Προσθήκη και αφαίρεση τετραγωνικών ριζών. Κανόνες αφαίρεσης ριζών

Γεγονός 1.
\(\bullet\) Ας πάρουμε μερικά μη αρνητικός αριθμός\(a\) (δηλαδή, \(a\geqslant 0\) ). Στη συνέχεια (αριθμητική) τετραγωνική ρίζααπό τον αριθμό \(a\) ονομάζεται ένας τέτοιος μη αρνητικός αριθμός \(b\) , όταν στο τετράγωνο παίρνουμε τον αριθμό \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(ίδιο με )\quad a=b^2\]Από τον ορισμό προκύπτει ότι \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Αυτοί οι περιορισμοί είναι σημαντική προϋπόθεσηύπαρξη τετραγωνική ρίζακαι πρέπει να τα θυμόμαστε!
Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός όταν τετραγωνιστεί δίνει ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα. Δηλαδή, \(100^2=10000\geqslant 0\) και \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Με τι ισούται το \(\sqrt(25)\); Γνωρίζουμε ότι \(5^2=25\) και \((-5)^2=25\) . Εφόσον εξ ορισμού πρέπει να βρούμε έναν μη αρνητικό αριθμό, τότε το \(-5\) δεν είναι κατάλληλο, επομένως, \(\sqrt(25)=5\) (αφού \(25=5^2\) ).
Η εύρεση της τιμής του \(\sqrt a\) ονομάζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του αριθμού \(a\) , και ο αριθμός \(a\) ονομάζεται ριζική έκφραση.
\(\bullet\) Με βάση τον ορισμό, την έκφραση \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), κ.λπ. δεν έχει νόημα.

Γεγονός 2.
Για γρήγορους υπολογισμούς θα είναι χρήσιμο να μάθετε τον πίνακα των τετραγώνων φυσικούς αριθμούςαπό \(1\) έως \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(πίνακας)\]

Γεγονός 3.
Τι πράξεις μπορείτε να κάνετε με τις τετραγωνικές ρίζες;
\(\σφαίρα\) Άθροισμα ή διαφορά τετραγωνικές ρίζεςΔΕΝ ΙΣΟ με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος ή της διαφοράς, δηλαδή \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Έτσι, εάν πρέπει να υπολογίσετε, για παράδειγμα, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , τότε αρχικά πρέπει να βρείτε τις τιμές των \(\sqrt(25)\) και \(\ sqrt(49)\ ) και μετά διπλώστε τα. Ως εκ τούτου, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Εάν οι τιμές \(\sqrt a\) ή \(\sqrt b\) δεν μπορούν να βρεθούν κατά την προσθήκη του \(\sqrt a+\sqrt b\), τότε μια τέτοια έκφραση δεν μετασχηματίζεται περαιτέρω και παραμένει ως έχει. Για παράδειγμα, στο άθροισμα \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) μπορούμε να βρούμε ότι το \(\sqrt(49)\) είναι \(7\) , αλλά το \(\sqrt 2\) δεν μπορεί να μετατραπεί σε ούτως ή άλλως, γι' αυτό \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Δυστυχώς, αυτή η έκφραση δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω\(\bullet\) Το γινόμενο/πηλίκο των τετραγωνικών ριζών είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου/πηλίκου, δηλαδή \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (υπό τον όρο ότι και οι δύο πλευρές των ισοτήτων έχουν νόημα)
Παράδειγμα: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, είναι βολικό να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του μεγάλοι αριθμοίπαραγοντοποιώντας τα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας βρούμε \(\sqrt(44100)\) . Αφού \(44100:100=441\) , τότε \(44100=100\cdot 441\) . Σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, ο αριθμός \(441\) διαιρείται με το \(9\) (καθώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 και διαιρείται με το 9), επομένως, \(441:9=49\), δηλαδή \(441=9\ cdot 49\) .
Έτσι πήραμε: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ας δείξουμε πώς να εισάγετε αριθμούς κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της έκφρασης \(5\sqrt2\) (σύντομη σημειογραφία για την έκφραση \(5\cdot \sqrt2\)). Αφού \(5=\sqrt(25)\) , τότε \ Σημειώστε επίσης ότι, για παράδειγμα,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Γιατί αυτό; Ας εξηγήσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 1). Όπως ήδη καταλαβαίνετε, δεν μπορούμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε τον αριθμό \(\sqrt2\). Ας φανταστούμε ότι το \(\sqrt2\) είναι κάποιος αριθμός \(a\) . Αντίστοιχα, η έκφραση \(\sqrt2+3\sqrt2\) δεν είναι τίποτα περισσότερο από \(a+3a\) (ένας αριθμός \(a\) συν τρεις ακόμη από τους ίδιους αριθμούς \(a\)). Και ξέρουμε ότι αυτό ισούται με τέσσερις τέτοιους αριθμούς \(a\) , δηλαδή \(4\sqrt2\) .

Γεγονός 4.
\(\bullet\) Συχνά λένε "δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα" όταν δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο \(\sqrt () \\) της ρίζας (ριζικό) όταν βρίσκετε την τιμή ενός αριθμού . Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τη ρίζα του αριθμού \(16\) επειδή \(16=4^2\) , επομένως \(\sqrt(16)=4\) . Αλλά είναι αδύνατο να εξαγάγετε τη ρίζα του αριθμού \(3\), δηλαδή να βρείτε το \(\sqrt3\), επειδή δεν υπάρχει αριθμός που στο τετράγωνο θα δώσει \(3\) .
Τέτοιοι αριθμοί (ή εκφράσεις με τέτοιους αριθμούς) είναι παράλογοι. Για παράδειγμα, αριθμοί \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)και ούτω καθεξής. είναι παράλογες.
Επίσης παράλογοι είναι οι αριθμοί \(\pi\) (ο αριθμός "pi", περίπου ίσος με \(3,14\)), \(e\) (αυτός ο αριθμός ονομάζεται αριθμός Euler, είναι περίπου ίσος με \(2,7 \)) και τα λοιπά.
\(\bullet\) Λάβετε υπόψη ότι οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι είτε λογικός είτε παράλογος. Και όλοι μαζί όλοι οι ορθολογικοί και όλοι οι παράλογοι αριθμοί σχηματίζουν ένα σύνολο που ονομάζεται σύνολο πραγματικών αριθμών.Αυτό το σύνολο συμβολίζεται με το γράμμα \(\mathbb(R)\) .
Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε σήμερα ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί.

Γεγονός 5.
\(\bullet\) Το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός \(|a|\) ίσος με την απόσταση από το σημείο \(a\) έως \(0\) στο πραγματική γραμμή. Για παράδειγμα, τα \(|3|\) και \(|-3|\) είναι ίσα με 3, καθώς οι αποστάσεις από τα σημεία \(3\) και \(-3\) έως \(0\) είναι οι ίδιο και ίσο με \(3 \) .
\(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=a\) .
Παράδειγμα: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=-a\) .
Παράδειγμα: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Λένε ότι για τους αρνητικούς αριθμούς το μέτρο «τρώει» το μείον, ενώ οι θετικοί αριθμοί, όπως και ο αριθμός \(0\), παραμένουν αμετάβλητοι από το συντελεστή.
ΑΛΛΑΑυτός ο κανόνας ισχύει μόνο για αριθμούς. Εάν κάτω από το σύμβολο συντελεστή σας υπάρχει ένα άγνωστο \(x\) (ή κάποιο άλλο άγνωστο), για παράδειγμα, \(|x|\) , για το οποίο δεν γνωρίζουμε αν είναι θετικό, μηδέν ή αρνητικό, τότε ξεφορτωθείτε του συντελεστή δεν μπορούμε. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η έκφραση παραμένει η ίδια: \(|x|\) . \(\bullet\) Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( παρέχεται ) a\geqslant 0\]Πολύ συχνά γίνεται το εξής λάθος: λένε ότι τα \(\sqrt(a^2)\) και \((\sqrt a)^2\) είναι το ίδιο πράγμα. Αυτό ισχύει μόνο εάν το \(a\) είναι θετικός αριθμός ή μηδέν. Αλλά αν το \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε αυτό είναι λάθος. Αρκεί να εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα. Ας πάρουμε αντί για \(a\) τον αριθμό \(-1\) . Τότε \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , αλλά η έκφραση \((\sqrt (-1))^2\) δεν υπάρχει καθόλου (εξάλλου, είναι αδύνατο να χρησιμοποιήσετε το ριζικό σύμβολο βάλτε αρνητικούς αριθμούς!).
Επομένως, εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι το \(\sqrt(a^2)\) δεν είναι ίσο με \((\sqrt a)^2\) !Παράδειγμα: 1) \(\sqrt(\αριστερά(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), επειδή \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Αφού \(\sqrt(a^2)=|a|\) , τότε \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (η έκφραση \(2n\) υποδηλώνει ζυγό αριθμό)
Δηλαδή, κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού που είναι σε κάποιο βαθμό, αυτός ο βαθμός μειώνεται στο μισό.
Παράδειγμα:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (σημειώστε ότι εάν η μονάδα δεν παρέχεται, αποδεικνύεται ότι η ρίζα του αριθμού είναι ίση με \(-25\ ) αλλά θυμόμαστε ότι εξ ορισμού ρίζας αυτό δεν μπορεί να συμβεί: κατά την εξαγωγή μιας ρίζας, θα πρέπει πάντα να παίρνουμε έναν θετικό αριθμό ή μηδέν)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (καθώς οποιοσδήποτε αριθμός σε άρτια δύναμη είναι μη αρνητικός)

Γεγονός 6.
Πώς να συγκρίνετε δύο τετραγωνικές ρίζες;
\(\bullet\) Για τις τετραγωνικές ρίζες ισχύει: αν \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aΠαράδειγμα:
1) συγκρίνετε τα \(\sqrt(50)\) και \(6\sqrt2\) . Αρχικά, ας μετατρέψουμε τη δεύτερη έκφραση σε \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Έτσι, αφού \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ανάμεσα σε ποιους ακεραίους βρίσκεται ο \(\sqrt(50)\);
Αφού \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) και \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ας συγκρίνουμε τα \(\sqrt 2-1\) και \(0,5\) . Ας υποθέσουμε ότι \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((προσθήκη ενός και στις δύο πλευρές))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((τετράγωνο και στις δύο πλευρές))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(στοίχιση)\]Βλέπουμε ότι έχουμε λάβει μια λανθασμένη ανισότητα. Επομένως, η υπόθεσή μας ήταν εσφαλμένη και \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Σημειώστε ότι η προσθήκη ενός συγκεκριμένου αριθμού και στις δύο πλευρές της ανισότητας δεν επηρεάζει το πρόσημο της. Ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο πλευρών μιας ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό επίσης δεν επηρεάζει το πρόσημο της, αλλά ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει το πρόσημο της ανίσωσης!
Μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης/ανίσωσης ΜΟΝΟ ΑΝ και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές. Για παράδειγμα, στην ανισότητα από το προηγούμενο παράδειγμα μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές, στην ανισότητα \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι \[\αρχή(ευθυγραμμισμένη) &\sqrt 2\περίπου 1,4\\ &\sqrt 3\περίπου 1,7 \end(στοιχισμένη)\]Γνωρίζοντας την κατά προσέγγιση σημασία αυτών των αριθμών θα σας βοηθήσει όταν συγκρίνετε αριθμούς! \(\bullet\) Για να εξαγάγετε τη ρίζα (αν μπορεί να εξαχθεί) από κάποιο μεγάλο αριθμό που δεν βρίσκεται στον πίνακα των τετραγώνων, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε ανάμεσα σε ποιες "εκατοντάδες" βρίσκεται και μετά - μεταξύ ποιων " δεκάδες» και, στη συνέχεια, προσδιορίστε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού. Ας δείξουμε πώς λειτουργεί αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας πάρουμε \(\sqrt(28224)\) . Γνωρίζουμε ότι \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), κ.λπ. Σημειώστε ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(10\.000\) και \(40\.000\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(100\) και \(200\) .
Τώρα ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες «δεκάδες» βρίσκεται ο αριθμός μας (δηλαδή, για παράδειγμα, μεταξύ \(120\) και \(130\)). Επίσης από τον πίνακα των τετραγώνων γνωρίζουμε ότι \(11^2=121\) , \(12^2=144\) κ.λπ., τότε \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Βλέπουμε λοιπόν ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(160^2\) και \(170^2\) . Επομένως, ο αριθμός \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(160\) και \(170\) .
Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το τελευταίο ψηφίο. Ας θυμηθούμε ποιους μονοψήφιους αριθμούς, όταν τετραγωνιστούν, δίνουν \(4\) στο τέλος; Αυτά είναι τα \(2^2\) και \(8^2\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) θα τελειώνει είτε σε 2 είτε σε 8. Ας το ελέγξουμε αυτό. Ας βρούμε τα \(162^2\) και \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Επομένως, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Για να λύσετε επαρκώς την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, πρέπει πρώτα να μελετήσετε θεωρητικό υλικό, το οποίο σας εισάγει σε πολλά θεωρήματα, τύπους, αλγόριθμους κ.λπ. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι αρκετά απλό. Ωστόσο, η εύρεση μιας πηγής στην οποία η θεωρία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά παρουσιάζεται με εύκολο και κατανοητό τρόπο για μαθητές με οποιοδήποτε επίπεδο κατάρτισης είναι στην πραγματικότητα ένα αρκετά δύσκολο έργο. Τα σχολικά εγχειρίδια δεν μπορούν να είναι πάντα διαθέσιμα. Και η εύρεση βασικών τύπων για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά μπορεί να είναι δύσκολη ακόμη και στο Διαδίκτυο.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό να σπουδάζουν θεωρία στα μαθηματικά όχι μόνο για όσους δίνουν τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους;

1. Γιατί διευρύνει τους ορίζοντές σου. Η μελέτη θεωρητικού υλικού στα μαθηματικά είναι χρήσιμη για όποιον θέλει να πάρει απαντήσεις σε ένα ευρύ φάσμα ερωτήσεων που σχετίζονται με τη γνώση του κόσμου γύρω του. Όλα στη φύση είναι διατεταγμένα και έχουν ξεκάθαρη λογική. Αυτό ακριβώς αντικατοπτρίζεται στην επιστήμη, μέσω της οποίας είναι δυνατή η κατανόηση του κόσμου.
2. Γιατί αναπτύσσει τη νοημοσύνη. Μελετώντας τα υλικά αναφοράς για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, καθώς και την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, ένα άτομο μαθαίνει να σκέφτεται και να συλλογίζεται λογικά, να διατυπώνει τις σκέψεις με ικανότητα και σαφήνεια. Αναπτύσσει την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και εξαγωγής συμπερασμάτων.

Σας προσκαλούμε να αξιολογήσετε προσωπικά όλα τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας στη συστηματοποίηση και παρουσίαση εκπαιδευτικού υλικού.

Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού Χκαλούμενος αριθμός ΕΝΑ, το οποίο στη διαδικασία πολλαπλασιασμού από μόνο του ( Α*Α) μπορεί να δώσει έναν αριθμό Χ.
Εκείνοι. A * A = A 2 = X, Και √X = A.

πάνω από τις τετραγωνικές ρίζες ( √x), όπως και άλλοι αριθμοί, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις όπως αφαίρεση και πρόσθεση. Για να αφαιρέσετε και να προσθέσετε ρίζες, πρέπει να συνδεθούν χρησιμοποιώντας σημάδια που αντιστοιχούν σε αυτές τις ενέργειες (για παράδειγμα √x - √ y ).
Και στη συνέχεια φέρτε τις ρίζες στην απλούστερη μορφή τους - εάν υπάρχουν παρόμοιες μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση. Συνίσταται στη λήψη των συντελεστών παρόμοιων όρων με τα πρόσημα των αντίστοιχων όρων, στη συνέχεια τοποθέτησή τους σε αγκύλες και εξαγωγή της κοινής ρίζας έξω από τις αγκύλες του παράγοντα. Ο συντελεστής που λάβαμε είναι απλοποιημένος σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.

Βήμα 1: Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών

Πρώτον, για να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες, πρέπει πρώτα να εξαγάγετε αυτές τις ρίζες. Αυτό μπορεί να γίνει εάν οι αριθμοί κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι τέλεια τετράγωνα. Για παράδειγμα, πάρτε τη δεδομένη έκφραση √4 + √9 . Πρώτος αριθμός 4 είναι το τετράγωνο του αριθμού 2 . Δεύτερος αριθμός 9 είναι το τετράγωνο του αριθμού 3 . Έτσι, μπορούμε να λάβουμε την ακόλουθη ισότητα: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Αυτό ήταν, το παράδειγμα λύθηκε. Αλλά δεν συμβαίνει πάντα τόσο εύκολα.

Βήμα 2. Βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από τη ρίζα

Εάν δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, μπορείτε να προσπαθήσετε να αφαιρέσετε τον πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση √24 + √54 .

Υπολογίστε τους αριθμούς:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Αναμεταξύ 24 έχουμε πολλαπλασιαστή 4 , μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Αναμεταξύ 54 έχουμε πολλαπλασιαστή 9 .

Παίρνουμε ισότητα:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το παράδειγμα, λαμβάνουμε την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας, απλοποιώντας έτσι τη δεδομένη έκφραση.

Βήμα 3: Μείωση του Παρονομαστή

Εξετάστε την ακόλουθη κατάσταση: το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών είναι ο παρονομαστής του κλάσματος, για παράδειγμα, A/(√a + √b).
Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον «να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή».
Ας χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη μέθοδο: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την παράσταση √a - √b.

Τώρα παίρνουμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ομοίως, εάν ο παρονομαστής έχει διαφορά ρίζας: √a - √b, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με την παράσταση √a + √b.

Ας πάρουμε το κλάσμα ως παράδειγμα:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Παράδειγμα αναγωγής μιγαδικού παρονομαστή

Τώρα θα εξετάσουμε ένα μάλλον περίπλοκο παράδειγμα απαλλαγής από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα κλάσμα: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Πρέπει να πάρετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και να πολλαπλασιάσετε με την παράσταση √2 + √3 - √5 .

Παίρνουμε:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Βήμα 4. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή στην αριθμομηχανή

Εάν χρειάζεστε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή, αυτό μπορεί να γίνει σε μια αριθμομηχανή υπολογίζοντας την τιμή των τετραγωνικών ριζών. Η τιμή υπολογίζεται χωριστά για κάθε αριθμό και καταγράφεται με την απαιτούμενη ακρίβεια, η οποία καθορίζεται από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Στη συνέχεια, εκτελούνται όλες οι απαιτούμενες λειτουργίες, όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς.

Παράδειγμα υπολογισμού μιας κατά προσέγγιση τιμής

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή αυτής της έκφρασης √7 + √5 .

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Σημείωση: σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να προσθέτετε τετραγωνικές ρίζες ως πρώτους αριθμούς, αυτό είναι εντελώς απαράδεκτο. Δηλαδή, αν προσθέσουμε την τετραγωνική ρίζα του πέντε και την τετραγωνική ρίζα του τρία, δεν μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του οκτώ.

Χρήσιμες συμβουλές: εάν αποφασίσετε να συνυπολογίσετε έναν αριθμό, για να εξαγάγετε το τετράγωνο κάτω από το σύμβολο της ρίζας, πρέπει να κάνετε έναν αντίστροφο έλεγχο, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε όλους τους παράγοντες που προέκυψαν από τους υπολογισμούς και το τελικό αποτέλεσμα αυτού μαθηματικός υπολογισμός πρέπει να είναι ο αριθμός που μας δόθηκε αρχικά.

Η εξαγωγή της ρίζας του τεταρτημορίου ενός αριθμού δεν είναι η μόνη πράξη που μπορεί να πραγματοποιηθεί με αυτό το μαθηματικό φαινόμενο. Ακριβώς όπως οι κανονικοί αριθμοί, οι τετραγωνικές ρίζες προσθέτουν και αφαιρούν.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τετραγωνικών ριζών

Πράξεις όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση τετραγωνικών ριζών είναι δυνατές μόνο εάν η ριζική έκφραση είναι η ίδια.

Παράδειγμα 1

Μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εκφράσεις 2 3 και 6 3, αλλά όχι 5 6 Και 9 4. Εάν είναι δυνατό να απλοποιήσετε την έκφραση και να τη μειώσετε σε ρίζες με την ίδια ρίζα, τότε απλοποιήστε και στη συνέχεια προσθέστε ή αφαιρέστε.

Δράσεις με ρίζες: βασικά

6 50 - 2 8 + 5 12

Αλγόριθμος δράσης:

1. Απλοποιήστε τη ριζική έκφραση. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί η ριζική έκφραση σε 2 παράγοντες, ένας από τους οποίους είναι ένας τετράγωνος αριθμός (ο αριθμός από τον οποίο εξάγεται ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα, για παράδειγμα, 25 ή 9).
2. Στη συνέχεια, πρέπει να πάρετε τη ρίζα του τετραγωνικού αριθμούκαι γράψτε την τιμή που προκύπτει πριν από το σύμβολο της ρίζας. Σημειώστε ότι ο δεύτερος παράγοντας εισάγεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
3. Μετά τη διαδικασία απλοποίησης, είναι απαραίτητο να τονιστούν οι ρίζες με τις ίδιες ριζικές εκφράσεις - μόνο αυτές μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν.
4. Για ρίζες με τις ίδιες ριζικές εκφράσεις, είναι απαραίτητο να προστεθούν ή να αφαιρεθούν οι παράγοντες που εμφανίζονται πριν από το σύμβολο της ρίζας. Η ριζοσπαστική έκφραση παραμένει αμετάβλητη. Δεν μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε ριζικούς αριθμούς!

Συμβουλή 1

Εάν έχετε ένα παράδειγμα με μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων ριζικών εκφράσεων, τότε υπογραμμίστε τέτοιες εκφράσεις με μονή, διπλή και τριπλή γραμμή για να διευκολύνετε τη διαδικασία υπολογισμού.

Παράδειγμα 3

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Πρώτα πρέπει να αποσυνθέσετε το 50 σε 2 παράγοντες 25 και 2, στη συνέχεια να πάρετε τη ρίζα του 25, που ισούται με 5, και να βγάλετε 5 από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 6 (ο παράγοντας στη ρίζα) και να πάρετε 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Πρώτα πρέπει να αποσυνθέσετε 8 σε 2 παράγοντες: 4 και 2. Στη συνέχεια, πάρτε τη ρίζα από το 4, που ισούται με 2, και βγάλτε 2 από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 2 επί 2 (τον παράγοντα στη ρίζα) και να πάρετε 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Πρώτα πρέπει να αποσυνθέσετε 12 σε 2 παράγοντες: 4 και 3. Στη συνέχεια, εξαγάγετε τη ρίζα του 4, που ισούται με 2, και αφαιρέστε την από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 2 επί 5 (ο παράγοντας στη ρίζα) και να πάρετε 10 3.

Αποτέλεσμα απλοποίησης: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ως αποτέλεσμα, είδαμε πόσες ίδιες ριζικές εκφράσεις περιέχονται σε αυτό το παράδειγμα. Τώρα ας εξασκηθούμε με άλλα παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

• Ας απλοποιήσουμε (45) . Παράγοντας 45: (45) = (9 × 5) ;
• Βγάζουμε 3 από κάτω από τη ρίζα (9 = 3): 45 = 3 5;
• Προσθέστε τους παράγοντες στις ρίζες: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Παράδειγμα 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Ας απλοποιήσουμε το 6 40 . Συντελεστής 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Βγάζουμε 2 από κάτω από τη ρίζα (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Πολλαπλασιάζουμε τους παράγοντες που εμφανίζονται μπροστά από τη ρίζα: 12 10 ;
• Γράφουμε την έκφραση σε απλοποιημένη μορφή: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Εφόσον οι δύο πρώτοι όροι έχουν τους ίδιους ριζικούς αριθμούς, μπορούμε να τους αφαιρέσουμε: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Παράδειγμα 6

Όπως μπορούμε να δούμε, δεν είναι δυνατό να απλοποιήσουμε τους ριζικούς αριθμούς, επομένως αναζητούμε όρους με τους ίδιους ριζικούς αριθμούς στο παράδειγμα, πραγματοποιούμε μαθηματικές πράξεις (προσθήκη, αφαίρεση κ.λπ.) και γράφουμε το αποτέλεσμα:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Συμβουλή:

• Πριν προσθέσετε ή αφαιρέσετε, είναι απαραίτητο να απλοποιήσετε (αν είναι δυνατόν) τις ριζικές εκφράσεις.
• Η πρόσθεση και η αφαίρεση ριζών με διαφορετικές ριζικές εκφράσεις απαγορεύεται αυστηρά.
• Δεν πρέπει να προσθέτετε ή να αφαιρείτε έναν ακέραιο αριθμό ή μια ρίζα: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Όταν εκτελείτε πράξεις με κλάσματα, πρέπει να βρείτε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε παρονομαστή, στη συνέχεια να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να προσθέσετε τους αριθμητές και να αφήσετε τους παρονομαστές αμετάβλητους.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Στα μαθηματικά, κάθε δράση έχει το αντίθετό της ζευγάρι - στην ουσία, αυτή είναι μια από τις εκδηλώσεις του εγελιανού νόμου της διαλεκτικής: «η ενότητα και η πάλη των αντιθέτων». Μία από τις ενέργειες σε ένα τέτοιο "ζεύγος" στοχεύει στην αύξηση του αριθμού και η άλλη, το αντίθετό του, στοχεύει στη μείωσή του. Για παράδειγμα, το αντίθετο της πρόσθεσης είναι η αφαίρεση και η διαίρεση είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού. Η εκθετικότητα έχει επίσης το δικό της διαλεκτικό αντίθετο ζεύγος. Μιλάμε για εξαγωγή της ρίζας.

Για να εξαγάγετε τη ρίζα μιας τέτοιας ισχύος από έναν αριθμό σημαίνει να υπολογίσετε ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί στην κατάλληλη ισχύ για να καταλήξετε σε έναν δεδομένο αριθμό. Οι δύο μοίρες έχουν τα δικά τους ξεχωριστά ονόματα: ο δεύτερος βαθμός ονομάζεται "τετράγωνο" και ο τρίτος ονομάζεται "κύβος". Αντίστοιχα, είναι ωραίο να ονομάζουμε τις ρίζες αυτών των δυνάμεων τετράγωνες και κυβικές ρίζες. Οι ενέργειες με ρίζες κύβου είναι ένα θέμα για ξεχωριστή συζήτηση, αλλά τώρα ας μιλήσουμε για την προσθήκη τετραγωνικών ριζών.

Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύκολο να εξαγάγετε πρώτα τετραγωνικές ρίζες και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την τιμή μιας τέτοιας έκφρασης:

Εξάλλου, δεν είναι καθόλου δύσκολο να υπολογίσουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι 4 και του 121 είναι 11. Επομένως,

√16+√121=4+11=15

Ωστόσο, αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση - εδώ μιλάμε για πλήρη τετράγωνα, δηλ. για τους αριθμούς που λαμβάνονται με τετραγωνισμό ακεραίων. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 24 δεν είναι τέλειο τετράγωνο (δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός που, όταν αυξηθεί στη δεύτερη δύναμη, θα είχε ως αποτέλεσμα 24). Το ίδιο ισχύει και για έναν αριθμό όπως το 54... Τι γίνεται αν χρειαστεί να προσθέσουμε τις τετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών;

Σε αυτή την περίπτωση, θα λάβουμε στην απάντηση όχι έναν αριθμό, αλλά μια άλλη έκφραση. Το μέγιστο που μπορούμε να κάνουμε εδώ είναι να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να αφαιρέσετε τους παράγοντες κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω ως παράδειγμα:

Αρχικά, ας συνυπολογίσουμε το 24 σε παράγοντες, έτσι ώστε ένας από αυτούς να μπορεί εύκολα να εξαχθεί ως τετραγωνική ρίζα (δηλαδή, έτσι ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο). Υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός - είναι 4:

Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με το 54. Στη σύνθεσή του, αυτός ο αριθμός θα είναι 9:

Έτσι, παίρνουμε τα εξής:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Τώρα ας εξαγάγουμε τις ρίζες από αυτό που μπορούμε να τις εξαγάγουμε: 2*√6+3*√6

Υπάρχει ένας κοινός παράγοντας εδώ που μπορούμε να βγάλουμε από αγκύλες:

(2+3)* √6=5*√6

Αυτό θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης - τίποτα περισσότερο δεν μπορεί να εξαχθεί εδώ.

Είναι αλήθεια ότι μπορείτε να καταφύγετε στη χρήση μιας αριθμομηχανής - ωστόσο, το αποτέλεσμα θα είναι κατά προσέγγιση και με τεράστιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων:

√6=2,449489742783178

Στρογγυλοποιώντας το σταδιακά προς τα πάνω, παίρνουμε περίπου 2,5. Αν πάλι θέλουμε να φέρουμε τη λύση στο προηγούμενο παράδειγμα στο λογικό της συμπέρασμα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αυτό το αποτέλεσμα επί 5 - και θα έχουμε 12,5. Είναι αδύνατο να επιτευχθεί πιο ακριβές αποτέλεσμα με τέτοια αρχικά δεδομένα.