पहिला स्तर

चतुर्भुज समीकरणे. सर्वसमावेशक मार्गदर्शक (2019)

"चतुर्भुज समीकरण" या शब्दात "चतुर्भुज" हा मुख्य शब्द आहे. याचा अर्थ असा की समीकरणामध्ये व्हेरिएबल (तोच x) स्क्वेअर असणे आवश्यक आहे आणि तिसऱ्या (किंवा त्याहून अधिक) पॉवरमध्ये xes नसावेत.

अनेक समीकरणांचे निराकरण चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यामध्ये येते.

हे चतुर्भुज समीकरण आहे आणि दुसरे समीकरण नाही हे ठरवायला शिकू.

उदाहरण १.

चला भाजकापासून मुक्त होऊ आणि समीकरणाच्या प्रत्येक पदाचा गुणाकार करू

चला सर्व काही डावीकडे हलवू आणि X च्या शक्तींच्या उतरत्या क्रमाने अटींची मांडणी करू

आता आपण ते आत्मविश्वासाने सांगू शकतो दिलेले समीकरणचौरस आहे!

उदाहरण २.

डाव्या आणि उजव्या बाजूंनी गुणाकार करा:

हे समीकरण जरी मुळात त्यात असलं तरी चतुर्भुज नाही!

उदाहरण ३.

चला सर्वकाही गुणाकार करूया:

भितीदायक? चौथा आणि दुसरा अंश... तथापि, जर आपण बदली केली तर आपल्याला दिसेल की आपल्याकडे एक साधे द्विघात समीकरण आहे:

उदाहरण ४.

ते तेथे असल्याचे दिसते, परंतु आपण जवळून पाहूया. चला सर्वकाही डाव्या बाजूला हलवू:

पहा, ते कमी झाले आहे - आणि आता हे एक साधे रेखीय समीकरण आहे!

आता खालीलपैकी कोणती समीकरणे चतुर्भुज आहेत आणि कोणती नाहीत हे स्वतः ठरवण्याचा प्रयत्न करा:

उदाहरणे:

उत्तरे:

1. चौरस;
2. चौरस;
3. चौरस नाही;
4. चौरस नाही;
5. चौरस नाही;
6. चौरस;
7. चौरस नाही;
8. चौरस

गणितज्ञ पारंपारिकपणे सर्व चतुर्भुज समीकरणे खालील प्रकारांमध्ये विभागतात:

• द्विघात समीकरणे पूर्ण करा- समीकरणे ज्यामध्ये गुणांक आणि तसेच मुक्त संज्ञा c, शून्याच्या समान नाहीत (उदाहरणार्थ). याव्यतिरिक्त, संपूर्ण द्विघात समीकरणांमध्ये आहेत दिले- ही अशी समीकरणे आहेत ज्यात गुणांक (उदाहरणार्थ समीकरण केवळ पूर्णच नाही तर कमीही!)

• अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे- समीकरणे ज्यामध्ये गुणांक आणि किंवा मुक्त संज्ञा c शून्याच्या समान आहेत:

  ते अपूर्ण आहेत कारण त्यांच्यात काही घटक गहाळ आहेत. पण समीकरणात नेहमी x वर्ग असणे आवश्यक आहे!!! अन्यथा, ते यापुढे चतुर्भुज समीकरण नसून दुसरे काही समीकरण असेल.

त्यांनी अशी विभागणी का केली? असे दिसते की तेथे एक X वर्ग आहे आणि ठीक आहे. हे विभाजन उपाय पद्धतींद्वारे निश्चित केले जाते. चला त्या प्रत्येकाकडे अधिक तपशीलवार पाहूया.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे

प्रथम, अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडविण्यावर लक्ष केंद्रित करूया - ते बरेच सोपे आहेत!

अपूर्ण द्विघात समीकरणांचे प्रकार आहेत:

1. , या समीकरणात गुणांक समान आहे.
2. , या समीकरणात मुक्त संज्ञा समान आहे.
3. , या समीकरणात गुणांक आणि मुक्त संज्ञा समान आहेत.

1. i. कारण आपल्याला कसे काढायचे हे माहित आहे वर्गमुळ, तर या समीकरणातून व्यक्त करू

अभिव्यक्ती एकतर नकारात्मक किंवा सकारात्मक असू शकते. स्क्वेअर केलेली संख्या ऋण असू शकत नाही, कारण दोन ऋण किंवा दोन सकारात्मक संख्यांचा गुणाकार केल्यावर परिणाम नेहमी मिळतो सकारात्मक संख्या, म्हणून: जर, समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत.

आणि जर, तर आपल्याला दोन मुळे मिळतात. ही सूत्रे लक्षात ठेवण्याची गरज नाही. मुख्य गोष्ट अशी आहे की आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे आणि नेहमी लक्षात ठेवा की ते कमी असू शकत नाही.

चला काही उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करूया.

उदाहरण ५:

समीकरण सोडवा

आता फक्त डाव्या आणि उजव्या बाजूंनी रूट काढणे बाकी आहे. सर्व केल्यानंतर, आपण मुळे काढू कसे लक्षात?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्हासह मुळांबद्दल कधीही विसरू नका !!!

उदाहरण 6:

समीकरण सोडवा

उत्तर:

उदाहरण ७:

समीकरण सोडवा

अरेरे! संख्येचा वर्ग ऋण असू शकत नाही, म्हणजे समीकरण

मुळे नाहीत!

मूळ नसलेल्या अशा समीकरणांसाठी, गणितज्ञ एक विशेष चिन्ह घेऊन आले - (रिक्त संच). आणि उत्तर असे लिहिले जाऊ शकते:

उत्तर:

अशा प्रकारे, या चतुर्भुज समीकरणाला दोन मुळे आहेत. येथे कोणतेही निर्बंध नाहीत, कारण आम्ही मूळ काढले नाही.
उदाहरण ८:

समीकरण सोडवा

कंसातून कॉमन फॅक्टर घेऊ:

अशा प्रकारे,

या समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

उत्तर:

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणांचा सर्वात सोपा प्रकार (जरी ते सर्व सोपे आहेत, बरोबर?). अर्थात, या समीकरणाचे नेहमीच एकच मूळ असते:

आम्ही येथे उदाहरणांसह वितरीत करू.

पूर्ण द्विघात समीकरणे सोडवणे

आम्ही तुम्हाला आठवण करून देतो की संपूर्ण चतुर्भुज समीकरण हे फॉर्म समीकरणाचे समीकरण असते जेथे

पूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे या पेक्षा थोडे अधिक कठीण (फक्त थोडे) आहे.

लक्षात ठेवा, कोणतेही चतुर्भुज समीकरण भेदभाव वापरून सोडवता येते! अगदी अपूर्ण.

इतर पद्धती तुम्हाला ते जलद करण्यास मदत करतील, परंतु जर तुम्हाला चतुर्भुज समीकरणांमध्ये समस्या येत असतील, तर प्रथम भेदभाव वापरून समाधानावर प्रभुत्व मिळवा.

1. भेदभाव वापरून द्विघात समीकरणे सोडवणे.

या पद्धतीचा वापर करून चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे खूप सोपे आहे; मुख्य म्हणजे क्रियांचा क्रम आणि काही सूत्रे लक्षात ठेवणे.

जर, समीकरणाला मूळ आहे. विशेष लक्षएक पाऊल उचला discriminant () समीकरणाच्या मुळांची संख्या सांगते.

• जर, नंतर चरणातील सूत्र कमी केले जाईल. अशा प्रकारे, समीकरण फक्त एक रूट असेल.
• जर, तर आपण भेदभावाचे मूळ पायरीवर काढू शकणार नाही. हे सूचित करते की समीकरणाला कोणतेही मूळ नाही.

चला आपल्या समीकरणांकडे परत जाऊ आणि काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण ९:

समीकरण सोडवा

1 ली पायरीआम्ही वगळतो.

पायरी 2.

आम्हाला भेदभाव आढळतो:

याचा अर्थ या समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

पायरी 3.

उत्तर:

उदाहरण १०:

समीकरण सोडवा

समीकरण मानक स्वरूपात सादर केले आहे, म्हणून 1 ली पायरीआम्ही वगळतो.

पायरी 2.

आम्हाला भेदभाव आढळतो:

याचा अर्थ समीकरणाला एक मूळ आहे.

उत्तर:

उदाहरण 11:

समीकरण सोडवा

समीकरण मानक स्वरूपात सादर केले आहे, म्हणून 1 ली पायरीआम्ही वगळतो.

पायरी 2.

आम्हाला भेदभाव आढळतो:

याचा अर्थ असा भेदभाव करणाऱ्याचे मूळ आपण काढू शकणार नाही. समीकरणाची मुळे नाहीत.

आता अशी उत्तरे कशी लिहायची हे आपल्याला माहित आहे.

उत्तर:मुळे नाहीत

2. व्हिएटाचे प्रमेय वापरून द्विघात समीकरणे सोडवणे.

जर तुम्हाला आठवत असेल तर, समीकरणाचा एक प्रकार आहे ज्याला कमी म्हटले जाते (जेव्हा गुणांक a समान असतो):

व्हिएटाचे प्रमेय वापरून अशी समीकरणे सोडवणे खूप सोपे आहे:

मुळांची बेरीज दिलेचतुर्भुज समीकरण समान आहे, आणि मुळांचे उत्पादन समान आहे.

उदाहरण १२:

समीकरण सोडवा

हे समीकरण व्हिएटाचे प्रमेय वापरून सोडवता येते कारण .

समीकरणाच्या मुळांची बेरीज समान आहे, म्हणजे. आम्हाला पहिले समीकरण मिळते:

आणि उत्पादन समान आहे:

चला सिस्टम तयार करू आणि सोडवू:

• आणि. रक्कम समान आहे;
• आणि. रक्कम समान आहे;
• आणि. रक्कम समान आहे.

आणि हे सिस्टमचे उपाय आहेत:

उत्तर: ; .

उदाहरण १३:

समीकरण सोडवा

उत्तर:

उदाहरण 14:

समीकरण सोडवा

समीकरण दिले आहे, ज्याचा अर्थ आहे:

उत्तर:

चतुर्भुज समीकरणे. सरासरी पातळी

चतुर्भुज समीकरण म्हणजे काय?

दुसऱ्या शब्दांत, चतुर्भुज समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे, जिथे - अज्ञात, - काही संख्या आणि.

संख्या सर्वोच्च किंवा म्हणतात प्रथम गुणांकद्विघात समीकरण, - दुसरा गुणांक, अ - विनामूल्य सदस्य.

का? कारण समीकरण लगेच रेषीय झाले तर अदृश्य होईल.

या प्रकरणात, आणि शून्य समान असू शकते. या खुर्चीत समीकरण अपूर्ण असे म्हणतात. जर सर्व अटी जागी असतील, म्हणजे समीकरण पूर्ण होईल.

विविध प्रकारच्या द्विघात समीकरणांचे निराकरण

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती:

प्रथम, अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती पाहू - त्या सोप्या आहेत.

आपण खालील प्रकारच्या समीकरणांमध्ये फरक करू शकतो:

I., या समीकरणात गुणांक आणि मुक्त संज्ञा समान आहेत.

II. , या समीकरणात गुणांक समान आहे.

III. , या समीकरणात मुक्त संज्ञा समान आहे.

आता या प्रत्येक उपप्रकारावर उपाय पाहू.

अर्थात, या समीकरणाचे नेहमीच एकच मूळ असते:

वर्ग संख्या ऋण असू शकत नाही, कारण जेव्हा तुम्ही दोन ऋण किंवा दोन सकारात्मक संख्यांचा गुणाकार करता तेव्हा परिणाम नेहमी सकारात्मक संख्या असेल. म्हणून:

जर, समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत;

जर आपल्याकडे दोन मुळे असतील

ही सूत्रे लक्षात ठेवण्याची गरज नाही. लक्षात ठेवण्याची मुख्य गोष्ट म्हणजे ती कमी असू शकत नाही.

उदाहरणे:

उपाय:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्हासह मुळांबद्दल कधीही विसरू नका!

संख्येचा वर्ग ऋण असू शकत नाही, म्हणजे समीकरण

मुळे नाहीत.

समस्येचे कोणतेही निराकरण नाही हे थोडक्यात लिहिण्यासाठी, आम्ही रिक्त संच चिन्ह वापरतो.

उत्तर:

तर, या समीकरणाची दोन मुळे आहेत: आणि.

उत्तर:

कंसातून कॉमन फॅक्टर घेऊ:

कमीत कमी एक घटक शून्याच्या बरोबरीचा असल्यास गुणाकार शून्य असतो. याचा अर्थ असा की समीकरणाचे समाधान असते जेव्हा:

तर, या चतुर्भुज समीकरणाची दोन मुळे आहेत: आणि.

उदाहरण:

समीकरण सोडवा.

उपाय:

चला समीकरणाच्या डाव्या बाजूचा घटक करू आणि मुळे शोधू.

उत्तर:

संपूर्ण द्विघात समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती:

1. भेदभाव करणारा

अशा प्रकारे चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे सोपे आहे, मुख्य गोष्ट म्हणजे क्रियांचा क्रम आणि दोन सूत्रे लक्षात ठेवणे. लक्षात ठेवा, कोणतेही चतुर्भुज समीकरण भेदभाव वापरून सोडवले जाऊ शकते! अगदी अपूर्ण.

मुळांच्या सूत्रात भेदभावातून मूळ लक्षात आले का? पण भेदभाव नकारात्मक असू शकतो. काय करायचं? आपण चरण 2 वर विशेष लक्ष देणे आवश्यक आहे. भेदभाव आपल्याला समीकरणाच्या मुळांची संख्या सांगतो.

• जर, समीकरणाची मुळे आहेत:
• जर, समीकरणाची मुळे समान असतील आणि खरं तर, एक मूळ:

  अशा मुळांना दुहेरी मुळे म्हणतात.

• जर, तर भेदभावाचे मूळ काढले जात नाही. हे सूचित करते की समीकरणाला कोणतेही मूळ नाही.

मुळांची भिन्न संख्या का शक्य आहे? चतुर्भुज समीकरणाच्या भौमितिक अर्थाकडे वळू. फंक्शनचा आलेख पॅराबोला आहे:

एका विशेष बाबतीत, जे एक द्विघात समीकरण आहे, . याचा अर्थ असा की चतुर्भुज समीकरणाची मुळे abscissa अक्ष (अक्ष) सह छेदनबिंदू आहेत. पॅराबोला अक्षाला अजिबात छेदू शकत नाही किंवा ते एका (जेव्हा पॅराबोलाचा शिरोबिंदू अक्षावर असतो) किंवा दोन बिंदूंना छेदू शकतो.

याव्यतिरिक्त, गुणांक पॅराबोलाच्या शाखांच्या दिशेसाठी जबाबदार आहे. जर, नंतर पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात आणि जर, नंतर खालच्या दिशेने.

उदाहरणे:

उपाय:

उत्तर:

उत्तर:.

उत्तर:

याचा अर्थ कोणताही उपाय नाही.

उत्तर:.

2. व्हिएटाचे प्रमेय

व्हिएटाचे प्रमेय वापरणे खूप सोपे आहे: आपल्याला फक्त संख्यांची एक जोडी निवडण्याची आवश्यकता आहे ज्यांचे उत्पादन समीकरणाच्या मुक्त पदाच्या समान असेल आणि बेरीज विरुद्ध चिन्हासह घेतलेल्या दुसऱ्या गुणांकाच्या समान असेल.

हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे की व्हिएटाचे प्रमेय फक्त मध्ये लागू केले जाऊ शकते घटलेली चतुर्भुज समीकरणे ().

चला काही उदाहरणे पाहू:

उदाहरण #1:

समीकरण सोडवा.

उपाय:

हे समीकरण व्हिएटाचे प्रमेय वापरून सोडवता येते कारण . इतर गुणांक: ; .

समीकरणाच्या मुळांची बेरीज आहे:

आणि उत्पादन समान आहे:

चला संख्यांच्या जोड्या निवडू ज्यांचे उत्पादन समान आहे आणि त्यांची बेरीज समान आहे की नाही ते तपासू:

• आणि. रक्कम समान आहे;
• आणि. रक्कम समान आहे;
• आणि. रक्कम समान आहे.

आणि हे सिस्टमचे उपाय आहेत:

अशा प्रकारे, आणि आपल्या समीकरणाची मुळे आहेत.

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

उपाय:

उत्पादनात दिलेल्या संख्यांच्या जोड्या निवडा आणि नंतर त्यांची बेरीज समान आहे का ते तपासा:

आणि: ते एकूण देतात.

आणि: ते एकूण देतात. प्राप्त करण्यासाठी, केवळ कथित मुळांची चिन्हे बदलणे पुरेसे आहे: आणि सर्व केल्यानंतर, उत्पादन.

उत्तर:

उदाहरण #3:

उपाय:

समीकरणाची मुक्त संज्ञा ऋण आहे, आणि म्हणून मुळांचे गुणाकार ही ऋण संख्या आहे. हे फक्त तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा एक मूळ नकारात्मक असेल आणि दुसरे सकारात्मक असेल. त्यामुळे मुळांची बेरीज समान आहे त्यांच्या मॉड्यूलमधील फरक.

उत्पादनात दिलेल्या संख्यांच्या जोड्या निवडू या आणि ज्यांचा फरक समान आहे:

आणि: त्यांचा फरक समान आहे - बसत नाही;

आणि: - योग्य नाही;

आणि: - योग्य नाही;

आणि: - योग्य. फक्त लक्षात ठेवायचे आहे की मुळांपैकी एक नकारात्मक आहे. त्यांची बेरीज समान असणे आवश्यक असल्याने, लहान मॉड्यूलस असलेले मूळ ऋण असणे आवश्यक आहे: . आम्ही तपासतो:

उत्तर:

उदाहरण #4:

समीकरण सोडवा.

उपाय:

समीकरण दिले आहे, ज्याचा अर्थ आहे:

मुक्त संज्ञा नकारात्मक आहे, आणि म्हणून मुळांचे उत्पादन नकारात्मक आहे. आणि हे तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा समीकरणाचे एक मूळ नकारात्मक असेल आणि दुसरे सकारात्मक असेल.

चला संख्यांच्या जोड्या निवडा ज्यांचे उत्पादन समान आहे, आणि नंतर कोणत्या मुळांवर नकारात्मक चिन्ह असावे हे निर्धारित करूया:

अर्थात, फक्त मुळे आणि पहिल्या स्थितीसाठी योग्य आहेत:

उत्तर:

उदाहरण #5:

समीकरण सोडवा.

उपाय:

समीकरण दिले आहे, ज्याचा अर्थ आहे:

मुळांची बेरीज ऋण आहे, याचा अर्थ, त्यानुसार किमान, मुळांपैकी एक नकारात्मक आहे. परंतु त्यांचे उत्पादन सकारात्मक असल्याने, याचा अर्थ दोन्ही मुळांमध्ये वजा चिन्ह आहे.

चला संख्यांच्या जोड्या निवडू ज्यांचे उत्पादन समान आहे:

अर्थात, मुळे संख्या आहेत आणि.

उत्तर:

सहमत आहे, या ओंगळ भेदभावाची गणना करण्याऐवजी तोंडी मुळे काढणे खूप सोयीचे आहे. व्हिएटाचे प्रमेय शक्य तितक्या वेळा वापरण्याचा प्रयत्न करा.

परंतु मुळे शोधणे सुलभ करण्यासाठी आणि वेगवान करण्यासाठी व्हिएटाचे प्रमेय आवश्यक आहे. त्याचा वापर करून तुम्हाला फायदा होण्यासाठी, तुम्ही क्रियांना स्वयंचलिततेकडे आणणे आवश्यक आहे. आणि यासाठी आणखी पाच उदाहरणे सोडवा. परंतु फसवणूक करू नका: आपण भेदभाव वापरू शकत नाही! फक्त व्हिएटाचे प्रमेय:

स्वतंत्र कामासाठी कार्यांचे निराकरणः

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

व्हिएटाच्या प्रमेयानुसार:

नेहमीप्रमाणे, आम्ही तुकड्याने निवड सुरू करतो:

योग्य नाही कारण रक्कम;

: रक्कम तुम्हाला हवी तेवढीच आहे.

उत्तर: ; .

कार्य २.

आणि पुन्हा आमचे आवडते व्हिएटा प्रमेय: बेरीज समान असणे आवश्यक आहे, आणि उत्पादन समान असणे आवश्यक आहे.

परंतु ते नसावे, परंतु, आम्ही मुळांची चिन्हे बदलतो: आणि (एकूण).

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... ते कुठे आहे?

तुम्हाला सर्व अटी एका भागात हलवण्याची आवश्यकता आहे:

मुळांची बेरीज उत्पादनाच्या समान आहे.

ठीक आहे, थांबा! समीकरण दिलेले नाही. परंतु व्हिएटाचे प्रमेय केवळ दिलेल्या समीकरणांमध्येच लागू होते. तर प्रथम तुम्हाला एक समीकरण देणे आवश्यक आहे. आपण नेतृत्व करू शकत नसल्यास, ही कल्पना सोडून द्या आणि दुसऱ्या मार्गाने सोडवा (उदाहरणार्थ, भेदभावाद्वारे). मी तुम्हाला आठवण करून देतो की चतुर्भुज समीकरण देणे म्हणजे अग्रगण्य गुणांक समान करणे:

मस्त. मग मुळांची बेरीज आणि गुणाकार.

येथे शेलिंग पेअर्स निवडणे तितकेच सोपे आहे: शेवटी, हा एक अविभाज्य क्रमांक आहे (टॉटोलॉजीबद्दल क्षमस्व).

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त सदस्य नकारात्मक आहे. यात विशेष काय? आणि वस्तुस्थिती अशी आहे की मुळांमध्ये भिन्न चिन्हे असतील. आणि आता, निवडीदरम्यान, आम्ही मुळांची बेरीज नाही तर त्यांच्या मॉड्यूलमधील फरक तपासतो: हा फरक समान आहे, परंतु एक उत्पादन आहे.

तर, मुळे आणि समान आहेत, परंतु त्यापैकी एक वजा आहे. व्हिएटाचे प्रमेय आपल्याला सांगते की मुळांची बेरीज विरुद्ध चिन्हासह दुसऱ्या गुणांकाच्या समान आहे, म्हणजे. याचा अर्थ लहान रूटमध्ये वजा असेल: आणि, पासून.

उत्तर: ; .

कार्य 5.

आपण प्रथम काय करावे? बरोबर आहे, समीकरण द्या:

पुन्हा: आम्ही संख्येचे घटक निवडतो आणि त्यांचा फरक समान असावा:

मुळे आणि समान आहेत, परंतु त्यापैकी एक वजा आहे. कोणते? त्यांची बेरीज समान असावी, याचा अर्थ वजाला मोठे मूळ असेल.

उत्तर: ; .

मला सारांश द्या:

1. व्हिएटाचे प्रमेय केवळ दिलेल्या चतुर्भुज समीकरणांमध्ये वापरले जाते.
2. व्हिएटाचे प्रमेय वापरून, आपण निवडीनुसार, तोंडी मुळे शोधू शकता.
3. जर समीकरण दिलेले नसेल किंवा फ्री टर्मच्या घटकांची कोणतीही योग्य जोडी आढळली नाही, तर संपूर्ण मुळे नाहीत आणि तुम्हाला ते दुसऱ्या मार्गाने सोडवणे आवश्यक आहे (उदाहरणार्थ, भेदभावाद्वारे).

3. पूर्ण चौरस निवडण्याची पद्धत

जर अज्ञात असलेल्या सर्व संज्ञा संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांमधून संज्ञांच्या स्वरूपात दर्शविल्या गेल्या असतील - बेरीज किंवा फरकाचा वर्ग - तर चल बदलल्यानंतर, समीकरण प्रकाराच्या अपूर्ण द्विघात समीकरणाच्या स्वरूपात सादर केले जाऊ शकते.

उदाहरणार्थ:

उदाहरण १:

समीकरण सोडवा: .

उपाय:

उत्तर:

उदाहरण २:

समीकरण सोडवा: .

उपाय:

उत्तर:

सर्वसाधारणपणे, परिवर्तन असे दिसेल:

याचा अर्थ असा होतो: .

तुम्हाला कशाची आठवण करून देत नाही? ही भेदभावाची गोष्ट आहे! नेमका असाच भेदभावाचा फॉर्म्युला मिळाला.

चतुर्भुज समीकरणे. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

चतुर्भुज समीकरण- हे फॉर्मचे समीकरण आहे, जेथे - अज्ञात, - चतुर्भुज समीकरणाचे गुणांक, - मुक्त संज्ञा.

चतुर्भुज समीकरण पूर्ण करा- एक समीकरण ज्यामध्ये गुणांक शून्याच्या समान नाहीत.

द्विघात समीकरण कमी केले- एक समीकरण ज्यामध्ये गुणांक, म्हणजे: .

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण- एक समीकरण ज्यामध्ये गुणांक आणि किंवा मुक्त पद c शून्याच्या समान आहेत:

• गुणांक असल्यास, समीकरण असे दिसते: ,
• एक मुक्त पद असल्यास, समीकरणाचे स्वरूप आहे: ,
• जर आणि, समीकरण असे दिसते: .

1. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम

१.१. फॉर्मचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण, जेथे, :

1) अज्ञात व्यक्त करूया: ,

२) अभिव्यक्तीचे चिन्ह तपासा:

• जर, समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत,
• जर, समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

१.२. फॉर्मचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण, कुठे, :

1) कंसातून कॉमन फॅक्टर घेऊ: ,

2) घटकांपैकी किमान एक शून्य समान असल्यास गुणाकार शून्य असतो. म्हणून, समीकरणाची दोन मुळे आहेत:

१.३. फॉर्मचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण, जेथे:

या समीकरणाचे नेहमीच एकच मूळ असते: .

2. फॉर्मची संपूर्ण द्विघात समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम जेथे

२.१. भेदभाव वापरून उपाय

१) समीकरण मानक स्वरूपात आणू: ,

2) सूत्र वापरून भेदभावाची गणना करू: , जे समीकरणाच्या मुळांची संख्या दर्शवते:

3) समीकरणाची मुळे शोधा:

• जर, समीकरणाची मुळे आहेत, जी सूत्राद्वारे आढळतात:
• जर, समीकरणाचे मूळ आहे, जे सूत्राद्वारे आढळते:
• जर, समीकरणाला मुळ नाही.

२.२. व्हिएटाचे प्रमेय वापरून उपाय

घटलेल्या चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांची बेरीज (जेथे फॉर्मचे समीकरण) समान आहे, आणि मुळांचा गुणाकार समान आहे, म्हणजे. , ए.

२.३. पूर्ण चौरस निवडण्याच्या पद्धतीनुसार उपाय

8 व्या वर्गात चतुर्भुज समीकरणांचा अभ्यास केला जातो, त्यामुळे येथे काहीही क्लिष्ट नाही. त्यांचे निराकरण करण्याची क्षमता पूर्णपणे आवश्यक आहे.

चतुर्भुज समीकरण हे ax 2 + bx + c = 0 या फॉर्मचे समीकरण आहे, जेथे a, b आणि c गुणांक अनियंत्रित संख्या आहेत आणि a ≠ 0.

विशिष्ट उपाय पद्धतींचा अभ्यास करण्यापूर्वी, लक्षात घ्या की सर्व चतुर्भुज समीकरणे तीन वर्गांमध्ये विभागली जाऊ शकतात:

1. मुळे नाहीत;
2. अगदी एक मूळ असणे;
3. त्यांची दोन भिन्न मुळे आहेत.

चतुर्भुज समीकरणे आणि रेखीय समीकरणांमधील हा एक महत्त्वाचा फरक आहे, जेथे मूळ नेहमी अस्तित्त्वात असते आणि अद्वितीय असते. समीकरणाची मुळे किती आहेत हे कसे ठरवायचे? यासाठी एक अद्भुत गोष्ट आहे - भेदभाव करणारा.

भेदभाव करणारा

चौकोनी समीकरण ax 2 + bx + c = 0 द्या मग भेदक ही संख्या D = b 2 − 4ac आहे.

तुम्हाला हा फॉर्म्युला मनापासून माहित असणे आवश्यक आहे. ते कुठून आले हे आता महत्त्वाचे नाही. आणखी एक गोष्ट महत्त्वाची आहे: भेदभावाच्या चिन्हावरून तुम्ही ठरवू शकता की चतुर्भुज समीकरणाची किती मुळे आहेत. म्हणजे:

1. जर डी< 0, корней нет;
2. जर D = 0, तर नक्की एक रूट आहे;
3. D > 0 असल्यास, दोन मुळे असतील.

कृपया लक्षात ठेवा: भेदभाव मुळांची संख्या दर्शवितो, आणि त्यांची चिन्हे अजिबात नाही, कारण काही कारणास्तव बरेच लोक विश्वास ठेवतात. उदाहरणे पहा आणि तुम्हाला सर्वकाही समजेल:

कार्य. द्विघात समीकरणांची किती मुळे आहेत:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

चला पहिल्या समीकरणासाठी गुणांक लिहू आणि भेदभाव शोधू:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

तर भेदभाव सकारात्मक आहे, म्हणून समीकरणाची दोन भिन्न मुळे आहेत. आम्ही त्याच प्रकारे दुसऱ्या समीकरणाचे विश्लेषण करतो:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

भेदभाव नकारात्मक आहे, मुळे नाहीत. शेवटचे समीकरण बाकी आहे:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

भेदभाव शून्य आहे - मूळ एक असेल.

कृपया लक्षात घ्या की प्रत्येक समीकरणासाठी गुणांक लिहून ठेवले आहेत. होय, हे लांब आहे, होय, ते कंटाळवाणे आहे, परंतु आपण शक्यता मिसळणार नाही आणि मूर्ख चुका करणार नाही. स्वत: साठी निवडा: वेग किंवा गुणवत्ता.

तसे, जर तुम्हाला ते हँग झाले तर, थोड्या वेळाने तुम्हाला सर्व गुणांक लिहून ठेवण्याची गरज नाही. तुम्ही तुमच्या डोक्यात अशी ऑपरेशन कराल. बहुतेक लोक 50-70 सोडवलेल्या समीकरणांनंतर कुठेतरी हे करायला लागतात - सर्वसाधारणपणे, इतके नाही.

द्विघात समीकरणाची मुळे

आता समाधानाकडे वळूया. भेदभाव D > 0 असल्यास, सूत्रे वापरून मुळे शोधता येतील:

द्विघात समीकरणाच्या मुळांसाठी मूलभूत सूत्र

जेव्हा D = 0, तेव्हा तुम्ही यापैकी कोणतेही सूत्र वापरू शकता - तुम्हाला समान संख्या मिळेल, जी उत्तर असेल. शेवटी, जर डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहिले समीकरण:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ समीकरणाला दोन मुळे आहेत. चला त्यांना शोधूया:

दुसरे समीकरण:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ समीकरणाला पुन्हा दोन मुळे आहेत. चला त्यांना शोधूया

\[\begin(संरेखित) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(संरेखित)\]

शेवटी, तिसरे समीकरण:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ समीकरणाचे मूळ एक आहे. कोणतेही सूत्र वापरले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, पहिला:

जसे आपण उदाहरणांवरून पाहू शकता, सर्वकाही अगदी सोपे आहे. जर तुम्हाला सूत्रे माहित असतील आणि मोजता येत असतील तर कोणतीही अडचण येणार नाही. बहुतेकदा, सूत्रामध्ये नकारात्मक गुणांक बदलताना त्रुटी उद्भवतात. येथे पुन्हा, वर वर्णन केलेले तंत्र मदत करेल: सूत्र शब्दशः पहा, प्रत्येक चरण लिहा - आणि लवकरच आपण त्रुटींपासून मुक्त व्हाल.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे

असे घडते की चतुर्भुज समीकरण हे व्याख्येमध्ये दिलेल्या पेक्षा थोडे वेगळे असते. उदाहरणार्थ:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

हे लक्षात घेणे सोपे आहे की या समीकरणांमध्ये अटींपैकी एक गहाळ आहे. अशी चतुर्भुज समीकरणे मानक समीकरणांपेक्षा सोडवणे अगदी सोपे आहे: त्यांना भेदभावाची गणना करणे देखील आवश्यक नाही. तर, एक नवीन संकल्पना सादर करूया:

ax 2 + bx + c = 0 या समीकरणाला b = 0 किंवा c = 0 असल्यास अपूर्ण द्विघात समीकरण म्हणतात. व्हेरिएबल x किंवा मुक्त घटकाचा गुणांक शून्याच्या बरोबरीचा आहे.

अर्थात, जेव्हा हे दोन्ही गुणांक शून्याच्या समान असतील तेव्हा खूप कठीण प्रकरण शक्य आहे: b = c = 0. या प्रकरणात, समीकरण ax 2 = 0 असे फॉर्म घेते. अर्थात, अशा समीकरणाचे एकच मूळ आहे: x = 0.

चला उर्वरित प्रकरणांचा विचार करूया. चला b = 0, नंतर आपल्याला ax 2 + c = 0 या फॉर्मचे एक अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण मिळेल. त्याचे थोडे रूपांतर करूया:

अंकगणित वर्गमूळ केवळ नकारात्मक नसलेल्या संख्येचे अस्तित्वात असल्याने, शेवटची समानता केवळ (−c /a) ≥ 0 साठी अर्थपूर्ण आहे. निष्कर्ष:

1. ax 2 + c = 0 फॉर्मच्या अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणामध्ये असमानता (−c /a) ≥ 0 समाधानी असल्यास, दोन मुळे असतील. सूत्र वर दिले आहे;
2. जर (−c /a)< 0, корней нет.

जसे तुम्ही बघू शकता, भेदभावाची आवश्यकता नव्हती - अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणांमध्ये कोणतीही जटिल गणना नाही. खरं तर, असमानता (−c /a) ≥ 0 लक्षात ठेवणे देखील आवश्यक नाही. x 2 हे मूल्य व्यक्त करणे आणि समान चिन्हाच्या दुसऱ्या बाजूला काय आहे ते पाहणे पुरेसे आहे. धन संख्या असल्यास, दोन मुळे असतील. जर ते नकारात्मक असेल तर मुळीच मुळीच राहणार नाही.

आता ax 2 + bx = 0 या फॉर्मची समीकरणे पाहू, ज्यामध्ये मुक्त घटक शून्य आहे. येथे सर्व काही सोपे आहे: नेहमी दोन मुळे असतील. बहुपदी घटक करण्यासाठी हे पुरेसे आहे:

सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढणे

घटकांपैकी किमान एक शून्य असताना उत्पादन शून्य असते. येथूनच मुळे येतात. शेवटी, यापैकी काही समीकरणे पाहू:

कार्य. द्विघात समीकरणे सोडवा:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. मुळे नाहीत, कारण चौरस ऋण संख्येच्या बरोबरीचा असू शकत नाही.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

“समीकरणे सोडवणे” हा विषय पुढे चालू ठेवल्याने या लेखातील सामग्री तुम्हाला चतुर्भुज समीकरणांची ओळख करून देईल.

चला सर्वकाही तपशीलवार पाहू: द्विघात समीकरणाचे सार आणि नोटेशन, सोबतच्या अटी परिभाषित करा, अपूर्ण आणि पूर्ण समीकरणे सोडवण्यासाठी योजनेचे विश्लेषण करा, मुळे आणि भेदभावाच्या सूत्राशी परिचित व्हा, मुळे आणि गुणांक यांच्यातील संबंध स्थापित करा, आणि अर्थातच आम्ही व्यावहारिक उदाहरणांसाठी दृश्य समाधान देऊ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

चतुर्भुज समीकरण, त्याचे प्रकार

व्याख्या १

चतुर्भुज समीकरणअसे लिहिलेले समीकरण आहे a x 2 + b x + c = 0, कुठे x- चल, a, b आणि c- काही संख्या, तर aशून्य नाही.

बऱ्याचदा, द्विघात समीकरणांना द्वितीय श्रेणीचे समीकरण देखील म्हटले जाते, कारण मूलत: एक द्विघात समीकरण असते बीजगणितीय समीकरणदुसरी पदवी.

स्पष्ट करण्यासाठी एक उदाहरण देऊ व्याख्या दिली: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, इ. ही चतुर्भुज समीकरणे आहेत.

व्याख्या २

संख्या a, b आणि cहे चतुर्भुज समीकरणाचे गुणांक आहेत a x 2 + b x + c = 0, तर गुणांक a x 2, b वर प्रथम, किंवा वरिष्ठ, किंवा गुणांक म्हणतात - दुसरा गुणांक, किंवा गुणांक x, ए cविनामूल्य सदस्य म्हणतात.

उदाहरणार्थ, चतुर्भुज समीकरणात 6 x 2 − 2 x − 11 = 0अग्रगण्य गुणांक 6 आहे, दुसरा गुणांक आहे − 2 , आणि मुक्त टर्म समान आहे − 11 . चला याकडे लक्ष द्या की जेव्हा गुणांक bआणि/किंवा c नकारात्मक आहेत, नंतर वापरा संक्षिप्त रुपसारखे रेकॉर्ड 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, पण नाही 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

चला हा पैलू देखील स्पष्ट करूया: जर गुणांक aआणि/किंवा bसमान 1 किंवा − 1 , तर ते द्विघात समीकरण लिहिण्यात स्पष्ट भाग घेऊ शकत नाहीत, जे सूचित संख्यात्मक गुणांक लिहिण्याच्या वैशिष्ट्यांद्वारे स्पष्ट केले आहे. उदाहरणार्थ, चतुर्भुज समीकरणात y 2 − y + 7 = 0अग्रगण्य गुणांक 1 आहे आणि दुसरा गुणांक आहे − 1 .

कमी केलेली आणि कमी न केलेली चतुर्भुज समीकरणे

पहिल्या गुणांकाच्या मूल्यावर आधारित, चतुर्भुज समीकरणे कमी आणि अपरिचित मध्ये विभागली जातात.

व्याख्या 3

द्विघात समीकरण कमी केलेएक द्विघात समीकरण आहे जेथे अग्रगण्य गुणांक 1 आहे. अग्रगण्य गुणांकाच्या इतर मूल्यांसाठी, चतुर्भुज समीकरण कमी नाही.

चला उदाहरणे देऊ: चतुर्भुज समीकरण x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 कमी केले आहेत, ज्यापैकी प्रत्येकामध्ये अग्रगण्य गुणांक 1 आहे.

9 x 2 − x − 2 = 0- कमी न केलेले चतुर्भुज समीकरण, जेथे प्रथम गुणांक वेगळे आहे 1 .

कोणतेही अपरिवर्तनीय चतुर्भुज समीकरण पहिल्या गुणांकाने (समतुल्य परिवर्तन) दोन्ही बाजूंना विभाजित करून कमी केलेल्या समीकरणात रूपांतरित केले जाऊ शकते. बदललेल्या समीकरणाची मुळे दिलेल्या अप्रमाणित समीकरणासारखीच असतील किंवा त्याला मुळीच मुळीच नसेल.

एका विशिष्ट उदाहरणाचा विचार केल्याने आम्हाला अपरिवर्तनीय चतुर्भुज समीकरणापासून घटलेल्या समीकरणापर्यंतचे संक्रमण स्पष्टपणे दाखवता येईल.

उदाहरण १

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 हे समीकरण दिले आहे . मूळ समीकरण कमी केलेल्या फॉर्ममध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

उपाय

वरील योजनेनुसार, आम्ही मूळ समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना अग्रगण्य गुणांक 6 ने विभाजित करतो. मग आम्हाला मिळते: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, आणि हे सारखे आहे: (६ x २) : ३ + (१८ x) : ३ − ७: ३ = ०आणि पुढे: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.येथून: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . अशा प्रकारे, दिलेल्या समतुल्य समीकरण प्राप्त होते.

उत्तर: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

पूर्ण आणि अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे

चला चतुर्भुज समीकरणाच्या व्याख्येकडे वळू. त्यात आम्ही ते नमूद केले आहे a ≠ 0. समीकरणासाठी समान स्थिती आवश्यक आहे a x 2 + b x + c = 0पासून तंतोतंत चौरस होता a = 0ते मूलत: एका रेखीय समीकरणात रूपांतरित होते b x + c = 0.

बाबतीत जेव्हा गुणांक bआणि cशून्याच्या समान आहेत (जे शक्य आहे, वैयक्तिकरित्या आणि संयुक्तपणे), द्विघात समीकरण अपूर्ण म्हणतात.

व्याख्या 4

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण- असे द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c = 0,जेथे किमान एक गुणांक bआणि c(किंवा दोन्ही) शून्य आहे.

चतुर्भुज समीकरण पूर्ण करा– एक चतुर्भुज समीकरण ज्यामध्ये सर्व संख्यात्मक गुणांक शून्याच्या समान नसतात.

चतुर्भुज समीकरणांच्या प्रकारांना नेमकी ही नावे का दिली जातात यावर चर्चा करू.

जेव्हा b = 0, चतुर्भुज समीकरण फॉर्म घेते a x 2 + 0 x + c = 0, जे समान आहे a x 2 + c = 0. येथे c = 0चतुर्भुज समीकरण असे लिहिले आहे a x 2 + b x + 0 = 0, जे समतुल्य आहे a x 2 + b x = 0. येथे b = 0आणि c = 0समीकरण फॉर्म घेईल a x 2 = 0. आम्ही प्राप्त केलेली समीकरणे संपूर्ण द्विघात समीकरणापेक्षा भिन्न आहेत कारण त्यांच्या डाव्या बाजूंमध्ये एकतर x व्हेरिएबल असलेले पद किंवा मुक्त पद किंवा दोन्ही नसतात. वास्तविक, या वस्तुस्थितीने या प्रकारच्या समीकरणाला नाव दिले - अपूर्ण.

उदाहरणार्थ, x 2 + 3 x + 4 = 0 आणि − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ही पूर्ण द्विघात समीकरणे आहेत; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – अपूर्ण द्विघात समीकरणे.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे

वर दिलेल्या व्याख्येमुळे खालील प्रकारच्या अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणांमध्ये फरक करणे शक्य होते:

• a x 2 = 0, हे समीकरण गुणांकांशी सुसंगत आहे b = 0आणि c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.

प्रत्येक प्रकारच्या अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणाचा क्रमवार विचार करूया.

x 2 =0 समीकरणाचे निराकरण

वर नमूद केल्याप्रमाणे, हे समीकरण गुणांकांशी जुळते bआणि c, शून्य समान. समीकरण a x 2 = 0समतुल्य समीकरणात रूपांतरित केले जाऊ शकते x 2 = 0, जी आपल्याला मूळ समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना संख्येने भागून मिळते a, शून्याच्या समान नाही. स्पष्ट वस्तुस्थिती हे समीकरणाचे मूळ आहे x 2 = 0हे शून्य आहे कारण 0 2 = 0 . या समीकरणाला इतर कोणतेही मूळ नाहीत, जे पदवीच्या गुणधर्मांद्वारे स्पष्ट केले जाऊ शकते: कोणत्याही संख्येसाठी p,नाही शून्याच्या बरोबरीचे, असमानता सत्य आहे p 2 > 0, ज्यावरून ते अनुसरण करते जेव्हा p ≠ 0समानता p 2 = 0कधीही साध्य होणार नाही.

व्याख्या 5

अशा प्रकारे, अपूर्ण द्विघात समीकरणासाठी x 2 = 0 एकच मूळ आहे x = 0.

उदाहरण २

उदाहरणार्थ, एक अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण सोडवू − 3 x 2 = 0. हे समीकरण समतुल्य आहे x 2 = 0, त्याचे एकमेव मूळ आहे x = 0, तर मूळ समीकरणात एकच मूळ आहे - शून्य.

थोडक्यात, उपाय खालीलप्रमाणे लिहिला आहे:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 हे समीकरण सोडवणे

पुढील ओळीत अपूर्ण द्विघात समीकरणांचे समाधान आहे, जेथे b = 0, c ≠ 0, म्हणजेच फॉर्मची समीकरणे a x 2 + c = 0. समीकरणाच्या एका बाजूने पद हलवून, विरुद्ध चिन्हावर बदल करून आणि समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याच्या समान नसलेल्या संख्येने विभाजित करून या समीकरणाचे रूपांतर करूया:

• हस्तांतरण cउजव्या बाजूला, जे समीकरण देते a x 2 = − c;
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करा a, आम्ही x = - c a ने समाप्त करतो.

आमची परिवर्तने समतुल्य आहेत, परिणामी समीकरण देखील मूळ समतुल्य आहे आणि या वस्तुस्थितीमुळे समीकरणाच्या मुळांबद्दल निष्कर्ष काढणे शक्य होते. मूल्ये कशावरून aआणि cअभिव्यक्तीचे मूल्य - c a अवलंबून असते: त्यात वजा चिन्ह असू शकते (उदाहरणार्थ, जर a = 1आणि c = 2, नंतर - c a = - 2 1 = - 2) किंवा अधिक चिन्ह (उदाहरणार्थ, जर a = − 2आणि c = 6, नंतर - c a = - 6 - 2 = 3); ते शून्य नाही कारण c ≠ 0. आपण परिस्थितींवर अधिक तपशीलवार राहू या जेव्हा - c a< 0 и - c a > 0 .

प्रकरणात जेव्हा - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pसमानता p 2 = - c a सत्य असू शकत नाही.

सर्व काही वेगळे असते जेव्हा - c a > 0: वर्गमूळ लक्षात ठेवा, आणि हे स्पष्ट होईल की समीकरणाचे मूळ x 2 = - c a ही संख्या असेल - c a, कारण - c a 2 = - c a. हे समजणे कठीण नाही की संख्या - - c a हे समीकरण x 2 = - c a: खरंच, - - c a 2 = - c a या समीकरणाचे मूळ आहे.

समीकरणाला दुसरी मुळे नसतील. विरोधाभासाची पद्धत वापरून आपण हे दाखवू शकतो. सुरवातीला, वर आढळलेल्या मुळांसाठी नोटेशन्स म्हणून परिभाषित करू x १आणि − x 1. x 2 = - c a या समीकरणालाही मूळ आहे असे गृहीत धरू x 2, जे मुळांपेक्षा वेगळे आहे x १आणि − x 1. हे आपल्याला समीकरणात बदलून कळते xत्याची मुळे, आम्ही समीकरणाचे रूपांतर वाजवी संख्यात्मक समानतेमध्ये करतो.

च्या साठी x १आणि − x 1आम्ही लिहितो: x 1 2 = - c a , आणि for x 2- x 2 2 = - c a . संख्यात्मक समानतेच्या गुणधर्मांच्या आधारे, आम्ही एक योग्य समानता पद दुसऱ्या शब्दातून वजा करतो, जे आम्हाला देईल: x 1 2 − x 2 2 = 0. शेवटची समानता म्हणून पुन्हा लिहिण्यासाठी आम्ही संख्यांसह ऑपरेशन्सचे गुणधर्म वापरतो (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. हे ज्ञात आहे की दोन संख्यांचा गुणाकार शून्य असेल तरच आणि किमान एक संख्या शून्य असेल तरच. वरीलवरून ते पुढे येते x 1 − x 2 = 0आणि/किंवा x 1 + x 2 = 0, जे समान आहे x 2 = x 1आणि/किंवा x 2 = − x 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उद्भवला, कारण सुरुवातीला हे समीकरणाचे मूळ मान्य केले गेले x 2च्यापासुन वेगळे x १आणि − x 1. तर, आम्ही हे सिद्ध केले आहे की समीकरणाला x = - c a आणि x = - - c a व्यतिरिक्त कोणतीही मुळे नाहीत.

वरील सर्व युक्तिवादांचा सारांश घेऊ.

व्याख्या 6

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण a x 2 + c = 0समीकरण x 2 = - c a, जे:

• येथे मुळे नसतील - c a< 0 ;
• x = - c a आणि x = - - c a साठी - c a > 0 अशी दोन मुळे असतील.

समीकरणे सोडवण्याची उदाहरणे देऊ a x 2 + c = 0.

उदाहरण ३

एक द्विघात समीकरण दिले 9 x 2 + 7 = 0.त्यावर उपाय शोधणे गरजेचे आहे.

उपाय

मुक्त पद समीकरणाच्या उजव्या बाजूला हलवू, मग समीकरण फॉर्म घेईल ९ x २ = − ७.
परिणामी समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी भागू 9 , आपण x 2 = - 7 9 वर पोहोचतो. उजव्या बाजूला आपल्याला वजा चिन्ह असलेली संख्या दिसते, ज्याचा अर्थ आहे: दिलेल्या समीकरणाला मूळ नाही. मग मूळ अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण 9 x 2 + 7 = 0मुळे नसतील.

उत्तर:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0मुळे नाहीत.

उदाहरण ४

समीकरण सोडवावे लागेल − x 2 + 36 = 0.

उपाय

चला 36 उजवीकडे हलवू: − x 2 = − 36.
चला दोन्ही भागांची विभागणी करू − 1 , आम्हाला मिळते x 2 = 36. उजव्या बाजूला एक सकारात्मक संख्या आहे, ज्यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो x = 36 किंवा x = - ३६ .
चला मूळ काढू आणि अंतिम परिणाम लिहू: अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण − x 2 + 36 = 0दोन मुळे आहेत x=6किंवा x = − 6.

उत्तर: x=6किंवा x = − 6.

a x 2 +b x=0 समीकरणाचे निराकरण

आपण तिसऱ्या प्रकारच्या अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणांचे विश्लेषण करू या c = 0. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणावर उपाय शोधण्यासाठी a x 2 + b x = 0, आम्ही फॅक्टरायझेशन पद्धत वापरू. समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या बहुपदीचे गुणांक कंसातून बाहेर काढू. x. या पायरीमुळे मूळ अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणाचे त्याच्या समतुल्य मध्ये रूपांतर करणे शक्य होईल. x (a x + b) = 0. आणि हे समीकरण, यामधून, समीकरणांच्या संचाशी समतुल्य आहे x = 0आणि a x + b = 0. समीकरण a x + b = 0रेखीय, आणि त्याचे मूळ: x = − b a.

व्याख्या 7

अशा प्रकारे, अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण a x 2 + b x = 0दोन मुळे असतील x = 0आणि x = − b a.

चला उदाहरणासह सामग्री मजबूत करूया.

उदाहरण ५

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 या समीकरणाचे निराकरण करणे आवश्यक आहे.

उपाय

आम्ही ते बाहेर काढू xकंसाच्या बाहेर x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 हे समीकरण मिळते. हे समीकरण समीकरणांच्या बरोबरीचे आहे x = 0आणि 2 3 x - 2 2 7 = 0. आता तुम्ही परिणामी रेखीय समीकरण सोडवा: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

खालीलप्रमाणे समीकरणाचे समाधान थोडक्यात लिहा.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 किंवा 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 किंवा x = 3 3 7

उत्तर: x = 0, x = 3 3 7.

भेदभाव, चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र

द्विघात समीकरणांवर उपाय शोधण्यासाठी, मूळ सूत्र आहे:

व्याख्या 8

x = - b ± D 2 · a, कुठे D = b 2 − 4 a c– चतुर्भुज समीकरणाचा तथाकथित भेदभाव.

x = - b ± D 2 · a लिहिण्याचा मूलत: अर्थ असा होतो की x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

हे सूत्र कसे तयार झाले आणि ते कसे लागू करायचे हे समजून घेणे उपयुक्त ठरेल.

चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

चतुर्भुज समीकरण सोडवण्याच्या कार्याला सामोरे जाऊ या a x 2 + b x + c = 0. चला अनेक समतुल्य परिवर्तने करूया:

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना एका संख्येने विभाजित करा a, शून्यापेक्षा वेगळे, आम्हाला खालील द्विघात समीकरण मिळते: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• परिणामी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण चौरस निवडा:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  यानंतर, समीकरण फॉर्म घेईल: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• आता शेवटच्या दोन संज्ञा उजव्या बाजूला हस्तांतरित करणे शक्य आहे, चिन्ह विरुद्ध दिशेने बदलून, त्यानंतर आपल्याला मिळेल: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• शेवटी, आम्ही शेवटच्या समानतेच्या उजव्या बाजूला लिहिलेल्या अभिव्यक्तीचे रूपांतर करतो:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

अशा प्रकारे, आपण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 या समीकरणावर पोहोचतो, मूळ समीकरणाच्या समतुल्य a x 2 + b x + c = 0.

आम्ही मागील परिच्छेदांमध्ये (अपूर्ण द्विघात समीकरण सोडवणे) अशा समीकरणांचे समाधान तपासले. आधीच मिळालेल्या अनुभवामुळे x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 या समीकरणाच्या मुळाशी निष्कर्ष काढणे शक्य होते:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 सह< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• जेव्हा b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 हे समीकरण x + b 2 · a 2 = 0 असेल, तर x + b 2 · a = 0 असेल.

येथून फक्त मूळ x = - b 2 · a स्पष्ट आहे;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 साठी, खालील सत्य असेल: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 किंवा x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , जे x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 किंवा x = - b 2 · a - b 2 - 4 सारखे आहे · a · c 4 · a 2 , i.e. समीकरण दोन मुळे आहेत.

समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (आणि म्हणून मूळ समीकरण) b या अभिव्यक्तीच्या चिन्हावर अवलंबून आहे असा निष्कर्ष काढता येतो. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 उजव्या बाजूला लिहिले आहे. आणि या अभिव्यक्तीचे चिन्ह अंशाच्या चिन्हाद्वारे दिले जाते, (भाजक ४ आणि २नेहमी सकारात्मक असेल), म्हणजे अभिव्यक्तीचे चिन्ह b 2 − 4 a c. ही अभिव्यक्ती b 2 − 4 a cनाव दिले आहे - चतुर्भुज समीकरणाचा भेदभाव आणि अक्षर D हे त्याचे पदनाम म्हणून परिभाषित केले आहे. येथे तुम्ही भेदभावाचे सार लिहू शकता - त्याचे मूल्य आणि चिन्हावर आधारित, ते असा निष्कर्ष काढू शकतात की चतुर्भुज समीकरणाला वास्तविक मुळे असतील की नाही आणि, जर असेल तर, मुळांची संख्या किती आहे - एक किंवा दोन.

चला x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 या समीकरणाकडे परत जाऊ या. भेदभावपूर्ण नोटेशन वापरून ते पुन्हा लिहू: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

चला आमचे निष्कर्ष पुन्हा तयार करूया:

व्याख्या ९

• येथे डी< 0 समीकरणाला खरी मुळे नाहीत;
• येथे D=0समीकरणाचे एकच मूळ x = - b 2 · a ;
• येथे डी > ०समीकरणाची दोन मुळे आहेत: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 किंवा x = - b 2 · a - D 4 · a 2. रॅडिकल्सच्या गुणधर्मांवर आधारित, ही मुळे या स्वरूपात लिहिली जाऊ शकतात: x = - b 2 · a + D 2 · a किंवा - b 2 · a - D 2 · a. आणि, जेव्हा आपण मॉड्यूल्स उघडतो आणि अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणतो तेव्हा आपल्याला मिळते: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

तर, आमच्या तर्काचा परिणाम म्हणजे चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांच्या सूत्राची व्युत्पत्ती:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant डीसूत्रानुसार गणना केली जाते D = b 2 − 4 a c.

जेव्हा भेदभाव शून्यापेक्षा मोठा असतो तेव्हा या सूत्रांमुळे दोन्ही वास्तविक मुळे निश्चित करणे शक्य होते. जेव्हा भेदक शून्य असतो, तेव्हा दोन्ही सूत्रे लागू केल्याने चतुर्भुज समीकरणाचा एकमेव उपाय म्हणून समान मूळ मिळेल. भेदभाव ऋणात्मक असल्यास, जर आपण चतुर्भुज मूळ सूत्र वापरण्याचा प्रयत्न केला, तर आपल्याला नकारात्मक संख्येचे वर्गमूळ घेण्याची गरज भासेल, जी आपल्याला वास्तविक संख्यांच्या व्याप्तीच्या पलीकडे नेईल. नकारात्मक भेदभावाने, चतुर्भुज समीकरणाला वास्तविक मुळे नसतील, परंतु जटिल संयुग्मित मुळांची जोडी शक्य आहे, जी आम्ही प्राप्त केलेल्या समान मूळ सूत्रांद्वारे निर्धारित केली जाते.

मूळ सूत्रे वापरून द्विघात समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम

मूळ सूत्राचा वापर करून चतुर्भुज समीकरण त्वरित सोडवणे शक्य आहे, परंतु सामान्यतः जेव्हा जटिल मुळे शोधणे आवश्यक असते तेव्हा हे केले जाते.

बहुसंख्य प्रकरणांमध्ये, याचा अर्थ सामान्यतः जटिल नाही, तर द्विघात समीकरणाच्या वास्तविक मुळांसाठी शोधणे असा होतो. मग हे इष्टतम आहे, चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्रे वापरण्यापूर्वी, प्रथम भेदभाव निश्चित करणे आणि ते नकारात्मक नाही याची खात्री करणे (अन्यथा आपण समीकरणाला कोणतीही वास्तविक मुळे नसल्याचा निष्कर्ष काढू) आणि नंतर गणना करण्यासाठी पुढे जा. मुळांचे मूल्य.

वरील तर्कामुळे चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम तयार करणे शक्य होते.

व्याख्या 10

चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी a x 2 + b x + c = 0, आवश्यक:

• सूत्रानुसार D = b 2 − 4 a cभेदभाव मूल्य शोधा;
• डी येथे< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 साठी, x = - b 2 · a सूत्र वापरून समीकरणाचे एकमेव मूळ शोधा;
• D > 0 साठी, x = - b ± D 2 · a सूत्र वापरून द्विघात समीकरणाची दोन वास्तविक मुळे निश्चित करा.

लक्षात घ्या की जेव्हा भेदभाव शून्य असतो, तेव्हा तुम्ही x = - b ± D 2 · a हे सूत्र वापरू शकता, ते सूत्र x = - b 2 · a प्रमाणेच परिणाम देईल.

उदाहरणे पाहू.

द्विघात समीकरणे सोडवण्याची उदाहरणे

साठी उदाहरणांवर उपाय देऊ भिन्न अर्थभेदभाव करणारा

उदाहरण 6

आपल्याला समीकरणाची मुळे शोधावी लागतील x 2 + 2 x − 6 = 0.

उपाय

चला चतुर्भुज समीकरणाचे संख्यात्मक गुणांक लिहू: a = 1, b = 2 आणि c = − 6. पुढे आम्ही अल्गोरिदमनुसार पुढे जाऊ, म्हणजे. चला भेदभावाची गणना सुरू करूया, ज्यासाठी आपण a, b सह गुणांक बदलू. आणि cभेदभावपूर्ण सूत्रामध्ये: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

तर आपल्याला D > ० मिळेल, याचा अर्थ मूळ समीकरणाला दोन वास्तविक मुळे असतील.
ते शोधण्यासाठी, आम्ही मूळ सूत्र x = - b ± D 2 · a वापरतो आणि, संबंधित मूल्ये बदलून, आम्हाला मिळते: x = - 2 ± 28 2 · 1. मूळ चिन्हातून घटक काढून आणि नंतर अपूर्णांक कमी करून परिणामी अभिव्यक्ती सुलभ करूया:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 किंवा x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 किंवा x = - 1 - 7

उत्तर: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

उदाहरण 7

चतुर्भुज समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

उपाय

चला भेदभाव परिभाषित करूया: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. भेदभावाच्या या मूल्यासह, मूळ समीकरणास फक्त एकच मूळ असेल, x = - b 2 · a या सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

उत्तर: x = 3.5.

उदाहरण 8

समीकरण सोडवावे लागेल 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

उपाय

या समीकरणाचे संख्यात्मक गुणांक असतील: a = 5, b = 6 आणि c = 2. भेदभाव शोधण्यासाठी आम्ही ही मूल्ये वापरतो: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . गणना केलेला भेदभाव ऋणात्मक आहे, म्हणून मूळ द्विघात समीकरणाला कोणतेही वास्तविक मूळ नाही.

जेव्हा कार्य जटिल मुळे दर्शविण्याचे असते तेव्हा आम्ही मूळ सूत्र लागू करतो, जटिल संख्यांसह क्रिया करतो:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 किंवा x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i किंवा x = - 3 5 - 1 5 · i.

उत्तर:कोणतीही वास्तविक मुळे नाहीत; जटिल मुळे खालीलप्रमाणे आहेत: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN शालेय अभ्यासक्रमक्लिष्ट मुळे शोधण्यासाठी कोणतीही मानक आवश्यकता नाही, म्हणून, जर सोल्यूशन दरम्यान भेदभाव नकारात्मक असल्याचे निश्चित केले गेले, तर उत्तर लगेच लिहिले जाते की कोणतीही वास्तविक मुळे नाहीत.

अगदी द्वितीय गुणांकांसाठी मूळ सूत्र

मूळ सूत्र x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) हे आणखी एक सूत्र मिळवणे शक्य करते, अधिक संक्षिप्त, ज्यामुळे एखाद्याला x साठी समान गुणांक असलेल्या द्विघात समीकरणांचे निराकरण करणे शक्य होते ( किंवा फॉर्म 2 · n च्या गुणांकासह, उदाहरणार्थ, 2 3 किंवा 14 ln 5 = 2 7 ln 5). हे सूत्र कसे प्राप्त झाले ते दाखवू.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 या चतुर्भुज समीकरणावर उपाय शोधण्याचे कार्य आपणास सामोरे जाऊ या. आम्ही अल्गोरिदमनुसार पुढे जाऊ: आम्ही भेदभाव D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) निर्धारित करतो आणि नंतर मूळ सूत्र वापरतो:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

अभिव्यक्ती n 2 − a · c ला D 1 म्हणून दर्शवू द्या (कधीकधी ते D " असे दर्शवले जाते). नंतर द्वितीय गुणांक 2 · n सह विचाराधीन द्विघात समीकरणाच्या मुळांचे सूत्र फॉर्म घेईल:

x = - n ± D 1 a, जेथे D 1 = n 2 − a · c.

हे पाहणे सोपे आहे की D = 4 · D 1, किंवा D 1 = D 4. दुसऱ्या शब्दांत, D 1 हा भेदभावाचा एक चतुर्थांश आहे. साहजिकच, D 1 चे चिन्ह D च्या चिन्हासारखेच आहे, याचा अर्थ D 1 चे चिन्ह चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांच्या उपस्थितीचे किंवा अनुपस्थितीचे सूचक म्हणून देखील काम करू शकते.

व्याख्या 11

अशा प्रकारे, 2 n च्या द्वितीय गुणांकासह द्विघात समीकरणाचे निराकरण करण्यासाठी, हे आवश्यक आहे:

• D 1 = n 2 − a · c शोधा;
• डी 1 वर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• जेव्हा D 1 = 0, सूत्र x = - n a वापरून समीकरणाचे एकमेव मूळ निश्चित करा;
• D 1 > 0 साठी, x = - n ± D 1 a सूत्र वापरून दोन वास्तविक मुळे निश्चित करा.

उदाहरण ९

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 हे द्विघात समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे.

उपाय

आपण दिलेल्या समीकरणाचा दुसरा गुणांक 2 · (− 3) म्हणून दर्शवू शकतो. मग आपण दिलेले द्विघात समीकरण 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 असे पुन्हा लिहू, जेथे a = 5, n = − 3 आणि c = − 32.

चला भेदाचा चौथा भाग काढू: D 1 = n 2 −a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. परिणामी मूल्य सकारात्मक आहे, याचा अर्थ असा की समीकरणाची दोन वास्तविक मुळे आहेत. संबंधित मूळ सूत्र वापरून ते निर्धारित करूया:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 किंवा x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 किंवा x = - 2

चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी नेहमीच्या सूत्राचा वापर करून गणना करणे शक्य होईल, परंतु या प्रकरणात उपाय अधिक त्रासदायक असेल.

उत्तर: x = 3 1 5 किंवा x = - 2 .

द्विघात समीकरणांचे स्वरूप सोपे करणे

काहीवेळा मूळ समीकरणाचे स्वरूप ऑप्टिमाइझ करणे शक्य आहे, जे मुळांची गणना करण्याची प्रक्रिया सुलभ करेल.

उदाहरणार्थ, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 पेक्षा 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 हे द्विघात समीकरण सोडवण्यासाठी अधिक सोयीचे आहे.

बऱ्याचदा, द्विघात समीकरणाच्या स्वरूपाचे सरलीकरण त्याच्या दोन्ही बाजूंना एका विशिष्ट संख्येने गुणाकार किंवा विभाजित करून केले जाते. उदाहरणार्थ, वर आम्ही 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 या समीकरणाचे सरलीकृत प्रतिनिधित्व दाखवले, जे दोन्ही बाजूंना 100 ने विभाजित करून प्राप्त होते.

जेव्हा द्विघात समीकरणाचे गुणांक कॉप्रिम संख्या नसतात तेव्हा असे परिवर्तन शक्य असते. मग आपण सहसा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना त्याच्या गुणांकांच्या निरपेक्ष मूल्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाने विभाजित करतो.

उदाहरण म्हणून, आम्ही 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 हे द्विघात समीकरण वापरतो. चला त्याच्या गुणांकांच्या निरपेक्ष मूल्यांचे GCD निश्चित करू: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. मूळ द्विघात समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 6 ने विभाजित करू आणि 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 असे समतुल्य द्विघात समीकरण मिळवू.

चतुर्भुज समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार केल्याने, आपण सहसा अपूर्णांक गुणांकांपासून मुक्त होतात. या प्रकरणात, ते त्याच्या गुणांकांच्या भाजकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराने गुणाकार करतात. उदाहरणार्थ, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 या द्विघात समीकरणाचा प्रत्येक भाग LCM (6, 3, 1) = 6 ने गुणाकार केला तर ते अधिक लिहिले जाईल. साध्या स्वरूपात x 2 + 4 x − 18 = 0 .

शेवटी, आम्ही लक्षात घेतो की, समीकरणाच्या प्रत्येक पदाची चिन्हे बदलून, − 1 ने दोन्ही बाजूंनी गुणाकार (किंवा भागाकार) करून मिळवले जाणारे चतुर्भुज समीकरणाच्या पहिल्या गुणांकातील उणेपासून आपण जवळजवळ नेहमीच सुटका करतो. उदाहरणार्थ, द्विघात समीकरण − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, तुम्ही त्याच्या सरलीकृत आवृत्ती 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 वर जाऊ शकता.

मुळे आणि गुणांक यांच्यातील संबंध

चतुर्भुज समीकरणांच्या मुळांचे सूत्र, x = - b ± D 2 · a, समीकरणाची मुळे त्याच्या संख्यात्मक गुणांकांद्वारे व्यक्त करते. या सूत्राच्या आधारे, आम्हाला मूळ आणि गुणांक यांच्यातील इतर अवलंबित्व निर्दिष्ट करण्याची संधी आहे.

सर्वात प्रसिद्ध आणि लागू व्हिएटाच्या प्रमेयची सूत्रे आहेत:

x 1 + x 2 = - b a आणि x 2 = c a.

विशेषतः, दिलेल्या चतुर्भुज समीकरणासाठी, मुळांची बेरीज ही विरुद्ध चिन्हासह दुसरा गुणांक आहे आणि मुळांचा गुणाकार मुक्त पदाच्या समान आहे. उदाहरणार्थ, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 या द्विघात समीकरणाचे स्वरूप पाहून, त्याच्या मुळांची बेरीज 7 3 आहे आणि मुळांचा गुणाकार 22 3 आहे हे लगेच ठरवता येते.

तुम्ही चतुर्भुज समीकरणाची मुळे आणि गुणांक यांच्यातील इतर अनेक कनेक्शन देखील शोधू शकता. उदाहरणार्थ, चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांच्या वर्गांची बेरीज गुणांकांच्या संदर्भात व्यक्त केली जाऊ शकते:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

अनेकांना तसे नसल्यामुळे हा विषय सुरुवातीला अवघड वाटू शकतो साधी सूत्रे. केवळ चतुर्भुज समीकरणांनाच लांबलचक नोटेशन्स नसतात, तर मुळे देखील भेदभावाच्या माध्यमातून सापडतात. एकूण, तीन नवीन सूत्रे प्राप्त झाली आहेत. लक्षात ठेवणे फार सोपे नाही. अशी समीकरणे वारंवार सोडवल्यानंतरच हे शक्य होते. मग सर्व सूत्रे स्वतःच लक्षात राहतील.

द्विघात समीकरणाचे सामान्य दृश्य

येथे आम्ही त्यांचे स्पष्ट रेकॉर्डिंग प्रस्तावित करतो, जेव्हा सर्वात मोठी पदवी प्रथम लिहिली जाते, आणि नंतर उतरत्या क्रमाने. अटी विसंगत असताना अनेकदा परिस्थिती असते. नंतर व्हेरिएबलच्या डिग्रीच्या उतरत्या क्रमाने समीकरण पुन्हा लिहिणे चांगले.

चला काही नोटेशन सादर करूया. ते खालील तक्त्यामध्ये सादर केले आहेत.

जर आपण या नोटेशन्स स्वीकारल्या तर, सर्व चतुर्भुज समीकरणे खालील नोटेशनमध्ये कमी होतील.

शिवाय, गुणांक a ≠ 0. या सूत्राला क्रमांक एक म्हणून नियुक्त करू द्या.

जेव्हा समीकरण दिले जाते तेव्हा उत्तरात किती मुळे असतील हे स्पष्ट नसते. कारण तीन पर्यायांपैकी एक नेहमीच शक्य आहे:

• द्रावणात दोन मुळे असतील;
• उत्तर एक संख्या असेल;
• समीकरणाला मुळीच मुळी नाही.

आणि निर्णय अंतिम होईपर्यंत, विशिष्ट प्रकरणात कोणता पर्याय दिसून येईल हे समजणे कठीण आहे.

द्विघात समीकरणांच्या रेकॉर्डिंगचे प्रकार

कार्यांमध्ये भिन्न नोंदी असू शकतात. ते नेहमी सामान्य द्विघात समीकरण सूत्रासारखे दिसणार नाहीत. कधीकधी काही अटी गहाळ असतील. वर जे लिहिले आहे ते संपूर्ण समीकरण आहे. त्यातली दुसरी किंवा तिसरी टर्म काढून टाकली तर आणखी काही मिळते. या नोंदींना चतुर्भुज समीकरणे देखील म्हणतात, फक्त अपूर्ण.

शिवाय, फक्त “b” आणि “c” गुणांक असलेल्या अटी अदृश्य होऊ शकतात. "a" ही संख्या कोणत्याही परिस्थितीत शून्याच्या बरोबरीची असू शकत नाही. कारण या प्रकरणात सूत्र एका रेखीय समीकरणात बदलते. समीकरणांच्या अपूर्ण स्वरूपाची सूत्रे खालीलप्रमाणे असतील.

तर, पूर्ण समीकरणांव्यतिरिक्त फक्त दोन प्रकार आहेत, अपूर्ण द्विघात समीकरणे देखील आहेत. पहिले सूत्र क्रमांक दोन आणि दुसरे - तीन असू द्या.

त्याच्या मूल्यावर मुळांच्या संख्येचे भेदभाव आणि अवलंबन

समीकरणाच्या मुळांची गणना करण्यासाठी तुम्हाला ही संख्या माहित असणे आवश्यक आहे. चतुर्भुज समीकरणाचे सूत्र कोणतेही असले तरीही ते नेहमी मोजले जाऊ शकते. भेदभावाची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला खाली लिहिलेली समानता वापरण्याची आवश्यकता आहे, ज्यामध्ये क्रमांक चार असेल.

या सूत्रामध्ये गुणांक मूल्ये बदलल्यानंतर, आपण यासह संख्या मिळवू शकता भिन्न चिन्हे. जर उत्तर होय असेल तर समीकरणाचे उत्तर दोन भिन्न मुळे असतील. जर संख्या ऋण असेल तर, चतुर्भुज समीकरणाची मुळे नसतील. जर ते शून्य असेल तर एकच उत्तर असेल.

संपूर्ण द्विघात समीकरण कसे सोडवायचे?

किंबहुना या मुद्द्यावर विचार सुरू झाला आहे. कारण आधी तुम्हाला भेदभाव करणारा शोधण्याची गरज आहे. चतुर्भुज समीकरणाची मुळे आहेत हे निश्चित केल्यानंतर आणि त्यांची संख्या ज्ञात झाल्यानंतर, आपण चलांसाठी सूत्रे वापरणे आवश्यक आहे. जर दोन मुळे असतील तर तुम्हाला खालील सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे.

त्यात "±" चिन्ह असल्याने, दोन अर्थ असतील. वर्गमूळ चिन्हाखालील अभिव्यक्ती भेदभाव आहे. म्हणून, सूत्र वेगळ्या पद्धतीने पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

सूत्र क्रमांक पाच. त्याच नोंदीवरून हे स्पष्ट होते की जर भेदभाव शून्य असेल तर दोन्ही मुळे समान मूल्ये घेतील.

जर चतुर्भुज समीकरणे सोडवणे अद्याप तयार झाले नसेल, तर भेदभाव आणि परिवर्तनीय सूत्रे लागू करण्यापूर्वी सर्व गुणांकांची मूल्ये लिहून ठेवणे चांगले. नंतर या क्षणी अडचणी येणार नाहीत. पण अगदी सुरुवातीलाच गोंधळ होतो.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण कसे सोडवायचे?

येथे सर्व काही खूप सोपे आहे. अतिरिक्त सूत्रांचीही गरज नाही. आणि जे आधीपासून भेदभाव करणारे आणि अज्ञात यांच्यासाठी लिहिले गेले आहेत त्यांची गरज भासणार नाही.

प्रथम, अपूर्ण समीकरण क्रमांक दोन पाहू. या समानतेमध्ये, अज्ञात प्रमाण कंसातून बाहेर काढणे आवश्यक आहे आणि रेखीय समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे, जे कंसात राहील. उत्तराला दोन मुळे असतील. पहिला शून्य असणे आवश्यक आहे, कारण व्हेरिएबलमध्येच एक गुणक आहे. दुसरे एक रेषीय समीकरण सोडवून मिळवले जाईल.

समानतेच्या डावीकडून उजवीकडे संख्या हलवून अपूर्ण समीकरण क्रमांक तीन सोडवले जाते. मग आपल्याला अज्ञात असलेल्या गुणांकाने विभाजित करणे आवश्यक आहे. बाकी फक्त वर्गमूळ काढायचे आहे आणि ते दोनदा विरुद्ध चिन्हांसह लिहायचे आहे.

खाली काही पायऱ्या आहेत ज्या तुम्हाला सर्व प्रकारच्या समानता कशा सोडवायच्या हे शिकण्यास मदत करतील जी चतुर्भुज समीकरणांमध्ये बदलतात. ते विद्यार्थ्याला अनभिज्ञतेमुळे झालेल्या चुका टाळण्यास मदत करतील. "चतुर्भुज समीकरणे (8वी श्रेणी)" या विस्तृत विषयाचा अभ्यास करताना या उणिवांमुळे खराब ग्रेड येऊ शकतात. त्यानंतर, या क्रिया सतत करण्याची आवश्यकता नाही. कारण एक स्थिर कौशल्य दिसून येईल.

• प्रथम तुम्हाला समीकरण मानक स्वरूपात लिहावे लागेल. म्हणजेच, प्रथम व्हेरिएबलची सर्वात मोठी पदवी असलेली संज्ञा, आणि नंतर - पदवीशिवाय, आणि शेवटची - फक्त एक संख्या.

• गुणांक “a” च्या आधी वजा दिसल्यास, ते द्विघात समीकरणांचा अभ्यास करणाऱ्या नवशिक्यासाठी काम गुंतागुंतीचे करू शकते. त्यातून सुटका करून घेणे चांगले. या उद्देशासाठी, सर्व समानता "-1" ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ असा की सर्व अटी विरुद्ध चिन्हावर बदलतील.

• त्याच प्रकारे अपूर्णांकांपासून मुक्त होण्याची शिफारस केली जाते. फक्त समीकरण योग्य घटकाने गुणाकार करा जेणेकरून भाजक रद्द होतील.

उदाहरणे

खालील द्विघात समीकरणे सोडवणे आवश्यक आहे:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

पहिले समीकरण: x 2 − 7x = 0. ते अपूर्ण आहे, म्हणून ते सूत्र क्रमांक दोनच्या वर्णनानुसार सोडवले जाते.

कंसातून बाहेर काढल्यानंतर, हे निष्पन्न होते: x (x - 7) = 0.

पहिले मूळ हे मूल्य घेते: x 1 = 0. दुसरे रेखीय समीकरणावरून सापडेल: x - 7 = 0. x 2 = 7 हे पाहणे सोपे आहे.

दुसरे समीकरण: 5x 2 + 30 = 0. पुन्हा अपूर्ण. तिसऱ्या सूत्रासाठी वर्णन केल्याप्रमाणे फक्त ते सोडवले जाते.

समीकरणाच्या उजव्या बाजूला 30 हलवल्यानंतर: 5x 2 = 30. आता तुम्हाला 5 ने भागणे आवश्यक आहे. हे निष्पन्न होते: x 2 = 6. उत्तरे ही संख्या असतील: x 1 = √6, x 2 = - √6.

तिसरे समीकरण: 15 − 2х − x 2 = 0. येथे आणि पुढे, द्विघात समीकरण सोडवणे त्यांच्या पुनर्लेखनाने सुरू होईल मानक दृश्य: − x 2 − 2x + 15 = 0. आता दुसरा वापरण्याची वेळ आली आहे उपयुक्त सल्लाआणि प्रत्येक गोष्टीला वजा एक ने गुणा. हे x 2 + 2x - 15 = 0 बाहेर वळते. चौथ्या सूत्राचा वापर करून, तुम्हाला भेदभावाची गणना करणे आवश्यक आहे: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. ही एक सकारात्मक संख्या आहे. वर जे सांगितले आहे त्यावरून असे दिसून येते की समीकरणाची दोन मुळे आहेत. पाचव्या सूत्राचा वापर करून त्यांची गणना करणे आवश्यक आहे. हे निष्पन्न झाले की x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. नंतर x 1 = 3, x 2 = - 5.

चौथ्या समीकरण x 2 + 8 + 3x = 0 चे यात रूपांतर होते: x 2 + 3x + 8 = 0. त्याचा भेदभाव या मूल्याच्या बरोबरीचा आहे: -23. ही संख्या ऋणात्मक असल्याने, या कार्याचे उत्तर खालील प्रविष्टी असेल: "कोणतीही मुळे नाहीत."

पाचवे समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 पुढीलप्रमाणे पुन्हा लिहावे: x 2 + 12x + 36 = 0. भेदभावासाठी सूत्र लागू केल्यानंतर, संख्या शून्य मिळते. याचा अर्थ असा की त्याचे एक रूट असेल, म्हणजे: x = -12/ (2 * 1) = -6.

सहाव्या समीकरण (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) साठी परिवर्तन आवश्यक आहे, ज्यामध्ये तुम्हाला समान संज्ञा आणणे आवश्यक आहे, प्रथम कंस उघडणे आवश्यक आहे. पहिल्याच्या जागी खालील अभिव्यक्ती असेल: x 2 + 2x + 1. समानतेनंतर, ही प्रविष्टी दिसेल: x 2 + 3x + 2. समान संज्ञा मोजल्यानंतर, समीकरण फॉर्म घेईल: x 2 - x = 0. ते अपूर्ण झाले आहे. अशीच काहीशी चर्चा याआधीही झाली आहे. याचे मूळ 0 आणि 1 हे अंक असतील.

", म्हणजे, पहिल्या पदवीचे समीकरण. या धड्यात आपण पाहू ज्याला चतुर्भुज समीकरण म्हणतातआणि ते कसे सोडवायचे.

चतुर्भुज समीकरण म्हणजे काय?

महत्वाचे!

समीकरणाची डिग्री अज्ञात कोणत्या सर्वोच्च पदवीवर आहे द्वारे निर्धारित केली जाते.

जर जास्तीत जास्त पॉवर ज्यामध्ये अज्ञात "2" असेल, तर तुमच्याकडे चतुर्भुज समीकरण आहे.

द्विघात समीकरणांची उदाहरणे

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

महत्वाचे!

चतुर्भुज समीकरणाचे सामान्य रूप असे दिसते:

A x 2 + b x + c = 0

• “a”, “b” आणि “c” या संख्या दिल्या आहेत.
• "a" हा पहिला किंवा सर्वोच्च गुणांक आहे;
• “b” हा दुसरा गुणांक आहे;

"c" एक विनामूल्य सदस्य आहे.

“a”, “b” आणि “c” शोधण्यासाठी तुम्हाला तुमच्या समीकरणाची तुलना “ax 2 + bx + c = 0” या चतुर्भुज समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपाशी करावी लागेल.

शक्यता c = 17 c = 8

चतुर्भुज समीकरणांमध्ये "a", "b" आणि "c" हे गुणांक ठरवण्याचा सराव करू.	समीकरण
5x 2 − 14x + 17 = 0 a = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

c =

• x 2 + 0.25x = 0
• a = 1
• b = 0.25

c = 0

• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची रेखीय समीकरणांच्या विपरीत, चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यासाठी एक विशेष पद्धत वापरली जाते..

मुळे शोधण्याचे सूत्र

लक्षात ठेवा!

• चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे: पर्यंत चतुर्भुज समीकरण कमी करासामान्य देखावा
• "ax 2 + bx + c = 0". म्हणजेच, फक्त "0" उजव्या बाजूला राहिले पाहिजे;

मुळांसाठी सूत्र वापरा:

चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधण्यासाठी सूत्र कसे वापरायचे याचे उदाहरण पाहू. एक द्विघात समीकरण सोडवू.

"x 2 − 3x − 4 = 0" हे समीकरण आधीच "ax 2 + bx + c = 0" या सामान्य रूपात कमी केले गेले आहे आणि त्याला अतिरिक्त सरलीकरणाची आवश्यकता नाही. ते सोडवण्यासाठी, आम्हाला फक्त अर्ज करण्याची आवश्यकता आहे द्विघात समीकरणाची मुळे शोधण्याचे सूत्र.

या समीकरणासाठी “a”, “b” आणि “c” गुणांक ठरवू.

x १;२ =
x १;२ =
x १;२ =
x १;२ =

हे कोणतेही चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

सूत्रात “x 1;2 = ” मूलगामी अभिव्यक्ती अनेकदा बदलली जाते
"b 2 − 4ac" अक्षर "D" साठी आणि त्याला भेदभाव म्हणतात. भेदभाव करणाऱ्या संकल्पनेची अधिक तपशीलवार चर्चा “भेदभाव करणारा म्हणजे काय” या धड्यात केला आहे.

चतुर्भुज समीकरणाचे दुसरे उदाहरण पाहू.

x 2 + 9 + x = 7x

या फॉर्ममध्ये, "a", "b" आणि "c" गुणांक निश्चित करणे खूप कठीण आहे. प्रथम "ax 2 + bx + c = 0" या सामान्य रूपात समीकरण कमी करू.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

आता आपण मुळांसाठी सूत्र वापरू शकता.

X १;२ =
x १;२ =
x १;२ =
x १;२ =
x =

6

2

x = 3
उत्तर: x = 3

असे काही वेळा असतात जेव्हा चतुर्भुज समीकरणांना मूळ नसते. जेव्हा सूत्रामध्ये मूळ अंतर्गत ऋण संख्या असते तेव्हा ही परिस्थिती उद्भवते.