Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Ακολουθίες αριθμών. Γεωμετρική πρόοδος"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 9η τάξη
Δυνάμεις και ρίζες Συναρτήσεις και γραφήματα

Παιδιά, σήμερα θα γνωρίσουμε ένα άλλο είδος εξέλιξης.
Το θέμα του σημερινού μαθήματος είναι η γεωμετρική πρόοδος.

Γεωμετρική πρόοδος

Ορισμός. Μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με το γινόμενο του προηγούμενου και κάποιος σταθερός αριθμός ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος.
Ας ορίσουμε την ακολουθία μας αναδρομικά: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
όπου b και q είναι ορισμένοι δεδομένοι αριθμοί. Ο αριθμός q ονομάζεται παρονομαστής της προόδου.

Παράδειγμα. 1,2,4,8,16… Γεωμετρική πρόοδος, του οποίου ο πρώτος όρος είναι ίσος με ένα, και $q=2$.

Παράδειγμα. 8,8,8,8... Μια γεωμετρική πρόοδο στην οποία ο πρώτος όρος είναι ίσος με οκτώ,
και $q=1$.

Παράδειγμα. 3,-3,3,-3,3... Γεωμετρική πρόοδος στην οποία ο πρώτος όρος ισούται με τρία,
και $q=-1$.

Η γεωμετρική πρόοδος έχει τις ιδιότητες της μονοτονίας.
Αν $b_(1)>0$, $q>1$,
τότε η σειρά αυξάνεται.
Αν $b_(1)>0$, $0 Η ακολουθία συνήθως συμβολίζεται με τη μορφή: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Ακριβώς όπως σε μια αριθμητική πρόοδο, εάν σε μια γεωμετρική πρόοδο ο αριθμός των στοιχείων είναι πεπερασμένος, τότε η πρόοδος ονομάζεται πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Σημειώστε ότι εάν μια ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος, τότε η ακολουθία των τετραγώνων των όρων είναι επίσης μια γεωμετρική πρόοδος. Στη δεύτερη ακολουθία, ο πρώτος όρος είναι ίσος με $b_(1)^2$ και ο παρονομαστής είναι ίσος με $q^2$.

Τύπος για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου

Η γεωμετρική πρόοδος μπορεί επίσης να προσδιοριστεί σε αναλυτική μορφή. Ας δούμε πώς να το κάνουμε αυτό:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Παρατηρούμε εύκολα το μοτίβο: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Ο τύπος μας ονομάζεται «τύπος του nου όρου μιας γεωμετρικής προόδου».

Ας επιστρέψουμε στα παραδείγματά μας.

Παράδειγμα. 1,2,4,8,16... Γεωμετρική πρόοδος στην οποία ο πρώτος όρος ισούται με ένα,
και $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Παράδειγμα. 16,8,4,2,1,1/2… Μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία ο πρώτος όρος είναι ίσος με δεκαέξι και $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Παράδειγμα. 8,8,8,8... Μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία ο πρώτος όρος είναι ίσος με οκτώ και $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Παράδειγμα. 3,-3,3,-3,3... Γεωμετρική πρόοδος στην οποία ο πρώτος όρος είναι ίσος με τρία και $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Παράδειγμα. Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
α) Είναι γνωστό ότι $b_(1)=6, q=3$. Βρείτε $b_(5)$.
β) Είναι γνωστό ότι $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Εύρεση n.
γ) Είναι γνωστό ότι $q=-2, b_(6)=96$. Βρείτε $b_(1)$.
δ) Είναι γνωστό ότι $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Βρείτε q.

Λύση.
α) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
β) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, αφού $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
γ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
δ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Παράδειγμα. Η διαφορά μεταξύ του έβδομου και του πέμπτου όρου της γεωμετρικής προόδου είναι 192, το άθροισμα του πέμπτου και του έκτου όρου της προόδου είναι 192. Βρείτε τον δέκατο όρο αυτής της προόδου.

Λύση.
Γνωρίζουμε ότι: $b_(7)-b_(5)=192$ και $b_(5)+b_(6)=192$.
Γνωρίζουμε επίσης: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Επειτα:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:
$\begin(περιπτώσεις)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(περιπτώσεις)$.
Εξισώνοντας τις εξισώσεις μας παίρνουμε:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Πήραμε δύο λύσεις q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Αντικαταστήστε διαδοχικά στη δεύτερη εξίσωση:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ δεν υπάρχουν λύσεις.
Πήραμε ότι: $b_(1)=4, q=2$.
Ας βρούμε τον δέκατο όρο: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Άθροισμα μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου

Ας έχουμε μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδο. Ας υπολογίσουμε, όπως και για μια αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των όρων της.

Έστω μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Ας εισάγουμε τον προσδιορισμό για το άθροισμα των όρων του: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Στην περίπτωση που $q=1$. Όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου είναι ίσοι με τον πρώτο όρο, τότε είναι προφανές ότι $S_(n)=n*b_(1)$.
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση $q≠1$.
Ας πολλαπλασιάσουμε το παραπάνω ποσό επί q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Σημείωση:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Λάβαμε τον τύπο για το άθροισμα μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.

Παράδειγμα.
Να βρείτε το άθροισμα των επτά πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο πρώτος όρος είναι 4 και ο παρονομαστής είναι 3.

Λύση.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Παράδειγμα.
Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου που είναι γνωστός: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Λύση.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Χαρακτηριστική ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου

Παιδιά δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος. Ας δούμε τα τρία συνεχόμενα μέλη του: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Ξέρουμε ότι:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Επειτα:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Εάν η πρόοδος είναι πεπερασμένη, τότε αυτή η ισότητα ισχύει για όλους τους όρους εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο.
Αν δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων τι μορφή έχει η ακολουθία, αλλά είναι γνωστό ότι: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Τότε μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι πρόκειται για μια γεωμετρική πρόοδο.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος μόνο όταν το τετράγωνο κάθε μέλους είναι ίσο με το γινόμενο των δύο γειτονικών μελών της προόδου. Μην ξεχνάτε ότι για μια πεπερασμένη εξέλιξη αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται για τον πρώτο και τον τελευταίο όρο.

Ας δούμε αυτήν την ταυτότητα: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
Το $\sqrt(a*b)$ ονομάζεται μέσος όρος γεωμετρικούς αριθμούςα και β.

Ο συντελεστής μέτρησης οποιουδήποτε όρου μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο των δύο γειτονικών όρων του.

Παράδειγμα.
Βρείτε το x τέτοιο ώστε $x+2; 2x+2; 3x+3$ ήταν τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

Λύση.
Ας χρησιμοποιήσουμε την χαρακτηριστική ιδιότητα:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ και $x_(2)=-1$.
Ας αντικαταστήσουμε διαδοχικά τις λύσεις μας στην αρχική έκφραση:
Με $x=2$, πήραμε την ακολουθία: 4;6;9 – μια γεωμετρική πρόοδο με $q=1,5$.
Για $x=-1$, παίρνουμε την ακολουθία: 1;0;0.
Απάντηση: $x=2,$

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1. Βρείτε τον όγδοο πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 16;-8;4;-2….
2. Να βρείτε τον δέκατο όρο της γεωμετρικής προόδου 11,22,44….
3. Είναι γνωστό ότι $b_(1)=5, q=3$. Βρείτε $b_(7)$.
4. Είναι γνωστό ότι $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Εύρεση n.
5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 11 όρων της γεωμετρικής προόδου 3;12;48….
6. Βρείτε το x έτσι ώστε $3x+4; 2x+4; x+5$ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

Πρώτο επίπεδο

Γεωμετρική πρόοδος. Περιεκτικός οδηγόςμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται ντο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προόδου είναι η αριθμητική και η γεωμετρική. Σε αυτό το θέμα θα μιλήσουμε για το δεύτερο είδος - γεωμετρική πρόοδος.

Γιατί χρειάζεται η γεωμετρική πρόοδος και η ιστορία της;

Ακόμη και στην αρχαιότητα, ο Ιταλός μαθηματικός μοναχός Λεονάρντο της Πίζας (γνωστός περισσότερο ως Φιμπονάτσι) ασχολήθηκε με τις πρακτικές ανάγκες του εμπορίου. Ο μοναχός βρέθηκε αντιμέτωπος με το καθήκον να προσδιορίσει ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός βαρών που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη ζύγιση ενός προϊόντος; Στα έργα του, ο Fibonacci αποδεικνύει ότι ένα τέτοιο σύστημα βαρών είναι το βέλτιστο: Αυτή είναι μια από τις πρώτες καταστάσεις στις οποίες οι άνθρωποι έπρεπε να αντιμετωπίσουν μια γεωμετρική πρόοδο, για την οποία πιθανότατα έχετε ήδη ακούσει και έχετε τουλάχιστον γενική έννοια. Μόλις κατανοήσετε πλήρως το θέμα, σκεφτείτε γιατί ένα τέτοιο σύστημα είναι το βέλτιστο;

Επί του παρόντος, στην πρακτική της ζωής, η γεωμετρική πρόοδος εκδηλώνεται κατά την επένδυση χρημάτων σε μια τράπεζα, όταν το ποσό των τόκων συγκεντρώνεται στο ποσό που συσσωρεύτηκε στον λογαριασμό για την προηγούμενη περίοδο. Με άλλα λόγια, εάν βάλετε χρήματα σε προθεσμιακή κατάθεση σε ταμιευτήριο, τότε μετά από ένα χρόνο η κατάθεση θα αυξηθεί κατά το αρχικό ποσό, δηλ. νέο ποσόθα είναι ίση με τη συνεισφορά πολλαπλασιαζόμενη επί. Σε άλλο χρόνο, το ποσό αυτό θα αυξηθεί κατά, δηλ. το ποσό που λαμβάνεται εκείνη τη στιγμή θα πολλαπλασιαστεί και πάλι επί και ούτω καθεξής. Μια παρόμοια κατάσταση περιγράφεται σε προβλήματα υπολογισμού του λεγόμενου ανατοκισμός- το ποσοστό λαμβάνεται κάθε φορά από το ποσό που υπάρχει στον λογαριασμό, λαμβανομένων υπόψη των προηγούμενων τόκων. Θα μιλήσουμε για αυτές τις εργασίες λίγο αργότερα.

Υπάρχουν πολλές ακόμη απλές περιπτώσεις όπου εφαρμόζεται γεωμετρική πρόοδος. Για παράδειγμα, η εξάπλωση της γρίπης: ένα άτομο μόλυνε ένα άλλο άτομο, εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο άτομο, και έτσι το δεύτερο κύμα μόλυνσης είναι ένα άτομο, και εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο... και ούτω καθεξής. .

Παρεμπιπτόντως, μια οικονομική πυραμίδα, το ίδιο ΜΜΜ, είναι ένας απλός και ξερός υπολογισμός που βασίζεται στις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου. Ενδιαφέρων; Ας το καταλάβουμε.

Γεωμετρική πρόοδος.

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία:

Θα απαντήσετε αμέσως ότι αυτό είναι εύκολο και το όνομα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι μια αριθμητική πρόοδος με τη διαφορά των όρων της. Τι λες για αυτό:

Αν αφαιρέσετε τον προηγούμενο από τον επόμενο αριθμό, θα δείτε ότι κάθε φορά παίρνετε μια νέα διαφορά (και ούτω καθεξής), αλλά η σειρά υπάρχει σίγουρα και είναι εύκολο να παρατηρηθεί - κάθε επόμενος αριθμός είναι φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο!

Αυτός ο τύπος ακολουθίας αριθμών ονομάζεται γεωμετρική πρόοδοςκαι ορίζεται.

Η γεωμετρική πρόοδος () είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Οι περιορισμοί ότι ο πρώτος όρος ( ) δεν είναι ίσος και δεν είναι τυχαίοι. Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει κανένας, και ο πρώτος όρος εξακολουθεί να είναι ίσος, και το q είναι ίσο με, χμμ.. ας είναι, τότε αποδεικνύεται:

Συμφωνήστε ότι αυτό δεν είναι πλέον μια εξέλιξη.

Όπως καταλαβαίνετε, θα έχουμε τα ίδια αποτελέσματα εάν υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, α. Σε αυτές τις περιπτώσεις, απλώς δεν θα υπάρχει πρόοδος, αφού ολόκληρη η σειρά αριθμών θα είναι είτε όλα μηδενικά είτε ένας αριθμός και όλα τα υπόλοιπα θα είναι μηδενικά.

Ας μιλήσουμε τώρα πιο αναλυτικά για τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή ο.

Ας επαναλάβουμε: - αυτός είναι ο αριθμός πόσες φορές αλλάζει κάθε επόμενος όρος;γεωμετρική πρόοδος.

Τι πιστεύετε ότι θα μπορούσε να είναι; Αυτό είναι σωστό, θετικό και αρνητικό, αλλά όχι μηδέν (το μιλήσαμε λίγο παραπάνω).

Ας υποθέσουμε ότι το δικό μας είναι θετικό. Ας στην περίπτωσή μας, α. Γιατί ίσο με το δεύτερομέλος και; Μπορείτε εύκολα να απαντήσετε ότι:

Σωστά. Αντίστοιχα, εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - αυτοί είναι θετικές.

Κι αν είναι αρνητικό; Για παράδειγμα, α. Ποια είναι η αξία του δεύτερου όρου και;

Αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική ιστορία

Προσπαθήστε να μετρήσετε τους όρους αυτής της εξέλιξης. Πόσα πήρες; Εχω. Έτσι, αν, τότε τα πρόσημα των όρων της γεωμετρικής προόδου εναλλάσσονται. Δηλαδή, αν δείτε μια πρόοδο με εναλλασσόμενα πρόσημα για τα μέλη της, τότε ο παρονομαστής της είναι αρνητικός. Αυτή η γνώση μπορεί να σας βοηθήσει να δοκιμάσετε τον εαυτό σας κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα.

Τώρα ας εξασκηθούμε λίγο: προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι γεωμετρική πρόοδος και ποιες αριθμητική πρόοδος:

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

• Γεωμετρική πρόοδος - 3, 6.
• Αριθμητική πρόοδος - 2, 4.
• Δεν είναι ούτε αριθμητική ούτε γεωμετρική πρόοδος - 1, 5, 7.

Ας επιστρέψουμε στην τελευταία μας εξέλιξη και ας προσπαθήσουμε να βρούμε το μέλος της, όπως ακριβώς και στην αριθμητική. Όπως ίσως έχετε μαντέψει, υπάρχουν δύο τρόποι για να το βρείτε.

Πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά κάθε όρο με.

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με.

Όπως ήδη μαντέψατε, τώρα εσείς οι ίδιοι θα αντλήσετε έναν τύπο που θα σας βοηθήσει να βρείτε οποιοδήποτε μέλος της γεωμετρικής προόδου. Ή το έχετε ήδη αναπτύξει για τον εαυτό σας, περιγράφοντας πώς να βρείτε το ου μέλος βήμα προς βήμα; Αν ναι, τότε ελέγξτε την ορθότητα του συλλογισμού σας.

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με το παράδειγμα εύρεσης του ου όρου αυτής της προόδου:

Με άλλα λόγια:

Βρείτε μόνοι σας την τιμή του όρου της δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Συνέβη; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

Λάβετε υπόψη ότι πήρατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν πολλαπλασιάσαμε διαδοχικά με κάθε προηγούμενο όρο της γεωμετρικής προόδου.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Ο παραγόμενος τύπος ισχύει για όλες τις τιμές - θετικές και αρνητικές. Ελέγξτε αυτό μόνοι σας υπολογίζοντας τους όρους της γεωμετρικής προόδου με τις ακόλουθες προϋποθέσεις: , α.

μετρήσατε; Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Συμφωνήστε ότι θα ήταν δυνατό να βρεθεί ένας όρος μιας εξέλιξης με τον ίδιο τρόπο όπως ένας όρος, ωστόσο, υπάρχει πιθανότητα λανθασμένου υπολογισμού. Και αν έχουμε ήδη βρει τον ό ​​όρο της γεωμετρικής προόδου, τότε τι θα μπορούσε να είναι πιο απλό από τη χρήση του «κομμένου» μέρους του τύπου.

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Μόλις πρόσφατα μιλήσαμε για το γεγονός ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν και περισσότερα και λιγότερο από το μηδέν, ωστόσο, υπάρχουν ειδικές τιμές για τις οποίες καλείται η γεωμετρική πρόοδος απείρως μειώνεται.

Γιατί πιστεύετε ότι δόθηκε αυτό το όνομα;
Αρχικά, ας γράψουμε κάποια γεωμετρική πρόοδο που αποτελείται από όρους.
Ας πούμε λοιπόν:

Βλέπουμε ότι κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο κατά έναν παράγοντα, αλλά θα υπάρχει κάποιος αριθμός; Θα απαντήσετε αμέσως - "όχι". Γι' αυτό μειώνεται απείρως - μειώνεται και μειώνεται, αλλά ποτέ δεν μηδενίζεται.

Για να κατανοήσουμε με σαφήνεια πώς φαίνεται αυτό οπτικά, ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα της προόδου μας. Έτσι, για την περίπτωσή μας, ο τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

Ως εκ τούτου, στα γραφήματα έχουμε συνηθίσει να σχεδιάζουμε την εξάρτηση από:

Η ουσία της έκφρασης δεν έχει αλλάξει: στην πρώτη καταχώριση δείξαμε την εξάρτηση της τιμής ενός μέλους μιας γεωμετρικής προόδου από τον τακτικό του αριθμό και στη δεύτερη καταχώρηση απλώς λάβαμε την τιμή ενός μέλους μιας γεωμετρικής προόδου ως , και όρισε τον τακτικό αριθμό όχι ως, αλλά ως. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα.
Ας δούμε τι έχεις. Εδώ είναι το γράφημα που κατέληξα:

Βλέπετε; Η συνάρτηση μειώνεται, τείνει στο μηδέν, αλλά δεν τη διασχίζει ποτέ, άρα είναι απείρως φθίνουσα. Ας σημειώσουμε τα σημεία μας στο γράφημα και ταυτόχρονα τι σημαίνει η συντεταγμένη και:

Προσπαθήστε να απεικονίσετε σχηματικά ένα γράφημα μιας γεωμετρικής προόδου εάν ο πρώτος όρος της είναι επίσης ίσος. Αναλύστε ποια είναι η διαφορά με το προηγούμενο γράφημα;

Κατάφερες; Εδώ είναι το γράφημα που κατέληξα:

Τώρα που έχετε κατανοήσει πλήρως τα βασικά του θέματος της γεωμετρικής προόδου: ξέρετε τι είναι, ξέρετε πώς να βρείτε τον όρο της και επίσης ξέρετε τι είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, ας προχωρήσουμε στην κύρια ιδιότητά της.

Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου.

Θυμάστε την ιδιότητα των όρων μιας αριθμητικής προόδου; Ναι, ναι, πώς να βρείτε την τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού προόδου όταν υπάρχουν προηγούμενες και επόμενες τιμές των όρων αυτής της προόδου. Θυμάσαι; Αυτό:

Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με ακριβώς το ίδιο ερώτημα για τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Για να εξαγάγουμε έναν τέτοιο τύπο, ας αρχίσουμε να σχεδιάζουμε και να συλλογίζουμε. Θα δεις, είναι πολύ εύκολο, και αν το ξεχάσεις, μπορείς να το βγάλεις μόνος σου.

Ας πάρουμε μια άλλη απλή γεωμετρική πρόοδο, στην οποία γνωρίζουμε και. Πως να βρεις; Με την αριθμητική πρόοδο είναι εύκολο και απλό, αλλά τι γίνεται εδώ; Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο ούτε στα γεωμετρικά - απλά πρέπει να γράψετε κάθε τιμή που μας δίνεται σύμφωνα με τον τύπο.

Μπορείτε να ρωτήσετε, τι πρέπει να κάνουμε για αυτό τώρα; Ναι, πολύ απλό. Αρχικά, ας απεικονίσουμε αυτούς τους τύπους σε μια εικόνα και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε διάφορους χειρισμούς με αυτούς για να καταλήξουμε στην τιμή.

Ας αφαιρεθούμε από τους αριθμούς που μας δίνονται, ας εστιάσουμε μόνο στην έκφρασή τους μέσω του τύπου. Πρέπει να βρούμε την τιμή που τονίζεται πορτοκάλι, γνωρίζοντας τα παρακείμενα μέλη του. Ας προσπαθήσουμε να παράγουμε μαζί τους διάφορες δράσεις, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορούμε να πάρουμε.

Πρόσθεση.
Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε δύο εκφράσεις και παίρνουμε:

Από αυτήν την έκφραση, όπως μπορείτε να δείτε, δεν μπορούμε να την εκφράσουμε με κανέναν τρόπο, επομένως, θα δοκιμάσουμε μια άλλη επιλογή - αφαίρεση.

Αφαίρεση.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν μπορούμε να το εκφράσουμε ούτε αυτό, επομένως, ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε αυτές τις εκφράσεις μεταξύ τους.

Πολλαπλασιασμός.

Τώρα κοιτάξτε προσεκτικά τι έχουμε πολλαπλασιάζοντας τους όρους της γεωμετρικής προόδου που μας δίνονται σε σύγκριση με αυτό που πρέπει να βρεθεί:

Μαντέψτε για τι πράγμα μιλάω; Αυτό είναι σωστό, για να βρούμε πρέπει να πάρουμε Τετραγωνική ρίζααπό τους αριθμούς γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό πολλαπλασιαζόμενους μεταξύ τους:

Ορίστε. Εσείς ο ίδιος αντλήσατε την ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου. Δοκιμάστε να γράψετε αυτόν τον τύπο γενική εικόνα. Συνέβη;

Ξεχάσατε την προϋπόθεση για; Σκεφτείτε γιατί είναι σημαντικό, για παράδειγμα, προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας. Τι θα γίνει σε αυτή την περίπτωση; Αυτό είναι σωστό, εντελώς ανοησίες γιατί ο τύπος μοιάζει με αυτό:

Συνεπώς, μην ξεχνάτε αυτόν τον περιορισμό.

Τώρα ας υπολογίσουμε τι ισούται

Σωστή απάντηση - ! Εάν δεν ξεχάσατε τη δεύτερη πιθανή τιμή κατά τον υπολογισμό, τότε είστε υπέροχοι και μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως στην προπόνηση, και αν ξεχάσατε, διαβάστε τι συζητείται παρακάτω και δώστε προσοχή στο γιατί είναι απαραίτητο να γράψετε και τις δύο ρίζες στην απάντηση.

Ας σχεδιάσουμε και τις δύο γεωμετρικές προόδους μας - η μία με μια τιμή και η άλλη με μια τιμή και να ελέγξουμε αν και οι δύο έχουν το δικαίωμα ύπαρξης:

Για να ελέγξουμε αν υπάρχει ή όχι μια τέτοια γεωμετρική πρόοδος, είναι απαραίτητο να δούμε αν όλοι οι δεδομένοι όροι της είναι ίδιοι; Υπολογίστε το q για την πρώτη και τη δεύτερη περίπτωση.

Δείτε γιατί πρέπει να γράψουμε δύο απαντήσεις; Γιατί το πρόσημο του όρου που ψάχνεις εξαρτάται από το αν είναι θετικό ή αρνητικό! Και επειδή δεν ξέρουμε τι είναι, πρέπει να γράψουμε και τις δύο απαντήσεις με ένα συν και ένα μείον.

Τώρα που έχετε κατακτήσει τα κύρια σημεία και αντλήσατε τον τύπο για την ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου, βρείτε, γνωρίζοντας και

Συγκρίνετε τις απαντήσεις σας με τις σωστές:

Τι νομίζετε, τι θα γινόταν αν μας δόθηκαν όχι οι τιμές των όρων της γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό αριθμό, αλλά σε ίση απόσταση από αυτόν. Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε, και να δώσουμε και. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αντλήσαμε σε αυτή την περίπτωση; Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε ή να αντικρούσετε αυτήν την πιθανότητα με τον ίδιο τρόπο, περιγράφοντας από τι αποτελείται κάθε τιμή, όπως κάνατε όταν εξάγατε αρχικά τον τύπο, στο.
Τι πήρες;

Τώρα κοιτάξτε ξανά προσεκτικά.
και αντίστοιχα:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο τύπος λειτουργεί όχι μόνο με τους γείτονεςμε τους επιθυμητούς όρους της γεωμετρικής προόδου, αλλά και με αυτός που απέχει εξίσουαπό αυτό που αναζητούν τα μέλη.

Έτσι, ο αρχικός μας τύπος έχει τη μορφή:

Δηλαδή, αν στην πρώτη περίπτωση το είπαμε, τώρα λέμε ότι μπορεί να είναι ίσος με οποιονδήποτε φυσικό αριθμό είναι μικρότερος. Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι το ίδιο και για τους δύο δεδομένους αριθμούς.

Εξασκηθείτε με συγκεκριμένα παραδείγματα, απλά να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί!

1. , . Εύρημα.
2. , . Εύρημα.
3. , . Εύρημα.

Αποφασισμένος; Ελπίζω να ήσασταν εξαιρετικά προσεκτικοί και να παρατηρήσατε μια μικρή σύλληψη.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, εφαρμόζουμε ήρεμα τον παραπάνω τύπο και παίρνουμε τις ακόλουθες τιμές:

Στην τρίτη περίπτωση, κατόπιν προσεκτικότερης εξέτασης σειριακοί αριθμοίαριθμοί που μας δόθηκαν, καταλαβαίνουμε ότι δεν απέχουν ίσα από τον αριθμό που αναζητούμε: είναι ο προηγούμενος αριθμός, αλλά αφαιρείται στη θέση, επομένως δεν είναι δυνατό να εφαρμοστεί ο τύπος.

Πώς να το λύσετε; Στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται! Ας γράψουμε από τι αποτελείται ο κάθε αριθμός που μας δίνεται και ο αριθμός που αναζητούμε.

Έχουμε λοιπόν και. Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε με αυτά; Προτείνω τη διαίρεση με. Παίρνουμε:

Αντικαθιστούμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

Το επόμενο βήμα που μπορούμε να βρούμε είναι - για αυτό πρέπει να πάρουμε την κυβική ρίζα του αριθμού που προκύπτει.

Τώρα ας δούμε ξανά τι έχουμε. Το έχουμε, αλλά πρέπει να το βρούμε, και αυτό, με τη σειρά του, ισούται με:

Βρήκαμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό. Αντικαταστήστε στον τύπο:

Η απάντησή μας: .

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα:
Δόθηκαν: ,
Εύρημα:

Πόσα πήρες; Εχω - .

Όπως μπορείτε να δείτε, ουσιαστικά χρειάζεστε θυμηθείτε μόνο έναν τύπο- . Μπορείτε να αποσύρετε όλα τα υπόλοιπα μόνοι σας χωρίς καμία δυσκολία ανά πάσα στιγμή. Για να το κάνετε αυτό, απλώς γράψτε την απλούστερη γεωμετρική πρόοδο σε ένα κομμάτι χαρτί και σημειώστε με τι ισούται ο κάθε αριθμός της, σύμφωνα με τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω.

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Ας δούμε τώρα τύπους που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε γρήγορα το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σε ένα δεδομένο διάστημα:

Για να εξαγάγετε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου, πολλαπλασιάστε όλα τα μέρη της παραπάνω εξίσωσης με. Παίρνουμε:

Κοιτάξτε προσεκτικά: τι κοινό έχουν οι δύο τελευταίοι τύποι; Σωστά, κοινά μέλη, για παράδειγμα, και ούτω καθεξής, εκτός από το πρώτο και το τελευταίο μέλος. Ας προσπαθήσουμε να αφαιρέσουμε την 1η από τη 2η εξίσωση. Τι πήρες;

Τώρα εκφράστε τον όρο της γεωμετρικής προόδου μέσω του τύπου και αντικαταστήστε την έκφραση που προκύπτει στον τελευταίο μας τύπο:

Ομαδοποιήστε την έκφραση. Θα πρέπει να πάρετε:

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να εκφράσουμε:

Αντίστοιχα, στην προκειμένη περίπτωση.

Κι αν; Ποια φόρμουλα λειτουργεί τότε; Φανταστείτε μια γεωμετρική πρόοδο στο. Πώς είναι αυτή; Σωστή σειρά πανομοιότυποι αριθμοί, κατά συνέπεια ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

Υπάρχουν πολλοί θρύλοι τόσο για την αριθμητική όσο και για τη γεωμετρική πρόοδο. Ένας από αυτούς είναι ο θρύλος του Σετ, του δημιουργού του σκακιού.

Πολλοί γνωρίζουν ότι η παρτίδα του σκακιού εφευρέθηκε στην Ινδία. Όταν ο ινδουιστής βασιλιάς τη συνάντησε, χάρηκε με την εξυπνάδα της και την ποικιλία των δυνατών θέσεων σε αυτήν. Έχοντας μάθει ότι επινοήθηκε από έναν από τους υπηκόους του, ο βασιλιάς αποφάσισε να τον ανταμείψει προσωπικά. Κάλεσε τον εφευρέτη κοντά του και τον διέταξε να του ζητήσει όλα όσα ήθελε, υποσχόμενος να εκπληρώσει και την πιο επιδέξια επιθυμία.

Η Σέτα ζήτησε χρόνο για να σκεφτεί και όταν την επόμενη μέρα η Σέτα εμφανίστηκε ενώπιον του βασιλιά, αυτός εξέπληξε τον βασιλιά με την πρωτοφανή σεμνότητα του αιτήματός του. Ζήτησε να δώσει έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, έναν κόκκο σιτάρι για το δεύτερο, έναν κόκκο σιτάρι για το τρίτο, ένα τέταρτο κ.λπ.

Ο βασιλιάς ήταν θυμωμένος και έδιωξε τον Σεθ, λέγοντας ότι το αίτημα του υπηρέτη ήταν ανάξιο της γενναιοδωρίας του βασιλιά, αλλά υποσχέθηκε ότι ο υπηρέτης θα λάμβανε τα σιτάρια του για όλα τα τετράγωνα του πίνακα.

Και τώρα το ερώτημα: χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου, υπολογίστε πόσους κόκκους πρέπει να λάβει ο Seth;

Ας αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε. Εφόσον, σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο Σεθ ζήτησε έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, για το δεύτερο, για το τρίτο, για το τέταρτο κ.λπ., τότε βλέπουμε ότι το πρόβλημα αφορά μια γεωμετρική πρόοδο. Τι ισοδυναμεί σε αυτή την περίπτωση;
Σωστά.

Σύνολο τετραγώνων της σκακιέρας. Αντίστοιχα, . Έχουμε όλα τα δεδομένα, το μόνο που μένει είναι να τα συνδέσουμε στον τύπο και να υπολογίσουμε.

Για να φανταστούμε τουλάχιστον κατά προσέγγιση την «κλίμακα» ενός δεδομένου αριθμού, μετασχηματίζουμε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού:

Φυσικά, αν θέλετε, μπορείτε να πάρετε μια αριθμομηχανή και να υπολογίσετε με ποιον αριθμό καταλήγετε, και αν όχι, θα πρέπει να λάβετε υπόψη μου: η τελική τιμή της έκφρασης θα είναι.
Αυτό είναι:

εκατομμύριο τετράσεκα τρισεκατομμύρια δισεκατομμύρια εκατομμύρια χιλιάδες.

Phew) Εάν θέλετε να φανταστείτε το τεράστιο μέγεθος αυτού του αριθμού, τότε υπολογίστε πόσο μεγάλος θα χρειαζόταν ένας αχυρώνας για να φιλοξενήσει ολόκληρη την ποσότητα των σιτηρών.
Εάν ο αχυρώνας είναι m ύψος και m πλάτος, το μήκος του θα πρέπει να εκτείνεται για km, δηλ. διπλάσια απόσταση από τη Γη στον Ήλιο.

Αν ο βασιλιάς ήταν δυνατός στα μαθηματικά, θα μπορούσε να είχε προσκαλέσει τον ίδιο τον επιστήμονα να μετρήσει τους κόκκους, γιατί για να μετρήσει ένα εκατομμύριο κόκκους, θα χρειαζόταν τουλάχιστον μια μέρα ακούραστης μέτρησης, και δεδομένου ότι είναι απαραίτητο να μετρήσει πεμπτουσιόν, τους κόκκους θα έπρεπε να μετρηθεί σε όλη του τη ζωή.

Τώρα ας λύσουμε ένα απλό πρόβλημα που περιλαμβάνει το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.
Ένας μαθητής της τάξης 5Α Vasya αρρώστησε με γρίπη, αλλά συνεχίζει να πηγαίνει στο σχολείο. Κάθε μέρα η Βάσια μολύνει δύο άτομα, τα οποία, με τη σειρά τους, μολύνουν άλλα δύο άτομα και ούτω καθεξής. Υπάρχουν μόνο άνθρωποι στην τάξη. Σε πόσες μέρες θα αρρωστήσει όλη η τάξη με γρίπη;

Έτσι, ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι ο Vasya, δηλαδή ένα άτομο. Ο όρος της γεωμετρικής προόδου είναι τα δύο άτομα που μόλυνε την πρώτη ημέρα της άφιξής του. συνολικό ποσόμέλη της προόδου ισούται με τον αριθμό των μαθητών στα 5Α. Ως εκ τούτου, μιλάμε για μια εξέλιξη στην οποία:

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου:

Όλη η τάξη θα αρρωστήσει μέσα σε λίγες μέρες. Δεν πιστεύετε τους τύπους και τους αριθμούς; Προσπαθήστε να απεικονίσετε μόνοι σας τη «μόλυνση» των μαθητών. Συνέβη; Κοίτα πώς μου φαίνεται:

Υπολογίστε μόνοι σας πόσες ημέρες θα χρειαζόταν για να αρρωστήσουν οι μαθητές με γρίπη, εάν ο καθένας μολύνει ένα άτομο και υπήρχε μόνο ένα άτομο στην τάξη.

Τι αξία πήρες; Αποδείχθηκε ότι όλοι άρχισαν να αρρωσταίνουν μετά από μια μέρα.

Όπως μπορείτε να δείτε, μια τέτοια εργασία και το σχέδιο για αυτό μοιάζει με μια πυραμίδα, στην οποία κάθε επόμενο "φέρνει" νέους ανθρώπους. Ωστόσο, αργά ή γρήγορα έρχεται μια στιγμή που η τελευταία δεν μπορεί να προσελκύσει κανέναν. Στην περίπτωσή μας, αν φανταστούμε ότι η τάξη είναι απομονωμένη, το άτομο από κλείνει την αλυσίδα (). Έτσι, εάν ένα άτομο εμπλεκόταν σε μια οικονομική πυραμίδα στην οποία δόθηκαν χρήματα εάν φέρατε δύο άλλους συμμετέχοντες, τότε το άτομο (ή γενικά) δεν θα έφερνε κανέναν, κατά συνέπεια, θα έχανε όλα όσα επένδυσε σε αυτήν την οικονομική απάτη.

Όλα όσα ειπώθηκαν παραπάνω αναφέρονται σε μια φθίνουσα ή αυξανόμενη γεωμετρική πρόοδο, αλλά, όπως θυμάστε, έχουμε έναν ειδικό τύπο - μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των μελών του; Και γιατί αυτός ο τύπος εξέλιξης έχει ορισμένα χαρακτηριστικά; Ας το καταλάβουμε μαζί.

Λοιπόν, πρώτα, ας δούμε ξανά αυτό το σχέδιο μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου από το παράδειγμά μας:

Ας δούμε τώρα τον τύπο για το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου, που προέκυψε λίγο νωρίτερα:
ή

Τι επιδιώκουμε; Σωστά, το γράφημα δείχνει ότι τείνει στο μηδέν. Δηλαδή, στο, θα είναι σχεδόν ίσο, αντίστοιχα, κατά τον υπολογισμό της έκφρασης θα πάρουμε σχεδόν. Από αυτή την άποψη, πιστεύουμε ότι κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, αυτή η αγκύλη μπορεί να αγνοηθεί, καθώς θα είναι ίση.

- τύπος είναι το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα άπειροςαριθμός μελών.

Εάν έχει καθοριστεί ένας συγκεκριμένος αριθμός n, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των n όρων, ακόμα και αν ή.

Τώρα ας εξασκηθούμε.

1. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου με και.
2. Να βρείτε το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με και.

Ελπίζω να ήσουν πολύ προσεκτικός. Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο και ήρθε η ώρα να περάσετε από τη θεωρία στην πράξη. Τα πιο συνηθισμένα προβλήματα γεωμετρικής προόδου που συναντώνται στην εξέταση είναι προβλήματα υπολογισμού του σύνθετου τόκου. Αυτά είναι για τα οποία θα μιλήσουμε.

Προβλήματα στον υπολογισμό του ανατοκισμού.

Πιθανότατα έχετε ακούσει για τον λεγόμενο τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος. Καταλαβαίνετε τι σημαίνει; Αν όχι, ας το καταλάβουμε, γιατί μόλις κατανοήσετε την ίδια τη διαδικασία, θα καταλάβετε αμέσως τι σχέση έχει η γεωμετρική πρόοδος.

Όλοι πηγαίνουμε στην τράπεζα και γνωρίζουμε ότι υπάρχουν διαφορετικοί όροι για τις καταθέσεις: αυτό περιλαμβάνει μια προθεσμία, πρόσθετες υπηρεσίες και τόκους με δύο διαφορετικοί τρόποιοι υπολογισμοί του - απλοί και σύνθετοι.

ΜΕ απλό ενδιαφέρονόλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα: οι τόκοι συγκεντρώνονται μία φορά στο τέλος της περιόδου κατάθεσης. Δηλαδή, αν πούμε ότι καταθέτουμε 100 ρούβλια για ένα χρόνο, τότε θα πιστωθούν μόνο στο τέλος του έτους. Κατά συνέπεια, μέχρι το τέλος της κατάθεσης θα λάβουμε ρούβλια.

Ανατοκισμός- αυτή είναι μια επιλογή στην οποία εμφανίζεται κεφαλαιοποίηση τόκων, δηλ. την προσθήκη τους στο ποσό της κατάθεσης και τον μετέπειτα υπολογισμό των εσόδων όχι από το αρχικό, αλλά από το συσσωρευμένο ποσό κατάθεσης. Η κεφαλαιοποίηση δεν συμβαίνει συνεχώς, αλλά με κάποια συχνότητα. Κατά κανόνα, τέτοιες περίοδοι είναι ίσες και τις περισσότερες φορές οι τράπεζες χρησιμοποιούν ένα μήνα, τρίμηνο ή έτος.

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε τα ίδια ρούβλια ετησίως, αλλά με μηνιαία κεφαλαιοποίηση της κατάθεσης. Τι κάνουμε;

Καταλαβαίνεις τα πάντα εδώ; Αν όχι, ας το καταλάβουμε βήμα προς βήμα.

Φέραμε ρούβλια στην τράπεζα. Μέχρι το τέλος του μήνα, θα πρέπει να έχουμε ένα ποσό στον λογαριασμό μας που θα αποτελείται από τα ρούβλια μας συν τους τόκους σε αυτά, δηλαδή:

Συμφωνώ;

Μπορούμε να το βγάλουμε από αγκύλες και μετά παίρνουμε:

Συμφωνώ, αυτός ο τύπος είναι ήδη περισσότερο παρόμοιος με αυτό που γράψαμε στην αρχή. Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε τα ποσοστά

Στη δήλωση προβλήματος ενημερωνόμαστε για τα ετήσια ποσοστά. Όπως γνωρίζετε, δεν πολλαπλασιάζουμε με - μετατρέπουμε τα ποσοστά σε δεκαδικά, αυτό είναι:

Σωστά; Τώρα μπορείτε να ρωτήσετε, από πού προήλθε ο αριθμός; Πολύ απλό!
Επαναλαμβάνω: η δήλωση προβλήματος λέει για ΕΤΗΣΙΟτόκους που προκύπτουν ΜΗΝΙΑΙΟ. Όπως γνωρίζετε, σε ένα έτος μηνών, αντίστοιχα, η τράπεζα θα μας χρεώνει ένα μέρος του ετήσιου τόκου ανά μήνα:

Το συνειδητοποίησες; Τώρα προσπαθήστε να γράψετε πώς θα ήταν αυτό το μέρος του τύπου αν έλεγα ότι οι τόκοι υπολογίζονται καθημερινά.
Κατάφερες; Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: γράψτε πόσα θα πιστωθούν στον λογαριασμό μας τον δεύτερο μήνα, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι τόκοι συγκεντρώνονται στο συσσωρευμένο ποσό κατάθεσης.
Να τι πήρα:

Ή, με άλλα λόγια:

Νομίζω ότι έχετε ήδη παρατηρήσει ένα μοτίβο και έχετε δει μια γεωμετρική πρόοδο σε όλο αυτό. Γράψτε με τι θα ισοδυναμεί το μέλος του ή, με άλλα λόγια, τι χρηματικό ποσό θα λάβουμε στο τέλος του μήνα.
Μήπως; Ας ελέγξουμε!

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν βάλετε χρήματα στην τράπεζα για ένα χρόνο με απλό επιτόκιο, θα λάβετε ρούβλια και εάν με σύνθετο επιτόκιο, θα λάβετε ρούβλια. Το όφελος είναι μικρό, αλλά αυτό συμβαίνει μόνο κατά τη διάρκεια του έτους, αλλά για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα η κεφαλαιοποίηση είναι πολύ πιο κερδοφόρα:

Ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος που αφορά σύνθετους τόκους. Μετά από αυτό που έχετε καταλάβει, θα είναι στοιχειώδες για εσάς. Λοιπόν, η εργασία:

Η εταιρεία Zvezda άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2000, με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο από το 2001 λαμβάνει κέρδος ίσο με το κεφάλαιο της προηγούμενης χρονιάς. Πόσα κέρδη θα λάβει η εταιρεία Zvezda στο τέλος του 2003 εάν τα κέρδη δεν αποσυρθούν από την κυκλοφορία;

Κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2000.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2001.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2002.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2003.

Ή μπορούμε να γράψουμε εν συντομία:

Για την περίπτωσή μας:

2000, 2001, 2002 και 2003.

Αντίστοιχα:
ρούβλια
Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν έχουμε διαίρεση ούτε με ούτε κατά, αφού το ποσοστό δίνεται ΕΤΗΣΙΑ και υπολογίζεται ΕΤΗΣΙΑ. Δηλαδή, όταν διαβάζετε ένα πρόβλημα στον ανατοκισμό, προσέξτε τι ποσοστό δίνεται και σε ποια περίοδο υπολογίζεται και μόνο τότε προχωρήστε σε υπολογισμούς.
Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο.

Εκπαίδευση.

1. Να βρείτε τον όρο της γεωμετρικής προόδου αν είναι γνωστό ότι, και
2. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου αν είναι γνωστό ότι, και
3. Η εταιρεία MDM Capital άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2003, με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο από το 2004 λαμβάνει κέρδος ίσο με το κεφάλαιο της προηγούμενης χρονιάς. Η εταιρεία MSK Cash Flows άρχισε να επενδύει στη βιομηχανία το 2005 με ποσό 10.000 $, ξεκινώντας να πραγματοποιεί κέρδη το 2006 στο ποσό των. Κατά πόσα δολάρια είναι μεγαλύτερο το κεφάλαιο της μιας εταιρείας από την άλλη στο τέλος του 2007, εάν τα κέρδη δεν αποσύρονταν από την κυκλοφορία;

Απαντήσεις:

1. Δεδομένου ότι η δήλωση προβλήματος δεν λέει ότι η πρόοδος είναι άπειρη και απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα ενός συγκεκριμένου αριθμού όρων της, ο υπολογισμός πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - αυξάνεται κατά 100%, δηλαδή 2 φορές.
   Αντίστοιχα:
   ρούβλια
   Εταιρεία ταμειακών ροών MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - αυξάνεται κατά, δηλαδή, κατά φορές.
   Αντίστοιχα:
   ρούβλια
   ρούβλια

Ας συνοψίσουμε.

1) Η γεωμετρική πρόοδος ( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

2) Η εξίσωση των όρων της γεωμετρικής προόδου είναι .

3) μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές εκτός από και.

• αν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - αυτοί είναι θετικές;
• εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης εναλλακτικά σημάδια?
• όταν - η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

4) , με - ιδιότητα γεωμετρικής προόδου (παρακείμενοι όροι)

ή
, σε (ισαπέχοντες όρους)

Όταν το βρείτε, μην το ξεχνάτε πρέπει να υπάρχουν δύο απαντήσεις.

Για παράδειγμα,

5) Το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο:
ή

Εάν η πρόοδος μειώνεται απείρως, τότε:
ή

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων.

6) Τα προβλήματα στους ανατοκικούς τόκους υπολογίζονται επίσης χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον ό ​​όρο μιας γεωμετρικής προόδου, υπό την προϋπόθεση ότι τα κεφάλαια δεν έχουν αποσυρθεί από την κυκλοφορία:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Γεωμετρική πρόοδος( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, ο πρώτος όρος της οποίας είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Παρονομαστής γεωμετρικής προόδουμπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός από και.

• Εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - είναι θετικοί.
• εάν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου εναλλάσσονται σημάδια.
• όταν - η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

Εξίσωση όρων γεωμετρικής προόδου - .

Άθροισμα όρων μιας γεωμετρικής προόδουυπολογίζεται με τον τύπο:
ή

Τα μαθηματικά είναι αυτόοι άνθρωποι ελέγχουν τη φύση και τον εαυτό τους.

Ο Σοβιετικός μαθηματικός, ακαδημαϊκός A.N. Κολμογκόροφ

Γεωμετρική πρόοδος.

Μαζί με τα προβλήματα στις αριθμητικές προόδους, προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια της γεωμετρικής προόδου είναι επίσης κοινά στις εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες των γεωμετρικών προόδων και να έχετε καλές δεξιότητες στη χρήση τους.

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων της γεωμετρικής προόδου. Παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων παρέχονται επίσης εδώ., δανείστηκε από τα καθήκοντα των εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά.

Ας σημειώσουμε πρώτα τις βασικές ιδιότητες της γεωμετρικής προόδου και ας θυμηθούμε τους πιο σημαντικούς τύπους και δηλώσεις, που σχετίζονται με αυτή την έννοια.

Ορισμός.Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος εάν κάθε αριθμός, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Για γεωμετρική πρόοδοοι τύποι ισχύουν

, (1)

Οπου . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας γεωμετρικής προόδου και ο τύπος (2) αντιπροσωπεύει την κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου: κάθε όρος της προόδου συμπίπτει με τον γεωμετρικό μέσο όρο των γειτονικών όρων του και .

Σημείωση, ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η εν λόγω εξέλιξη ονομάζεται «γεωμετρική».

Οι παραπάνω τύποι (1) και (2) γενικεύονται ως εξής:

, (3)

Για να υπολογίσετε το ποσόπρώτα μέλη μιας γεωμετρικής προόδουισχύει ο τύπος

Αν συμβολίζουμε , τότε

Οπου . Επειδή , ο τύπος (6) είναι μια γενίκευση του τύπου (5).

Στην περίπτωση που και γεωμετρική πρόοδοςμειώνεται απείρως. Για να υπολογίσετε το ποσόγια όλους τους όρους μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, χρησιμοποιείται ο τύπος

. (7)

Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας τον τύπο (7) μπορούμε να δείξουμε, Τι

Οπου . Αυτές οι ισότητες λαμβάνονται από τον τύπο (7) υπό την προϋπόθεση ότι , (πρώτη ισότητα) και , (δεύτερη ισότητα).

Θεώρημα.Αν τότε

Απόδειξη. Αν τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Γεωμετρική πρόοδος».

Παράδειγμα 1.Δίνονται: , και . Εύρημα .

Λύση.Αν εφαρμόσουμε τον τύπο (5), τότε

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Αφού και , χρησιμοποιούμε τους τύπους (5), (6) και παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Αν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (9) διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή . Από αυτό προκύπτει ότι . Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

1. Εάν, τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (9) έχουμε.

2. Αν , τότε .

Παράδειγμα 3.Αφήστε , και . Εύρημα .

Λύση.Από τον τύπο (2) προκύπτει ότι ή . Από τότε ή .

Κατά συνθήκη. Ωστόσο, επομένως. Αφού και τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Εάν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή .

Επειδή, η εξίσωση έχει μια μοναδική κατάλληλη ρίζα. Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει από την πρώτη εξίσωση του συστήματος.

Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7), παίρνουμε.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4.Δεδομένα: και . Εύρημα .

Λύση.Από τότε.

Από τότε ή

Σύμφωνα με τον τύπο (2) έχουμε . Από την άποψη αυτή, από την ισότητα (10) λαμβάνουμε ή .

Ωστόσο, κατά συνθήκη, επομένως.

Παράδειγμα 5.Είναι γνωστό ότι . Εύρημα .

Λύση. Σύμφωνα με το θεώρημα, έχουμε δύο ισότητες

Από τότε ή . Γιατί, λοιπόν.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 6.Δεδομένα: και . Εύρημα .

Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε

Από τότε. Από , και , τότε .

Παράδειγμα 7.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (1) μπορούμε να γράψουμε

Επομένως, έχουμε ή . Είναι γνωστό ότι και , επομένως και .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 8.Βρείτε τον παρονομαστή μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου αν

Και .

Λύση. Από τον τύπο (7) προκύπτειΚαι . Από εδώ και από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων

Αν η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι τετράγωνο, και μετά διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τη δεύτερη εξίσωση, τότε παίρνουμε

Ή .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9.Βρείτε όλες τις τιμές για τις οποίες η ακολουθία , , είναι γεωμετρική πρόοδος.

Λύση.Αφήστε , και . Σύμφωνα με τον τύπο (2), που ορίζει την κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου, μπορούμε να γράψουμε ή .

Από εδώ παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση, του οποίου οι ρίζες είναιΚαι .

Ας ελέγξουμε: αν, τότε , και ; αν , τότε , και .

Στην πρώτη περίπτωση έχουμεκαι , και στο δεύτερο – και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 10.Λύστε την εξίσωση

, (11)

πού και .

Λύση. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (11) είναι το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, στην οποία και , με την επιφύλαξη: και .

Από τον τύπο (7) προκύπτει, Τι . Από αυτή την άποψη, η εξίσωση (11) παίρνει τη μορφήή . Κατάλληλη ρίζα τετραγωνική εξίσωσηείναι

Απάντηση: .

Παράδειγμα 11.Π συνοχή θετικούς αριθμούς σχηματίζει μια αριθμητική πρόοδο, ΕΝΑ – γεωμετρική πρόοδος, τι σχέση έχει . Εύρημα .

Λύση.Επειδή αριθμητική ακολουθία, Οτι (η κύρια ιδιότητα της αριθμητικής προόδου). Επειδή η, τότε ή . Αυτό υπονοεί , ότι η γεωμετρική πρόοδος έχει τη μορφή. Σύμφωνα με τον τύπο (2), τότε το γράφουμε.

Από και τότε . Στην περίπτωση αυτή η έκφρασηπαίρνει τη μορφή ή . Κατά συνθήκη, έτσι από την Εξ.λαμβάνουμε μια μοναδική λύση στο υπό εξέταση πρόβλημα, δηλ. .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12.Υπολογίστε το άθροισμα

. (12)

Λύση. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (12) επί 5 και πάρουμε

Αν αφαιρέσουμε το (12) από την παράσταση που προκύπτει, Οτι

ή .

Για να υπολογίσουμε, αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο (7) και παίρνουμε . Από τότε.

Απάντηση: .

Τα παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που δίνονται εδώ θα είναι χρήσιμα στους αιτούντες κατά την προετοιμασία τους εισαγωγικές εξετάσεις. Για μια βαθύτερη μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων, που σχετίζονται με τη γεωμετρική πρόοδο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί διδακτικά βοηθήματααπό τη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.

3. Medynsky M.M. Πλήρες μάθημα στοιχειώδη μαθηματικάσε εργασίες και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμών και προόδους. – Μ.: Editus, 2015. – 208 σελ.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις;

Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Γεωμετρική πρόοδοςόχι λιγότερο σημαντικό στα μαθηματικά σε σύγκριση με την αριθμητική. Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών b1, b2,..., b[n], κάθε επόμενος όρος των οποίων προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με έναν σταθερό αριθμό. Αυτός ο αριθμός, ο οποίος επίσης χαρακτηρίζει τον ρυθμό ανάπτυξης ή μείωσης της προόδου, ονομάζεται παρονομαστής της γεωμετρικής προόδουκαι δηλώνουν

Για να προσδιορίσετε πλήρως μια γεωμετρική πρόοδο, εκτός από τον παρονομαστή, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε ή να προσδιορίσετε τον πρώτο όρο της. Για θετική αξίαΗ πρόοδος του παρονομαστή είναι μια μονότονη ακολουθία, και αν αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μονότονα φθίνουσα και αν είναι μονότονα αύξουσα. Η περίπτωση που ο παρονομαστής είναι ίσος με ένα δεν εξετάζεται στην πράξη, αφού έχουμε μια ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών και η άθροισή τους δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον

Γενικός όρος γεωμετρικής προόδουυπολογίζεται με τον τύπο

Άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδουκαθορίζεται από τον τύπο

Ας εξετάσουμε λύσεις κλασικά προβλήματαστη γεωμετρική πρόοδο. Ας ξεκινήσουμε με τα πιο απλά για να καταλάβουμε.

Παράδειγμα 1. Ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 27 και ο παρονομαστής της είναι 1/3. Βρείτε τους πρώτους έξι όρους της γεωμετρικής προόδου.

Λύση: Ας γράψουμε τη συνθήκη του προβλήματος στη φόρμα

Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου

Με βάση αυτό, βρίσκουμε τους άγνωστους όρους της εξέλιξης

Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός των όρων μιας γεωμετρικής προόδου δεν είναι δύσκολος. Η ίδια η εξέλιξη θα μοιάζει με αυτό

Παράδειγμα 2. Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι της γεωμετρικής προόδου: 6; -12; 24. Να βρείτε τον παρονομαστή και τον έβδομο όρο του.

Λύση: Υπολογίζουμε τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου με βάση τον ορισμό της

Έχουμε λάβει μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδο της οποίας ο παρονομαστής είναι ίσος με -2. Ο έβδομος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Αυτό λύνει το πρόβλημα.

Παράδειγμα 3. Μια γεωμετρική πρόοδος δίνεται από δύο από τους όρους της . Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.

Λύση:

Ας γράψουμε τις δεδομένες τιμές χρησιμοποιώντας τύπους

Σύμφωνα με τους κανόνες, θα έπρεπε να βρούμε τον παρονομαστή και στη συνέχεια να αναζητήσουμε την επιθυμητή τιμή, αλλά για τον δέκατο όρο έχουμε

Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί με βάση απλούς χειρισμούς με τα δεδομένα εισόδου. Διαιρέστε τον έκτο όρο της σειράς με έναν άλλο, και ως αποτέλεσμα έχουμε

Αν η τιμή που προκύπτει πολλαπλασιαστεί με τον έκτο όρο, παίρνουμε τον δέκατο

Έτσι, για τέτοιες εργασίες, χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς σε γρήγορος τρόποςμπορείτε να βρείτε τη σωστή λύση.

Παράδειγμα 4. Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται με επαναλαμβανόμενους τύπους

Να βρείτε τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου και το άθροισμα των πρώτων έξι όρων.

Λύση:

Ας γράψουμε τα δεδομένα με τη μορφή συστήματος εξισώσεων

Να εκφράσετε τον παρονομαστή διαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη

Ας βρούμε τον πρώτο όρο της προόδου από την πρώτη εξίσωση

Ας υπολογίσουμε τους παρακάτω πέντε όρους για να βρούμε το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου