• δύο πόδια;
• πόδι και γειτονική γωνία.
• πόδι και αντίθετη γωνία.

Σε προβλήματα ή καθημερινές καταστάσεις θα σας δοθούν διαφορετικοί συνδυασμοί μεταβλητών, επομένως αυτή η μορφή της αριθμομηχανής σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου με διάφορους τρόπους. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Κεραμικό πλακάκι

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να τακτοποιήσετε τους τοίχους της κουζίνας. κεραμικά πλακάκια, που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου. Για να προσδιορίσετε την κατανάλωση πλακιδίων, πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός στοιχείου επένδυσης και τη συνολική επιφάνεια της επιφάνειας που υποβάλλεται σε επεξεργασία. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε το 7 τετραγωνικά μέτρα. Το μήκος των ποδιών ενός στοιχείου είναι 19 cm, τότε η περιοχή του πλακιδίου θα είναι ίση με:

Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή ενός στοιχείου είναι 24,5 τετραγωνικά εκατοστά ή 0,01805 τετραγωνικά μέτρα. Γνωρίζοντας αυτές τις παραμέτρους, μπορείτε να υπολογίσετε ότι για να τελειώσετε 7 τετραγωνικά μέτρα τοίχου θα χρειαστείτε 7/0,01805 = 387 στοιχεία από πλακάκια πρόσοψης.

Σχολική εργασία

Ας πούμε ότι σε ένα πρόβλημα σχολικής γεωμετρίας πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας μόνο ότι η πλευρά του ενός ποδιού είναι 5 cm και η αντίθετη γωνία είναι 30 μοίρες. Η ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή συνοδεύεται από μια εικόνα που δείχνει τις πλευρές και τις γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου. Αν πλευρά α = 5 cm, τότε η αντίθετη γωνία της είναι γωνία άλφα, ίση με 30 μοίρες. Εισαγάγετε αυτά τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβετε το αποτέλεσμα:

Έτσι, η αριθμομηχανή όχι μόνο υπολογίζει την περιοχή ενός δεδομένου τριγώνου, αλλά καθορίζει επίσης το μήκος του διπλανού σκέλους και της υποτείνουσας, καθώς και την τιμή της δεύτερης γωνίας.

συμπέρασμα

Τα ορθογώνια τρίγωνα βρίσκονται στη ζωή μας κυριολεκτικά σε κάθε γωνία. Ο προσδιορισμός της περιοχής τέτοιων σχημάτων θα σας είναι χρήσιμος όχι μόνο κατά την επίλυση σχολικών εργασιών στη γεωμετρία, αλλά και σε καθημερινές και επαγγελματικές δραστηριότητες.

Στη γεωμετρία υπάρχουν συχνά προβλήματα που σχετίζονται με τις πλευρές των τριγώνων. Για παράδειγμα, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθεί μια πλευρά ενός τριγώνου εάν οι άλλες δύο είναι γνωστές.

Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, ισόπλευρα και άνισα. Από όλη την ποικιλία, για το πρώτο παράδειγμα θα επιλέξουμε ένα ορθογώνιο (σε ένα τέτοιο τρίγωνο, μια από τις γωνίες είναι 90°, οι πλευρές που γειτνιάζουν με αυτήν ονομάζονται πόδια και η τρίτη είναι η υποτείνουσα).

Γρήγορη πλοήγηση στο άρθρο

Μήκος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου

Η λύση του προβλήματος προκύπτει από το θεώρημα του μεγάλου μαθηματικού Πυθαγόρα. Λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνησής του: a²+b²=c²

• Βρείτε το τετράγωνο του μήκους του ποδιού a;
• Βρείτε το τετράγωνο του σκέλους b;
• Τα βάζουμε μαζί.
• Από το ληφθέν αποτέλεσμα εξάγουμε τη δεύτερη ρίζα.

Παράδειγμα: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Δηλαδή, το μήκος της υποτείνουσας αυτού του τριγώνου είναι 5.

Αν το τρίγωνο δεν έχει ορθή γωνία, τότε τα μήκη των δύο πλευρών δεν είναι αρκετά. Για αυτό, χρειάζεται μια τρίτη παράμετρος: αυτή μπορεί να είναι μια γωνία, το ύψος του τριγώνου, η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό κ.λπ.

Αν η περίμετρος είναι γνωστή

Σε αυτή την περίπτωση, το έργο είναι ακόμη πιο απλό. Η περίμετρος (P) είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου: P=a+b+c. Έτσι, λύνοντας μια απλή μαθηματική εξίσωση παίρνουμε το αποτέλεσμα.

Παράδειγμα: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Λύνουμε την εξίσωση μετακινώντας όλες τις γνωστές παραμέτρους στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου:

2) Αντικαθιστούμε τις τιμές και υπολογίζουμε την τρίτη πλευρά:

c=18-7-6=5, σύνολο: η τρίτη πλευρά του τριγώνου είναι 5.

Αν η γωνία είναι γνωστή

Για να υπολογίσουμε την τρίτη πλευρά ενός τριγώνου με μια γωνία και δύο άλλες πλευρές, η λύση καταλήγει στον υπολογισμό της τριγωνομετρικής εξίσωσης. Γνωρίζοντας τη σχέση μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και του ημιτόνου της γωνίας, είναι εύκολο να υπολογιστεί η τρίτη πλευρά. Για να γίνει αυτό, πρέπει να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές και να προσθέσετε τα αποτελέσματά τους μαζί. Στη συνέχεια αφαιρέστε από το γινόμενο που προκύπτει το γινόμενο των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της γωνίας: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Αν η περιοχή είναι γνωστή

Σε αυτή την περίπτωση, ένας τύπος δεν θα κάνει.

1) Αρχικά, υπολογίστε το sin γ, εκφράζοντας το από τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Με τον παρακάτω τύπο υπολογίζουμε το συνημίτονο της ίδιας γωνίας:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Και πάλι χρησιμοποιούμε το θεώρημα των ημιτόνων:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε την απάντηση στο πρόβλημα.