సాధారణ భిన్నాలను విభజించడం. భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం

సాధారణ పాక్షిక సంఖ్యలు మొదట 5 వ తరగతిలో పాఠశాల పిల్లలను కలుస్తాయి మరియు వారి జీవితాంతం వారితో కలిసి ఉంటాయి, ఎందుకంటే రోజువారీ జీవితంలో ఒక వస్తువును మొత్తంగా కాకుండా వేర్వేరు ముక్కలుగా పరిగణించడం లేదా ఉపయోగించడం తరచుగా అవసరం. ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించండి - షేర్లు. షేర్లు సమాన భాగాలు, దీనిలో ఈ లేదా ఆ వస్తువు విభజించబడింది. అన్నింటికంటే, వ్యక్తీకరించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు, ఉదాహరణకు, ఒక ఉత్పత్తి యొక్క పొడవు లేదా ధర కొంత కొలత యొక్క భాగాలు లేదా భిన్నాలు పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. "విభజన" అనే క్రియ నుండి ఏర్పడింది - భాగాలుగా విభజించడం మరియు అరబిక్ మూలాలను కలిగి ఉండటం, "భిన్నం" అనే పదం 8వ శతాబ్దంలో రష్యన్ భాషలో ఉద్భవించింది.

పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు చాలా కాలంగా గణితశాస్త్రంలో అత్యంత కష్టతరమైన శాఖగా పరిగణించబడుతున్నాయి. 17 వ శతాబ్దంలో, గణిత శాస్త్రంపై మొదటి పాఠ్యపుస్తకాలు కనిపించినప్పుడు, వాటిని "విరిగిన సంఖ్యలు" అని పిలుస్తారు, ఇది ప్రజలకు అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం.

మోడ్రన్ లుక్సాధారణ పాక్షిక అవశేషాలు, వీటిలో భాగాలు సమాంతర రేఖతో వేరు చేయబడ్డాయి, మొదట ఫైబొనాక్సీ - పిసాకు చెందిన లియోనార్డో ద్వారా ప్రచారం చేయబడ్డాయి. అతని రచనలు 1202 నాటివి. కానీ వివిధ హారంలతో మిశ్రమ భిన్నాలు ఎలా గుణించబడతాయో పాఠకులకు సరళంగా మరియు స్పష్టంగా వివరించడం ఈ వ్యాసం యొక్క ఉద్దేశ్యం.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను గుణించడం

ప్రారంభంలో ఇది నిర్ణయించడం విలువ భిన్నాల రకాలు:

• సరైన;
• తప్పు;
• మిశ్రమ.

తరువాత, అదే హారంతో పాక్షిక సంఖ్యలు ఎలా గుణించబడతాయో మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. ఈ ప్రక్రియ యొక్క నియమం స్వతంత్రంగా రూపొందించడం కష్టం కాదు: ఒకే విధమైన హారంతో సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం యొక్క ఫలితం పాక్షిక వ్యక్తీకరణ, దీని లవం సంఖ్యల ఉత్పత్తి మరియు హారం ఈ భిన్నాల హారం యొక్క ఉత్పత్తి. . అంటే, వాస్తవానికి, కొత్త హారం అనేది మొదట్లో ఉన్న వాటిలో ఒకదాని యొక్క స్క్వేర్.

గుణించేటప్పుడు వివిధ హారంతో సాధారణ భిన్నాలురెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాల కోసం నియమం మారదు:

a/బి * c/డి = a*c / b*d.

ఒకే తేడా ఏమిటంటే, భిన్న రేఖ క్రింద ఏర్పడిన సంఖ్య వేర్వేరు సంఖ్యల ఉత్పత్తి అవుతుంది మరియు సహజంగానే, దానిని ఒక సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ యొక్క వర్గంగా పిలవలేము.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి విభిన్న హారంతో భిన్నాల గుణకారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

ఉదాహరణలు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను తగ్గించడానికి పద్ధతులను ఉపయోగిస్తాయి. మీరు భిన్నం రేఖకు ఎగువన లేదా దిగువన ఉన్న హారం సంఖ్యలతో మాత్రమే సంఖ్యలను తగ్గించగలరు;

సాధారణ భిన్నాలతో పాటు, మిశ్రమ భిన్నాల భావన ఉంది. మిశ్రమ సంఖ్య పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక భాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే, ఇది ఈ సంఖ్యల మొత్తం:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

గుణకారం ఎలా పని చేస్తుంది?

పరిశీలన కోసం అనేక ఉదాహరణలు అందించబడ్డాయి.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

ఉదాహరణ ద్వారా సంఖ్యను గుణించడం ఉపయోగిస్తుంది సాధారణ పాక్షిక భాగం, ఈ చర్య యొక్క నియమాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

a* b/సి = a*b /సి.

వాస్తవానికి, అటువంటి ఉత్పత్తి ఒకేలా భిన్నమైన అవశేషాల మొత్తం, మరియు పదాల సంఖ్య దీనిని సూచిస్తుంది సహజ సంఖ్య. ప్రత్యేక సంధర్భం:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

పాక్షిక శేషంతో సంఖ్యను గుణించడానికి మరొక పరిష్కారం ఉంది. మీరు హారంను ఈ సంఖ్యతో విభజించాలి:

d* ఇ/f = ఇ/ఎఫ్ డి.

హారం శేషం లేకుండా సహజ సంఖ్యతో విభజించబడినప్పుడు లేదా వారు చెప్పినట్లుగా, పూర్ణ సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు ఈ సాంకేతికత ఉపయోగపడుతుంది.

మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మార్చండి మరియు గతంలో వివరించిన విధంగా ఉత్పత్తిని పొందండి:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ఈ ఉదాహరణ మిశ్రమ భిన్నాన్ని సరికాని భిన్నం వలె సూచించే విధానాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు సాధారణ సూత్రంగా కూడా సూచించబడుతుంది:

a బిసి = a*b+ c / c, ఇక్కడ కొత్త భిన్నం యొక్క హారం మొత్తం భాగాన్ని హారంతో గుణించడం మరియు అసలు పాక్షిక శేషం యొక్క సంఖ్యతో జోడించడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది మరియు హారం అలాగే ఉంటుంది.

ఈ ప్రక్రియ కూడా వ్యతిరేక దిశలో పనిచేస్తుంది. మొత్తం భాగాన్ని మరియు పాక్షిక శేషాన్ని వేరు చేయడానికి, మీరు "మూలలో" ఉపయోగించి సరికాని భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారం ద్వారా విభజించాలి.

సరికాని భిన్నాలను గుణించడంసాధారణంగా ఆమోదించబడిన పద్ధతిలో ఉత్పత్తి చేయబడింది. ఒకే భిన్నం పంక్తిలో వ్రాసేటప్పుడు, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి సంఖ్యలను తగ్గించడానికి మరియు ఫలితాన్ని సులభంగా లెక్కించడానికి మీరు భిన్నాలను అవసరమైన విధంగా తగ్గించాలి.

ప్రోగ్రామ్‌ల యొక్క వివిధ వైవిధ్యాలలో సంక్లిష్టమైన గణిత సమస్యలను కూడా పరిష్కరించడానికి ఇంటర్నెట్‌లో చాలా మంది సహాయకులు ఉన్నారు. భిన్నాలను గణించడానికి ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌లు అని పిలవబడే హారంలోని వివిధ సంఖ్యలతో భిన్నాల గుణకారాన్ని లెక్కించడంలో తగిన సంఖ్యలో ఇటువంటి సేవలు తమ సహాయాన్ని అందిస్తాయి. అవి గుణించడమే కాకుండా, సాధారణ భిన్నాలు మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలతో అన్ని ఇతర సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాలను కూడా చేయగలవు. పని చేయడం కష్టం కాదు, మీరు వెబ్‌సైట్ పేజీలో తగిన ఫీల్డ్‌లను పూరించండి, గణిత ఆపరేషన్ యొక్క చిహ్నాన్ని ఎంచుకుని, "లెక్కించు" క్లిక్ చేయండి. ప్రోగ్రామ్ స్వయంచాలకంగా లెక్కిస్తుంది.

భిన్నాలతో అంకగణిత కార్యకలాపాల అంశం మధ్య మరియు ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థుల విద్య అంతటా సంబంధితంగా ఉంటుంది. ఉన్నత పాఠశాలలో, వారు ఇకపై సరళమైన జాతులను పరిగణించరు, కానీ పూర్ణాంక పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు, కానీ రూపాంతరం మరియు ముందుగా పొందిన గణనల కోసం నియమాల జ్ఞానం దాని అసలు రూపంలో వర్తించబడుతుంది. బాగా నేర్చుకున్నాడు కనీస జ్ఞానముఅత్యంత విజయవంతమైన నిర్ణయంపై పూర్తి విశ్వాసాన్ని ఇవ్వండి క్లిష్టమైన పనులు.

ముగింపులో, లెవ్ నికోలెవిచ్ టాల్‌స్టాయ్ యొక్క పదాలను ఉదహరించడం అర్ధమే: “మనిషి ఒక భిన్నం. ఒక వ్యక్తి తన సంఖ్యను - అతని యోగ్యతను - పెంచుకోవడం శక్తిలో లేదు, కానీ ఎవరైనా అతని హారం - తన గురించి తన అభిప్రాయాన్ని తగ్గించవచ్చు మరియు ఈ తగ్గుదలతో అతని పరిపూర్ణతకు దగ్గరగా వస్తారు.

భిన్నం అనేది మొత్తంలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భాగాలు, సాధారణంగా ఒకటిగా తీసుకోబడుతుంది (1). సహజ సంఖ్యల మాదిరిగానే, మీరు భిన్నాలతో అన్ని ప్రాథమిక అంకగణిత కార్యకలాపాలను (జోడించడం, తీసివేత, విభజన, గుణకారం) చేయవచ్చు, మీరు భిన్నాలతో పని చేసే లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి మరియు వాటి రకాలను వేరు చేయాలి. అనేక రకాల భిన్నాలు ఉన్నాయి: దశాంశ మరియు సాధారణ, లేదా సాధారణ. ప్రతి రకమైన భిన్నానికి దాని స్వంత ప్రత్యేకతలు ఉన్నాయి, కానీ మీరు వాటిని ఎలా నిర్వహించాలో పూర్తిగా అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, మీరు భిన్నాలతో ఏదైనా ఉదాహరణలను పరిష్కరించగలుగుతారు, ఎందుకంటే మీరు భిన్నాలతో అంకగణిత గణనలను నిర్వహించే ప్రాథమిక సూత్రాలను తెలుసుకుంటారు. వివిధ రకాల భిన్నాలను ఉపయోగించి భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో ఎలా విభజించాలో ఉదాహరణలను చూద్దాం.

సహజ సంఖ్యతో సాధారణ భిన్నాన్ని ఎలా విభజించాలి?
సాధారణ లేదా సాధారణ భిన్నాలు సంఖ్యల నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయబడిన భిన్నాలు, దీనిలో భిన్నం ఎగువన డివిడెండ్ (ల్యూమరేటర్) సూచించబడుతుంది మరియు భిన్నం యొక్క భాగహారం (హారం) దిగువన సూచించబడుతుంది. అటువంటి భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో ఎలా విభజించాలి? ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం! మనం 8/12ని 2తో విభజించాలని అనుకుందాం.

దీన్ని చేయడానికి, మేము అనేక చర్యలను చేయాలి:
అందువల్ల, భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో విభజించే పనిని మనం ఎదుర్కొన్నట్లయితే, పరిష్కార రేఖాచిత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఇదే విధంగా, మీరు ఏదైనా సాధారణ (సరళమైన) భిన్నాన్ని పూర్ణాంకం ద్వారా విభజించవచ్చు.

పూర్ణ సంఖ్యతో దశాంశాన్ని ఎలా విభజించాలి?
దశాంశం అనేది ఒక యూనిట్‌ను పది, వెయ్యి మరియు ఇతర భాగాలుగా విభజించడం ద్వారా పొందిన భిన్నం. దశాంశాలతో అంకగణిత కార్యకలాపాలు చాలా సులభం.

భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో ఎలా విభజించాలో ఉదాహరణ చూద్దాం. మనం దశాంశ భిన్నం 0.925ని సహజ సంఖ్య 5తో విభజించాలని అనుకుందాం.

సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే, దశాంశ భిన్నాలను పూర్ణాంకం ద్వారా విభజించే ఆపరేషన్ చేసేటప్పుడు ముఖ్యమైన రెండు ప్రధాన అంశాలపై నివసిద్దాం:

• సహజ సంఖ్య ద్వారా దశాంశ భిన్నాన్ని విభజించడానికి, దీర్ఘ విభజన ఉపయోగించబడుతుంది;
  
• డివిడెండ్ యొక్క మొత్తం భాగం యొక్క విభజన పూర్తయినప్పుడు కామా ఒక గుణకంలో ఉంచబడుతుంది.
  

వీటిని వర్తింపజేస్తున్నారు సాధారణ నియమాలు, మీరు ఎప్పుడైనా ఏదైనా దశాంశ లేదా సాధారణ భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో సులభంగా విభజించవచ్చు.

చివరిసారి మేము భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ఎలాగో నేర్చుకున్నాము (“భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఆ చర్యలలో అత్యంత క్లిష్టమైన భాగం భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం.

ఇప్పుడు గుణకారం మరియు భాగహారంతో వ్యవహరించే సమయం వచ్చింది. శుభవార్త ఏమిటంటే, ఈ కార్యకలాపాలు కూడిక మరియు తీసివేత కంటే సరళమైనవి. మొదట, వేరు చేయబడిన పూర్ణాంక భాగం లేకుండా రెండు సానుకూల భిన్నాలు ఉన్నప్పుడు సరళమైన కేసును పరిశీలిద్దాం.

రెండు భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను విడిగా గుణించాలి. మొదటి సంఖ్య కొత్త భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్, మరియు రెండవది హారం.

రెండు భిన్నాలను విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నాన్ని "విలోమ" రెండవ భిన్నం ద్వారా గుణించాలి.

హోదా:

భిన్నాలను విభజించడం గుణకారానికి తగ్గుతుందని నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. భిన్నాన్ని "ఫ్లిప్" చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారంను మార్చుకోండి. అందువల్ల, పాఠం అంతటా మనం ప్రధానంగా గుణకారాన్ని పరిశీలిస్తాము.

గుణకారం ఫలితంగా, తగ్గించదగిన భిన్నం తలెత్తవచ్చు (మరియు తరచుగా తలెత్తుతుంది) - ఇది తప్పనిసరిగా తగ్గించబడాలి. అన్ని తగ్గింపుల తర్వాత భిన్నం తప్పు అని తేలితే, మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి. కానీ గుణకారంతో ఖచ్చితంగా జరగనిది సాధారణ హారంకు తగ్గింపు: క్రాస్-క్రాస్ పద్ధతులు లేవు, గొప్ప కారకాలు మరియు తక్కువ సాధారణ గుణిజాలు.

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

మొత్తం భాగాలు మరియు ప్రతికూల భిన్నాలతో భిన్నాలను గుణించడం

భిన్నాలలో ఉంటే మొత్తం భాగం, అవి తప్పని సరిగా మార్చబడాలి - ఆపై మాత్రమే పైన పేర్కొన్న పథకాల ప్రకారం గుణించాలి.

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో, హారంలో లేదా దాని ముందు మైనస్ ఉన్నట్లయితే, దానిని క్రింది నియమాల ప్రకారం గుణకారం నుండి తీసివేయవచ్చు లేదా పూర్తిగా తీసివేయవచ్చు:

1. ప్లస్ బై మైనస్ మైనస్ ఇస్తుంది;
2. రెండు ప్రతికూలతలు ధృవీకరణను చేస్తాయి.

ఇప్పటి వరకు, మొత్తం భాగాన్ని వదిలించుకోవడానికి అవసరమైనప్పుడు, ప్రతికూల భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు మాత్రమే ఈ నియమాలు ఎదుర్కొంటారు. ఒక పని కోసం, ఒకేసారి అనేక ప్రతికూలతలను "బర్న్" చేయడానికి వాటిని సాధారణీకరించవచ్చు:

1. ప్రతికూలతలు పూర్తిగా అదృశ్యమయ్యే వరకు మేము జంటగా వాటిని దాటుతాము. విపరీతమైన సందర్భాల్లో, ఒక మైనస్ మనుగడ సాగించగలదు - దాని కోసం సహచరుడు లేడు;
2. మైనస్‌లు లేనట్లయితే, ఆపరేషన్ పూర్తయింది - మీరు గుణించడం ప్రారంభించవచ్చు. దానికి జత లేనందున చివరి మైనస్ దాటకపోతే, మేము దానిని గుణకారం యొక్క పరిమితుల వెలుపల తీసుకుంటాము. ఫలితం ప్రతికూల భిన్నం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

మేము అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుస్తాము, ఆపై గుణకారం నుండి మైనస్‌లను తీసుకుంటాము. మేము సాధారణ నియమాల ప్రకారం మిగిలి ఉన్న వాటిని గుణిస్తాము. మాకు దొరికింది:

హైలైట్ చేయబడిన మొత్తం భాగంతో భిన్నం ముందు కనిపించే మైనస్ మొత్తం భిన్నాన్ని ప్రత్యేకంగా సూచిస్తుంది మరియు దాని మొత్తం భాగానికి మాత్రమే కాకుండా (ఇది చివరి రెండు ఉదాహరణలకు వర్తిస్తుంది) అని నేను మీకు మరోసారి గుర్తు చేస్తాను.

కూడా గమనించండి ప్రతికూల సంఖ్యలు: గుణించేటప్పుడు, అవి కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడతాయి. గుణకార సంకేతాల నుండి మైనస్‌లను వేరు చేయడానికి మరియు మొత్తం సంజ్ఞామానాన్ని మరింత ఖచ్చితమైనదిగా చేయడానికి ఇది జరుగుతుంది.

ఫ్లైలో భిన్నాలను తగ్గించడం

గుణకారం అనేది చాలా శ్రమతో కూడుకున్న ఆపరేషన్. ఇక్కడ సంఖ్యలు చాలా పెద్దవిగా మారాయి మరియు సమస్యను సులభతరం చేయడానికి, మీరు భిన్నాన్ని మరింత తగ్గించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు గుణకారం ముందు. నిజానికి, సారాంశంలో, భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారం సాధారణ కారకాలు, అందువల్ల, వాటిని భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి తగ్గించవచ్చు. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

అన్ని ఉదాహరణలలో, తగ్గించబడిన సంఖ్యలు మరియు వాటిలో మిగిలి ఉన్నవి ఎరుపు రంగులో గుర్తించబడతాయి.

దయచేసి గమనించండి: మొదటి సందర్భంలో, గుణకాలు పూర్తిగా తగ్గించబడ్డాయి. వాటి స్థానంలో సాధారణంగా చెప్పాలంటే, వ్రాయవలసిన అవసరం లేని యూనిట్లు ఉన్నాయి. రెండవ ఉదాహరణలో, పూర్తి తగ్గింపును సాధించడం సాధ్యం కాదు, కానీ మొత్తం లెక్కలు ఇప్పటికీ తగ్గాయి.

అయితే, భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు ఈ పద్ధతిని ఎప్పుడూ ఉపయోగించవద్దు! అవును, కొన్నిసార్లు మీరు తగ్గించాలనుకునే సారూప్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ఇక్కడ చూడండి:

మీరు అలా చేయలేరు!

లోపం సంభవిస్తుంది ఎందుకంటే జోడించేటప్పుడు, భిన్నం యొక్క లవం మొత్తంని ఉత్పత్తి చేస్తుంది, సంఖ్యల ఉత్పత్తి కాదు. పర్యవసానంగా, భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం, ఎందుకంటే ఈ ఆస్తి ప్రత్యేకంగా సంఖ్యల గుణకారంతో వ్యవహరిస్తుంది.

భిన్నాలను తగ్గించడానికి ఇతర కారణాలు లేవు, కాబట్టి సరైన పరిష్కారంమునుపటి పని ఇలా కనిపిస్తుంది:

సరైన పరిష్కారం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సరైన సమాధానం అంత అందంగా లేదని తేలింది. సాధారణంగా, జాగ్రత్తగా ఉండండి.

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

ఈ ఆపరేషన్ కూడిక-వ్యవకలనం కంటే చాలా బాగుంది! ఎందుకంటే ఇది సులభం. రిమైండర్‌గా, భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌లను గుణించాలి (ఇది ఫలితం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది) మరియు హారం (ఇది హారం అవుతుంది). అంటే:

ఉదాహరణకి:

ప్రతిదీ చాలా సులభం. మరియు దయచేసి సాధారణ హారం కోసం చూడకండి! ఇక్కడ అతని అవసరం లేదు...

భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు రివర్స్ చేయాలి రెండవ(ఇది ముఖ్యం!) భిన్నం మరియు వాటిని గుణించండి, అనగా:

ఉదాహరణకి:

మీరు పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలతో గుణకారం లేదా భాగహారాన్ని చూసినట్లయితే, అది సరే. అదనంగా, మేము హారంలో ఒకదానితో పూర్తి సంఖ్య నుండి భిన్నాన్ని తయారు చేస్తాము - మరియు ముందుకు సాగండి! ఉదాహరణకి:

ఉన్నత పాఠశాలలో, మీరు తరచుగా మూడు-అంతస్తుల (లేదా నాలుగు-అంతస్తుల!) భిన్నాలతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

నేను ఈ భిన్నాన్ని మర్యాదగా ఎలా చూడగలను? అవును, చాలా సులభం! రెండు పాయింట్ల విభజనను ఉపయోగించండి:

కానీ విభజన క్రమం గురించి మర్చిపోవద్దు! గుణకారం కాకుండా, ఇది ఇక్కడ చాలా ముఖ్యమైనది! వాస్తవానికి, మేము 4:2 లేదా 2:4ని కంగారు పెట్టము. కానీ మూడు-అంతస్తుల భిన్నంలో తప్పు చేయడం సులభం. ఉదాహరణకు దయచేసి గమనించండి:

మొదటి సందర్భంలో (ఎడమవైపు వ్యక్తీకరణ):

రెండవది (కుడివైపున వ్యక్తీకరణ):

మీకు తేడా అనిపిస్తుందా? 4 మరియు 1/9!

విభజన క్రమాన్ని ఏది నిర్ణయిస్తుంది? బ్రాకెట్‌లతో లేదా (ఇక్కడ వలె) క్షితిజ సమాంతర రేఖల పొడవుతో. మీ కంటిని అభివృద్ధి చేయండి. మరియు బ్రాకెట్‌లు లేదా డాష్‌లు లేకుంటే, ఇలా:

అప్పుడు విభజించి గుణించాలి క్రమంలో, ఎడమ నుండి కుడికి!

మరియు మరొక చాలా సులభమైన మరియు ముఖ్యమైన టెక్నిక్. డిగ్రీలతో చర్యలలో, ఇది మీకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది! ఏదైనా భిన్నం ద్వారా ఒకదానిని భాగిద్దాం, ఉదాహరణకు, 13/15 ద్వారా:

షాట్ తిరగబడింది! మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ జరుగుతుంది. 1ని ఏదైనా భిన్నంతో భాగించినప్పుడు, ఫలితం అదే భిన్నం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే ఉంటుంది.

భిన్నాలతో కార్యకలాపాలకు అంతే. విషయం చాలా సులభం, కానీ ఇది తగినంత కంటే ఎక్కువ లోపాలను ఇస్తుంది. గమనిక ఆచరణాత్మక సలహా, మరియు వాటిలో తక్కువ (లోపాలు) ఉంటాయి!

ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఖచ్చితత్వం మరియు శ్రద్ద! కాదు సాధారణ పదాలు, శుభాకాంక్షలు కాదు! ఇది చాలా అవసరం! యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని అన్ని గణనలను పూర్తి స్థాయి టాస్క్‌గా, దృష్టి కేంద్రీకరించి మరియు స్పష్టంగా చేయండి. మానసిక గణనలను చేసేటప్పుడు గందరగోళానికి గురికావడం కంటే మీ డ్రాఫ్ట్‌లో రెండు అదనపు పంక్తులు రాయడం మంచిది.

2. తో ఉదాహరణలలో వివిధ రకములుభిన్నాలు - సాధారణ భిన్నాలకు వెళ్లండి.

3. అన్ని భిన్నాలు ఆగిపోయే వరకు మేము వాటిని తగ్గిస్తాము.

4. మేము రెండు పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించి సాధారణ వాటికి బహుళ-స్థాయి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను తగ్గిస్తాము (మేము విభజన క్రమాన్ని అనుసరిస్తాము!).

5. మీ తలలోని భిన్నం ద్వారా యూనిట్‌ను విభజించండి, భిన్నాన్ని తిప్పండి.

మీరు ఖచ్చితంగా పూర్తి చేయవలసిన పనులు ఇక్కడ ఉన్నాయి. అన్ని పనుల తర్వాత సమాధానాలు ఇవ్వబడతాయి. ఈ అంశంపై పదార్థాలు మరియు ఆచరణాత్మక చిట్కాలను ఉపయోగించండి. మీరు ఎన్ని ఉదాహరణలను సరిగ్గా పరిష్కరించగలిగారో అంచనా వేయండి. మొదటి సారి! కాలిక్యులేటర్ లేకుండా! మరియు సరైన తీర్మానాలు చేయండి ...

గుర్తుంచుకోండి - సరైన సమాధానం రెండవ (ముఖ్యంగా మూడవ) సమయం లెక్కించబడదు!కఠినమైన జీవితం అలాంటిది.

కాబట్టి, పరీక్ష మోడ్‌లో పరిష్కరించండి ! ఇది ఇప్పటికే యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా ఉంది. మేము ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తాము, దాన్ని తనిఖీ చేయండి, తదుపరిదాన్ని పరిష్కరించండి. మేము ప్రతిదీ నిర్ణయించుకున్నాము - మొదటి నుండి చివరి వరకు మళ్లీ తనిఖీ చేసాము. కానీ మాత్రమే అప్పుడుసమాధానాలను చూడండి.

లెక్కించు:

మీరు నిర్ణయించుకున్నారా?

మేము మీకు సరిపోయే సమాధానాల కోసం వెతుకుతున్నాము. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా వాటిని గందరగోళంగా, టెంప్టేషన్‌కు దూరంగా, మాట్లాడటానికి వ్రాసాను... ఇక్కడ అవి, సెమికోలన్‌లతో వ్రాసిన సమాధానాలు.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

ఇప్పుడు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము. ప్రతిదీ పని చేస్తే, నేను మీ కోసం సంతోషంగా ఉన్నాను! భిన్నాలతో కూడిన ప్రాథమిక లెక్కలు మీ సమస్య కాదు! మీరు మరింత తీవ్రమైన పనులు చేయవచ్చు. కాకపోతె...

కాబట్టి మీకు రెండు సమస్యలలో ఒకటి ఉంది. లేదా రెండూ ఒకేసారి.) జ్ఞానం లేకపోవడం మరియు (లేదా) అజాగ్రత్త. ఇది మాత్రం పరిష్కరించగల సమస్యలు.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్ష. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

పాఠం కంటెంట్

వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

భిన్నాల జోడింపులో రెండు రకాలు ఉన్నాయి:

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

ముందుగా, వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపును నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించి, హారం మారకుండా ఉంచాలి. ఉదాహరణకు, భిన్నాలు మరియు . న్యూమరేటర్లను జోడించి, హారం మారకుండా ఉంచండి:

నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది:

ఉదాహరణ 2.భిన్నాలను జోడించండి మరియు .

సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలింది. పని ముగింపు వచ్చినప్పుడు, సరికాని భిన్నాలను వదిలించుకోవడం ఆచారం. సరికాని భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి. మా విషయంలో, మొత్తం భాగం సులభంగా వేరుచేయబడుతుంది - రెండు రెండిటితో విభజించబడి ఒకటికి సమానం:

రెండు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జా గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు మరింత పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు ఒక మొత్తం పిజ్జా లభిస్తుంది:

ఉదాహరణ 3. భిన్నాలను జోడించండి మరియు .

మళ్ళీ, మేము న్యూమరేటర్లను జోడిస్తాము మరియు హారం మారకుండా వదిలివేస్తాము:

మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు మరింత పిజ్జాను జోడిస్తే, మీరు పిజ్జా పొందుతారు:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. న్యూమరేటర్లు తప్పనిసరిగా జోడించబడాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి:

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాలకు పిజ్జాలను జోడించి, మరిన్ని పిజ్జాలను జోడిస్తే, మీరు 1 మొత్తం పిజ్జా మరియు మరిన్ని పిజ్జాలను పొందుతారు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:

1. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి;

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

ఇప్పుడు వివిధ హారంలతో భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో తెలుసుకుందాం. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు, భిన్నాల యొక్క హారం ఒకేలా ఉండాలి. కానీ అవి ఎప్పుడూ ఒకేలా ఉండవు.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలను జోడించవచ్చు ఎందుకంటే అవి ఒకే హారం కలిగి ఉంటాయి.

కానీ భిన్నాలు వెంటనే జోడించబడవు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలు తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించబడాలి.

భిన్నాలను ఒకే హారంకు తగ్గించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఈ రోజు మనం వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే పరిశీలిస్తాము, ఎందుకంటే ఇతర పద్ధతులు ఒక అనుభవశూన్యుడుకి సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు.

ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, మొదట రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCM శోధించబడుతుంది. LCM మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందేందుకు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది. వారు రెండవ భిన్నంతో అదే విధంగా చేస్తారు - LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది.

భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ చర్యల ఫలితంగా, భిన్నమైన హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు.

ఉదాహరణ 1. భిన్నాలను జత చేద్దాం మరియు

అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల యొక్క హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని మేము కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6

LCM (2 మరియు 3) = 6

ఇప్పుడు భిన్నాలు మరియు . ముందుగా, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందండి. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 6ని 3తో భాగిస్తే మనకు 2 వస్తుంది.

ఫలిత సంఖ్య 2 మొదటి అదనపు గుణకం. మేము దానిని మొదటి భిన్నానికి వ్రాస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నం మీద ఒక చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేసి, దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాయండి:

మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. మేము LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించి, రెండవ అదనపు కారకాన్ని పొందుతాము. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 6ని 2తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది.

ఫలిత సంఖ్య 3 రెండవ అదనపు గుణకం. మేము దానిని రెండవ భాగానికి వ్రాస్తాము. మళ్ళీ, మేము రెండవ భిన్నం మీద చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేస్తాము మరియు దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మేము అదనంగా ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

మేము ఏమి వచ్చామో జాగ్రత్తగా చూడండి. వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:

ఇది ఉదాహరణను పూర్తి చేస్తుంది. ఇది జోడించడానికి మారుతుంది.

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీరు ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక పిజ్జాలో ఆరవ వంతు పొందుతారు:

భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. భిన్నాలను తగ్గించడం మరియు ఒక సాధారణ హారం, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ రెండు భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి. ఒకే తేడా ఏమిటంటే, ఈసారి అవి సమాన వాటాలుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడుతుంది).

మొదటి డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో నాలుగు ముక్కలు), మరియు రెండవ డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో మూడు ముక్కలు). ఈ ముక్కలను జోడించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది (ఆరులో ఏడు ముక్కలు). ఈ భిన్నం సరికాదు, కాబట్టి మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేసాము. ఫలితంగా, మేము (ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక ఆరవ పిజ్జా) పొందాము.

మేము ఈ ఉదాహరణను చాలా వివరంగా వివరించామని దయచేసి గమనించండి. IN విద్యా సంస్థలుఇంత వివరంగా రాయడం ఆచారం కాదు. మీరు రెండు హారంల యొక్క LCMని మరియు వాటికి అదనపు కారకాలను త్వరగా కనుగొనగలగాలి, అలాగే మీ న్యూమరేటర్‌లు మరియు హారం ద్వారా కనుగొనబడిన అదనపు కారకాలను త్వరగా గుణించాలి. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, ఈ ఉదాహరణను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవలసి ఉంటుంది:

కానీ కూడా ఉంది వెనుక వైపుపతకాలు. మీరు గణితాన్ని అధ్యయనం చేసే మొదటి దశలలో వివరణాత్మక గమనికలను తీసుకోకపోతే, ఆ విధమైన ప్రశ్నలు కనిపించడం ప్రారంభిస్తాయి. “ఆ సంఖ్య ఎక్కడ నుండి వస్తుంది?”, “భిన్నాలు అకస్మాత్తుగా పూర్తిగా భిన్నమైన భిన్నాలుగా ఎందుకు మారతాయి? «.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, మీరు క్రింది దశల వారీ సూచనలను ఉపయోగించవచ్చు:

1. భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి;
2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి మరియు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి;
3. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి;
4. ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలను జోడించండి;
5. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి;

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి .

పైన ఇచ్చిన సూచనలను ఉపయోగించుకుందాం.

దశ 1. భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి

రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. భిన్నాల హారం సంఖ్యలు 2, 3 మరియు 4

దశ 2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి

మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 12ని 2తో భాగిస్తే మనకు 6 వస్తుంది. మనకు మొదటి అదనపు కారకం 6 వచ్చింది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగించండి, మనకు 4 వస్తుంది. మనకు రెండవ అదనపు కారకం 4 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం LCMని మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. మనకు మూడవ అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

దశ 3. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి

మేము న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణిస్తాము:

దశ 4. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించండి

వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. ఈ భిన్నాలను జోడించడమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని జోడించండి:

అదనంగా ఒక లైన్‌లో సరిపోలేదు, కాబట్టి మేము మిగిలిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను తదుపరి పంక్తికి తరలించాము. ఇది గణితంలో అనుమతించబడుతుంది. వ్యక్తీకరణ ఒక పంక్తిలో సరిపోనప్పుడు, అది తదుపరి పంక్తికి తరలించబడుతుంది మరియు మొదటి పంక్తి చివరిలో మరియు కొత్త పంక్తి ప్రారంభంలో సమాన గుర్తు (=) ఉంచడం అవసరం. రెండవ పంక్తిలోని సమాన సంకేతం ఇది మొదటి పంక్తిలో ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క కొనసాగింపు అని సూచిస్తుంది.

దశ 5. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి

మా సమాధానంలో మాకు సరికాని భిన్నం వచ్చింది. మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి. మేము హైలైట్ చేస్తాము:

మాకు సమాధానం వచ్చింది

వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

భిన్నాల వ్యవకలనంలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి:

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

ముందుగా, వంటి హారంతో భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఒక భిన్నం నుండి మరొక దానిని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి, కానీ హారంను అలాగే వదిలివేయండి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి. ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి. ఇలా చేద్దాం:

నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

మళ్ళీ, మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి, రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేసి, హారం మారకుండా ఉంచండి:

మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి మీరు మిగిలిన భిన్నాల సంఖ్యలను తీసివేయాలి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:

1. ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి;
2. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

ఉదాహరణకు, భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉన్నందున మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయవచ్చు. కానీ మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయలేరు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలు తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించబడాలి.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మనం ఉపయోగించిన అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సాధారణ హారం కనుగొనబడింది. అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. అప్పుడు LCM మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు మొదటి అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది మొదటి భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది. అదేవిధంగా, LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది రెండవ భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది.

అప్పుడు భిన్నాలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ ఆపరేషన్ల ఫలితంగా, భిన్నమైన హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు.

ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

మొదట మనం రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 12

LCM (3 మరియు 4) = 12

ఇప్పుడు భిన్నాలకు తిరిగి వెళ్దాం మరియు

మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగిస్తే మనకు 4 వస్తుంది. మొదటి భిన్నం పైన నాలుగు రాయండి:

మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. రెండవ భిన్నం మీద మూడు రాయండి:

ఇప్పుడు మేము వ్యవకలనం కోసం సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:

మాకు సమాధానం వచ్చింది

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాని కట్ చేస్తే, మీరు పిజ్జా పొందుతారు

ఇది పరిష్కారం యొక్క వివరణాత్మక సంస్కరణ. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, మేము ఈ ఉదాహరణను చిన్నదిగా పరిష్కరించవలసి ఉంటుంది. అటువంటి పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తగ్గించడం ద్వారా, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి, కానీ ఈసారి అవి సమాన షేర్‌లుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడింది):

మొదటి చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో ఎనిమిది ముక్కలు), మరియు రెండవ చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో మూడు ముక్కలు). ఎనిమిది ముక్కల నుండి మూడు ముక్కలను కత్తిరించడం ద్వారా, మేము పన్నెండు నుండి ఐదు ముక్కలు పొందుతాము. భిన్నం ఈ ఐదు ముక్కలను వివరిస్తుంది.

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి ముందుగా మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

ఈ భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి.

భిన్నాల యొక్క హారం సంఖ్యలు 10, 3 మరియు 5. ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 30

LCM(10, 3, 5) = 30

ఇప్పుడు మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, ప్రతి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా LCMని విభజించండి.

మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 10. 30ని 10తో భాగిస్తే, మనకు మొదటి అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం రెండవ భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 30ని 3తో భాగిస్తే, మనకు రెండవ అదనపు కారకం 10 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం మూడవ భాగానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 5. 30ని 5తో భాగిస్తే, మనకు మూడవ అదనపు కారకం 6 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు వ్యవకలనం కోసం ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను పూర్తి చేద్దాం.

ఉదాహరణ యొక్క కొనసాగింపు ఒక లైన్‌లో సరిపోదు, కాబట్టి మేము కొనసాగింపును తదుపరి పంక్తికి తరలిస్తాము. కొత్త లైన్‌లో సమాన గుర్తు (=) గురించి మర్చిపోవద్దు:

సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, మరియు ప్రతిదీ మాకు సరిపోయేలా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చాలా గజిబిజిగా మరియు అగ్లీగా ఉంది. మేము దానిని సరళంగా చేయాలి. ఏమి చేయవచ్చు? మీరు ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు.

భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు దాని లవం మరియు హారం 20 మరియు 30 సంఖ్యల (GCD) ద్వారా విభజించాలి.

కాబట్టి, మేము 20 మరియు 30 సంఖ్యల gcdని కనుగొంటాము:

ఇప్పుడు మేము మా ఉదాహరణకి తిరిగి వస్తాము మరియు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కనుగొన్న gcd ద్వారా భాగిస్తాము, అంటే 10 ద్వారా

మాకు సమాధానం వచ్చింది

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడం

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క లవంను ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు హారంను అలాగే వదిలివేయాలి.

ఉదాహరణ 1. ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 1తో గుణించండి.

భిన్నం యొక్క సంఖ్యను సంఖ్య 1తో గుణించండి

రికార్డింగ్ సగం 1 సమయం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు ఒకసారి పిజ్జా తీసుకుంటే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది

గుణకారం మరియు కారకం మార్చుకుంటే, ఉత్పత్తి మారదని గుణకార నియమాల నుండి మనకు తెలుసు. వ్యక్తీకరణ ఇలా వ్రాసినట్లయితే, ఉత్పత్తి ఇప్పటికీ సమానంగా ఉంటుంది. మళ్ళీ, పూర్తి సంఖ్య మరియు భిన్నాన్ని గుణించడం కోసం నియమం పనిచేస్తుంది:

ఈ సంజ్ఞామానం ఒకదానిలో సగం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, 1 మొత్తం పిజ్జా ఉంటే మరియు అందులో సగం తీసుకుంటే, అప్పుడు మనకు పిజ్జా ఉంటుంది:

ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

భిన్నం యొక్క సంఖ్యను 4తో గుణించండి

సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:

వ్యక్తీకరణ రెండు వంతులు 4 సార్లు తీసుకోవడం అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 4 పిజ్జాలు తీసుకుంటే, మీకు రెండు మొత్తం పిజ్జాలు లభిస్తాయి

మరియు మనం గుణకారాన్ని మరియు గుణకాన్ని మార్చుకుంటే, మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది . ఇది కూడా 2కి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యక్తీకరణ నాలుగు మొత్తం పిజ్జాల నుండి రెండు పిజ్జాలను తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు:

భిన్నాలను గుణించడం

భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించాలి. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

మాకు సమాధానం వచ్చింది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడం మంచిది. భిన్నాన్ని 2 తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు తుది పరిష్కారం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

హాఫ్ పిజ్జా నుండి పిజ్జా తీసుకున్నట్లుగా వ్యక్తీకరణ అర్థం చేసుకోవచ్చు. మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:

ఈ సగం నుండి మూడింట రెండు వంతులు ఎలా తీసుకోవాలి? మొదట మీరు ఈ సగం మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించాలి:

మరియు ఈ మూడు ముక్కల నుండి రెండు తీసుకోండి:

మేము పిజ్జా తయారు చేస్తాము. మూడు భాగాలుగా విభజించినప్పుడు పిజ్జా ఎలా ఉంటుందో గుర్తుంచుకోండి:

ఈ పిజ్జా యొక్క ఒక ముక్క మరియు మేము తీసుకున్న రెండు ముక్కలు ఒకే కొలతలు కలిగి ఉంటాయి:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము అదే సైజు పిజ్జా గురించి మాట్లాడుతున్నాము. కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ

ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:

సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:

సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, అయితే దాన్ని కుదిస్తే బాగుంటుంది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు 105 మరియు 450 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ డివైజర్ (GCD) ద్వారా ఈ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను విభజించాలి.

కాబట్టి, 105 మరియు 450 సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి:

ఇప్పుడు మన సమాధానం యొక్క లవం మరియు హారంను మనం ఇప్పుడు కనుగొన్న gcd ద్వారా భాగిస్తాము, అంటే 15 ద్వారా

పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచిస్తుంది

ఏదైనా పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 5ని ఇలా సూచించవచ్చు. ఇది ఐదు యొక్క అర్ధాన్ని మార్చదు, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ అంటే "ఐదు సంఖ్యను ఒకదానితో విభజించబడింది" మరియు ఇది మనకు తెలిసినట్లుగా, ఐదుకి సమానం:

పరస్పర సంఖ్యలు

ఇప్పుడు మనం చాలా పరిచయం చేస్తాము ఆసక్తికరమైన అంశంగణితంలో. దీనిని "రివర్స్ నంబర్స్" అంటారు.

నిర్వచనం. సంఖ్యకు రివర్స్a గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్యa ఒకటి ఇస్తుంది.

వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఈ నిర్వచనంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aసంఖ్య 5 మరియు నిర్వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నించండి:

సంఖ్యకు రివర్స్ 5 గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్య 5 ఒకటి ఇస్తుంది.

5తో గుణించినప్పుడు ఒకటి ఇచ్చే సంఖ్యను కనుగొనడం సాధ్యమేనా? ఇది సాధ్యమేనని తేలింది. ఐదింటిని భిన్నం గా ఊహించుకుందాం:

అప్పుడు ఈ భిన్నాన్ని దానికదే గుణించండి, కేవలం న్యూమరేటర్ మరియు హారంను మార్చుకోండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, భిన్నాన్ని స్వయంగా గుణిద్దాం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే:

దీని ఫలితంగా ఏమి జరుగుతుంది? మేము ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తే, మనకు ఒకటి లభిస్తుంది:

దీనర్థం సంఖ్య 5 యొక్క విలోమం సంఖ్య , ఎందుకంటే మీరు 5ని గుణించినప్పుడు మీకు ఒకటి వస్తుంది.

ఏదైనా ఇతర పూర్ణాంకం కోసం ఒక సంఖ్య యొక్క రెసిప్రొకల్ కూడా కనుగొనవచ్చు.

మీరు ఏదైనా ఇతర భిన్నం యొక్క పరస్పరం కూడా కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, దాన్ని తిరగండి.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించడం

మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:

దానిని రెండింటి మధ్య సమానంగా విభజిద్దాము. ప్రతి వ్యక్తికి ఎంత పిజ్జా లభిస్తుంది?

సగం పిజ్జాను విభజించిన తర్వాత, రెండు సమానమైన ముక్కలు లభించినట్లు చూడవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి పిజ్జాగా ఉంటుంది. కాబట్టి ప్రతి ఒక్కరికీ పిజ్జా లభిస్తుంది.

భిన్నాల విభజన పరస్పరం ఉపయోగించి చేయబడుతుంది. విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడానికి పరస్పర సంఖ్యలు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు విభజన యొక్క విలోమంతో భిన్నాన్ని గుణించాలి.

ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము మా పిజ్జా యొక్క సగం విభజనను రెండు భాగాలుగా వ్రాస్తాము.

కాబట్టి, మీరు భిన్నాన్ని సంఖ్య 2 ద్వారా విభజించాలి. ఇక్కడ డివిడెండ్ భిన్నం మరియు భాగహారం సంఖ్య 2.

ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 2తో భాగించాలంటే, మీరు ఈ భిన్నాన్ని డివైజర్ 2 యొక్క రెసిప్రోకల్‌తో గుణించాలి. 2 యొక్క రెసిప్రోకల్ డివైజర్ 2. భిన్నం. కాబట్టి మీరు గుణించాలి