Προσθήκη αρνητικών ριζών. Κανόνες για την προσθήκη τετραγωνικών ριζών

15.10.2019

Στα μαθηματικά, οι ρίζες μπορεί να είναι τετράγωνες, κυβικές ή να έχουν οποιονδήποτε άλλο εκθέτη (δύναμη), ο οποίος γράφεται στα αριστερά πάνω από το σύμβολο της ρίζας. Μια έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται ριζική έκφραση. Η προσθήκη ριζών είναι παρόμοια με την προσθήκη όρων μιας αλγεβρικής έκφρασης, δηλαδή απαιτεί ταυτοποίηση παρόμοιων ριζών.

Βήματα

Μέρος 1 από 2: Αναγνώριση ριζών

Ονομασία ριζών.Μια έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας () σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να εξαχθεί η ρίζα ενός ορισμένου βαθμού από αυτήν την έκφραση.

Η ρίζα υποδεικνύεται με ένα σημάδι.
Ο εκθέτης (βαθμός) της ρίζας γράφεται αριστερά πάνω από το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, η κυβική ρίζα του 27 γράφεται ως: (27)
Αν λείπει ο εκθέτης (βαθμός) της ρίζας, τότε ο εκθέτης θεωρείται ίσος με 2, δηλαδή είναι τετραγωνική ρίζα (ή ρίζα του δεύτερου βαθμού).
Ο αριθμός που γράφτηκε πριν από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται πολλαπλασιαστής (δηλαδή, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται με τη ρίζα), για παράδειγμα 5 (2)
Εάν δεν υπάρχει παράγοντας μπροστά από τη ρίζα, τότε είναι ίσος με 1 (υπενθυμίζουμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται με 1 είναι ίσος με τον εαυτό του).
Εάν αυτή είναι η πρώτη φορά που εργάζεστε με ρίζες, σημειώστε τις κατάλληλες σημειώσεις στον πολλαπλασιαστή και τον εκθέτη ρίζας για να αποφύγετε τη σύγχυση και να κατανοήσετε καλύτερα τον σκοπό τους.

Θυμηθείτε ποιες ρίζες μπορούν να διπλωθούν και ποιες όχι.Όπως δεν μπορείτε να προσθέσετε διαφορετικούς όρους μιας έκφρασης, για παράδειγμα, 2a + 2b 4ab, δεν μπορείτε να προσθέσετε διαφορετικές ρίζες.

Δεν μπορείτε να προσθέσετε ρίζες με διαφορετικές ριζικές εκφράσεις, για παράδειγμα, (2) + (3) (5). Αλλά μπορείτε να προσθέσετε αριθμούς κάτω από την ίδια ρίζα, για παράδειγμα, (2 + 3) = (5) (η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι περίπου 1,414, η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι περίπου 1,732 και η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι περίπου 2,236 ).

Δεν μπορείτε να προσθέσετε ρίζες με τις ίδιες ριζικές εκφράσεις, αλλά διαφορετικούς εκθέτες, για παράδειγμα, (64) + (64) (αυτό το άθροισμα δεν είναι ίσο με (64), αφού η τετραγωνική ρίζα του 64 είναι 8, η κυβική ρίζα του 64 είναι 4, 8 + 4 = 12, που είναι πολύ μεγαλύτερο από την πέμπτη ρίζα του 64, που είναι περίπου 2,297).

Μέρος 2 από 2: Απλοποίηση και προσθήκη ριζών

Προσδιορίστε και ομαδοποιήστε παρόμοιες ρίζες.Παρόμοιες ρίζες είναι οι ρίζες που έχουν τους ίδιους δείκτες και τις ίδιες ριζικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, εξετάστε την έκφραση:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Αρχικά, ξαναγράψτε την έκφραση έτσι ώστε οι ρίζες με τον ίδιο δείκτη να βρίσκονται διαδοχικά.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Στη συνέχεια, ξαναγράψτε την παράσταση έτσι ώστε οι ρίζες με τον ίδιο εκθέτη και με την ίδια ριζική έκφραση να βρίσκονται διαδοχικά.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Απλοποιήστε τις ρίζες.Για να γίνει αυτό, αποσυνθέστε (όπου είναι δυνατόν) τις ριζικές εκφράσεις σε δύο παράγοντες, ο ένας από τους οποίους αφαιρείται κάτω από τη ρίζα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός που αφαιρέθηκε και ο ριζικός παράγοντας πολλαπλασιάζονται.

Στο παραπάνω παράδειγμα, συνυπολογίστε τον αριθμό 50 σε 2*25 και τον αριθμό 32 σε 2*16. Από το 25 και το 16 μπορείτε να πάρετε τις τετραγωνικές ρίζες (5 και 4, αντίστοιχα) και να αφαιρέσετε το 5 και το 4 από κάτω από τη ρίζα, πολλαπλασιάζοντάς τες με τους συντελεστές 2 και 1, αντίστοιχα, παίρνετε μια απλοποιημένη έκφραση: 10 (2). + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Ο αριθμός 81 μπορεί να συντελεστεί 3*27 και από τον αριθμό 27 μπορείτε να πάρετε την κυβική ρίζα του 3. Αυτός ο αριθμός 3 μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από τη ρίζα. Έτσι, παίρνετε μια ακόμη πιο απλοποιημένη έκφραση: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Προσθέστε τους παράγοντες παρόμοιων ριζών.Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν παρόμοιες τετραγωνικές ρίζες του 2 (μπορούν να προστεθούν) και παρόμοιες τετραγωνικές ρίζες του 3 (μπορούν επίσης να προστεθούν). Η κυβική ρίζα του 3 δεν έχει τέτοιες ρίζες.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Τελική απλοποιημένη έκφραση: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Δεν υπάρχουν γενικά αποδεκτοί κανόνες για τη σειρά με την οποία γράφονται οι ρίζες σε μια έκφραση. Επομένως, μπορείτε να γράψετε ρίζες σε αύξουσα σειρά των δεικτών τους και σε αύξουσα σειρά ριζικών εκφράσεων.

Προσοχή, ΜΟΝΟ ΣΗΜΕΡΑ!

Όλα ενδιαφέροντα

Ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας συχνά παρεμβαίνει στην επίλυση της εξίσωσης και δεν είναι βολικό να εργαστείτε μαζί του. Ακόμα κι αν ανυψωθεί σε μια δύναμη, κλασματική ή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακέραιος αριθμός σε μια συγκεκριμένη δύναμη, μπορείτε να προσπαθήσετε να την αντλήσετε από...

Ρίζα ενός αριθμού x είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται στη δύναμη της ρίζας, είναι ίσος με x. Πολλαπλασιαστής είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται. Δηλαδή, σε μια έκφραση της μορφής x*ª-&radic-y πρέπει να βάλετε το x κάτω από τη ρίζα. Οδηγίες 1 Προσδιορίστε το βαθμό...

Εάν μια ριζική έκφραση περιέχει ένα σύνολο μαθηματικών πράξεων με μεταβλητές, τότε μερικές φορές ως αποτέλεσμα της απλοποίησής της είναι δυνατόν να ληφθεί μια σχετικά απλή τιμή, μέρος της οποίας μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από τη ρίζα. Αυτή η απλοποίηση μπορεί να είναι χρήσιμη...

Οι αριθμητικές πράξεις με ρίζες διαφόρων βαθμών μπορούν να απλοποιήσουν σημαντικά τους υπολογισμούς στη φυσική και την τεχνολογία και να τους κάνουν πιο ακριβείς. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, είναι πιο βολικό να μην εξαγάγετε τη ρίζα κάθε παράγοντα ή μερίσματος και διαιρέτη, αλλά πρώτα...

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x είναι ένας αριθμός a, ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον εαυτό του δίνει τον αριθμό x: a * a = a^2 = x, x = a. Όπως με κάθε αριθμό, μπορείτε να εκτελέσετε τις αριθμητικές πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης με τετραγωνικές ρίζες. Οδηγίες...

Μια ρίζα στα μαθηματικά μπορεί να έχει δύο έννοιες: είναι μια αριθμητική πράξη και καθεμία από τις λύσεις μιας εξίσωσης, αλγεβρική, παραμετρική, διαφορική ή οποιαδήποτε άλλη. Οδηγίες 1Η nη ρίζα του a είναι ένας αριθμός τέτοιος ώστε...

Όταν εκτελούνται διάφορες αριθμητικές πράξεις με ρίζες, η ικανότητα μετατροπής ριζικών εκφράσεων είναι συχνά απαραίτητη. Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, ίσως χρειαστεί να μετακινήσετε τον πολλαπλασιαστή εκτός του ριζικού πρόσημου ή να τον προσθέσετε κάτω από αυτό. Αυτή η ενέργεια μπορεί να...

Η ρίζα είναι ένα εικονίδιο που υποδηλώνει τη μαθηματική πράξη εύρεσης ενός αριθμού, η αύξηση του οποίου στην ισχύ που υποδεικνύεται μπροστά από το σύμβολο της ρίζας θα πρέπει να δίνει τον αριθμό που υποδεικνύεται κάτω από αυτό ακριβώς το σύμβολο. Συχνά, για την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν...

Το πρόσημο της ρίζας στις μαθηματικές επιστήμες ονομάζεται σύμβολογια τις ρίζες. Ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται ριζική έκφραση. Αν δεν υπάρχει εκθέτης, η ρίζα είναι τετραγωνική ρίζα, διαφορετικά το ψηφίο δείχνει...

Αριθμητική ρίζα ου βαθμούαπό έναν πραγματικό αριθμό α το αποκαλούν αυτό όχι αρνητικός αριθμόςΧ, ου βαθμούπου ισούται με τον αριθμό α. Εκείνοι. (n) a = x, x^n = a. Υπάρχει διάφορους τρόπουςπροσθέτοντας μια αριθμητική ρίζα και έναν ρητό αριθμό...

Η ν η ρίζα ενός πραγματικού αριθμού a είναι ένας αριθμός b για τον οποίο ισχύει η ισότητα b^n = a. Οι περιττές ρίζες υπάρχουν για αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, αλλά ζυγές ρίζες υπάρχουν μόνο για θετικούς αριθμούς.…

Γεγονός 1.
$\bullet$ Ας πάρουμε έναν μη αρνητικό αριθμό $a$ (δηλαδή $a\geqslant 0$ ). Στη συνέχεια (αριθμητική) τετραγωνική ρίζααπό τον αριθμό $a$ ονομάζεται ένας τέτοιος μη αρνητικός αριθμός $b$ , όταν στο τετράγωνο παίρνουμε τον αριθμό $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(ίδιο με )\quad a=b^2\]Από τον ορισμό προκύπτει ότι $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Αυτοί οι περιορισμοί είναι σημαντική προϋπόθεσηύπαρξη τετραγωνική ρίζακαι πρέπει να τα θυμόμαστε!
Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός όταν τετραγωνιστεί δίνει ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα. Δηλαδή, $100^2=10000\geqslant 0$ και $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Με τι ισούται το $\sqrt(25)$; Γνωρίζουμε ότι $5^2=25$ και $(-5)^2=25$ . Εφόσον εξ ορισμού πρέπει να βρούμε έναν μη αρνητικό αριθμό, τότε το $-5$ δεν είναι κατάλληλο, επομένως, $\sqrt(25)=5$ (αφού $25=5^2$ ).
Η εύρεση της τιμής του $\sqrt a$ ονομάζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του αριθμού $a$ , και ο αριθμός $a$ ονομάζεται ριζική έκφραση.
$\bullet$ Με βάση τον ορισμό, την έκφραση $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$, κ.λπ. δεν έχει νόημα.

Γεγονός 2.
Για γρήγορους υπολογισμούς θα είναι χρήσιμο να μάθετε τον πίνακα των τετραγώνων φυσικούς αριθμούςαπό $1$ έως $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(πίνακας)\]

Γεγονός 3.
Τι πράξεις μπορείτε να κάνετε με τις τετραγωνικές ρίζες;
$\σφαίρα$ Άθροισμα ή διαφορά τετραγωνικές ρίζεςΔΕΝ ΙΣΟ με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος ή της διαφοράς, δηλαδή \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Έτσι, εάν πρέπει να υπολογίσετε, για παράδειγμα, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , τότε αρχικά πρέπει να βρείτε τις τιμές των $\sqrt(25)$ και $\ sqrt(49)\ ) και μετά διπλώστε τα. Ως εκ τούτου, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Εάν οι τιμές \(\sqrt a$ ή $\sqrt b$ δεν μπορούν να βρεθούν κατά την προσθήκη του $\sqrt a+\sqrt b$, τότε μια τέτοια έκφραση δεν μετασχηματίζεται περαιτέρω και παραμένει ως έχει. Για παράδειγμα, στο άθροισμα $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ μπορούμε να βρούμε ότι το $\sqrt(49)$ είναι $7$ , αλλά το $\sqrt 2$ δεν μπορεί να μετατραπεί σε ούτως ή άλλως, γι' αυτό $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Δυστυχώς, αυτή η έκφραση δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω$\bullet$ Το γινόμενο/πηλίκο των τετραγωνικών ριζών είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου/πηλίκου, δηλαδή \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (υπό τον όρο ότι και οι δύο πλευρές των ισοτήτων έχουν νόημα)
Παράδειγμα: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, είναι βολικό να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του μεγάλοι αριθμοίπαραγοντοποιώντας τα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας βρούμε $\sqrt(44100)$ . Αφού $44100:100=441$ , τότε $44100=100\cdot 441$ . Σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, ο αριθμός $441$ διαιρείται με το $9$ (καθώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 και διαιρείται με το 9), επομένως, $441:9=49$, δηλαδή $441=9\ cdot 49$ .
Έτσι πήραμε: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Ας δείξουμε πώς να εισάγετε αριθμούς κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της έκφρασης $5\sqrt2$ (σύντομη σημειογραφία για την έκφραση $5\cdot \sqrt2$). Αφού $5=\sqrt(25)$ , τότε \ Σημειώστε επίσης ότι, για παράδειγμα,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Γιατί αυτό; Ας εξηγήσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 1). Όπως ήδη καταλαβαίνετε, δεν μπορούμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε τον αριθμό $\sqrt2$. Ας φανταστούμε ότι το $\sqrt2$ είναι κάποιος αριθμός $a$ . Αντίστοιχα, η έκφραση $\sqrt2+3\sqrt2$ δεν είναι τίποτα περισσότερο από $a+3a$ (ένας αριθμός $a$ συν τρεις ακόμη από τους ίδιους αριθμούς $a$). Και ξέρουμε ότι αυτό ισούται με τέσσερις τέτοιους αριθμούς $a$ , δηλαδή $4\sqrt2$ .

Γεγονός 4.
$\bullet$ Συχνά λένε "δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα" όταν δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο $\sqrt () \$ της ρίζας (ριζικό) όταν βρίσκετε την τιμή ενός αριθμού . Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τη ρίζα του αριθμού $16$ επειδή $16=4^2$ , επομένως $\sqrt(16)=4$ . Αλλά είναι αδύνατο να εξαγάγετε τη ρίζα του αριθμού $3$, δηλαδή να βρείτε το $\sqrt3$, επειδή δεν υπάρχει αριθμός που στο τετράγωνο θα δώσει $3$ .
Τέτοιοι αριθμοί (ή εκφράσεις με τέτοιους αριθμούς) είναι παράλογοι. Για παράδειγμα, αριθμοί $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$και ούτω καθεξής. είναι παράλογες.
Επίσης παράλογοι είναι οι αριθμοί $\pi$ (ο αριθμός "pi", περίπου ίσος με $3,14$), $e$ (αυτός ο αριθμός ονομάζεται αριθμός Euler, είναι περίπου ίσος με $2,7 $) και τα λοιπά.
$\bullet$ Λάβετε υπόψη ότι οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι είτε λογικός είτε παράλογος. Και όλοι μαζί όλοι οι ορθολογικοί και όλοι οι παράλογοι αριθμοί σχηματίζουν ένα σύνολο που ονομάζεται σύνολο πραγματικών αριθμών.Αυτό το σύνολο συμβολίζεται με το γράμμα $\mathbb(R)$ .
Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε σήμερα ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί.

Γεγονός 5.
$\bullet$ Το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός $|a|$ ίσος με την απόσταση από το σημείο $a$ έως $0$ στο πραγματική γραμμή. Για παράδειγμα, τα $|3|$ και $|-3|$ είναι ίσα με 3, καθώς οι αποστάσεις από τα σημεία $3$ και $-3$ έως $0$ είναι οι ίδιο και ίσο με $3 $ .
$\bullet$ Εάν ο $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε $|a|=a$ .
Παράδειγμα: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Εάν ο $a$ είναι αρνητικός αριθμός, τότε $|a|=-a$ .
Παράδειγμα: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Λένε ότι για τους αρνητικούς αριθμούς το μέτρο «τρώει» το μείον, ενώ οι θετικοί αριθμοί, όπως και ο αριθμός $0$, παραμένουν αμετάβλητοι από το συντελεστή.
ΑΛΛΑΑυτός ο κανόνας ισχύει μόνο για αριθμούς. Εάν κάτω από το σύμβολο συντελεστή σας υπάρχει ένα άγνωστο $x$ (ή κάποιο άλλο άγνωστο), για παράδειγμα, $|x|$ , για το οποίο δεν γνωρίζουμε αν είναι θετικό, μηδέν ή αρνητικό, τότε ξεφορτωθείτε του συντελεστή δεν μπορούμε. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η έκφραση παραμένει η ίδια: $|x|$ . $\bullet$ Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( παρέχεται ) a\geqslant 0\]Πολύ συχνά γίνεται το εξής λάθος: λένε ότι τα $\sqrt(a^2)$ και $(\sqrt a)^2$ είναι το ίδιο πράγμα. Αυτό ισχύει μόνο εάν το $a$ είναι θετικός αριθμός ή μηδέν. Αλλά αν το $a$ είναι αρνητικός αριθμός, τότε αυτό είναι λάθος. Αρκεί να εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα. Ας πάρουμε αντί για $a$ τον αριθμό $-1$ . Τότε $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , αλλά η έκφραση $(\sqrt (-1))^2$ δεν υπάρχει καθόλου (εξάλλου, είναι αδύνατο να χρησιμοποιήσετε το ριζικό σύμβολο βάλτε αρνητικούς αριθμούς!).
Επομένως, εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι το $\sqrt(a^2)$ δεν είναι ίσο με $(\sqrt a)^2$ !Παράδειγμα: 1) $\sqrt(\αριστερά(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, επειδή $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Αφού $\sqrt(a^2)=|a|$ , τότε \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (η έκφραση $2n$ υποδηλώνει ζυγό αριθμό)
Δηλαδή, κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού που είναι σε κάποιο βαθμό, αυτός ο βαθμός μειώνεται στο μισό.
Παράδειγμα:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (σημειώστε ότι εάν η μονάδα δεν παρέχεται, αποδεικνύεται ότι η ρίζα του αριθμού είναι ίση με $-25\ ) αλλά θυμόμαστε ότι εξ ορισμού ρίζας αυτό δεν μπορεί να συμβεί: κατά την εξαγωγή μιας ρίζας, θα πρέπει πάντα να παίρνουμε έναν θετικό αριθμό ή μηδέν)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (καθώς οποιοσδήποτε αριθμός σε άρτια δύναμη είναι μη αρνητικός)

Γεγονός 6.
Πώς να συγκρίνετε δύο τετραγωνικές ρίζες;
$\bullet$ Για τις τετραγωνικές ρίζες ισχύει: αν $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aΠαράδειγμα:
1) συγκρίνετε τα \(\sqrt(50)$ και $6\sqrt2$ . Αρχικά, ας μετατρέψουμε τη δεύτερη έκφραση σε $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Έτσι, αφού $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Ανάμεσα σε ποιους ακεραίους βρίσκεται ο $\sqrt(50)$;
Αφού $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ και $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Ας συγκρίνουμε τα $\sqrt 2-1$ και $0,5$ . Ας υποθέσουμε ότι $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((προσθήκη ενός και στις δύο πλευρές))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((τετράγωνο και στις δύο πλευρές))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(στοίχιση)\]Βλέπουμε ότι έχουμε λάβει μια λανθασμένη ανισότητα. Επομένως, η υπόθεσή μας ήταν εσφαλμένη και $\sqrt 2-1<0,5$ .
Σημειώστε ότι η προσθήκη ενός συγκεκριμένου αριθμού και στις δύο πλευρές της ανισότητας δεν επηρεάζει το πρόσημο της. Ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο πλευρών μιας ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό επίσης δεν επηρεάζει το πρόσημο της, αλλά ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει το πρόσημο της ανίσωσης!
Μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης/ανίσωσης ΜΟΝΟ ΑΝ και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές. Για παράδειγμα, στην ανισότητα από το προηγούμενο παράδειγμα μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές, στην ανισότητα $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι \[\αρχή(ευθυγραμμισμένη) &\sqrt 2\περίπου 1,4\\ &\sqrt 3\περίπου 1,7 \end(στοιχισμένη)\]Γνωρίζοντας την κατά προσέγγιση σημασία αυτών των αριθμών θα σας βοηθήσει όταν συγκρίνετε αριθμούς! $\bullet$ Για να εξαγάγετε τη ρίζα (αν μπορεί να εξαχθεί) από κάποιο μεγάλο αριθμό που δεν βρίσκεται στον πίνακα των τετραγώνων, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε ανάμεσα σε ποιες "εκατοντάδες" βρίσκεται και μετά - μεταξύ ποιων " δεκάδες» και, στη συνέχεια, προσδιορίστε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού. Ας δείξουμε πώς λειτουργεί αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας πάρουμε $\sqrt(28224)$ . Γνωρίζουμε ότι $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$, κ.λπ. Σημειώστε ότι το $28224$ είναι μεταξύ $10\.000$ και $40\.000$ . Επομένως, το $\sqrt(28224)$ είναι μεταξύ $100$ και $200$ .
Τώρα ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες «δεκάδες» βρίσκεται ο αριθμός μας (δηλαδή, για παράδειγμα, μεταξύ $120$ και $130$). Επίσης από τον πίνακα των τετραγώνων γνωρίζουμε ότι $11^2=121$ , $12^2=144$ κ.λπ., τότε $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . Βλέπουμε λοιπόν ότι το \(28224$ είναι μεταξύ $160^2$ και $170^2$ . Επομένως, ο αριθμός $\sqrt(28224)$ είναι μεταξύ $160$ και $170$ .
Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το τελευταίο ψηφίο. Ας θυμηθούμε ποιους μονοψήφιους αριθμούς, όταν τετραγωνιστούν, δίνουν $4$ στο τέλος; Αυτά είναι τα $2^2$ και $8^2$ . Επομένως, το $\sqrt(28224)$ θα τελειώνει είτε σε 2 είτε σε 8. Ας το ελέγξουμε αυτό. Ας βρούμε τα $162^2$ και $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Επομένως, $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Για να λύσετε επαρκώς την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, πρέπει πρώτα να μελετήσετε θεωρητικό υλικό, το οποίο σας εισάγει σε πολλά θεωρήματα, τύπους, αλγόριθμους κ.λπ. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι αρκετά απλό. Ωστόσο, η εύρεση μιας πηγής στην οποία η θεωρία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά παρουσιάζεται με εύκολο και κατανοητό τρόπο για μαθητές με οποιοδήποτε επίπεδο κατάρτισης είναι στην πραγματικότητα ένα αρκετά δύσκολο έργο. Τα σχολικά εγχειρίδια δεν μπορούν να είναι πάντα διαθέσιμα. Και η εύρεση βασικών τύπων για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά μπορεί να είναι δύσκολη ακόμη και στο Διαδίκτυο.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό να σπουδάζουν θεωρία στα μαθηματικά όχι μόνο για όσους δίνουν τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους;

Γιατί διευρύνει τους ορίζοντές σου. Η μελέτη θεωρητικού υλικού στα μαθηματικά είναι χρήσιμη για όποιον θέλει να πάρει απαντήσεις σε ένα ευρύ φάσμα ερωτήσεων που σχετίζονται με τη γνώση του κόσμου γύρω του. Όλα στη φύση είναι διατεταγμένα και έχουν ξεκάθαρη λογική. Αυτό ακριβώς αντικατοπτρίζεται στην επιστήμη, μέσω της οποίας είναι δυνατή η κατανόηση του κόσμου.
Γιατί αναπτύσσει τη νοημοσύνη. Μελετώντας τα υλικά αναφοράς για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, καθώς και την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, ένα άτομο μαθαίνει να σκέφτεται και να συλλογίζεται λογικά, να διατυπώνει τις σκέψεις με ικανότητα και σαφήνεια. Αναπτύσσει την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και εξαγωγής συμπερασμάτων.

Σας προσκαλούμε να αξιολογήσετε προσωπικά όλα τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας στη συστηματοποίηση και παρουσίαση εκπαιδευτικού υλικού.

Χαιρετίσματα, γάτες! Την τελευταία φορά συζητήσαμε λεπτομερώς τι είναι οι ρίζες (αν δεν θυμάστε, προτείνω να το διαβάσετε). Το κύριο στοιχείο από αυτό το μάθημα: υπάρχει μόνο ένας καθολικός ορισμός των ριζών, που είναι αυτό που πρέπει να γνωρίζετε. Τα υπόλοιπα είναι ανοησίες και χάσιμο χρόνου.

Σήμερα πάμε παρακάτω. Θα μάθουμε να πολλαπλασιάζουμε ρίζες, θα μελετήσουμε κάποια προβλήματα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό (αν δεν λυθούν αυτά τα προβλήματα μπορεί να γίνουν μοιραία στις εξετάσεις) και θα εξασκηθούμε σωστά. Προμηθευτείτε λοιπόν ποπ κορν, νιώστε άνετα και ας ξεκινήσουμε.

Ούτε εσύ δεν το έχεις καπνίσει ακόμα, έτσι δεν είναι;

Το μάθημα αποδείχθηκε αρκετά μεγάλο, οπότε το χώρισα σε δύο μέρη:

Αρχικά θα δούμε τους κανόνες του πολλαπλασιασμού. Το Cap φαίνεται να υπαινίσσεται: αυτό συμβαίνει όταν υπάρχουν δύο ρίζες, μεταξύ τους υπάρχει ένα σημάδι "πολλαπλασιασμού" - και θέλουμε να κάνουμε κάτι με αυτό.
Τότε ας δούμε την αντίθετη κατάσταση: υπάρχει μια μεγάλη ρίζα, αλλά ήμασταν πρόθυμοι να την αναπαραστήσουμε ως προϊόν δύο απλούστερων ριζών. Γιατί είναι απαραίτητο αυτό, είναι ένα ξεχωριστό ερώτημα. Θα αναλύσουμε μόνο τον αλγόριθμο.

Για όσους ανυπομονούν να περάσουν αμέσως στο δεύτερο μέρος, είστε ευπρόσδεκτοι. Ας ξεκινήσουμε με τα υπόλοιπα με τη σειρά.

Βασικός κανόνας πολλαπλασιασμού

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα - τις κλασικές τετραγωνικές ρίζες. Τα ίδια που συμβολίζονται με $\sqrt(a)$ και $\sqrt(b)$. Όλα είναι προφανή για αυτούς:

Κανόνας πολλαπλασιασμού. Για να πολλαπλασιάσετε μια τετραγωνική ρίζα με μια άλλη, απλώς πολλαπλασιάζετε τις ριζικές εκφράσεις τους και γράφετε το αποτέλεσμα κάτω από την κοινή ρίζα:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Δεν επιβάλλονται πρόσθετοι περιορισμοί στους αριθμούς δεξιά ή αριστερά: εάν υπάρχουν οι ριζικοί παράγοντες, τότε υπάρχει και το προϊόν.

Παραδείγματα. Ας δούμε τέσσερα παραδείγματα με αριθμούς ταυτόχρονα:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο νόημα αυτού του κανόνα είναι η απλοποίηση των παράλογων εκφράσεων. Και αν στο πρώτο παράδειγμα εμείς οι ίδιοι θα είχαμε εξαγάγει τις ρίζες του 25 και του 4 χωρίς νέους κανόνες, τότε τα πράγματα γίνονται δύσκολα: τα $\sqrt(32)$ και τα $\sqrt(2)$ δεν θεωρούνται από μόνα τους, αλλά Το γινόμενο τους αποδεικνύεται τέλειο τετράγωνο, επομένως η ρίζα του είναι ίση με έναν ρητό αριθμό.

Θα ήθελα ιδιαίτερα να επισημάνω την τελευταία γραμμή. Εκεί, και οι δύο ριζικές εκφράσεις είναι κλάσματα. Χάρη στο προϊόν, πολλοί παράγοντες ακυρώνονται και ολόκληρη η έκφραση μετατρέπεται σε επαρκή αριθμό.

Φυσικά, τα πράγματα δεν θα είναι πάντα τόσο όμορφα. Μερικές φορές θα υπάρχει ένα πλήρες χάος κάτω από τις ρίζες - δεν είναι σαφές τι να κάνετε με αυτό και πώς να το μεταμορφώσετε μετά τον πολλαπλασιασμό. Λίγο αργότερα, όταν αρχίσετε να μελετάτε τις παράλογες εξισώσεις και ανισότητες, θα υπάρχουν κάθε λογής μεταβλητές και συναρτήσεις. Και πολύ συχνά, οι συγγραφείς προβλημάτων βασίζονται στο γεγονός ότι θα ανακαλύψετε ορισμένους όρους ή παράγοντες ακύρωσης, μετά τους οποίους το πρόβλημα θα απλοποιηθεί πολλές φορές.

Επιπλέον, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν ακριβώς δύο ρίζες. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τρία, τέσσερα ή και δέκα ταυτόχρονα! Αυτό δεν θα αλλάξει τον κανόνα. Ρίξε μια ματιά:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(στοίχιση)\]

Και πάλι μια μικρή σημείωση για το δεύτερο παράδειγμα. Όπως μπορείτε να δείτε, στον τρίτο παράγοντα κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα δεκαδικό κλάσμα - στη διαδικασία των υπολογισμών το αντικαθιστούμε με ένα κανονικό, μετά από το οποίο όλα μειώνονται εύκολα. Έτσι: Συνιστώ ανεπιφύλακτα να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα σε οποιεσδήποτε παράλογες εκφράσεις (δηλαδή που περιέχουν τουλάχιστον ένα ριζικό σύμβολο). Αυτό θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και νεύρα στο μέλλον.

Αλλά αυτό ήταν μια λυρική παρέκβαση. Ας εξετάσουμε τώρα μια πιο γενική περίπτωση - όταν ο ριζικός εκθέτης περιέχει έναν αυθαίρετο αριθμό $n$, και όχι μόνο τον "κλασικό" δύο.

Η περίπτωση ενός αυθαίρετου δείκτη

Λοιπόν, τακτοποιήσαμε τις τετραγωνικές ρίζες. Τι να κάνουμε με τα κυβικά; Ή ακόμα και με ρίζες αυθαίρετου βαθμού $n$; Ναι, όλα είναι ίδια. Ο κανόνας παραμένει ο ίδιος:

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρίζες βαθμού $n$, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις ριζικές εκφράσεις τους και μετά να γράψουμε το αποτέλεσμα κάτω από μία ρίζα.

Γενικά, τίποτα περίπλοκο. Εκτός από το ότι το ποσό των υπολογισμών μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παραδείγματα. Υπολογισμός προϊόντων:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(στοίχιση)\]

Και πάλι προσοχή στη δεύτερη έκφραση. Πολλαπλασιάζουμε τις κυβικές ρίζες, απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα και καταλήγουμε στον παρονομαστή να είναι το γινόμενο των αριθμών 625 και 25. Αυτός είναι πολύ μεγάλος αριθμός - προσωπικά, προσωπικά, δεν μπορώ να καταλάβω τι ισούται από την κορυφή του κεφαλιού μου.

Επομένως, απλώς απομονώσαμε τον ακριβή κύβο στον αριθμητή και στον παρονομαστή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήσαμε μία από τις βασικές ιδιότητες (ή, αν προτιμάτε, ορισμό) της $n$th ρίζας:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\σωστά|. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέτοιες «μηχανουργίες» μπορούν να σας εξοικονομήσουν πολύ χρόνο σε μια εξέταση ή μια δοκιμασία, οπότε θυμηθείτε:

Μην βιαστείτε να πολλαπλασιάσετε αριθμούς χρησιμοποιώντας ριζικές εκφράσεις. Πρώτα, ελέγξτε: τι γίνεται αν ο ακριβής βαθμός οποιασδήποτε έκφρασης είναι "κρυπτογραφημένος" εκεί;

Παρά το προφανές αυτής της παρατήρησης, οφείλω να ομολογήσω ότι οι περισσότεροι απροετοίμαστοι μαθητές δεν βλέπουν τους ακριβείς βαθμούς σε εύρος κενού σημείου. Αντίθετα, πολλαπλασιάζουν τα πάντα και μετά αναρωτιούνται: γιατί πήραν τόσο βάναυσους αριθμούς;

Ωστόσο, όλα αυτά είναι κουβέντα μωρού σε σύγκριση με αυτά που θα μελετήσουμε τώρα.

Πολλαπλασιασμός ριζών με διαφορετικούς εκθέτες

Εντάξει, τώρα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες με τους ίδιους δείκτες. Τι γίνεται αν οι δείκτες είναι διαφορετικοί; Ας πούμε, πώς να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο $\sqrt(2)$ με κάποια χάλια όπως $\sqrt(23)$; Είναι ακόμη δυνατό να γίνει αυτό;

Ναι φυσικά μπορείς. Όλα γίνονται σύμφωνα με αυτόν τον τύπο:

Κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Για να πολλαπλασιάσουμε το $\sqrt[n](a)$ με το $\sqrt[p](b)$, αρκεί να εκτελέσουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ωστόσο, αυτός ο τύπος λειτουργεί μόνο εάν Οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική σημείωση στην οποία θα επανέλθουμε λίγο αργότερα.

Προς το παρόν, ας δούμε μερικά παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Τώρα ας καταλάβουμε από πού προήλθε η απαίτηση μη αρνητικότητας και τι θα συμβεί αν την παραβιάσουμε.

Ο πολλαπλασιασμός των ριζών είναι εύκολος

Γιατί οι ριζοσπαστικές εκφράσεις πρέπει να είναι μη αρνητικές;

Φυσικά, μπορείτε να είστε σαν δάσκαλοι του σχολείου και να αναφέρετε το σχολικό βιβλίο με μια έξυπνη ματιά:

Η απαίτηση της μη αρνητικότητας σχετίζεται με διαφορετικούς ορισμούς ριζών ζυγών και περιττών βαθμών (ανάλογα, οι τομείς ορισμού τους είναι επίσης διαφορετικοί).

Λοιπόν, έγινε πιο ξεκάθαρο; Προσωπικά, όταν διάβασα αυτή τη βλακεία στην 8η δημοτικού, κατάλαβα κάτι σαν το εξής: «Η απαίτηση της μη αρνητικότητας συνδέεται με το *#&^@(*#@^#)~%» - εν ολίγοις, το έκανα Δεν καταλαβαίνω τίποτα εκείνη τη στιγμή.

Τώρα λοιπόν θα εξηγήσω τα πάντα με κανονικό τρόπο.

Αρχικά, ας μάθουμε από πού προέρχεται ο παραπάνω τύπος πολλαπλασιασμού. Για να το κάνετε αυτό, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω μια σημαντική ιδιότητα της ρίζας:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Με άλλα λόγια, μπορούμε εύκολα να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη $k$ - σε αυτήν την περίπτωση, ο εκθέτης της ρίζας θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την ίδια ισχύ. Επομένως, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε οποιεσδήποτε ρίζες σε έναν κοινό εκθέτη και στη συνέχεια να τις πολλαπλασιάσουμε. Από εδώ προέρχεται ο τύπος πολλαπλασιασμού:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα που περιορίζει δραστικά τη χρήση όλων αυτών των τύπων. Σκεφτείτε αυτόν τον αριθμό:

Σύμφωνα με τον τύπο που μόλις δόθηκε, μπορούμε να προσθέσουμε οποιοδήποτε βαθμό. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Αφαιρέσαμε το μείον ακριβώς γιατί το τετράγωνο καίει το μείον (όπως κάθε άλλο ζυγό βαθμό). Τώρα ας εκτελέσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό: «μειώστε» τα δύο στον εκθέτη και την ισχύ. Μετά από όλα, οποιαδήποτε ισότητα μπορεί να διαβαστεί τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ένα); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά μετά αποδεικνύεται ότι είναι κάποιο είδος χάλια:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Αυτό δεν μπορεί να συμβεί, γιατί $\sqrt(-5) \lt 0$ και $\sqrt(5) \gt 0$. Αυτό σημαίνει ότι για ζυγές δυνάμεις και αρνητικούς αριθμούς ο τύπος μας δεν λειτουργεί πλέον. Μετά από αυτό έχουμε δύο επιλογές:

Να χτυπήσει τον τοίχο και να δηλώσει ότι τα μαθηματικά είναι μια ηλίθια επιστήμη, όπου «υπάρχουν κάποιοι κανόνες, αλλά αυτοί είναι ανακριβείς».
Εισαγάγετε πρόσθετους περιορισμούς βάσει των οποίων η φόρμουλα θα λειτουργεί 100%.

Στην πρώτη επιλογή, θα πρέπει να πιάνουμε συνεχώς περιπτώσεις "μη λειτουργικές" - είναι δύσκολο, χρονοβόρο και γενικά ουφ. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί προτίμησαν τη δεύτερη επιλογή.

Αλλά μην ανησυχείτε! Στην πράξη, αυτός ο περιορισμός δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο τους υπολογισμούς, επειδή όλα τα προβλήματα που περιγράφονται αφορούν μόνο ρίζες περιττού βαθμού και τα μείον μπορούν να ληφθούν από αυτά.

Επομένως, ας διατυπώσουμε έναν ακόμη κανόνα, ο οποίος ισχύει γενικά για όλες τις ενέργειες με ρίζες:

Πριν πολλαπλασιάσετε τις ρίζες, βεβαιωθείτε ότι οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές.

Παράδειγμα. Στον αριθμό $\sqrt(-5)$ μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας - τότε όλα θα είναι κανονικά:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Right arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(στοίχιση)\]

Νιώθεις τη διαφορά; Εάν αφήσετε ένα μείον κάτω από τη ρίζα, τότε όταν η ριζική έκφραση τετραγωνιστεί, θα εξαφανιστεί και θα αρχίσουν τα χάλια. Και αν πρώτα αφαιρέσετε το μείον, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε/αφαιρέσετε μέχρι να γίνετε μπλε στο πρόσωπο - ο αριθμός θα παραμείνει αρνητικός.

Έτσι, ο πιο σωστός και πιο αξιόπιστος τρόπος πολλαπλασιασμού των ριζών είναι ο εξής:

Αφαιρέστε όλα τα αρνητικά από τις ρίζες. Τα μειονεκτήματα υπάρχουν μόνο σε ρίζες περιττής πολλαπλότητας - μπορούν να τοποθετηθούν μπροστά από τη ρίζα και, εάν είναι απαραίτητο, να μειωθούν (για παράδειγμα, εάν υπάρχουν δύο από αυτά τα μείον).
Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω στο σημερινό μάθημα. Αν οι δείκτες των ριζών είναι ίδιοι, απλώς πολλαπλασιάζουμε τις ριζικές εκφράσεις. Και αν είναι διαφορετικά, χρησιμοποιούμε τον κακό τύπο \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3.Απολαύστε το αποτέλεσμα και τους καλούς βαθμούς.:)

Καλά; Να ασκηθούμε;

Παράδειγμα 1: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή: οι ρίζες είναι ίδιες και περίεργες, το μόνο πρόβλημα είναι ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι αρνητικός. Αφαιρούμε αυτό το μείον από την εικόνα, μετά το οποίο υπολογίζονται εύκολα όλα.

Παράδειγμα 2: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \δεξιά))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ευθυγραμμίζω)\]

Εδώ, πολλοί θα μπερδεύονταν από το γεγονός ότι η έξοδος αποδείχθηκε ότι ήταν ένας παράλογος αριθμός. Ναι, συμβαίνει: δεν μπορέσαμε να απαλλαγούμε εντελώς από τη ρίζα, αλλά τουλάχιστον απλοποιήσαμε σημαντικά την έκφραση.

Παράδειγμα 3: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \δεξιά))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(στοίχιση)\]

Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε αυτό το έργο. Υπάρχουν δύο σημεία εδώ:

Η ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός ή δύναμη, αλλά η μεταβλητή $a$. Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο, αλλά στην πραγματικότητα, κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, τις περισσότερες φορές πρέπει να αντιμετωπίσετε μεταβλητές.
Στο τέλος, καταφέραμε να «μειώσουμε» τον ριζικό δείκτη και το βαθμό στη ριζική έκφραση. Αυτό συμβαίνει αρκετά συχνά. Και αυτό σημαίνει ότι ήταν δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί εάν δεν χρησιμοποιούσατε τον βασικό τύπο.

Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να κάνετε αυτό:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \δεξιά))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(στοίχιση)\]

Στην πραγματικότητα, όλοι οι μετασχηματισμοί έγιναν μόνο με τη δεύτερη ρίζα. Και αν δεν περιγράψετε λεπτομερώς όλα τα ενδιάμεσα βήματα, τότε στο τέλος το ποσό των υπολογισμών θα μειωθεί σημαντικά.

Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη αντιμετωπίσει μια παρόμοια εργασία παραπάνω όταν λύσαμε το παράδειγμα $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Τώρα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο απλά:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, έχουμε τακτοποιήσει τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Τώρα ας εξετάσουμε την αντίστροφη λειτουργία: τι να κάνετε όταν υπάρχει ένα προϊόν κάτω από τη ρίζα;

Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού Χκαλούμενος αριθμός ΕΝΑ, το οποίο στη διαδικασία πολλαπλασιασμού από μόνο του ( Α*Α) μπορεί να δώσει έναν αριθμό Χ.
Εκείνοι. A * A = A 2 = X, Και √X = A.

πάνω από τις τετραγωνικές ρίζες ( √x), όπως και άλλοι αριθμοί, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις όπως αφαίρεση και πρόσθεση. Για να αφαιρέσετε και να προσθέσετε ρίζες, πρέπει να συνδεθούν χρησιμοποιώντας σημάδια που αντιστοιχούν σε αυτές τις ενέργειες (για παράδειγμα √x - √ y ).
Και στη συνέχεια φέρτε τις ρίζες στην απλούστερη μορφή τους - εάν υπάρχουν παρόμοιες μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση. Συνίσταται στη λήψη των συντελεστών παρόμοιων όρων με τα πρόσημα των αντίστοιχων όρων, στη συνέχεια τοποθέτησή τους σε αγκύλες και εξαγωγή της κοινής ρίζας έξω από τις αγκύλες του παράγοντα. Ο συντελεστής που λάβαμε είναι απλοποιημένος σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.

Βήμα 1: Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών

Πρώτον, για να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες, πρέπει πρώτα να εξαγάγετε αυτές τις ρίζες. Αυτό μπορεί να γίνει εάν οι αριθμοί κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι τέλεια τετράγωνα. Για παράδειγμα, πάρτε τη δεδομένη έκφραση √4 + √9 . Πρώτος αριθμός 4 είναι το τετράγωνο του αριθμού 2 . Δεύτερος αριθμός 9 είναι το τετράγωνο του αριθμού 3 . Έτσι, μπορούμε να λάβουμε την ακόλουθη ισότητα: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Αυτό ήταν, το παράδειγμα λύθηκε. Αλλά δεν συμβαίνει πάντα τόσο εύκολα.

Βήμα 2. Εξαγωγή του πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από τη ρίζα

Εάν δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, μπορείτε να προσπαθήσετε να αφαιρέσετε τον πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση √24 + √54 .

Υπολογίστε τους αριθμούς:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Αναμεταξύ 24 έχουμε πολλαπλασιαστή 4 , μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Αναμεταξύ 54 έχουμε πολλαπλασιαστή 9 .

Παίρνουμε την ισότητα:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το παράδειγμα, λαμβάνουμε την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας, απλοποιώντας έτσι τη δεδομένη έκφραση.

Βήμα 3: Μείωση του Παρονομαστή

Εξετάστε την ακόλουθη κατάσταση: το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών είναι ο παρονομαστής του κλάσματος, για παράδειγμα, A/(√a + √b).
Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον «να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή».
Ας χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη μέθοδο: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την παράσταση √a - √b.

Τώρα παίρνουμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ομοίως, εάν ο παρονομαστής έχει διαφορά ρίζας: √a - √b, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με την παράσταση √a + √b.

Ας πάρουμε ένα κλάσμα ως παράδειγμα:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Παράδειγμα αναγωγής μιγαδικού παρονομαστή

Τώρα θα εξετάσουμε ένα μάλλον περίπλοκο παράδειγμα απαλλαγής από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα κλάσμα: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Πρέπει να πάρετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και να πολλαπλασιάσετε με την παράσταση √2 + √3 - √5 .

Παίρνουμε:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Βήμα 4. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή στην αριθμομηχανή

Εάν χρειάζεστε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή, αυτό μπορεί να γίνει σε μια αριθμομηχανή υπολογίζοντας την τιμή των τετραγωνικών ριζών. Η τιμή υπολογίζεται χωριστά για κάθε αριθμό και καταγράφεται με την απαιτούμενη ακρίβεια, η οποία καθορίζεται από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Στη συνέχεια, εκτελούνται όλες οι απαιτούμενες λειτουργίες, όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς.

Παράδειγμα υπολογισμού μιας κατά προσέγγιση τιμής

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή αυτής της έκφρασης √7 + √5 .

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Σημείωση: σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να προσθέτετε τετραγωνικές ρίζες ως πρώτους αριθμούς, αυτό είναι εντελώς απαράδεκτο. Δηλαδή, αν προσθέσουμε την τετραγωνική ρίζα του πέντε και την τετραγωνική ρίζα του τρία, δεν μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του οκτώ.

Χρήσιμες συμβουλές: εάν αποφασίσετε να συνυπολογίσετε έναν αριθμό, για να εξαγάγετε το τετράγωνο κάτω από το σύμβολο της ρίζας, πρέπει να κάνετε έναν αντίστροφο έλεγχο, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε όλους τους παράγοντες που προέκυψαν από τους υπολογισμούς και το τελικό αποτέλεσμα αυτού ο μαθηματικός υπολογισμός θα πρέπει να είναι ο αριθμός που μας δόθηκε αρχικά.

Πρόσθεση και αφαίρεση ριζών- ένα από τα πιο συνηθισμένα «εμπόδια» για όσους παρακολουθούν μαθήματα μαθηματικών (άλγεβρα) στο γυμνάσιο. Ωστόσο, η εκμάθηση της σωστής πρόσθεσης και αφαίρεσης τους είναι πολύ σημαντική, επειδή παραδείγματα για το άθροισμα ή τη διαφορά των ριζών περιλαμβάνονται στο πρόγραμμα της βασικής Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στον κλάδο «μαθηματικά».

Για να κατακτήσετε την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, χρειάζεστε δύο πράγματα - να κατανοήσετε τους κανόνες και επίσης να αποκτήσετε εξάσκηση. Έχοντας λύσει μία ή δύο ντουζίνες τυπικά παραδείγματα, ο μαθητής θα φέρει αυτή την ικανότητα στον αυτοματισμό και, στη συνέχεια, δεν θα έχει πλέον τίποτα να φοβηθεί στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Συνιστάται να αρχίσετε να κυριαρχείτε στις αριθμητικές πράξεις με πρόσθεση, γιατί η πρόσθεσή τους είναι λίγο πιο εύκολη από την αφαίρεση τους.

Ο ευκολότερος τρόπος για να το εξηγήσετε αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε την τετραγωνική ρίζα ως παράδειγμα. Στα μαθηματικά υπάρχει ένας καθιερωμένος όρος «τετραγωνισμός». "Τετράγωνο" σημαίνει πολλαπλασιασμό ενός συγκεκριμένου αριθμού από τον εαυτό του μία φορά.. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσετε το 2, θα λάβετε 4. Αν τετραγωνίσετε το 7, θα πάρετε 49. Το τετράγωνο του 9 είναι 81. Άρα η τετραγωνική ρίζα του 4 είναι 2, του 49 είναι 7 και του 81 είναι 9.

Κατά κανόνα, η διδασκαλία αυτού του θέματος στα μαθηματικά ξεκινά με τετραγωνικές ρίζες. Για να τον προσδιορίσει άμεσα, ένας μαθητής λυκείου πρέπει να γνωρίζει τον πίνακα πολλαπλασιασμού απέξω. Όσοι δεν γνωρίζουν αυτόν τον πίνακα πρέπει να χρησιμοποιήσουν υποδείξεις. Συνήθως η διαδικασία εξαγωγής του τετραγώνου της ρίζας από έναν αριθμό δίνεται με τη μορφή πίνακα στα εξώφυλλα πολλών σχολικών τετραδίων μαθηματικών.

Οι ρίζες είναι των ακόλουθων τύπων:

τετράγωνο;
κυβικό (ή το λεγόμενο τρίτου βαθμού).
τέταρτο βαθμό?
πέμπτου βαθμού.

Κανόνες προσθήκης

Προκειμένου να λυθεί με επιτυχία ένα τυπικό παράδειγμα, είναι απαραίτητο να έχουμε κατά νου ότι δεν είναι όλοι οι ριζικοί αριθμοί μπορούν να στοιβάζονται μεταξύ τους. Για να συνδυαστούν, πρέπει να έρθουν σε ένα ενιαίο σχέδιο. Αν αυτό είναι αδύνατο, τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση. Τέτοια προβλήματα συναντώνται επίσης συχνά στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών ως ένα είδος παγίδας για τους μαθητές.

Δεν επιτρέπεται η προσθήκη σε εργασίες όταν οι ριζικές εκφράσεις διαφέρουν μεταξύ τους. Αυτό μπορεί να επεξηγηθεί με ένα σαφές παράδειγμα:

Ο μαθητής αντιμετωπίζει την εργασία: προσθέστε την τετραγωνική ρίζα των 4 και 9.
Ένας άπειρος μαθητής που δεν γνωρίζει τον κανόνα συνήθως γράφει: «ρίζα του 4 + ρίζα του 9 = ρίζα του 13».
Είναι πολύ εύκολο να αποδείξουμε ότι αυτή η λύση είναι λανθασμένη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του 13 και να ελέγξετε αν το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά.
χρησιμοποιώντας έναν μικροϋπολογιστή μπορείτε να προσδιορίσετε ότι είναι περίπου 3,6. Τώρα το μόνο που μένει είναι να ελέγξουμε τη λύση.
ρίζα του 4=2 και ρίζα του 9=3.
Το άθροισμα των αριθμών «δύο» και «τρία» ισούται με πέντε. Έτσι, αυτός ο αλγόριθμος λύσης μπορεί να θεωρηθεί λανθασμένος.

Εάν οι ρίζες έχουν τον ίδιο βαθμό, αλλά διαφορετικές αριθμητικές εκφράσεις, αφαιρείται από αγκύλες και τοποθετείται σε αγκύλες άθροισμα δύο ριζικών εκφράσεων. Έτσι, εξάγεται ήδη από αυτό το ποσό.

Αλγόριθμος πρόσθεσης

Για να λύσετε σωστά το απλούστερο πρόβλημα, πρέπει:

Προσδιορίστε τι ακριβώς απαιτεί προσθήκη.
Μάθετε εάν είναι δυνατό να προσθέσετε τιμές μεταξύ τους, με γνώμονα τους υπάρχοντες κανόνες στα μαθηματικά.
Εάν δεν είναι αναδιπλούμενα, πρέπει να τα μεταμορφώσετε ώστε να μπορούν να διπλωθούν.
Έχοντας πραγματοποιήσει όλους τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, πρέπει να εκτελέσετε την προσθήκη και να σημειώσετε την τελική απάντηση. Μπορείτε να κάνετε πρόσθεση στο κεφάλι σας ή χρησιμοποιώντας έναν μικροϋπολογιστή, ανάλογα με την πολυπλοκότητα του παραδείγματος.

Τι είναι παρόμοιες ρίζες

Για να λύσετε σωστά ένα παράδειγμα προσθήκης, πρέπει πρώτα να σκεφτείτε πώς μπορείτε να το απλοποιήσετε. Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχετε βασικές γνώσεις για το τι είναι η ομοιότητα.

Η δυνατότητα αναγνώρισης παρόμοιων βοηθά στη γρήγορη επίλυση παρόμοιων παραδειγμάτων προσθήκης, φέρνοντάς τα σε απλοποιημένη μορφή. Για να απλοποιήσετε ένα τυπικό παράδειγμα προσθήκης, πρέπει:

Βρείτε παρόμοια και χωρίστε τα σε μία ομάδα (ή σε πολλές ομάδες).
Ξαναγράψτε το υπάρχον παράδειγμα με τέτοιο τρόπο ώστε οι ρίζες που έχουν τον ίδιο δείκτη να διαδέχονται σαφώς η μία την άλλη (αυτό ονομάζεται «ομαδοποίηση»).
Στη συνέχεια, θα πρέπει για άλλη μια φορά να γράψετε ξανά την έκφραση, αυτή τη φορά με τέτοιο τρόπο ώστε παρόμοιες (που έχουν τον ίδιο δείκτη και το ίδιο ριζικό σχήμα) να διαδέχονται επίσης η μία την άλλη.

Μετά από αυτό, το απλοποιημένο παράδειγμα είναι συνήθως εύκολο να λυθεί.

Για να λύσετε σωστά οποιοδήποτε παράδειγμα προσθήκης, πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τους βασικούς κανόνες πρόσθεσης, καθώς και να γνωρίζετε τι είναι και τι μπορεί να είναι μια ρίζα.

Μερικές φορές τέτοια προβλήματα φαίνονται πολύ δύσκολα με την πρώτη ματιά, αλλά συνήθως λύνονται εύκολα ομαδοποιώντας παρόμοια. Το πιο σημαντικό πράγμα είναι η εξάσκηση και τότε ο μαθητής θα αρχίσει να «σκάει τα προβλήματα σαν καρύδια». Η προσθήκη ριζών είναι ένα από τα πιο σημαντικά μέρη των μαθηματικών, επομένως οι δάσκαλοι πρέπει να αφιερώνουν αρκετό χρόνο μελετώντας το.

βίντεο

Αυτό το βίντεο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τις εξισώσεις με τετραγωνικές ρίζες.