Μέθοδος γεωμετρικού μέσου τύπου. Γεωμετρικό μέσο

Χάνεται στον υπολογισμό του μέσου όρου.

Μέση τιμή έννοιασύνολο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών S διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των αριθμών. Δηλαδή αποδεικνύεται ότι μέση τιμή έννοιαισούται με: 19/4 = 4,75.

Σημείωση

Εάν θέλετε να βρείτε τη γεωμετρική μέση τιμή για δύο μόνο αριθμούς, τότε δεν χρειάζεστε μηχανική αριθμομηχανή: πάρτε τη δεύτερη ρίζα ( Τετραγωνική ρίζα) από οποιονδήποτε αριθμό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την πιο συνηθισμένη αριθμομηχανή.

Χρήσιμες συμβουλές

Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, ο γεωμετρικός μέσος όρος δεν επηρεάζεται τόσο έντονα από μεγάλες αποκλίσεις και διακυμάνσεις μεταξύ των επιμέρους τιμών στο σύνολο των δεικτών που μελετώνται.

Πηγές:

• Ηλεκτρονική αριθμομηχανή που υπολογίζει τον γεωμετρικό μέσο όρο
• γεωμετρικός μέσος τύπος

Μέση τιμήΗ τιμή είναι ένα από τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου αριθμών. Αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που δεν μπορεί να βρίσκεται εκτός του εύρους που ορίζεται από τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε αυτό το σύνολο αριθμών. Μέση τιμήΗ αριθμητική τιμή είναι ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος τύπος μέσου όρου.

Οδηγίες

Προσθέστε όλους τους αριθμούς του συνόλου και διαιρέστε τους με τον αριθμό των όρων για να πάρετε τον αριθμητικό μέσο όρο. Ανάλογα με τις συγκεκριμένες συνθήκες υπολογισμού, μερικές φορές είναι ευκολότερο να διαιρέσουμε κάθε έναν από τους αριθμούς με τον αριθμό των τιμών στο σύνολο και να αθροίσουμε το αποτέλεσμα.

Χρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, που περιλαμβάνεται στο λειτουργικό σύστημα Windows, εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου στο κεφάλι σας. Μπορείτε να το ανοίξετε χρησιμοποιώντας το παράθυρο διαλόγου εκκίνησης προγράμματος. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε τα πλήκτρα συντόμευσης WIN + R ή κάντε κλικ στο κουμπί Έναρξη και επιλέξτε Εκτέλεση από το κύριο μενού. Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε calc στο πεδίο εισαγωγής και πατήστε Enter ή κάντε κλικ στο κουμπί OK. Το ίδιο μπορεί να γίνει μέσω του κύριου μενού - ανοίξτε το, μεταβείτε στην ενότητα "Όλα τα προγράμματα" και στην ενότητα "Τυπικό" και επιλέξτε τη γραμμή "Αριθμομηχανή".

Εισαγάγετε όλους τους αριθμούς του σετ διαδοχικά πατώντας το πλήκτρο Συν μετά από κάθε έναν από αυτούς (εκτός από τον τελευταίο) ή κάνοντας κλικ στο αντίστοιχο κουμπί στη διεπαφή της αριθμομηχανής. Μπορείτε επίσης να εισάγετε αριθμούς είτε από το πληκτρολόγιο είτε κάνοντας κλικ στα αντίστοιχα κουμπιά διεπαφής.

Πατήστε το πλήκτρο κάθετο ή κάντε κλικ σε αυτό στη διεπαφή της αριθμομηχανής αφού εισαγάγετε την τελευταία τιμή ρύθμισης και πληκτρολογήστε τον αριθμό των αριθμών στη σειρά. Στη συνέχεια, πατήστε το σύμβολο ίσου και η αριθμομηχανή θα υπολογίσει και θα εμφανίσει τον αριθμητικό μέσο όρο.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν επεξεργαστή πίνακα για τον ίδιο σκοπό. Microsoft Excel. Σε αυτήν την περίπτωση, ξεκινήστε το πρόγραμμα επεξεργασίας και εισαγάγετε όλες τις τιμές της ακολουθίας αριθμών στα διπλανά κελιά. Εάν, μετά την εισαγωγή κάθε αριθμού, πατήσετε Enter ή το πλήκτρο κάτω ή δεξιό βέλος, ο ίδιος ο επεξεργαστής θα μετακινήσει την εστίαση εισόδου στο διπλανό κελί.

Κάντε κλικ στο κελί δίπλα στον τελευταίο αριθμό που εισαγάγατε, εάν δεν θέλετε να δείτε απλώς τον μέσο όρο. Αναπτύξτε το αναπτυσσόμενο μενού Greek sigma (Σ) για τις εντολές Επεξεργασία στην καρτέλα Αρχική σελίδα. Επιλέξτε τη γραμμή " Μέση τιμή" και ο επεξεργαστής θα εισαγάγει τον επιθυμητό τύπο για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου στο επιλεγμένο κελί. Πατήστε το πλήκτρο Enter και η τιμή θα υπολογιστεί.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένα από τα μέτρα της κεντρικής τάσης, που χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και τους στατιστικούς υπολογισμούς. Η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου για πολλές τιμές είναι πολύ απλή, αλλά κάθε εργασία έχει τις δικές της αποχρώσεις, τις οποίες είναι απλώς απαραίτητο να γνωρίζετε για να εκτελέσετε σωστούς υπολογισμούς.

Τι είναι ένας αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος καθορίζει τη μέση τιμή για ολόκληρο τον αρχικό πίνακα αριθμών. Με άλλα λόγια, από ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών επιλέγεται μια τιμή κοινή για όλα τα στοιχεία, η μαθηματική σύγκριση της οποίας με όλα τα στοιχεία είναι περίπου ίση. Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται κυρίως για την προετοιμασία οικονομικών και στατιστικών αναφορών ή για τον υπολογισμό των αποτελεσμάτων παρόμοιων πειραμάτων.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο

Η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου για έναν πίνακα αριθμών θα πρέπει να ξεκινήσει με τον προσδιορισμό του αλγεβρικού αθροίσματος αυτών των τιμών. Για παράδειγμα, αν ο πίνακας περιέχει τους αριθμούς 23, 43, 10, 74 και 34, τότε το αλγεβρικό άθροισμά τους θα είναι ίσο με 184. Κατά τη γραφή, ο αριθμητικός μέσος όρος συμβολίζεται με το γράμμα μ (mu) ή x (x με ένα μπαρ). Στη συνέχεια, το αλγεβρικό άθροισμα πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό των αριθμών του πίνακα. Στο υπό εξέταση παράδειγμα υπήρχαν πέντε αριθμοί, οπότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα είναι ίσος με 184/5 και θα είναι 36,8.

Χαρακτηριστικά της εργασίας με αρνητικούς αριθμούς

Αν ο πίνακας περιέχει αρνητικοί αριθμοί, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν παρόμοιο αλγόριθμο. Η διαφορά υπάρχει μόνο κατά τον υπολογισμό στο περιβάλλον προγραμματισμού ή εάν το πρόβλημα έχει πρόσθετες προϋποθέσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου των αριθμών με διαφορετικά σημάδιακαταλήγει σε τρία βήματα:

1. Εύρεση του γενικού αριθμητικού μέσου όρου χρησιμοποιώντας την τυπική μέθοδο.
2. Εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου των αρνητικών αριθμών.
3. Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου των θετικών αριθμών.

Οι απαντήσεις για κάθε ενέργεια γράφονται χωρισμένες με κόμμα.

Φυσικά και δεκαδικά κλάσματα

Αν παρουσιαστεί ένας πίνακας αριθμών δεκαδικά, η λύση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου των ακεραίων, αλλά το αποτέλεσμα μειώνεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του προβλήματος για την ακρίβεια της απάντησης.

Όταν εργάζεστε με φυσικά κλάσματα, θα πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό των αριθμών του πίνακα. Ο αριθμητής της απάντησης θα είναι το άθροισμα των δεδομένων αριθμητών των αρχικών κλασματικών στοιχείων.

• Μηχανική αριθμομηχανή.

Οδηγίες

Λάβετε υπόψη ότι γενικά ο μέσος όρος γεωμετρικούς αριθμούςβρίσκεται πολλαπλασιάζοντας αυτούς τους αριθμούς και παίρνοντας από αυτούς τη ρίζα της δύναμης που αντιστοιχεί στον αριθμό των αριθμών. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο όρο πέντε αριθμών, τότε θα χρειαστεί να εξαγάγετε τη ρίζα της ισχύος από το γινόμενο.

Για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο δύο αριθμών, χρησιμοποιήστε τον βασικό κανόνα. Βρείτε το γινόμενο τους και μετά πάρτε την τετραγωνική του ρίζα, αφού ο αριθμός είναι δύο, που αντιστοιχεί στη δύναμη της ρίζας. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 16 και 4, βρείτε το γινόμενο τους 16 4=64. Από τον αριθμό που προκύπτει, εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα √64=8. Αυτή θα είναι η επιθυμητή τιμή. Σημειώστε ότι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δύο αριθμών είναι μεγαλύτερος και ίσος με 10. Εάν δεν εξαχθεί ολόκληρη η ρίζα, στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στην επιθυμητή σειρά.

Για να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο όρο περισσότερων από δύο αριθμών, χρησιμοποιήστε επίσης τον βασικό κανόνα. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε το γινόμενο όλων των αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο όρο. Από το γινόμενο που προκύπτει, εξάγετε τη ρίζα της ισχύος ίση με τον αριθμό των αριθμών. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 2, 4 και 64, βρείτε το γινόμενο τους. 2 4 64=512. Εφόσον πρέπει να βρείτε το αποτέλεσμα του γεωμετρικού μέσου όρου τριών αριθμών, πάρτε την τρίτη ρίζα του γινομένου. Είναι δύσκολο να το κάνετε προφορικά, γι' αυτό χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή μηχανικής. Για το σκοπό αυτό έχει ένα κουμπί "x^y". Καλέστε τον αριθμό 512, πατήστε το κουμπί "x^y", μετά πληκτρολογήστε τον αριθμό 3 και πατήστε το κουμπί "1/x", για να βρείτε την τιμή του 1/3, πατήστε το κουμπί "=". Παίρνουμε το αποτέλεσμα της αύξησης του 512 στη δύναμη του 1/3, που αντιστοιχεί στην τρίτη ρίζα. Λάβετε 512^1/3=8. Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών 2.4 και 64.

Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή μηχανικής, μπορείτε να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο με άλλο τρόπο. Βρείτε το κουμπί καταγραφής στο πληκτρολόγιό σας. Μετά από αυτό, πάρτε τον λογάριθμο για κάθε έναν από τους αριθμούς, βρείτε το άθροισμά τους και διαιρέστε το με τον αριθμό των αριθμών. Πάρτε τον αντιλογάριθμο από τον αριθμό που προκύπτει. Αυτός θα είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των ίδιων αριθμών 2, 4 και 64, εκτελέστε ένα σύνολο πράξεων στην αριθμομηχανή. Πληκτρολογήστε τον αριθμό 2, μετά πατήστε το κουμπί καταγραφής, πατήστε το κουμπί "+", καλέστε τον αριθμό 4 και πατήστε ξανά log και "+", πληκτρολογήστε 64, πατήστε log και "=". Το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμός ίσο με το άθροισμαδεκαδικοί λογάριθμοι των αριθμών 2, 4 και 64. Διαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει με το 3, καθώς αυτός είναι ο αριθμός των αριθμών για τους οποίους αναζητείται ο γεωμετρικός μέσος όρος. Από το αποτέλεσμα, πάρτε τον αντιλογάριθμο αλλάζοντας το κουμπί θήκης και χρησιμοποιήστε το ίδιο κλειδί καταγραφής. Το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμός 8, αυτός είναι ο επιθυμητός γεωμετρικός μέσος όρος.

Εφαρμόζεται γεωμετρικός μέσος όροςσε περιπτώσεις όπου οι επιμέρους τιμές ενός χαρακτηριστικού αντιπροσωπεύουν τιμές σχετικής δυναμικής, κατασκευασμένες με τη μορφή τιμών αλυσίδας, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου σε μια σειρά δυναμικών, δηλαδή χαρακτηρίζει τον μέσο συντελεστή ανάπτυξης.

Ο τρόπος και η διάμεσος υπολογίζονται πολύ συχνά στα στατιστικά προβλήματα και είναι συμπληρωματικά μέτρια χαρακτηριστικάπληθυσμούς και χρησιμοποιούνται σε μαθηματικές στατιστικές για την ανάλυση του τύπου της σειράς κατανομής, η οποία μπορεί να είναι κανονική, ασύμμετρη, συμμετρική κ.λπ.

Ακριβώς όπως η διάμεσος, υπολογίζονται οι τιμές ενός χαρακτηριστικού που χωρίζει τον πληθυσμό σε τέσσερα ίσα μέρη - τετάρτες, σε πέντε μέρη - πεμπτουσιές, σε δέκα ίσα μέρη - decels, σε εκατό ίσα μέρη - ποσοστά. Η χρήση της κατανομής των θεωρούμενων χαρακτηριστικών στις στατιστικές κατά την ανάλυση των σειρών παραλλαγών μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τον υπό μελέτη πληθυσμό με μεγαλύτερη βάθος και λεπτομέρεια.

Το θέμα του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου όρου περιλαμβάνεται στο πρόγραμμα των μαθηματικών για τις τάξεις 6-7. Δεδομένου ότι η παράγραφος είναι αρκετά κατανοητή, ολοκληρώνεται γρήγορα και μέχρι το τέλος σχολική χρονιάοι μαθητές τον ξεχνούν. Όμως απαιτείται γνώση βασικών στατιστικών για να περάσει κανείς τις εξετάσεις Unified State, καθώς και για διεθνείς εξετάσεις SAT. Ναι και για Καθημερινή ζωήΗ αναπτυγμένη αναλυτική σκέψη δεν βλάπτει ποτέ.

Πώς να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο και τον γεωμετρικό μέσο όρο των αριθμών

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σειρά αριθμών: 11, 4 και 3. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό των δεδομένων αριθμών. Δηλαδή, στην περίπτωση των αριθμών 11, 4, 3, η απάντηση θα είναι 6. Πώς παίρνετε το 6;

Λύση: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Ο παρονομαστής πρέπει να περιέχει έναν αριθμό ίσο με τον αριθμό των αριθμών των οποίων ο μέσος όρος πρέπει να βρεθεί. Το άθροισμα διαιρείται με το 3, αφού υπάρχουν τρεις όροι.

Τώρα πρέπει να καταλάβουμε το γεωμετρικό μέσο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σειρά αριθμών: 4, 2 και 8.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών είναι το γινόμενο όλων των δεδομένων αριθμών, που βρίσκονται κάτω από τη ρίζα με ισχύ ίση με τον αριθμό των δεδομένων αριθμών, δηλαδή, στην περίπτωση των αριθμών 4, 2 και 8, η απάντηση θα είναι 4. Δείτε πώς. αποκαλύφθηκε ότι:

Λύση: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Και στις δύο επιλογές, πήραμε ολόκληρες απαντήσεις, αφού ελήφθησαν ειδικοί αριθμοί για το παράδειγμα. Αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η απάντηση πρέπει να στρογγυλεύεται ή να αφήνεται στη ρίζα. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 11, 7 και 20, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ≈ 12,67 και ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ∛1540. Και για τους αριθμούς 6 και 5, οι απαντήσεις θα είναι 5,5 και √30, αντίστοιχα.

Θα μπορούσε ο αριθμητικός μέσος όρος να γίνει ίσος με τον γεωμετρικό μέσο;

Φυσικά και μπορεί. Αλλά μόνο σε δύο περιπτώσεις. Εάν υπάρχει μια σειρά αριθμών που αποτελείται μόνο από ένα ή από μηδενικά. Είναι επίσης αξιοσημείωτο ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους.

Απόδειξη με μονάδες: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (αριθμητικός μέσος όρος).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (γεωμετρικός μέσος όρος).

Απόδειξη με μηδενικά: (0 + 0) / 2=0 (αριθμητικός μέσος όρος).

√(0 × 0) = 0 (γεωμετρικός μέσος όρος).

Δεν υπάρχει άλλη επιλογή και δεν μπορεί να είναι.

Οι μέσες τιμές στα στατιστικά στοιχεία παίζουν σημαντικό ρόλο γιατί... μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε ένα γενικό χαρακτηριστικό του φαινομένου που αναλύεται. Ο πιο συνηθισμένος μέσος όρος είναι, φυσικά, . Εμφανίζεται όταν σχηματίζεται ένας δείκτης συγκέντρωσης χρησιμοποιώντας το άθροισμα των στοιχείων. Για παράδειγμα, η μάζα πολλών μήλων, τα συνολικά έσοδα για κάθε ημέρα πωλήσεων κ.λπ. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Μερικές φορές ένας συγκεντρωτικός δείκτης δεν σχηματίζεται ως αποτέλεσμα άθροισης, αλλά ως αποτέλεσμα άλλων μαθηματικών πράξεων.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Μηνιαίος πληθωρισμός είναι η μεταβολή στο επίπεδο τιμών ενός μήνα σε σύγκριση με τον προηγούμενο μήνα. Εάν είναι γνωστοί οι ρυθμοί πληθωρισμού για κάθε μήνα, πώς να ληφθεί η ετήσια αξία; Από στατιστικής άποψης, αυτός είναι ένας αλυσιδωτός δείκτης, επομένως η σωστή απάντηση είναι: πολλαπλασιάζοντας τα μηνιαία ποσοστά πληθωρισμού. Αυτό είναι γενικός δείκτηςο πληθωρισμός δεν είναι ένα άθροισμα, αλλά ένα προϊόν. Τώρα πώς μπορείτε να μάθετε τον μέσο πληθωρισμό για ένα μήνα εάν υπάρχει ετήσια τιμή; Όχι, μην διαιρέσετε με το 12, αλλά πάρτε τη 12η ρίζα (ο βαθμός εξαρτάται από τον αριθμό των παραγόντων). Γενικά, ο γεωμετρικός μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Είναι δηλαδή η ρίζα του γινόμενου των αρχικών δεδομένων, όπου ο βαθμός καθορίζεται από τον αριθμό των παραγόντων. Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μέσος όρος δύο αριθμών είναι η τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους

τριών αριθμών - η κυβική ρίζα του προϊόντος

και τα λοιπά.

Εάν κάθε αρχικός αριθμός αντικατασταθεί από τον γεωμετρικό του μέσο, ​​τότε το γινόμενο θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα.

Για να κατανοήσετε καλύτερα τι είναι το γεωμετρικό μέσο και πώς διαφέρει από τον αριθμητικό μέσο όρο, λάβετε υπόψη το παρακάτω σχήμα. Υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Από ορθή γωνίαδιάμεσος παραλείφθηκε ένα(έως τη μέση της υποτείνουσας). Επίσης από τη σωστή γωνία το ύψος χαμηλώνει σι, που βρίσκεται στο σημείο Πχωρίζει την υποτείνουσα σε δύο μέρη ΜΚαι n. Επειδή Η υποτείνουσα είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου και η διάμεσος είναι η ακτίνα, τότε είναι προφανές ότι το μήκος της διάμεσης έναείναι ο αριθμητικός μέσος όρος του ΜΚαι n.

Ας υπολογίσουμε ποιο είναι το ύψος σι. Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ABPΚαι BCPη ισότητα είναι αληθινή

Το ύψος δηλαδή ορθογώνιο τρίγωνοείναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των τμημάτων στα οποία χωρίζει την υποτείνουσα. Τόσο ξεκάθαρη διαφορά.

Στο MS Excel, ο γεωμετρικός μέσος όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση SRGEOM.

Όλα είναι πολύ απλά: καλέστε τη συνάρτηση, καθορίστε το εύρος και τελειώσατε.

Στην πράξη, αυτός ο δείκτης δεν χρησιμοποιείται τόσο συχνά όσο ο αριθμητικός μέσος όρος, αλλά εξακολουθεί να εμφανίζεται. Για παράδειγμα, υπάρχει αυτό δείκτης ανθρώπινης ανάπτυξης, το οποίο χρησιμοποιείται για τη σύγκριση του βιοτικού επιπέδου σε διαφορετικές χώρες. Υπολογίζεται ως ο γεωμετρικός μέσος όρος πολλών δεικτών.

Υπάρχουν και άλλοι μέσοι όροι. Σχετικά με αυτούς άλλη φορά.

Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, ο γεωμετρικός μέσος όρος σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον βαθμό μεταβολής μιας μεταβλητής με την πάροδο του χρόνου. Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι η ντη ρίζα του γινομένου των n τιμών (στο Excel, χρησιμοποιείται η συνάρτηση =SRGEOM):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Μια παρόμοια παράμετρος - η γεωμετρική μέση τιμή του ποσοστού κέρδους - καθορίζεται από τον τύπο:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

όπου R i είναι το ποσοστό κέρδους για i-η περίοδοςχρόνος.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η αρχική επένδυση είναι 100.000 $ -η περίοδος έτους ισούται με 0, αφού τα αρχικά και τα τελικά ποσά των κεφαλαίων είναι ίσα μεταξύ τους. Ωστόσο, ο αριθμητικός μέσος όρος των ετήσιων ποσοστών απόδοσης είναι = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ή 25%, δεδομένου ότι το ποσοστό απόδοσης το πρώτο έτος R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5 , και στη δεύτερη R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Ταυτόχρονα, η γεωμετρική μέση τιμή του ποσοστού κέρδους για δύο χρόνια ισούται με: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Έτσι, ο γεωμετρικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια τη μεταβολή (ακριβέστερα, την απουσία αλλαγών) στον όγκο των επενδύσεων σε μια περίοδο δύο ετών από ο αριθμητικός μέσος όρος.

Ενδιαφέροντα γεγονότα. Πρώτον, ο γεωμετρικός μέσος όρος θα είναι πάντα μικρότερος από τον αριθμητικό μέσο όρο των ίδιων αριθμών. Εκτός από την περίπτωση που όλοι οι αριθμοί που λαμβάνονται είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεύτερον, εξετάζοντας τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να καταλάβετε γιατί ο μέσος όρος ονομάζεται γεωμετρικός. Το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου, χαμηλωμένο στην υποτείνουσα, είναι η μέση αναλογία μεταξύ των προεξοχών των ποδιών στην υποτείνουσα, και κάθε σκέλος είναι η μέση αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας και της προβολής της στην υποτείνουσα. Αυτό δίνει έναν γεωμετρικό τρόπο κατασκευής του γεωμετρικού μέσου όρου δύο (μήκη) τμημάτων: πρέπει να κατασκευάσετε έναν κύκλο στο άθροισμα αυτών των δύο τμημάτων ως διάμετρο και, στη συνέχεια, το ύψος να αποκατασταθεί από το σημείο της σύνδεσής τους στην τομή με τον κύκλο θα δώσει την επιθυμητή τιμή:

Ρύζι. 4.

Η δεύτερη σημαντική ιδιότητα των αριθμητικών δεδομένων είναι η παραλλαγή τους, η οποία χαρακτηρίζει τον βαθμό διασποράς των δεδομένων. Δύο διαφορετικά δείγματα μπορεί να διαφέρουν τόσο ως προς τους μέσους όρους όσο και στις διακυμάνσεις.

Υπάρχουν πέντε εκτιμήσεις της διακύμανσης των δεδομένων:

διατεταρτημοριακό εύρος,

διασπορά,

τυπική απόκλιση,

ο συντελεστής διακύμανσης.

Το εύρος είναι η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και μικρότερα στοιχείαδείγματα:

Εύρος = X Max - X Min

Το εύρος του δείγματος που περιέχει στοιχεία για τις μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων με πολύ υψηλό επίπεδοΟ κίνδυνος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν ταξινομημένο πίνακα: Εύρος = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης μέσης ετήσιας απόδοσης αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου είναι 24,6%.

Το εύρος μετρά τη συνολική εξάπλωση των δεδομένων. Αν και το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ απλή εκτίμηση της συνολικής εξάπλωσης των δεδομένων, η αδυναμία του είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη ακριβώς τον τρόπο κατανομής των δεδομένων μεταξύ του ελάχιστου και του μέγιστου στοιχείου. Η κλίμακα Β δείχνει ότι εάν ένα δείγμα περιέχει τουλάχιστον μία ακραία τιμή, το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ ανακριβής εκτίμηση της εξάπλωσης των δεδομένων.