नकारात्मक मुळे जोडणे. वर्गमूळ जोडण्याचे नियम

गणितात, मुळे हे चौरस, घन किंवा इतर कोणतेही घातांक (शक्ती) असू शकतात, जे मूळ चिन्हाच्या वर डावीकडे लिहिलेले असतात. मूळ चिन्हाच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीला मूलगामी अभिव्यक्ती म्हणतात. मुळे जोडणे हे बीजगणितीय अभिव्यक्तीच्या संज्ञा जोडण्यासारखे आहे, म्हणजेच, समान मुळे निश्चित करणे आवश्यक आहे.

पायऱ्या

मुळांचे पदनाम.मूळ चिन्ह () अंतर्गत अभिव्यक्तीचा अर्थ असा आहे की या अभिव्यक्तीमधून विशिष्ट प्रमाणात मूळ काढणे आवश्यक आहे.

• रूट चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो.
• रूटचा घातांक (डिग्री) मूळ चिन्हाच्या वर डावीकडे लिहिलेला असतो. उदाहरणार्थ, 27 चे घनमूळ असे लिहिले आहे: (27)
• जर मुळाचा घातांक (अंश) नसेल, तर घातांक 2 च्या बरोबरीचा मानला जातो, म्हणजेच ते वर्गमूळ (किंवा दुसऱ्या अंशाचे मूळ) आहे.
• मूळ चिन्हाच्या आधी लिहिलेल्या संख्येला गुणक म्हणतात (म्हणजे ही संख्या मूळने गुणाकार केली जाते), उदाहरणार्थ 5 (2)
• जर मुळासमोर कोणताही घटक नसेल, तर तो 1 च्या बरोबरीचा आहे (लक्षात ठेवा की 1 ने गुणाकार केलेली कोणतीही संख्या स्वतःच्या समान असते).
• मुळांसोबत काम करण्याची तुमची ही पहिलीच वेळ असल्यास, गोंधळ टाळण्यासाठी गुणक आणि मूळ घातांकावर योग्य टिपा बनवा आणि त्यांचा उद्देश अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घ्या.

कोणती मुळे दुमडली जाऊ शकतात आणि कोणती करू शकत नाहीत हे लक्षात ठेवा.ज्याप्रमाणे तुम्ही अभिव्यक्तीच्या भिन्न संज्ञा जोडू शकत नाही, उदाहरणार्थ, 2a + 2b 4ab, तुम्ही भिन्न मुळे जोडू शकत नाही.

समान मुळे ओळखा आणि गटबद्ध करा.समान मुळे अशी मुळे आहेत ज्यांचे समान निर्देशक आणि समान मूलगामी अभिव्यक्ती आहेत. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीचा विचार करा:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• प्रथम, अभिव्यक्ती पुन्हा लिहा जेणेकरून समान अनुक्रमणिका असलेली मुळे अनुक्रमे स्थित असतील.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• नंतर अभिव्यक्ती पुन्हा लिहा जेणेकरून समान घातांकासह आणि समान मूलगामी अभिव्यक्तीसह मुळे अनुक्रमे स्थित असतील.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

मुळे सोपे करा.हे करण्यासाठी, मूलगामी अभिव्यक्ती दोन घटकांमध्ये विघटित करा (शक्य असेल तेथे), ज्यापैकी एक मुळापासून काढला जातो. या प्रकरणात, काढलेली संख्या आणि मूळ घटक गुणाकार केला जातो.

समान मुळांचे घटक जोडा.आमच्या उदाहरणात, 2 ची समान वर्गमुळं आहेत (ते जोडले जाऊ शकतात) आणि 3 ची समान वर्गमुळं आहेत (ते देखील जोडले जाऊ शकतात). 3 च्या घनमूळात अशी मुळे नाहीत.

• अभिव्यक्तीमध्ये मुळे ज्या क्रमाने लिहिली जातात त्या क्रमासाठी कोणतेही सामान्यतः स्वीकारलेले नियम नाहीत. म्हणून, तुम्ही मुळे त्यांच्या निर्देशकांच्या चढत्या क्रमाने आणि मूलगामी अभिव्यक्तींच्या चढत्या क्रमाने लिहू शकता.

सर्व काही मनोरंजक

मूळ चिन्हाखाली असलेली संख्या सहसा समीकरण सोडवण्यात व्यत्यय आणते आणि कार्य करण्यास गैरसोयीचे असते. जरी ते एका घात, अपूर्णांकात वाढवलेले असले, किंवा एखाद्या विशिष्ट शक्तीला पूर्ण संख्या म्हणून दर्शवले जाऊ शकत नसले तरीही, तुम्ही ते मिळवण्याचा प्रयत्न करू शकता...

अंक x चे मूळ ही अशी संख्या आहे जी मूळच्या घातापर्यंत वाढवल्यास x बरोबर असते. गुणक म्हणजे गुणाकार केलेली संख्या. म्हणजेच, x*ª-&radic-y या फॉर्मच्या अभिव्यक्तीमध्ये तुम्हाला x हे रूट अंतर्गत ठेवणे आवश्यक आहे. सूचना १ पदवी निश्चित करा...

जर मूलगामी अभिव्यक्तीमध्ये चलांसह गणितीय क्रियांचा संच असेल तर काहीवेळा त्याच्या सरलीकरणाच्या परिणामी तुलनेने साधे मूल्य प्राप्त करणे शक्य आहे, ज्याचा काही भाग मुळाखाली काढला जाऊ शकतो. हे सरलीकरण उपयुक्त ठरू शकते...

विविध अंशांच्या मुळांसह अंकगणित ऑपरेशन्स भौतिकशास्त्र आणि तंत्रज्ञानातील गणना लक्षणीयरीत्या सुलभ करू शकतात आणि त्यांना अधिक अचूक बनवू शकतात. गुणाकार आणि भागाकार करताना, प्रत्येक घटकाचे मूळ किंवा लाभांश आणि भागाकार काढणे अधिक सोयीचे नाही, परंतु प्रथम ...

संख्या x चे वर्गमूळ ही संख्या a आहे, ज्याचा स्वतः गुणाकार केल्यावर x ही संख्या मिळते: a * a = a^2 = x, x = a. कोणत्याही संख्येप्रमाणे, तुम्ही वर्गमुळांसह बेरीज आणि वजाबाकीची अंकगणितीय क्रिया करू शकता. सूचना...

गणितातील मूळचे दोन अर्थ असू शकतात: ते एक अंकगणित ऑपरेशन आहे आणि समीकरण, बीजगणित, पॅरामीट्रिक, डिफरेंशियल किंवा इतर कोणत्याही सोल्यूशनचे आहे. सूचना 1 a चे nवे मूळ अशी संख्या आहे की...

मुळांसह विविध अंकगणित ऑपरेशन्स करताना, मूलगामी अभिव्यक्ती बदलण्याची क्षमता अनेकदा आवश्यक असते. आकडेमोड सुलभ करण्यासाठी, तुम्हाला गुणक रॅडिकल चिन्हाच्या बाहेर हलवावे लागेल किंवा त्याखाली जोडावे लागेल. ही कृती करू शकते...

रूट हे एक चिन्ह आहे जे संख्या शोधण्याच्या गणिती क्रिया दर्शवते, ज्याच्या मूळ चिन्हासमोर दर्शविलेल्या पॉवरला वाढवताना या चिन्हाखाली दर्शविलेली संख्या दिली पाहिजे. अनेकदा, ज्या समस्यांचा समावेश होतो त्या सोडवण्यासाठी...

गणिती शास्त्रात मूळचे चिन्ह म्हणतात चिन्हमुळांसाठी. मूळ चिन्हाच्या खाली असलेल्या संख्येला मूलगामी अभिव्यक्ती म्हणतात. घातांक नसल्यास, मूळ हे वर्गमूळ आहे, अन्यथा अंक दर्शवितो...

अंकगणित मूळ nवी पदवीवास्तविक क्रमांकावरून ते याला कॉल करत नाहीत ऋण संख्या x, nवी पदवीजी संख्या a च्या समान आहे. त्या. (n) a = x, x^n = a. अस्तित्वात आहे विविध मार्गांनीअंकगणितीय मूळ आणि परिमेय संख्या जोडत आहे...

वास्तविक संख्येचे nवे मूळ a संख्या b आहे ज्यासाठी समानता b^n = a धारण करते. विषम मुळे ऋण आणि सकारात्मक संख्यांसाठी अस्तित्वात आहेत, तर सम मुळे फक्त सकारात्मक संख्यांसाठी अस्तित्वात आहेत.

तथ्य १.
\(\bullet\) चला काही गैर-ऋण संख्या घेऊया \(a\) (म्हणजे, \(a\geqslant 0\) ). नंतर (अंकगणित) वर्गमुळसंख्या वरून \(a\) अशा अ-ऋण संख्या म्हणतात \(b\) , जेव्हा वर्ग केला जातो तेव्हा आपल्याला \(a\) संख्या मिळते : \[\sqrt a=b\quad \text(same as)\quad a=b^2\]व्याख्येवरून ते पुढे येते \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). हे निर्बंध आहेत एक महत्वाची अटअस्तित्व वर्गमुळआणि ते लक्षात ठेवले पाहिजे!
लक्षात ठेवा की कोणत्याही संख्येचा वर्ग केल्यावर नकारात्मक नसलेला निकाल मिळतो. म्हणजेच, \(100^2=10000\geqslant 0\) आणि \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) काय आहे? आम्हाला माहित आहे की \(5^2=25\) आणि \((-5)^2=25\) . व्याख्येनुसार आपल्याला गैर-ऋणात्मक संख्या शोधणे आवश्यक आहे, नंतर \(-5\) योग्य नाही, म्हणून, \(\sqrt(25)=5\) (\(25=5^2\) पासून ).
\(\sqrt a\) चे मूल्य शोधणे याला \(a\) संख्येचे वर्गमूळ घेणे म्हणतात आणि \(a\) संख्याला मूलगामी अभिव्यक्ती म्हणतात.
\(\बुलेट\) व्याख्या, अभिव्यक्तीवर आधारित \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), इ. अर्थ नाही.

वस्तुस्थिती 2.
द्रुत गणनेसाठी चौरसांचे सारणी शिकणे उपयुक्त ठरेल नैसर्गिक संख्या\(1\) पासून \(20\) पर्यंत : \[\begin(ॲरे)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 आणि \quad14^2=196\\ 5^2=25 आणि \quad15^2=225\\ 6^2=36 आणि \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 आणि \quad17^2=289\\ 8^2=64 आणि \quad18^2=324\\ 9^2=81 आणि \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(ॲरे)\]

तथ्य ३.
वर्गमुळांसह तुम्ही कोणते ऑपरेशन करू शकता?
\(\बंदूकीची गोळी\) बेरीज किंवा फरक चौरस मुळेबेरीज किंवा फरकाच्या वर्गमूळाच्या समान नाही, म्हणजे \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]अशा प्रकारे, जर तुम्हाला गणना करायची असेल, उदाहरणार्थ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\), तर सुरुवातीला तुम्हाला \(\sqrt(25)\) आणि \(\ ची मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे. sqrt(49)\ ) आणि नंतर त्यांना फोल्ड करा. त्यामुळे, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] जर \(\sqrt a\) किंवा \(\sqrt b\) मूल्ये \(\sqrt a+\sqrt b\) जोडताना सापडत नाहीत, तर अशी अभिव्यक्ती पुढे रूपांतरित होत नाही आणि ती तशीच राहते. उदाहरणार्थ, बेरीज \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) मध्ये \(\sqrt(49)\) \(7\) आहे, परंतु \(\sqrt 2\) मध्ये रूपांतरित होऊ शकत नाही. कोणत्याही प्रकारे, म्हणूनच \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). दुर्दैवाने, ही अभिव्यक्ती आणखी सरलीकृत केली जाऊ शकत नाही\(\bullet\) वर्गमूळांचा गुणाकार/भाग गुणाकार/भागाच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचा असतो, म्हणजे \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (समानतेच्या दोन्ही बाजूंना अर्थ असेल तर)
उदाहरण: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) या गुणधर्मांचा वापर करून, याचे वर्गमूळ शोधणे सोयीचे आहे मोठ्या संख्येनेत्यांना फॅक्टरिंग करून.
एक उदाहरण पाहू. चला \(\sqrt(44100)\) शोधू. पासून \(44100:100=441\), नंतर \(44100=100\cdot 441\) . विभाज्यतेच्या निकषानुसार, \(441\) ही संख्या \(9\) ने भाग जाते (कारण त्याच्या अंकांची बेरीज 9 आहे आणि ती 9 ने भागली जाऊ शकते), म्हणून, \(441:9=49\), म्हणजे, \(441=9\ cdot 49\) .
अशा प्रकारे आम्हाला मिळाले: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]आणखी एक उदाहरण पाहू: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) अभिव्यक्तीचे उदाहरण वापरून वर्गमूळ चिन्हाखाली संख्या कशी एंटर करायची ते दाखवूया \(5\sqrt2\) (अभिव्यक्तीसाठी शॉर्ट नोटेशन \(5\cdot \sqrt2\)). पासून \(5=\sqrt(25)\), नंतर \ हे देखील लक्षात ठेवा, उदाहरणार्थ,
१) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
२) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
३) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

अस का? उदाहरण १) वापरून स्पष्ट करू. तुम्ही आधीच समजून घेतल्याप्रमाणे, आम्ही कसेतरी \(\sqrt2\) संख्येचे रूपांतर करू शकत नाही. चला कल्पना करू या की \(\sqrt2\) ही काही संख्या \(a\) आहे. त्यानुसार, अभिव्यक्ती \(\sqrt2+3\sqrt2\) \(a+3a\) (एक संख्या \(a\) अधिक तीन समान संख्या \(a\)) पेक्षा जास्त काही नाही. आणि आपल्याला माहित आहे की हे अशा चार संख्यांच्या समान आहे \(a\), म्हणजेच \(4\sqrt2\) .

तथ्य ४.
\(\बुलेट\) जेव्हा तुम्ही अंकाचे मूल्य शोधताना मूळ (मूलभूत) चे \(\sqrt () \\) चिन्ह काढून टाकू शकत नाही तेव्हा ते "तुम्ही मूळ काढू शकत नाही" असे अनेकदा म्हणतात. . उदाहरणार्थ, तुम्ही \(16\) संख्येचे मूळ घेऊ शकता कारण \(16=4^2\), म्हणून \(\sqrt(16)=4\) . परंतु \(3\) संख्येचे मूळ काढणे, म्हणजेच \(\sqrt3\) शोधणे अशक्य आहे, कारण वर्ग \(3\) देईल अशी कोणतीही संख्या नाही.
अशा संख्या (किंवा अशा संख्येसह अभिव्यक्ती) अपरिमेय असतात. उदाहरणार्थ, संख्या \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)आणि असेच. तर्कहीन आहेत.
संख्या देखील अपरिमेय आहेत \(\pi\) (संख्या “pi”, अंदाजे \(3.14\) च्या समान), \(e\) (या संख्येला यूलर संख्या म्हणतात, ती अंदाजे \(2.7) च्या समान आहे \)) इ.
\(\बुलेट\) कृपया लक्षात घ्या की कोणतीही संख्या परिमेय किंवा अपरिमेय असेल. आणि सर्व परिमेय आणि सर्व अपरिमेय संख्या मिळून एक संच तयार होतो ज्याला म्हणतात वास्तविक संख्यांचा संच.हा संच \(\mathbb(R)\) अक्षराने दर्शविला जातो.
याचा अर्थ आपल्याला सध्या माहित असलेल्या सर्व संख्यांना वास्तविक संख्या म्हणतात.

तथ्य ५.
\(\बुलेट\) वास्तविक संख्येचे मापांक \(a\) ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या \(|a|\) बिंदूपासून \(0\) पर्यंतच्या अंतराच्या समान आहे. वास्तविक ओळ. उदाहरणार्थ, \(|3|\) आणि \(|-3|\) 3 च्या समान आहेत, कारण बिंदूंपासून \(3\) आणि \(-3\) ते \(0\) हे अंतर आहेत समान आणि समान \(3 \) .
\(\bullet\) जर \(a\) ही नॉन-ऋणात्मक संख्या असेल, तर \(|a|=a\) .
उदाहरण: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) जर \(a\) ही ऋण संख्या असेल, तर \(|a|=-a\) .
उदाहरण: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ते म्हणतात की ऋण संख्यांसाठी मापांक वजा “खातो”, तर सकारात्मक संख्या, तसेच संख्या \(0\), मॉड्यूलसने अपरिवर्तित ठेवली आहे.
परंतुहा नियम फक्त संख्यांना लागू होतो. जर तुमच्या मॉड्यूलस चिन्हाखाली अज्ञात \(x\) (किंवा इतर काही अज्ञात), उदाहरणार्थ, \(|x|\), ज्याबद्दल आम्हाला माहित नाही की ते सकारात्मक, शून्य किंवा नकारात्मक आहे, तर सुटका करा मॉड्यूलसचे आम्ही करू शकत नाही. या प्रकरणात, ही अभिव्यक्ती समान राहते: \(|x|\) . \(\bullet\) खालील सूत्रे धारण करतात: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( प्रदान केलेले ) a\geqslant 0\]बऱ्याचदा खालील चूक केली जाते: ते म्हणतात की \(\sqrt(a^2)\) आणि \((\sqrt a)^2\) एक आणि समान आहेत. जर \(a\) ही धन संख्या किंवा शून्य असेल तरच हे खरे आहे. पण जर \(a\) ही ऋण संख्या असेल, तर ती चुकीची आहे. हे उदाहरण विचारात घेणे पुरेसे आहे. चला \(a\) संख्या \(-1\) ऐवजी घेऊ. नंतर \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\), परंतु अभिव्यक्ती \((\sqrt (-1))^2\) अजिबात अस्तित्वात नाही (तरीही, नकारात्मक संख्या ठेवलेल्या मूळ चिन्हाचा वापर करणे अशक्य आहे!).
म्हणून, आम्ही तुमचे लक्ष वेधतो की \(\sqrt(a^2)\) हे \((\sqrt a)^2\) च्या बरोबरीचे नाही!उदाहरण: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), कारण \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) पासून \(\sqrt(a^2)=|a|\), नंतर \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (अभिव्यक्ती \(2n\) सम संख्या दर्शवते)
म्हणजेच काही अंशी असलेल्या संख्येचे मूळ घेताना ही पदवी अर्धवट केली जाते.
उदाहरण:
१) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (लक्षात ठेवा की जर मॉड्युल दिले नाही, तर असे दिसून येते की संख्येचे मूळ \(-25\) सारखे आहे. ) ; परंतु आपण लक्षात ठेवतो की रूटच्या व्याख्येनुसार असे होऊ शकत नाही: रूट काढताना, आपल्याला नेहमी सकारात्मक संख्या किंवा शून्य मिळायला हवे)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (समान घाताची कोणतीही संख्या नकारात्मक नसल्यामुळे)

वस्तुस्थिती 6.
दोन वर्गमुळांची तुलना कशी करावी?
\(\bullet\) वर्गमुळांसाठी ते खरे आहे: जर \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aउदाहरण:
1) तुलना करा \(\sqrt(50)\) आणि \(6\sqrt2\) . प्रथम, दुसरी अभिव्यक्ती मध्ये रूपांतरित करू \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). अशा प्रकारे, \(५०. पासून<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) किती पूर्णांकांमध्ये स्थित आहे?
पासून \(\sqrt(49)=7\), \(\sqrt(64)=8\), आणि \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
३) तुलना करूया \(\sqrt 2-1\) आणि \(0.5\) . चला असे गृहीत धरू की \(\sqrt2-1>0.5\): \[\begin(संरेखित) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((दोन्ही बाजूंना एक जोडा))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(संरेखित)\]आम्ही पाहतो की आम्हाला चुकीची असमानता प्राप्त झाली आहे. त्यामुळे आमची धारणा चुकीची होती आणि \(\sqrt 2-1<0,5\) .
लक्षात घ्या की असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना विशिष्ट संख्या जोडल्याने त्याच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही. असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना सकारात्मक संख्येने गुणाकार/विभाजित केल्याने देखील त्याच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही, परंतु नकारात्मक संख्येने गुणाकार/भागाकार केल्याने असमानतेचे चिन्ह उलट होते!
तुम्ही समीकरण/असमानतेच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण करू शकता फक्त जर दोन्ही बाजू नकारात्मक नसतील. उदाहरणार्थ, मागील उदाहरणातील असमानतेमध्ये तुम्ही दोन्ही बाजूंना चौरस करू शकता, असमानतेमध्ये \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\बुलेट\) हे लक्षात ठेवले पाहिजे \[\begin(संरेखित) &\sqrt 2\अंदाजे 1.4\\ &\sqrt 3\अंदाजे 1.7 \end(संरेखित)\]संख्यांची तुलना करताना या संख्यांचा अंदाजे अर्थ जाणून घेणे तुम्हाला मदत करेल! \(\बुलेट\) वर्गांच्या तक्त्यामध्ये नसलेल्या काही मोठ्या संख्येतून मूळ काढण्यासाठी (जर ते काढले जाऊ शकते), तुम्ही प्रथम ते कोणत्या "शेकडो" दरम्यान स्थित आहे हे निर्धारित केले पाहिजे, नंतर – कोणत्या दरम्यान " दहापट", आणि नंतर या संख्येचा शेवटचा अंक निश्चित करा. हे कसे कार्य करते ते उदाहरणासह दाखवू.
चला \(\sqrt(28224)\) घेऊ. आम्हाला माहित आहे की \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), इ. लक्षात ठेवा की \(28224\) \(10\,000\) आणि \(40\,000\) दरम्यान आहे. म्हणून, \(\sqrt(28224)\) \(100\) आणि \(200\) दरम्यान आहे.
आता आपली संख्या कोणत्या “दहाका” मध्ये स्थित आहे हे ठरवूया (म्हणजे, उदाहरणार्थ, \(120\) आणि \(130\) दरम्यान). तसेच वर्गांच्या तक्त्यावरून आपल्याला कळते की \(11^2=121\), \(12^2=144\) इ., नंतर \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . म्हणून आपण पाहतो की \(28224\) \(160^2\) आणि \(170^2\) दरम्यान आहे. म्हणून, संख्या \(\sqrt(28224)\) \(160\) आणि \(170\) दरम्यान आहे.
चला शेवटचा अंक निश्चित करण्याचा प्रयत्न करूया. चला लक्षात ठेवूया की कोणत्या एकल-अंकी संख्यांचा वर्ग केला असता, शेवटी \(4\) देतात? हे \(2^2\) आणि \(8^2\) आहेत. म्हणून, \(\sqrt(28224)\) 2 किंवा 8 मध्ये समाप्त होईल. चला हे तपासू. चला \(162^2\) आणि \(168^2\) शोधू :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
म्हणून, \(\sqrt(28224)=168\) . व्होइला!

गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा पुरेशा प्रमाणात सोडवण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे, जे तुम्हाला असंख्य प्रमेये, सूत्रे, अल्गोरिदम इ.ची ओळख करून देते. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, असे दिसते की हे अगदी सोपे आहे. तथापि, एक स्रोत शोधणे ज्यामध्ये गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेचा सिद्धांत कोणत्याही स्तरावरील प्रशिक्षण असलेल्या विद्यार्थ्यांसाठी सोप्या आणि समजण्याजोगा मार्गाने सादर केला जातो. शालेय पाठ्यपुस्तके नेहमी हातात ठेवता येत नाहीत. आणि गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी मूलभूत सूत्रे शोधणे इंटरनेटवर देखील कठीण होऊ शकते.

केवळ युनिफाइड स्टेट परीक्षा देणाऱ्यांसाठीच नव्हे तर गणितातील सिद्धांताचा अभ्यास करणे इतके महत्त्वाचे का आहे?

1. कारण ते तुमची क्षितिजे विस्तृत करते. ज्यांना त्यांच्या सभोवतालच्या जगाच्या ज्ञानाशी संबंधित प्रश्नांच्या विस्तृत श्रेणीची उत्तरे मिळवायची आहेत त्यांच्यासाठी गणितातील सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास करणे उपयुक्त आहे. निसर्गातील प्रत्येक गोष्ट ऑर्डर केलेली आहे आणि त्याचे स्पष्ट तर्क आहे. नेमके हेच विज्ञानात दिसून येते, ज्याद्वारे जगाला समजून घेणे शक्य आहे.
2. कारण त्यातून बुद्धीचा विकास होतो. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेसाठी संदर्भ साहित्याचा अभ्यास करून, तसेच विविध समस्यांचे निराकरण करून, एखादी व्यक्ती तर्कशुद्धपणे विचार करण्यास आणि तर्क करण्यास शिकते, सक्षमपणे आणि स्पष्टपणे विचार तयार करण्यास शिकते. तो विश्लेषण, सामान्यीकरण आणि निष्कर्ष काढण्याची क्षमता विकसित करतो.

शैक्षणिक साहित्याचे पद्धतशीरीकरण आणि सादरीकरण करण्याच्या आमच्या दृष्टिकोनातील सर्व फायद्यांचे वैयक्तिकरित्या मूल्यांकन करण्यासाठी आम्ही तुम्हाला आमंत्रित करतो.

शुभेच्छा, मांजरी! मागील वेळी आम्ही मुळे काय आहेत याबद्दल तपशीलवार चर्चा केली (जर तुम्हाला आठवत नसेल तर मी ते वाचण्याची शिफारस करतो). त्या धड्यातील मुख्य मार्ग: मुळांची एकच सार्वत्रिक व्याख्या आहे, जी तुम्हाला माहित असणे आवश्यक आहे. बाकी मूर्खपणा आणि वेळेचा अपव्यय आहे.

आज आपण पुढे जातो. आपण मुळे गुणाकार करायला शिकू, गुणाकाराशी संबंधित काही समस्यांचा अभ्यास करू (जर या समस्या सोडवल्या नाहीत तर परीक्षेत ते घातक ठरू शकतात) आणि आपण योग्य सराव करू. त्यामुळे पॉपकॉर्नचा साठा करा, आरामात घ्या आणि चला सुरुवात करूया :)

तुम्ही अजून धुम्रपानही केले नाही, नाही का?

धडा बराच मोठा होता, म्हणून मी तो दोन भागांमध्ये विभागला:

1. प्रथम आपण गुणाकाराचे नियम पाहू. कॅप इशारा देत असल्याचे दिसते: जेव्हा दोन मुळे असतात, त्यांच्यामध्ये "गुणाकार" चिन्ह असते - आणि आम्हाला त्यासह काहीतरी करायचे आहे.
2. मग आपण उलट परिस्थिती पाहू: एक मोठे मूळ आहे, परंतु आम्ही ते दोन सोप्या मुळांचे उत्पादन म्हणून प्रस्तुत करण्यास उत्सुक होतो. हे का आवश्यक आहे, हा एक स्वतंत्र प्रश्न आहे. आम्ही फक्त अल्गोरिदमचे विश्लेषण करू.

जे लोक लगेच दुसऱ्या भागात जाण्यासाठी थांबू शकत नाहीत त्यांच्यासाठी तुमचे स्वागत आहे. चला उर्वरित क्रमाने प्रारंभ करूया.

गुणाकाराचा मूलभूत नियम

चला सर्वात सोप्या गोष्टीपासून सुरुवात करूया - क्लासिक स्क्वेअर रूट्स. तेच जे $\sqrt(a)$ आणि $\sqrt(b)$ द्वारे दर्शविले जातात. त्यांच्यासाठी सर्व काही स्पष्ट आहे:

गुणाकार नियम. एका वर्गमूळाचा दुसऱ्याने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्ही फक्त त्यांच्या मूलगामी अभिव्यक्तींचा गुणाकार करा आणि परिणाम सामान्य मूलगामी अंतर्गत लिहा:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

उजवीकडे किंवा डावीकडील संख्यांवर कोणतेही अतिरिक्त निर्बंध लादलेले नाहीत: जर मूळ घटक अस्तित्वात असतील तर उत्पादन देखील अस्तित्वात आहे.

उदाहरणे. चला एकाच वेळी संख्या असलेली चार उदाहरणे पाहू:

\[\begin(संरेखित) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(संरेखित)\]

जसे आपण पाहू शकता, या नियमाचा मुख्य अर्थ तर्कहीन अभिव्यक्ती सुलभ करणे आहे. आणि जर पहिल्या उदाहरणात आपण स्वतः 25 आणि 4 ची मुळे कोणत्याही नवीन नियमांशिवाय काढली असती, तर गोष्टी कठीण होतात: $\sqrt(32)$ आणि $\sqrt(2)$ स्वतःच मानले जात नाहीत, परंतु त्यांचे उत्पादन एक परिपूर्ण वर्ग आहे, म्हणून त्याचे मूळ परिमेय संख्येइतके आहे.

मी विशेषतः शेवटची ओळ हायलाइट करू इच्छितो. तेथे, दोन्ही मूलगामी अभिव्यक्ती अपूर्णांक आहेत. उत्पादनाबद्दल धन्यवाद, अनेक घटक रद्द केले जातात आणि संपूर्ण अभिव्यक्ती पुरेशा संख्येमध्ये बदलते.

अर्थात, गोष्टी नेहमीच सुंदर नसतील. काहीवेळा मुळांच्या खाली संपूर्ण गोंधळ होईल - त्याचे काय करावे आणि गुणाकारानंतर त्याचे रूपांतर कसे करावे हे स्पष्ट नाही. थोड्या वेळाने, जेव्हा तुम्ही तर्कहीन समीकरणे आणि असमानता यांचा अभ्यास सुरू कराल, तेव्हा सर्व प्रकारची चल आणि कार्ये असतील. आणि बऱ्याचदा, समस्या लेखक या वस्तुस्थितीवर विश्वास ठेवतात की तुम्हाला काही रद्द करणाऱ्या अटी किंवा घटक सापडतील, ज्यानंतर समस्या बऱ्याच वेळा सरलीकृत केली जाईल.

याव्यतिरिक्त, अचूकपणे दोन मुळे गुणाकार करणे अजिबात आवश्यक नाही. तुम्ही एकाच वेळी तीन, चार किंवा दहा गुणाकार करू शकता! यामुळे नियमात बदल होणार नाही. इथे बघ:

\[\begin(संरेखित) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(संरेखित)\]

आणि दुसऱ्या उदाहरणावर पुन्हा एक छोटी टीप. जसे आपण पाहू शकता, रूट अंतर्गत तिसर्या घटकामध्ये दशांश अपूर्णांक आहे - गणनेच्या प्रक्रियेत आम्ही त्यास नियमितपणे बदलतो, ज्यानंतर सर्वकाही सहजपणे कमी होते. म्हणून: मी कोणत्याही तर्कहीन अभिव्यक्तींमधील दशांश अपूर्णांकांपासून मुक्त होण्याची शिफारस करतो (म्हणजे किमान एक मूलगामी चिन्ह असलेले). हे भविष्यात तुमचा बराच वेळ आणि मज्जातंतू वाचवेल.

पण हे गीतात्मक विषयांतर होते. आता अधिक सामान्य प्रकरणाचा विचार करूया - जेव्हा मूळ घातांकात एक अनियंत्रित संख्या $n$ असते, आणि फक्त "शास्त्रीय" दोन नाही.

अनियंत्रित सूचक केस

तर, आम्ही वर्गमुळांची क्रमवारी लावली आहे. क्यूबिकचे काय करावे? किंवा अगदी अनियंत्रित पदवी $n$ च्या मुळांसह? होय, सर्व काही समान आहे. नियम समान राहतो:

डिग्री $n$ च्या दोन मुळे गुणाकार करण्यासाठी, त्यांचे मूलगामी अभिव्यक्ती गुणाकार करणे पुरेसे आहे, आणि नंतर परिणाम एका मूलगामी खाली लिहा.

सर्वसाधारणपणे, काहीही क्लिष्ट नाही. त्याखेरीज हिशोबाचे प्रमाण जास्त असू शकते. चला काही उदाहरणे पाहू:

उदाहरणे. उत्पादनांची गणना करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(संरेखित)\]

आणि पुन्हा, दुसऱ्या अभिव्यक्तीकडे लक्ष द्या. आपण घनमुळांचा गुणाकार करतो, दशांश अपूर्णांक काढून टाकतो आणि भाजक हा 625 आणि 25 या संख्यांचा गुणाकार असतो. ही खूप मोठी संख्या आहे - वैयक्तिकरित्या, मला वैयक्तिकरित्या हे समजू शकत नाही की ते शीर्षस्थानी काय समान आहे. माझ्या डोक्याचा.

म्हणून, आम्ही फक्त अंश आणि भाजक मधील अचूक घन वेगळे केले, आणि नंतर $n$th रूटच्या मुख्य गुणधर्मांपैकी एक (किंवा, आपण प्राधान्य दिल्यास, व्याख्या) वापरला:

\[\begin(संरेखित) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right| \\ \end(संरेखित)\]

अशा "कारस्थान" परीक्षा किंवा परीक्षेत तुमचा बराच वेळ वाचवू शकतात, म्हणून लक्षात ठेवा:

मूलगामी अभिव्यक्ती वापरून संख्या गुणाकार करण्यासाठी घाई करू नका. प्रथम, तपासा: कोणत्याही अभिव्यक्तीची अचूक पदवी तेथे "एनक्रिप्टेड" असल्यास काय?

या टिप्पणीची स्पष्टता असूनही, मी हे कबूल केले पाहिजे की बहुतेक अप्रस्तुत विद्यार्थ्यांना बिंदू-रिक्त श्रेणीतील अचूक पदवी दिसत नाहीत. त्याऐवजी, ते सर्वकाही सरळपणे गुणाकार करतात आणि नंतर आश्चर्य करतात: त्यांना इतके क्रूर संख्या का मिळाली :)

तथापि, आपण आता काय अभ्यास करू याच्या तुलनेत हे सर्व बेबी टॉक आहे.

वेगवेगळ्या घातांकांसह मुळे गुणाकार करणे

ठीक आहे, आता आपण समान निर्देशकांसह मुळे गुणाकार करू शकतो. जर निर्देशक वेगळे असतील तर? समजा, साधारण $\sqrt(2)$ ला $\sqrt(23)$ सारख्या काही बकवासाने कसे गुणायचे? हे करणे देखील शक्य आहे का?

होय नक्कीच करू शकता. सर्व काही या सूत्रानुसार केले जाते:

मुळे गुणाकार करण्यासाठी नियम. $\sqrt[n](a)$ ला $\sqrt[p](b)$ ने गुणाकार करण्यासाठी, खालील परिवर्तन करणे पुरेसे आहे:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))\]

तथापि, हे सूत्र केवळ तेव्हाच कार्य करते मूलगामी अभिव्यक्ती गैर-नकारात्मक आहेत. ही एक अतिशय महत्त्वाची नोंद आहे की आम्ही थोड्या वेळाने परत येऊ.

आतासाठी, काही उदाहरणे पाहू:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot (3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(संरेखित)\]

जसे आपण पाहू शकता, काहीही क्लिष्ट नाही. आता गैर-नकारात्मकता आवश्यकता कोठून आली हे शोधू आणि आपण त्याचे उल्लंघन केल्यास काय होईल :)

मूलगामी अभिव्यक्ती गैर-नकारात्मक का असली पाहिजेत?

अर्थात, तुम्ही शाळेतील शिक्षकांसारखे होऊ शकता आणि पाठ्यपुस्तकाला स्मार्ट लुक देऊन उद्धृत करू शकता:

गैर-नकारात्मकतेची आवश्यकता सम आणि विषम अंशांच्या मुळांच्या भिन्न व्याख्यांशी संबंधित आहे (त्यानुसार, त्यांची व्याख्या डोमेन देखील भिन्न आहेत).

बरं, ते अधिक स्पष्ट झाले आहे का? व्यक्तिशः, जेव्हा मी 8 व्या इयत्तेत हा मूर्खपणा वाचला तेव्हा मला खालीलप्रमाणे काहीतरी समजले: "नकारार्थीपणाची आवश्यकता *#&^@(*#@^#)~%" शी संबंधित आहे - थोडक्यात, मला समजले त्यावेळी एक गोष्ट समजली नाही :)

तर आता मी सर्व काही सामान्य पद्धतीने समजावून सांगेन.

प्रथम, वरील गुणाकार सूत्र कोठून आले ते शोधूया. हे करण्यासाठी, मी तुम्हाला रूटच्या एका महत्त्वाच्या गुणधर्माची आठवण करून देतो:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

दुसऱ्या शब्दांत, आपण मूलगामी अभिव्यक्ती कोणत्याही नैसर्गिक शक्ती $k$ वर सहजपणे वाढवू शकतो - या प्रकरणात, मूळच्या घातांकाला समान शक्तीने गुणाकार करावा लागेल. म्हणून, आपण सहजपणे कोणत्याही मुळे एका सामान्य घातांकापर्यंत कमी करू शकतो आणि नंतर त्यांचा गुणाकार करू शकतो. गुणाकार सूत्र येथून येते:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

परंतु एक समस्या आहे जी या सर्व सूत्रांच्या वापरास तीव्रपणे मर्यादित करते. ही संख्या विचारात घ्या:

नुकत्याच दिलेल्या सूत्रानुसार, आपण कोणतीही पदवी जोडू शकतो. चला $k=2$ जोडण्याचा प्रयत्न करूया:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))\]

आम्ही वजा तंतोतंत काढून टाकला कारण स्क्वेअर मायनस बर्न करतो (इतर सम डिग्री प्रमाणे). आता रिव्हर्स ट्रान्सफॉर्मेशन करूया: घातांक आणि पॉवरमध्ये दोन "कमी करा". शेवटी, कोणतीही समानता डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे वाचली जाऊ शकते:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](अ); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(संरेखित)\]

पण मग ते एक प्रकारचे बकवास असल्याचे दिसून येते:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

हे होऊ शकत नाही, कारण $\sqrt(-5) \lt 0$, आणि $\sqrt(5) \gt 0$. याचा अर्थ असा की सम शक्ती आणि ऋण संख्यांसाठी आमचे सूत्र यापुढे कार्य करत नाही. त्यानंतर आमच्याकडे दोन पर्याय आहेत:

1. भिंतीवर आदळणे आणि गणित हे एक मूर्ख शास्त्र आहे असे सांगणे, जेथे “काही नियम आहेत, परंतु ते अशुद्ध आहेत”;
2. अतिरिक्त निर्बंध सादर करा ज्या अंतर्गत सूत्र 100% कार्यरत होईल.

पहिल्या पर्यायामध्ये, आम्हाला सतत "नॉन-वर्किंग" प्रकरणे पकडावी लागतील - हे कठीण, वेळ घेणारे आणि सामान्यतः अगं. म्हणून, गणितज्ञांनी दुसरा पर्याय पसंत केला :)

पण काळजी करू नका! सराव मध्ये, ही मर्यादा कोणत्याही प्रकारे गणनेवर परिणाम करत नाही, कारण वर्णन केलेल्या सर्व समस्या केवळ विषम डिग्रीच्या मुळाशी संबंधित आहेत आणि त्यांच्याकडून वजा केले जाऊ शकतात.

म्हणून, आपण आणखी एक नियम तयार करूया, जो सामान्यत: मूळ असलेल्या सर्व क्रियांना लागू होतो:

मुळे गुणाकार करण्यापूर्वी, मूलगामी अभिव्यक्ती गैर-नकारात्मक असल्याची खात्री करा.

उदाहरण. $\sqrt(-5)$ या संख्येत तुम्ही मूळ चिन्हाखालील वजा काढू शकता - मग सर्व काही सामान्य होईल:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(संरेखित)\]

तुम्हाला फरक जाणवतो का? जर तुम्ही मुळाखाली एक वजा सोडला, तर मूलगामी अभिव्यक्तीचे वर्गीकरण झाल्यावर ते अदृश्य होईल आणि बकवास सुरू होईल. आणि जर तुम्ही प्रथम वजा काढलात, तर तुमचा चेहरा निळा होईपर्यंत तुम्ही चौरस/काढू शकता - संख्या ऋणात्मक राहील :)

अशा प्रकारे, मुळे गुणाकार करण्याचा सर्वात योग्य आणि सर्वात विश्वासार्ह मार्ग खालीलप्रमाणे आहे:

1. रॅडिकल्समधील सर्व नकारात्मक काढून टाका. उणे केवळ विषम गुणाकाराच्या मुळांमध्येच अस्तित्वात असतात - ते मुळासमोर ठेवता येतात आणि आवश्यक असल्यास कमी केले जाऊ शकतात (उदाहरणार्थ, यापैकी दोन वजा असल्यास).
2. आजच्या धड्यात वर चर्चा केलेल्या नियमांनुसार गुणाकार करा. जर मुळांचे निर्देशक समान असतील, तर आम्ही फक्त मूलगामी अभिव्यक्ती गुणाकार करतो. आणि जर ते वेगळे असतील तर आम्ही दुष्ट सूत्र \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) वापरतो ^(n) ))\].
3. 3.परिणाम आणि चांगल्या गुणांचा आनंद घ्या. :)

बरं? आपण सराव करू का?

उदाहरण 1: अभिव्यक्ती सरलीकृत करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \sqrt(64)=-4; \end(संरेखित)\]

हा सर्वात सोपा पर्याय आहे: मुळे समान आणि विषम आहेत, फक्त समस्या अशी आहे की दुसरा घटक नकारात्मक आहे. आम्ही हे वजा चित्रातून बाहेर काढतो, त्यानंतर सर्वकाही सहजपणे मोजले जाते.

उदाहरण २: अभिव्यक्ती सरलीकृत करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left((2)^(5)) \right)^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \उजवे))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( संरेखित करा)\]

येथे, आउटपुट एक अपरिमेय संख्या असल्याचे पाहून बरेच लोक गोंधळात पडतील. होय, असे घडते: आम्ही मुळापासून पूर्णपणे मुक्त होऊ शकलो नाही, परंतु कमीतकमी आम्ही अभिव्यक्ती लक्षणीयरीत्या सरलीकृत केली.

उदाहरण 3: अभिव्यक्ती सरलीकृत करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(संरेखित)\]

या कार्याकडे मी तुमचे लक्ष वेधून घेऊ इच्छितो. येथे दोन मुद्दे आहेत:

1. रूट ही विशिष्ट संख्या किंवा पॉवर नाही तर व्हेरिएबल $a$ आहे. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे थोडेसे असामान्य आहे, परंतु प्रत्यक्षात, गणिताच्या समस्या सोडवताना, आपल्याला बहुतेक वेळा चलांचा सामना करावा लागतो.
2. सरतेशेवटी, आम्ही मूलगामी सूचक आणि मूलगामी अभिव्यक्तीची डिग्री "कमी" करण्यात व्यवस्थापित केले. हे बरेचदा घडते. आणि याचा अर्थ असा की आपण मूलभूत सूत्र न वापरल्यास गणना लक्षणीयरीत्या सुलभ करणे शक्य होते.

उदाहरणार्थ, आपण हे करू शकता:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8)) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\शेवट(संरेखित)\]

खरं तर, सर्व परिवर्तने फक्त दुसऱ्या मूलगामी सह केली गेली. आणि जर आपण सर्व मध्यवर्ती चरणांचे तपशीलवार वर्णन केले नाही तर शेवटी गणनाची रक्कम लक्षणीयरीत्या कमी होईल.

खरं तर, आम्ही $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ हे उदाहरण सोडवताना वरील समान कार्य आधीच अनुभवले आहे. आता ते बरेच सोपे लिहिले जाऊ शकते:

\[\begin(संरेखित) आणि \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(संरेखित)\]

बरं, आम्ही मुळांच्या गुणाकाराची क्रमवारी लावली आहे. आता उलट ऑपरेशनचा विचार करूया: रूट अंतर्गत उत्पादन असल्यास काय करावे?

संख्येचे वर्गमूळ एक्सनंबर म्हणतात ए, जे स्वतः गुणाकार करण्याच्या प्रक्रियेत ( A*A) क्रमांक देऊ शकतो एक्स.
त्या. A * A = A 2 = X, आणि √X = A.

चौरस मुळांच्या वरती ( √x), इतर संख्यांप्रमाणे, तुम्ही वजाबाकी आणि बेरीज यांसारख्या अंकगणितीय क्रिया करू शकता. वजा आणि मुळे जोडण्यासाठी, त्यांना या क्रियांशी संबंधित चिन्हे वापरून जोडणे आवश्यक आहे (उदाहरणार्थ √x - √y ).
आणि नंतर मुळे त्यांच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात आणा - जर त्यांच्यामध्ये समान असतील तर ते कमी करणे आवश्यक आहे. त्यामध्ये संबंधित संज्ञांच्या चिन्हांसह समान संज्ञांचे गुणांक घेणे, नंतर त्यांना कंसात ठेवणे आणि घटकाच्या कंसाबाहेरील सामान्य मूळ काढणे समाविष्ट आहे. आम्ही प्राप्त केलेला गुणांक नेहमीच्या नियमांनुसार सरलीकृत आहे.

पायरी 1: स्क्वेअर रूट्स काढणे

प्रथम, चौरस मुळे जोडण्यासाठी, आपल्याला प्रथम ही मुळे काढावी लागतील. जर मूळ चिन्हाखालील संख्या परिपूर्ण वर्ग असतील तर हे केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, दिलेली अभिव्यक्ती घ्या √4 + √9 . पहिला क्रमांक 4 संख्येचा वर्ग आहे 2 . दुसरा क्रमांक 9 संख्येचा वर्ग आहे 3 . अशा प्रकारे, आम्ही खालील समानता प्राप्त करू शकतो: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
बस्स, उदाहरण सोडवले आहे. पण हे नेहमीच सहजासहजी घडत नाही.

पायरी 2. मुळाखालून संख्येचा गुणक काढणे

मूळ चिन्हाखाली कोणतेही परिपूर्ण चौरस नसल्यास, तुम्ही मूळ चिन्हाखालील संख्येचा गुणक काढण्याचा प्रयत्न करू शकता. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती घेऊ √24 + √54 .

संख्या घटक करा:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

मध्ये 24 आमच्याकडे गुणक आहे 4 , ते वर्गमूळ चिन्हाखाली काढले जाऊ शकते. मध्ये 54 आमच्याकडे गुणक आहे 9 .

आम्हाला समानता मिळते:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

या उदाहरणाचा विचार करून, आम्ही मूळ चिन्हाच्या खाली गुणक काढून टाकतो, ज्यामुळे दिलेली अभिव्यक्ती सुलभ होते.

पायरी 3: भाजक कमी करणे

खालील परिस्थितीचा विचार करा: दोन वर्गमुळांची बेरीज ही अपूर्णांकाचा भाजक आहे, उदाहरणार्थ, A/(√a + √b).
आता आम्हाला "भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त होण्याचे" कार्य सामोरे जात आहे.
चला खालील पद्धत वापरुया: अंशाचा अंश आणि भाजक अभिव्यक्तीने गुणा √a - √b.

आता आपल्याला भाजकामध्ये संक्षिप्त गुणाकार सूत्र मिळेल:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

त्याचप्रमाणे, भाजकामध्ये मूळ फरक असल्यास: √a - √b, अंशाचा अंश आणि भाजक अभिव्यक्तीने गुणाकार केला जातो √a + √b.

उदाहरण म्हणून अपूर्णांक घेऊ:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

कॉम्प्लेक्स डिनोमिनेटर रिडक्शनचे उदाहरण

आता आपण भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त होण्याच्या एक जटिल उदाहरणाचा विचार करू.

उदाहरणार्थ, एक अपूर्णांक घेऊ: 12 / (√2 + √3 + √5) .
तुम्हाला त्याचा अंश आणि भाजक घेणे आणि अभिव्यक्तीने गुणाकार करणे आवश्यक आहे √2 + √3 - √5 .

आम्हाला मिळते:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

चरण 4. कॅल्क्युलेटरवर अंदाजे मूल्य मोजा

तुम्हाला फक्त अंदाजे मूल्य हवे असल्यास, हे वर्गमूळांच्या मूल्याची गणना करून कॅल्क्युलेटरवर केले जाऊ शकते. मूल्य प्रत्येक संख्येसाठी स्वतंत्रपणे मोजले जाते आणि आवश्यक अचूकतेसह लिहिले जाते, जे दशांश स्थानांच्या संख्येद्वारे निर्धारित केले जाते. पुढे, सर्व आवश्यक ऑपरेशन्स सामान्य संख्यांप्रमाणे केल्या जातात.

अंदाजे मूल्य मोजण्याचे उदाहरण

या अभिव्यक्तीच्या अंदाजे मूल्याची गणना करणे आवश्यक आहे √7 + √5 .

परिणामी आम्हाला मिळते:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

कृपया लक्षात ठेवा: कोणत्याही परिस्थितीत तुम्ही अविभाज्य संख्या म्हणून वर्गमूळ जोडू नये; हे पूर्णपणे अस्वीकार्य आहे. म्हणजेच पाचचे वर्गमूळ आणि तीनचे वर्गमूळ जोडले तर आठचे वर्गमूळ मिळू शकत नाही.

उपयुक्त सल्ला: जर तुम्ही अंक काढण्याचे ठरवले असेल तर, मूळ चिन्हाखालील चौकोन काढण्यासाठी, तुम्हाला उलट तपासणी करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, गणनेतून उद्भवलेल्या सर्व घटकांचा गुणाकार करा आणि याचा अंतिम परिणाम. गणितीय गणना ही मूळतः आम्हाला दिलेली संख्या असावी.

मुळांची बेरीज आणि वजाबाकी- हायस्कूलमध्ये गणित (बीजगणित) अभ्यासक्रम घेणाऱ्यांसाठी सर्वात सामान्य "अडखळणारे" एक. तथापि, त्यांना योग्यरित्या जोडणे आणि वजा करणे शिकणे खूप महत्वाचे आहे, कारण मुळांच्या बेरीज किंवा फरकावरील उदाहरणे "गणित" या विषयातील मूलभूत युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या कार्यक्रमात समाविष्ट केली आहेत.

अशी उदाहरणे सोडवण्यात प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, आपल्याला दोन गोष्टींची आवश्यकता आहे - नियम समजून घेणे आणि सराव करणे देखील. एक किंवा दोन डझन नमुनेदार उदाहरणे सोडवल्यानंतर, विद्यार्थी हे कौशल्य ऑटोमॅटिझममध्ये आणेल आणि त्यानंतर त्याला युनिफाइड स्टेट परीक्षेची भीती वाटणार नाही. बेरीजसह अंकगणित ऑपरेशन्समध्ये प्रभुत्व मिळवणे सुरू करण्याची शिफारस केली जाते, कारण त्यांना जोडणे वजा करण्यापेक्षा थोडे सोपे आहे.

हे स्पष्ट करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे उदाहरण म्हणून वर्गमूळ वापरणे. गणितामध्ये "स्क्वेअरिंग" ही एक सुस्थापित संज्ञा आहे. “स्क्वेअरिंग” म्हणजे विशिष्ट संख्येचा स्वतःहून एकदा गुणाकार करणे.. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 2 चा वर्ग केला तर तुम्हाला 4 मिळेल. जर तुम्ही 7 चा वर्ग केला तर तुम्हाला 49 मिळेल. 9 चा वर्ग 81 आहे. तर 4 चे वर्गमूळ 2 आहे, 49 चे 7 आहे आणि 81 चे 9 आहे.

नियमानुसार, गणितात हा विषय शिकवण्याची सुरुवात वर्गमुळांपासून होते. ते ताबडतोब निर्धारित करण्यासाठी, हायस्कूलच्या विद्यार्थ्याला हृदयाद्वारे गुणाकार सारणी माहित असणे आवश्यक आहे. ज्यांना हे तक्ता ठामपणे माहित नाही त्यांना संकेत वापरावे लागतील. सहसा संख्येचा मूळ वर्ग काढण्याची प्रक्रिया अनेक शालेय गणिताच्या नोटबुकच्या कव्हरवर टेबलच्या स्वरूपात दिली जाते.

मुळे खालील प्रकार आहेत:

• चौरस;
• क्यूबिक (किंवा तथाकथित तृतीय अंश);
• चौथी पदवी;
• पाचवी पदवी.

जोडण्याचे नियम

ठराविक उदाहरण यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी, सर्व मूळ संख्या नाहीत हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे एकमेकांना स्टॅक केले जाऊ शकते. त्यांना एकत्र ठेवण्यासाठी, त्यांना एकाच पॅटर्नवर आणले पाहिजे. जर हे अशक्य असेल तर समस्येचे निराकरण नाही. गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांमध्येही अशा समस्या विद्यार्थ्यांसाठी एक प्रकारचा सापळा म्हणून आढळतात.

जेव्हा मूलगामी अभिव्यक्ती एकमेकांपासून भिन्न असतात तेव्हा कार्यांमध्ये जोडण्याची परवानगी नाही. हे एका स्पष्ट उदाहरणाने स्पष्ट केले जाऊ शकते:

• विद्यार्थ्याला कार्याचा सामना करावा लागतो: 4 आणि 9 चे वर्गमूळ जोडा;
• एक अननुभवी विद्यार्थी ज्याला नियम माहित नाही तो सहसा लिहितो: "4 चे मूळ + 9 चे मूळ = 13 चे मूळ."
• हा उपाय चुकीचा आहे हे सिद्ध करणे खूप सोपे आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला 13 चे वर्गमूळ शोधणे आवश्यक आहे आणि उदाहरण योग्यरित्या सोडवले आहे की नाही ते तपासणे आवश्यक आहे;
• मायक्रोकॅल्क्युलेटर वापरून तुम्ही ते अंदाजे 3.6 असल्याचे निर्धारित करू शकता. आता फक्त उपाय तपासणे बाकी आहे;
• 4=2 चे रूट आणि 9=3 चे रूट;
• "दोन" आणि "तीन" संख्यांची बेरीज पाच इतकी आहे. अशा प्रकारे, हे समाधान अल्गोरिदम चुकीचे मानले जाऊ शकते.

जर मुळे समान प्रमाणात असतील, परंतु भिन्न संख्यात्मक अभिव्यक्ती असतील, तर ते कंसातून बाहेर काढले जाते आणि कंसात ठेवले जाते. दोन मूलगामी अभिव्यक्तींची बेरीज. अशा प्रकारे, या रकमेतून ते आधीच काढले जाते.

ॲडिशन अल्गोरिदम

सर्वात सोप्या समस्येचे योग्यरित्या निराकरण करण्यासाठी, आपण हे करणे आवश्यक आहे:

1. नक्की काय जोडणे आवश्यक आहे ते ठरवा.
2. गणितातील विद्यमान नियमांनुसार एकमेकांना मूल्ये जोडणे शक्य आहे का ते शोधा.
3. ते फोल्ड करण्यायोग्य नसल्यास, तुम्हाला त्यांचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे जेणेकरून ते दुमडले जाऊ शकतील.
4. सर्व आवश्यक परिवर्तने पार पाडल्यानंतर, आपल्याला जोडणे आवश्यक आहे आणि तयार उत्तर लिहा. उदाहरणाच्या जटिलतेवर अवलंबून, आपण आपल्या डोक्यात किंवा मायक्रोकॅल्क्युलेटर वापरून जोडू शकता.

समान मुळे काय आहेत

अतिरिक्त उदाहरण योग्यरित्या सोडवण्यासाठी, आपण प्रथम ते कसे सोपे करू शकता याचा विचार केला पाहिजे. हे करण्यासाठी, आपल्याला समानता काय आहे याचे मूलभूत ज्ञान असणे आवश्यक आहे.

तत्सम ओळखण्याची क्षमता समान जोडलेली उदाहरणे द्रुतपणे सोडविण्यास मदत करते, त्यांना सरलीकृत स्वरूपात आणते. सामान्य जोडणीचे उदाहरण सोपे करण्यासाठी, तुम्हाला हे करणे आवश्यक आहे:

1. समान शोधा आणि त्यांना एका गटात (किंवा अनेक गट) विभक्त करा.
2. विद्यमान उदाहरण अशा प्रकारे पुन्हा लिहा की समान निर्देशक असलेली मुळे एकमेकांना स्पष्टपणे फॉलो करतात (याला "ग्रुपिंग" म्हणतात).
3. पुढे, तुम्ही पुन्हा एकदा अभिव्यक्ती पुन्हा लिहावी, या वेळी अशा प्रकारे की समान (ज्यामध्ये समान सूचक आणि समान मूलगामी आकृती आहे) देखील एकमेकांचे अनुसरण करतात.

एकदा हे पूर्ण झाल्यावर, सरलीकृत उदाहरण सोडवणे सहसा सोपे असते.

कोणतेही जोड उदाहरण योग्यरित्या सोडवण्यासाठी, तुम्हाला जोडण्याचे मूलभूत नियम स्पष्टपणे समजून घेणे आवश्यक आहे, तसेच मूळ काय आहे आणि ते काय असू शकते हे देखील जाणून घेणे आवश्यक आहे.

कधीकधी अशा समस्या पहिल्या दृष्टीक्षेपात खूप कठीण दिसतात, परंतु सामान्यत: समान समस्यांचे गट करून ते सहजपणे सोडवले जातात. सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे सराव, आणि मग विद्यार्थी "नट सारख्या समस्यांना तडा जाणे" सुरू करेल. मुळे जोडणे हा गणिताचा सर्वात महत्वाचा भाग आहे, त्यामुळे शिक्षकांनी त्याचा अभ्यास करण्यासाठी पुरेसा वेळ द्यावा.

व्हिडिओ

हा व्हिडिओ तुम्हाला वर्गमुळांची समीकरणे समजण्यास मदत करेल.