पूर्णांक

नैसर्गिक संख्यांची व्याख्या सकारात्मक पूर्णांक आहेत. नैसर्गिक संख्या वस्तू मोजण्यासाठी आणि इतर अनेक कारणांसाठी वापरली जातात. हे आकडे आहेत:

ही संख्यांची नैसर्गिक मालिका आहे.
शून्य ही नैसर्गिक संख्या आहे का? नाही, शून्य ही नैसर्गिक संख्या नाही.
किती नैसर्गिक संख्याअस्तित्वात? नैसर्गिक संख्यांची अनंत संख्या आहे.
सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या कोणती? एक सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे.
सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या कोणती? ते निर्दिष्ट करणे अशक्य आहे, कारण नैसर्गिक संख्या असीम आहे.

नैसर्गिक संख्यांची बेरीज ही नैसर्गिक संख्या आहे. तर, नैसर्गिक संख्या a आणि b जोडणे:

नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार ही नैसर्गिक संख्या आहे. तर, नैसर्गिक संख्या a आणि b चे गुणाकार:

c ही नेहमीच नैसर्गिक संख्या असते.

नैसर्गिक संख्यांमधील फरक नेहमीच नैसर्गिक संख्या नसते. जर मायन्युएंड सबट्राहेंडपेक्षा मोठा असेल, तर नैसर्गिक संख्यांमधील फरक ही नैसर्गिक संख्या आहे, अन्यथा नाही.

नैसर्गिक संख्यांचे भागफल नेहमीच नैसर्गिक संख्या नसते. जर नैसर्गिक संख्या a आणि b साठी

जेथे c ही नैसर्गिक संख्या आहे, याचा अर्थ a हा b ने भाग जातो. या उदाहरणात, a हा लाभांश आहे, b हा भाजक आहे, c हा भागफल आहे.

नैसर्गिक संख्येचा भागाकार ही एक नैसर्गिक संख्या आहे ज्याद्वारे पहिली संख्या संपूर्णपणे भागली जाऊ शकते.

प्रत्येक नैसर्गिक संख्येला एकाने आणि स्वतःच भाग जातो.

अविभाज्य नैसर्गिक संख्या केवळ एकाने आणि स्वतःने विभाज्य असतात. येथे आपला अर्थ संपूर्णपणे विभागलेला आहे. उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 हा फक्त एक आणि स्वतःने भागता येतो. या साध्या नैसर्गिक संख्या आहेत.

एक ही मूळ संख्या मानली जात नाही.

एकापेक्षा मोठ्या आणि अविभाज्य नसलेल्या संख्यांना संमिश्र संख्या म्हणतात. उदाहरणे संमिश्र संख्या:

एक संमिश्र संख्या मानली जात नाही.

नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये एक, मूळ संख्या आणि संमिश्र संख्या असतात.

नैसर्गिक संख्यांचा संच दर्शविला जातो लॅटिन अक्षरएन.

नैसर्गिक संख्यांच्या बेरीज आणि गुणाकाराचे गुणधर्म:

जोडणीची कम्युटेटिव्ह प्रॉपर्टी

जोडण्याची सहयोगी मालमत्ता

(a + b) + c = a + (b + c);

गुणाकाराची कम्युटेटिव्ह प्रॉपर्टी

गुणाकाराची सहयोगी मालमत्ता

(ab) c = a (bc);

गुणाकाराची वितरणात्मक मालमत्ता

A (b + c) = ab + ac;

पूर्ण संख्या

पूर्णांक म्हणजे नैसर्गिक संख्या, शून्य आणि नैसर्गिक संख्यांच्या विरुद्ध संख्या.

नैसर्गिक संख्यांच्या विरुद्ध असलेल्या संख्या पूर्णांक असतात ऋण संख्या, उदाहरणार्थ:

1; -2; -3; -4;...

पूर्णांकांचा संच लॅटिन अक्षर Z द्वारे दर्शविला जातो.

परिमेय संख्या

परिमेय संख्या म्हणजे पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक.

कोणतीही परिमेय संख्या नियतकालिक अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. उदाहरणे:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

उदाहरणांवरून हे स्पष्ट होते की कोणतीही पूर्णांक हा शून्य कालावधीसह नियतकालिक अपूर्णांक असतो.

कोणतीही परिमेय संख्या m/n अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, जेथे m पूर्णांक, nनैसर्गिक संख्या. मागील उदाहरणातील 3,(6) क्रमांकाची अशा अपूर्णांकाची कल्पना करू या.

संख्येची संकल्पना. संख्यांचे प्रकार.

संख्या ही वस्तूंचे प्रमाण मोजण्यासाठी वापरली जाणारी एक अमूर्तता आहे. मध्ये संख्या परत आली आदिम समाजवस्तू मोजण्यासाठी लोकांच्या गरजेमुळे. कालांतराने, विज्ञान विकसित होत असताना, संख्या ही सर्वात महत्त्वाची गणितीय संकल्पना बनली.

समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी आणि विविध प्रमेये सिद्ध करण्यासाठी, आपल्याला कोणत्या प्रकारच्या संख्या आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे. संख्यांच्या मूलभूत प्रकारांमध्ये हे समाविष्ट आहे: नैसर्गिक संख्या, पूर्णांक, परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या.

पूर्णांक- या वस्तूंच्या नैसर्गिक मोजणीद्वारे किंवा त्याऐवजी त्यांना क्रमांक देऊन (“प्रथम”, “दुसरा”, “तिसरा”...) प्राप्त केलेली संख्या आहेत. नैसर्गिक संख्यांचा संच लॅटिन अक्षराने दर्शविला जातो एन (तुम्ही यावर आधारित लक्षात ठेवू शकता इंग्रजी शब्दनैसर्गिक). असे म्हणता येईल एन ={1,2,3,....}

पूर्ण संख्या- या संचातील संख्या आहेत (0, 1, -1, 2, -2, ....). या संचामध्ये तीन भाग असतात - नैसर्गिक संख्या, ऋण पूर्णांक (नैसर्गिक संख्यांच्या विरुद्ध) आणि संख्या 0 (शून्य). पूर्णांक लॅटिन अक्षराने दर्शविले जातात झेड . असे म्हणता येईल झेड ={1,2,3,....}.

परिमेय संख्याअपूर्णांक म्हणून दर्शविलेल्या संख्या आहेत, जेथे m पूर्णांक आहे आणि n ही नैसर्गिक संख्या आहे. लॅटिन अक्षर परिमेय संख्या दर्शविण्यासाठी वापरले जाते प्र . सर्व नैसर्गिक संख्या आणि पूर्णांक परिमेय आहेत.

वास्तविक संख्याही संख्या आहेत जी सतत परिमाण मोजण्यासाठी वापरली जातात. वास्तविक संख्यांचा संच लॅटिन अक्षर R द्वारे दर्शविला जातो. वास्तविक संख्यांमध्ये परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्या समाविष्ट असतात. अपरिमेय संख्या म्हणजे परिमेय संख्यांसह (उदाहरणार्थ, मुळे घेणे, लॉगरिदम मोजणे) विविध ऑपरेशन्स केल्यामुळे प्राप्त झालेल्या संख्या आहेत, परंतु परिमेय नसतात.

1. संख्या प्रणाली.

संख्या प्रणाली म्हणजे संख्यांचे नामकरण आणि लेखन करण्याचा एक मार्ग. संख्या दर्शविण्याच्या पद्धतीनुसार, ते स्थानात्मक - दशांश आणि नॉन-पोझिशनल - रोमनमध्ये विभागले गेले आहेत.

PC 2-अंकी, 8-अंकी आणि 16-अंकी क्रमांक प्रणाली वापरतात.

फरक: 16 व्या क्रमांक प्रणालीमधील संख्येचे रेकॉर्डिंग दुसऱ्या रेकॉर्डिंगच्या तुलनेत खूपच लहान असते, म्हणजे. कमी क्षमता आवश्यक आहे.

पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये, प्रत्येक अंक संख्येतील स्थानाकडे दुर्लक्ष करून त्याचे स्थिर मूल्य राखून ठेवतो. पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये, प्रत्येक अंक केवळ त्याचा अर्थ ठरवत नाही, तर त्या संख्येमध्ये असलेल्या स्थानावर देखील अवलंबून असतो. प्रत्येक संख्या प्रणाली बेस द्वारे दर्शविले जाते. आधार म्हणजे दिलेल्या संख्या प्रणालीमध्ये संख्या लिहिण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या भिन्न अंकांची संख्या. समीप स्थितीत जाताना समान अंकाचे मूल्य किती वेळा बदलते हे आधार दाखवते. संगणक 2-संख्या प्रणाली वापरतो. प्रणालीचा आधार कितीही असू शकतो. कोणत्याही स्थितीतील संख्यांवरील अंकगणितीय क्रिया 10 संख्या प्रणालीप्रमाणेच नियमांनुसार केल्या जातात. क्रमांक 2 बायनरी अंकगणित वापरते, जे अंकगणित गणना करण्यासाठी संगणकात लागू केले जाते.

बायनरी संख्यांची बेरीज: 0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

वजाबाकी:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

गुणाकार:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

संगणक मोठ्या प्रमाणावर 8 क्रमांक प्रणाली आणि 16 क्रमांक प्रणाली वापरतो. ते बायनरी संख्या लहान करण्यासाठी वापरले जातात.

2. सेटची संकल्पना.

"सेट" ही संकल्पना गणितातील मूलभूत संकल्पना आहे आणि तिला कोणतीही व्याख्या नाही. कोणत्याही संचाच्या पिढीचे स्वरूप वैविध्यपूर्ण असते, विशेषतः आसपासच्या वस्तू, जिवंत निसर्गआणि इ.

व्याख्या १: ज्या वस्तूंपासून संच तयार होतो त्यांना म्हणतात या संचाचे घटक. संच दर्शविण्यासाठी, वापरा राजधानी अक्षरेलॅटिन वर्णमाला: उदाहरणार्थ X, Y, Z आणि कुरळे कंसात, स्वल्पविरामाने विभक्त केलेले, त्याचे घटक लोअरकेस अक्षरात लिहिलेले आहेत, उदाहरणार्थ: (x,y,z).

संच आणि त्यातील घटकांसाठी नोटेशनचे उदाहरण:

X = (x 1, x 2,…, x n) – n घटकांचा समावेश असलेला संच. जर x हा घटक X संचाचा असेल, तर तो लिहावा: xÎX, अन्यथा x हा घटक X संचाशी संबंधित नाही, जे लिहिले आहे: xÏX. अमूर्त संचाचे घटक असू शकतात, उदाहरणार्थ, संख्या, कार्ये, अक्षरे, आकार इ. गणितात, कोणत्याही विभागात, संच ही संकल्पना वापरली जाते. विशेषतः, आपण वास्तविक संख्यांचे काही विशिष्ट संच देऊ शकतो. असमानता पूर्ण करणारा वास्तविक संख्या x चा संच:

· a ≤ x ≤ b म्हणतात विभागआणि द्वारे दर्शविले जाते;

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется अर्धा भागआणि द्वारे दर्शविले जाते: ;

· ए< x < b называется मध्यांतरआणि (a,b) द्वारे दर्शविले जाते.

व्याख्या २: ज्या संचामध्ये घटकांची संख्या मर्यादित असते त्याला मर्यादित म्हणतात. उदाहरण. X = (x 1 , x 2 , x 3 ).

व्याख्या 3: संच म्हणतात अंतहीन, जर त्यात असंख्य घटकांचा समावेश असेल. उदाहरणार्थ, सर्व वास्तविक संख्यांचा संच अनंत आहे. उदाहरण एंट्री. X = (x 1, x 2, ...).

व्याख्या 4: एक घटक नसलेल्या संचाला रिकामा संच म्हणतात आणि तो Æ चिन्हाने दर्शविला जातो.

संचाचे वैशिष्ट्य म्हणजे शक्तीची संकल्पना. शक्ती ही त्याच्या घटकांची संख्या आहे. Y=(y 1 , y 2 ,...) संच X=(x 1 , x 2 ,...) संच प्रमाणेच कार्डिनॅलिटी आहे जर एक-टू-वन पत्रव्यवहार असेल तर y= f(x ) या संचांच्या घटकांमधील. अशा संचांमध्ये समान कार्डिनॅलिटी असते किंवा समान कार्डिनॅलिटी असते. रिकाम्या सेटमध्ये शून्य कार्डिनॅलिटी असते.

3. सेट निर्दिष्ट करण्याच्या पद्धती.

असे मानले जाते की संच त्याच्या घटकांद्वारे परिभाषित केला जातो, म्हणजे. सेट दिला आहे,जर आपण कोणत्याही वस्तूबद्दल म्हणू शकतो: ती या संचाशी संबंधित आहे किंवा नाही. आपण खालील प्रकारे सेट निर्दिष्ट करू शकता:

1) जर एखादा संच मर्यादित असेल तर त्याचे सर्व घटक सूचीबद्ध करून त्याची व्याख्या करता येते. तर, जर संच एघटकांचा समावेश आहे 2, 5, 7, 12 , मग ते लिहितात A = (2, 5, 7, 12).सेटच्या घटकांची संख्या एसमान 4 , ते लिहितात n(A) = 4.

पण जर संच अनंत असेल तर त्यातील घटकांची गणना करता येत नाही. गणनेद्वारे संच आणि त्यासह मर्यादित संच परिभाषित करणे कठीण आहे मोठ्या संख्येनेघटक. अशा परिस्थितीत, सेट निर्दिष्ट करण्याची दुसरी पद्धत वापरली जाते.

2) संच त्याच्या घटकांची वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म दर्शवून निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो. वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म- ही अशी मालमत्ता आहे जी संचाशी संबंधित प्रत्येक घटकाकडे आहे आणि एकही घटक नाही जो त्याच्याशी संबंधित नाही. उदाहरणार्थ, दोन-अंकी संख्यांचा संच X विचारात घ्या: या संचाच्या प्रत्येक घटकाची मालमत्ता "दोन-अंकी संख्या असणे" आहे. या वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्मामुळे एखादी वस्तू X संचाची आहे की नाही हे ठरवणे शक्य होते. उदाहरणार्थ, या संचामध्ये 45 क्रमांक समाविष्ट आहे, कारण ते दोन-अंकी आहे, आणि क्रमांक 4 X संचाशी संबंधित नाही, कारण ते अस्पष्ट आहे आणि दोन-महत्त्वाचे नाही. असे घडते की समान संच त्याच्या घटकांचे भिन्न वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म दर्शवून परिभाषित केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, चौरसांचा संच समान बाजू असलेल्या आयतांचा संच आणि काटकोनांसह समभुज चौकोनांचा संच म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो.

संचाच्या घटकांची वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म प्रतिकात्मक स्वरूपात दर्शविल्या जाऊ शकतात अशा प्रकरणांमध्ये, संबंधित नोटेशन शक्य आहे. जर संच INपेक्षा कमी सर्व नैसर्गिक संख्यांचा समावेश होतो 10, मग ते लिहितात B = (x N | x<10}.

दुसरी पद्धत अधिक सामान्य आहे आणि आपल्याला मर्यादित आणि अनंत दोन्ही संच निर्दिष्ट करण्यास अनुमती देते.

4. संख्यात्मक संच.

संख्यात्मक - एक संच ज्याचे घटक संख्या आहेत. संख्यात्मक संच वास्तविक संख्या R च्या अक्षावर निर्दिष्ट केले जातात. या अक्षावर, स्केल निवडले जाते आणि मूळ आणि दिशा दर्शविली जाते. सर्वात सामान्य संख्या संच:

· - नैसर्गिक संख्यांचा संच;

· - पूर्णांकांचा संच;

· - परिमेय किंवा अपूर्णांक संख्यांचा संच;

· - वास्तविक संख्यांचा संच.

5. सेटची शक्ती. मर्यादित आणि अनंत संचांची उदाहरणे द्या.

संचांना समान शक्तिशाली किंवा समतुल्य म्हटले जाते जर त्यांच्यामध्ये एक-टू-वन किंवा एक-टू-वन पत्रव्यवहार असेल, म्हणजे, जोडीनुसार पत्रव्यवहार. जेव्हा एका संचाचा प्रत्येक घटक दुसऱ्या संचाच्या एका घटकाशी संबंधित असतो आणि त्याउलट, तर एका संचाचे भिन्न घटक दुसऱ्या संचाच्या भिन्न घटकांशी संबंधित असतात.

उदाहरणार्थ, तीस विद्यार्थ्यांचा एक गट घेऊ आणि परीक्षेची तिकिटे देऊ, तीस तिकिटांच्या स्टॅकमधून प्रत्येक विद्यार्थ्याला एक तिकीट, 30 विद्यार्थ्यांचा असा जोड्यानिहाय पत्रव्यवहार आणि 30 तिकिटे वन-टू-वन असतील.

समान तिसऱ्या संचासह समान कार्डिनॅलिटीचे दोन संच समान कार्डिनॅलिटीचे आहेत. जर M आणि N हे संच समान कार्डिनॅलिटीचे असतील, तर या प्रत्येक संच M आणि N च्या सर्व उपसंचांचे संच देखील समान कार्डिनॅलिटीचे आहेत.

दिलेल्या संचाचा उपसंच हा असा संच असतो की त्यातील प्रत्येक घटक दिलेल्या संचाचा घटक असतो. त्यामुळे कारचा संच आणि ट्रकचा संच हे कारच्या संचाचे उपसंच असतील.

वास्तविक संख्यांच्या संचाच्या सामर्थ्याला सातत्याची शक्ती म्हणतात आणि "अलेफ" अक्षराने दर्शविले जाते. א . सर्वात लहान अनंत डोमेन हे नैसर्गिक संख्यांच्या संचाचे मुख्यत्व आहे. सर्व नैसर्गिक संख्यांच्या संचाची मुख्यत्वे सहसा (अलेफ-शून्य) द्वारे दर्शविली जातात.

पॉवर्सना सहसा कार्डिनल नंबर म्हणतात. ही संकल्पना जर्मन गणितज्ञ G. Cantor यांनी मांडली. जर संच प्रतीकात्मक अक्षरे M, N द्वारे दर्शविल्या जातात, तर कार्डिनल क्रमांक m, n ने दर्शविल्या जातात. G. कँटरने हे सिद्ध केले की दिलेल्या संच M च्या सर्व उपसंचांच्या संचाची कार्डिनॅलिटी M या संचापेक्षा जास्त आहे.

सर्व नैसर्गिक संख्यांच्या संचाच्या समान संचाला मोजण्यायोग्य संच म्हणतात.

6. निर्दिष्ट सेटचे उपसंच.

जर आपण आपल्या सेटमधून अनेक घटक निवडले आणि त्यांचे स्वतंत्र गट केले, तर हा आपल्या संचाचा उपसंच असेल. असे अनेक संयोग आहेत ज्यातून उपसंच मिळू शकते;

आपल्याकडे A आणि B असे दोन संच आहेत. जर B संचाचा प्रत्येक घटक संच A चा घटक असेल, तर B संचाला A चा उपसंच म्हणतात. B ⊂ A. उदाहरण.

A=1;2;3 संचाचे किती उपसंच आहेत?

उपाय. आमच्या संचाच्या घटकांचा समावेश असलेले उपसंच. मग उपसंचातील घटकांच्या संख्येसाठी आपल्याकडे 4 पर्याय आहेत:

उपसंच 1 घटक, 2, 3 घटक असू शकतात आणि रिक्त असू शकतात. चला आपले घटक क्रमशः लिहू.

1 घटकाचा उपसंच: 1,2,3

2 घटकांचा उपसंच: 1,2,1,3,2,3.

3 घटकांचा उपसंच: 1;2;3

रिकामा संच हा देखील आपल्या संचाचा उपसंच आहे हे विसरू नका. मग आपल्याला आढळते की आपल्याकडे 3+3+1+1=8 उपसंच आहेत.

7. सेटवर ऑपरेशन्स.

काही ऑपरेशन्स सेटवर करता येतात, काही बाबतीत बीजगणितातील वास्तविक संख्यांवरील ऑपरेशन्सप्रमाणेच. म्हणून, आपण सेट बीजगणित बद्दल बोलू शकतो.

असोसिएशन(कनेक्शन) संच एआणि INएक संच आहे (प्रतीकात्मकदृष्ट्या ते द्वारे दर्शविले जाते), ज्यामध्ये कमीतकमी एका संचाशी संबंधित सर्व घटक असतात एकिंवा IN. पासून स्वरूपात एक्ससंचांचे संघटन खालीलप्रमाणे लिहिले आहे

एंट्री वाचते: "एकीकरण एआणि IN" किंवा " ए, एकत्रित IN».

यूलर मंडळे वापरून सेट ऑपरेशन्स दृष्यदृष्ट्या दर्शविले जातात (कधीकधी "व्हेन-युलर आकृती" हा शब्द वापरला जातो). जर सेटचे सर्व घटक एवर्तुळात केंद्रित केले जाईल ए, आणि सेटचे घटक IN- वर्तुळात IN, यूलर वर्तुळ वापरून एकीकरण ऑपरेशन खालील फॉर्ममध्ये प्रस्तुत केले जाऊ शकते

उदाहरण १. अनेकांचे संघटन ए= (0, 2, 4, 6, 8) सम अंक आणि संच IN= (1, 3, 5, 7, 9) विषम अंक हा दशांश संख्या प्रणालीच्या सर्व अंकांचा = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) संच आहे.

8. संचांचे ग्राफिक प्रतिनिधित्व. यूलर-वेन आकृत्या.

यूलर-वेन आकृत्या हे संचांचे भौमितिक प्रतिनिधित्व आहेत. आकृतीच्या बांधकामामध्ये सार्वत्रिक संचाचे प्रतिनिधित्व करणारा एक मोठा आयत रेखाटणे समाविष्ट आहे यू, आणि त्याच्या आत - मंडळे (किंवा काही इतर बंद आकृत्या) संच दर्शवितात. आकारांना समस्येसाठी आवश्यक असलेल्या सर्वात सामान्य मार्गाने छेदणे आवश्यक आहे आणि त्यानुसार लेबल केले जाणे आवश्यक आहे. आकृतीच्या वेगवेगळ्या भागात असलेले बिंदू संबंधित संचाचे घटक मानले जाऊ शकतात. तयार केलेल्या आकृतीसह, तुम्ही नव्याने तयार केलेल्या संचांना सूचित करण्यासाठी विशिष्ट क्षेत्रांना सावली देऊ शकता.

सेट ऑपरेशन्स अस्तित्वात असलेल्यांकडून नवीन संच मिळविण्यासाठी मानले जातात.

व्याख्या. असोसिएशनसंच A आणि B हा त्या सर्व घटकांचा समावेश असलेला संच आहे जो किमान एक संच A, B (चित्र 1):

व्याख्या. पार करूनसंच A आणि B हा संच आहे ज्यामध्ये त्या सर्व घटकांचा समावेश आहे आणि फक्त ते घटक आहेत जे एकाच वेळी A आणि B संच (चित्र 2):

व्याख्या. फरकानेसंच A आणि B हा त्या सर्व आणि फक्त A च्या घटकांचा संच आहे जे B मध्ये समाविष्ट नाहीत (चित्र 3):

व्याख्या. सममितीय फरकसेट A आणि B हा या संचांच्या घटकांचा संच आहे जो एकतर फक्त A सेट करण्यासाठी किंवा फक्त B सेट करण्यासाठी (चित्र 4):

संचांचे कार्टेशियन (किंवा थेट) उत्पादनएआणि बीफॉर्मच्या जोड्यांचा असा परिणामी संच ( x,y) अशा प्रकारे बांधले की संचातील पहिला घटक ए, आणि जोडीचा दुसरा घटक संचाचा आहे बी. सामान्य पदनाम:

ए× बी={(x,y)|x∈ए,y∈बी}

तीन किंवा अधिक संचांची उत्पादने खालीलप्रमाणे तयार केली जाऊ शकतात:

ए× बी× सी={(x,y,z)|x∈ए,y∈बी,z∈सी}

फॉर्मची उत्पादने ए× ए,ए× ए× ए,ए× ए× ए× एइ. पदवी म्हणून लिहिण्याची प्रथा आहे: ए 2 ,ए 3 ,ए 4 (पदवीचा आधार गुणक संच आहे, घातांक उत्पादनांची संख्या आहे). त्यांनी अशी नोंद “कार्टेशियन स्क्वेअर” (क्यूब इ.) म्हणून वाचली. मुख्य संचांसाठी इतर वाचन आहेत. उदाहरणार्थ, आर n"er nnoe" म्हणून वाचण्याची प्रथा आहे.

गुणधर्म

चला कार्टेशियन उत्पादनाच्या अनेक गुणधर्मांचा विचार करूया:

1. जर ए,बीमर्यादित संच आहेत, नंतर ए× बी- अंतिम. आणि त्याउलट, जर घटक संचांपैकी एक असीम असेल, तर त्यांच्या उत्पादनाचा परिणाम हा अनंत संच असतो.

2. कार्टेशियन उत्पादनातील घटकांची संख्या घटक संचांच्या घटकांच्या संख्येच्या गुणाकाराच्या समान असते (जर ते मर्यादित असतील तर: नक्कीच): | ए× बी|=|ए|⋅|बी| .

3. एक एनपी ≠(एक एन) p- पहिल्या प्रकरणात, कार्टेशियन उत्पादनाचा परिणाम 1 × परिमाणांचा मॅट्रिक्स म्हणून विचारात घेणे उचित आहे एन.पी., दुसऱ्यामध्ये - आकारांचे मॅट्रिक्स म्हणून n× p .

4. बदली कायदा समाधानी नाही, कारण कार्टेशियन उत्पादनाच्या परिणामाच्या घटकांच्या जोड्या ऑर्डर केल्या आहेत: ए× बी≠बी× ए .

5. सहयोगी कायदा पूर्ण झालेला नाही: ( ए× बी)× सी≠ए×( बी× सी) .

6. सेटवरील मूलभूत ऑपरेशन्सच्या संदर्भात वितरणक्षमता आहे: ( ए∗बी)× सी=(ए× सी)∗(बी× सी),∗∈{∩,∪,∖}

10. उच्चाराची संकल्पना. प्राथमिक आणि संयुक्त विधाने.

विधानविधान किंवा घोषणात्मक वाक्य आहे जे खरे (I-1) किंवा असत्य (F-0) म्हटले जाऊ शकते, परंतु दोन्ही नाही.

उदाहरणार्थ, "आज पाऊस पडत आहे," "इव्हानोव्हने भौतिकशास्त्रातील प्रयोगशाळेचे काम क्रमांक 2 पूर्ण केले."

आमच्याकडे अनेक प्रारंभिक विधाने असल्यास, त्यांच्याकडून, वापरून तार्किक संघटना किंवा कण आपण नवीन विधाने तयार करू शकतो, ज्याचे सत्य मूल्य केवळ मूळ विधानांच्या सत्य मूल्यांवर आणि नवीन विधानाच्या निर्मितीमध्ये भाग घेणाऱ्या विशिष्ट संयोग आणि कणांवर अवलंबून असते. शब्द आणि अभिव्यक्ती “आणि”, “किंवा”, “नाही”, “जर..., नंतर”, “म्हणून”, “मग आणि तेव्हाच” अशा संयोगांची उदाहरणे आहेत. मूळ विधाने म्हणतात सोपे , आणि काही तार्किक संयोगांच्या मदतीने त्यांच्याकडून तयार केलेली नवीन विधाने - संमिश्र . अर्थात, "साध्या" या शब्दाचा मूळ विधानांच्या सार किंवा संरचनेशी काहीही संबंध नाही, जे स्वतःच खूप जटिल असू शकतात. या संदर्भात, “साधा” हा शब्द “मूळ” या शब्दाचा समानार्थी आहे. काय महत्त्वाचे आहे की साध्या विधानांची सत्य मूल्ये ज्ञात किंवा दिली गेली आहेत असे गृहीत धरले जाते; कोणत्याही परिस्थितीत, त्यांची कोणत्याही प्रकारे चर्चा केली जात नाही.

जरी "आज गुरुवार नाही" सारखे विधान दोन भिन्न साध्या विधानांनी बनलेले नसले तरी, बांधकामाच्या एकसमानतेसाठी ते एक कंपाऊंड देखील मानले जाते, कारण त्याचे सत्य मूल्य "आज गुरुवार आहे" या इतर विधानाच्या सत्य मूल्याद्वारे निर्धारित केले जाते. "

उदाहरण २.खालील विधाने संयुगे मानली जातात:

मी Moskovsky Komsomolets वाचले आणि मी Kommersant वाचले.

जर तो म्हणाला असेल तर ते खरे आहे.

सूर्य हा तारा नाही.

जर सूर्यप्रकाश असेल आणि तापमान 25 0 पेक्षा जास्त असेल तर मी ट्रेन किंवा कारने येईन

संयुगांमध्ये समाविष्ट केलेली साधी विधाने स्वतःच पूर्णपणे अनियंत्रित असू शकतात. विशेषतः, ते स्वतः संयुक्त असू शकतात. खाली वर्णन केलेल्या कंपाऊंड स्टेटमेंटचे मूलभूत प्रकार त्यांना बनवणाऱ्या सोप्या विधानांपासून स्वतंत्रपणे परिभाषित केले आहेत.

11. स्टेटमेंट्सवरील ऑपरेशन्स.

1. नकारात्मक ऑपरेशन.

विधानाचे खंडन करून ए ("नाही ए"," हे खरे नाही ए"), जे खरे असते तेव्हा एखोटे आणि खोटे जेव्हा ए- खरे.

एकमेकांना नाकारणारी विधाने एआणि म्हटले जाते विरुद्ध

2. संयोजन ऑपरेशन.

संयोगविधाने एआणि INद्वारे दर्शविलेले विधान म्हणतात ए बी(वाचतो" एआणि IN"), ज्याची खरी मूल्ये निर्धारित केली जातात जर आणि फक्त दोन्ही विधाने असल्यास एआणि INखरे आहेत.

विधानांच्या संयोगाला तार्किक उत्पादन म्हटले जाते आणि ते सहसा सूचित केले जाते एबी.

निवेदन द्यावे ए- “मार्चमध्ये हवेचे तापमान आहे 0 कते + 7 क"आणि म्हणत IN- "विटेब्स्कमध्ये पाऊस पडत आहे." मग ए बीखालीलप्रमाणे असेल: “मार्चमध्ये हवेचे तापमान आहे 0 कते + 7 कआणि विटेब्स्कमध्ये पाऊस पडत आहे.” विधाने असतील तर हा संयोग सत्य असेल एआणि INखरे. जर असे दिसून आले की तापमान कमी होते 0 ककिंवा तेव्हा विटेब्स्कमध्ये पाऊस नव्हता ए बीखोटे असेल.

3 . विच्छेदन ऑपरेशन.

वियोगविधाने एआणि INनिवेदन म्हटले ए बी (एकिंवा IN), जे सत्य आहे जर आणि फक्त जर विधानांपैकी किमान एक सत्य आणि असत्य असेल - जेव्हा दोन्ही विधाने असत्य असतील.

विधानांच्या विच्छेदनाला तार्किक बेरीज देखील म्हणतात A+B.

विधान " 4<5 किंवा 4=5 " खरे आहे. विधान पासून " 4<5 "सत्य आहे आणि विधान" 4=5 »- खोटे, मग ए बीखरे विधान दर्शवते " 4 5 ».

4 . तात्पर्य ऑपरेशन.

तात्पर्य करूनविधाने एआणि INनिवेदन म्हटले ए बी("तर ए, ते IN"," कडून एपाहिजे IN"), ज्याचे मूल्य असत्य असेल तर आणि फक्त असल्यास एखरे, पण INखोटे

तात्पर्य मध्ये ए बीविधान एम्हणतात आधारकिंवा आधार, आणि विधान IN – परिणाम,किंवा निष्कर्ष

12. विधानांच्या सत्यतेचे तक्ते.

सत्य सारणी ही एक सारणी आहे जी लॉजिकल फंक्शनमध्ये समाविष्ट असलेल्या लॉजिकल व्हेरिएबल्सच्या सर्व संभाव्य संच आणि फंक्शनच्या मूल्यांमध्ये पत्रव्यवहार स्थापित करते.

सत्य सारणी यासाठी वापरली जातात:

जटिल विधानांच्या सत्याची गणना करणे;

विधानांची समतुल्यता स्थापित करणे;

टोटोलॉजीजची व्याख्या.

सर्व प्रकारच्या प्रचंड विविधता पासून सेटविशेष स्वारस्य तथाकथित आहेत संख्या संच, म्हणजे, संच ज्यांचे घटक संख्या आहेत. हे स्पष्ट आहे की त्यांच्यासोबत आरामात काम करण्यासाठी तुम्हाला ते लिहिण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे. आम्ही या लेखाची सुरुवात अंकीय संच लिहिण्याच्या नोटेशन आणि तत्त्वांसह करू. पुढे, अंकीय संच समन्वय रेषेवर कसे चित्रित केले जातात ते पाहू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

संख्यात्मक संच लिहित आहे

चला स्वीकृत नोटेशनसह प्रारंभ करूया. तुम्हाला माहिती आहेच, लॅटिन वर्णमालेतील कॅपिटल अक्षरे सेट दर्शविण्यासाठी वापरली जातात. संख्यात्मक संच, सेटचे विशेष केस म्हणून, देखील नियुक्त केले जातात. उदाहरणार्थ, आपण संख्या संच A, H, W, इत्यादींबद्दल बोलू शकतो. नैसर्गिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, जटिल संख्या इत्यादींचे संच त्यांच्यासाठी विशेष महत्त्वाचे आहेत:

• N - सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच;
• Z - पूर्णांकांचा संच;
• Q - परिमेय संख्यांचा संच;
• J - अपरिमेय संख्यांचा संच;
• आर - वास्तविक संख्यांचा संच;
• C हा जटिल संख्यांचा संच आहे.

येथून हे स्पष्ट आहे की तुम्ही 5 आणि −7 या दोन संख्यांचा समावेश असलेला संच Q म्हणून दर्शवू नये, हे पद भ्रामक असेल, कारण Q अक्षर सहसा सर्व परिमेय संख्यांचा संच दर्शवते. निर्दिष्ट संख्यात्मक संच दर्शविण्यासाठी, काही इतर "तटस्थ" अक्षर वापरणे चांगले आहे, उदाहरणार्थ, ए.

आपण नोटेशन बद्दल बोलत असल्याने, इथे रिकाम्या संचाच्या नोटेशनबद्दल, म्हणजे, घटक नसलेल्या संचाबद्दल देखील आठवूया. हे ∅ या चिन्हाने दर्शविले जाते.

घटक संचाशी संबंधित आहे की नाही याचे पदनाम देखील आठवूया. हे करण्यासाठी, ∈ - संबंधित आहे आणि ∉ - संबंधित नाही ही चिन्हे वापरा. उदाहरणार्थ, नोटेशन 5∈N म्हणजे संख्या 5 नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित आहे आणि 5.7∉Z - दशांश अपूर्णांक 5.7 पूर्णांकांच्या संचाशी संबंधित नाही.

आणि एक संच दुसऱ्यामध्ये समाविष्ट करण्यासाठी स्वीकारलेल्या नोटेशनची आठवण करूया. हे स्पष्ट आहे की संच N चे सर्व घटक Z मध्ये समाविष्ट केले आहेत, अशा प्रकारे N हा संच Z मध्ये समाविष्ट केला आहे, हे N⊂Z म्हणून दर्शविले जाते. तुम्ही Z⊃N ही नोटेशन देखील वापरू शकता, याचा अर्थ Z सर्व पूर्णांकांच्या संचामध्ये N हा संच समाविष्ट आहे. समाविष्ट नसलेले आणि समाविष्ट नसलेले संबंध अनुक्रमे ⊄ आणि द्वारे सूचित केले जातात. ⊆ आणि ⊇ फॉर्मची कठोर नसलेली समावेशन चिन्हे देखील वापरली जातात, ज्याचा अर्थ अनुक्रमे समाविष्ट किंवा एकरूप होतो आणि समाविष्ट किंवा एकरूप होतो.

आम्ही नोटेशनबद्दल बोललो आहोत, चला संख्यात्मक संचांच्या वर्णनाकडे जाऊया. या प्रकरणात, आम्ही केवळ मुख्य प्रकरणांना स्पर्श करू जे बहुतेक वेळा सराव मध्ये वापरले जातात.

मर्यादित आणि लहान घटक असलेल्या संख्यात्मक संचापासून सुरुवात करूया. घटकांची मर्यादित संख्या असलेल्या संख्यात्मक संचाचे त्यांचे सर्व घटक सूचीबद्ध करून त्यांचे वर्णन करणे सोयीचे आहे. सर्व संख्या घटक स्वल्पविरामाने विभक्त करून लिहीले जातात आणि मध्ये संलग्न केले जातात, जे सामान्यशी सुसंगत असतात संचांचे वर्णन करण्यासाठी नियम. उदाहरणार्थ, 0, −0.25 आणि 4/7 या तीन संख्या असलेल्या संचाचे वर्णन (0, −0.25, 4/7) असे केले जाऊ शकते.

कधीकधी, जेव्हा संख्यात्मक संचाच्या घटकांची संख्या खूप मोठी असते, परंतु घटक विशिष्ट पॅटर्नचे पालन करतात, तेव्हा वर्णनासाठी लंबवर्तुळ वापरला जातो. उदाहरणार्थ, 3 ते 99 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांचा संच (3, 5, 7, ..., 99) असा लिहिता येईल.

म्हणून आम्ही सहजतेने संख्यात्मक संचाच्या वर्णनाशी संपर्क साधला, ज्यातील घटकांची संख्या अनंत आहे. काहीवेळा त्यांचे वर्णन सर्व समान लंबवृत्त वापरून केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, सर्व नैसर्गिक संख्यांच्या संचाचे वर्णन करूया: N=(1, 2. 3, ...) .

ते घटकांचे गुणधर्म दर्शवून संख्यात्मक संचांचे वर्णन देखील वापरतात. या प्रकरणात, नोटेशन (x| गुणधर्म) वापरले जाते. उदाहरणार्थ, नोटेशन (n| 8·n+3, n∈N) नैसर्गिक संख्यांचा संच निर्दिष्ट करते ज्याला 8 ने भागल्यावर 3 ची उरते. या समान संचाचे (11,19, 27, ...) वर्णन केले जाऊ शकते.

विशेष प्रकरणांमध्ये, घटकांची असीम संख्या असलेले संख्यात्मक संच म्हणजे N, Z, R, इत्यादी ज्ञात संच. किंवा संख्या अंतराल. मूलभूतपणे, संख्यात्मक संच म्हणून प्रस्तुत केले जातात युनियनत्यांचे घटक वैयक्तिक संख्यात्मक अंतराल आणि घटकांच्या मर्यादित संख्येसह संख्यात्मक संच (ज्याबद्दल आपण वर बोललो आहोत).

एक उदाहरण दाखवू. संख्या संचामध्ये −10, −9, −8.56, 0, विभागातील सर्व संख्या [−5, −1,3] आणि खुल्या संख्या रेषेतील संख्या (7, +∞) असू द्या. संचांच्या युनियनच्या व्याख्येमुळे, निर्दिष्ट संख्यात्मक संच असे लिहिले जाऊ शकते {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . या नोटेशनचा अर्थ संच (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] आणि (7, +∞) च्या सर्व घटकांचा समावेश असलेला संच आहे.

त्याचप्रमाणे, भिन्न संख्या अंतराल आणि वैयक्तिक संख्यांचे संच एकत्र करून, कोणत्याही संख्येच्या संचाचे (वास्तविक संख्या असलेले) वर्णन केले जाऊ शकते. येथे हे स्पष्ट होते की मध्यांतर, अर्ध-मांतर, खंड, मुक्त संख्यात्मक किरण आणि संख्यात्मक किरण अशा प्रकारचे संख्यात्मक मध्यांतर का सादर केले गेले: ते सर्व, वैयक्तिक संख्यांच्या संचासाठी नोटेशनसह, कोणत्याही संख्यात्मक संचाचे वर्णन करणे शक्य करतात. त्यांचे संघटन.

कृपया लक्षात घ्या की संख्या संच लिहिताना, त्यातील घटक संख्या आणि संख्यात्मक अंतराल चढत्या क्रमाने दिले जातात. ही एक आवश्यक परंतु वांछनीय स्थिती नाही, कारण ऑर्डर केलेल्या संख्यात्मक संचाची कल्पना करणे आणि समन्वय रेषेवर चित्रण करणे सोपे आहे. हे देखील लक्षात ठेवा की अशा नोंदी सामान्य घटकांसह संख्यात्मक अंतराल वापरत नाहीत, कारण अशा नोंदी सामान्य घटकांशिवाय संख्यात्मक अंतराल एकत्र करून बदलल्या जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, सामान्य घटक [−10, 0] आणि (−5, 3) सह संख्यात्मक संचांचे एकत्रीकरण म्हणजे अर्ध-मांतर [−10, 3) आहे. समान सीमा संख्यांसह संख्यात्मक मध्यांतरांच्या युनियनलाही हेच लागू होते, उदाहरणार्थ, युनियन (3, 5]∪(5, 7] हा एक संच आहे (3, 7], जेव्हा आपण शिकू तेव्हा आपण यावर स्वतंत्रपणे विचार करू. संख्यात्मक संचाचे छेदनबिंदू आणि संघ शोधा

समन्वय रेषेवर संख्या संचांचे प्रतिनिधित्व

सराव मध्ये, संख्यात्मक संचांच्या भौमितिक प्रतिमा वापरणे सोयीचे आहे - त्यांच्या प्रतिमा चालू आहेत. उदाहरणार्थ, जेव्हा असमानता सोडवणे, ज्यामध्ये ODZ विचारात घेणे आवश्यक आहे, त्यांचे छेदनबिंदू आणि/किंवा युनियन शोधण्यासाठी संख्यात्मक संच चित्रित करणे आवश्यक आहे. त्यामुळे समन्वय रेषेवर संख्यात्मक संच चित्रित करण्याच्या सर्व बारकावे चांगल्या प्रकारे समजून घेणे उपयुक्त ठरेल.

हे ज्ञात आहे की समन्वय रेषेचे बिंदू आणि वास्तविक संख्या यांच्यात एक-ते-एक पत्रव्यवहार आहे, याचा अर्थ असा आहे की समन्वय रेखा स्वतः सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचाचे भौमितिक मॉडेल आहे. अशा प्रकारे, सर्व वास्तविक संख्यांचा संच चित्रित करण्यासाठी, आपल्याला त्याच्या संपूर्ण लांबीसह शेडिंगसह समन्वय रेखा काढण्याची आवश्यकता आहे:

आणि बऱ्याचदा ते मूळ आणि युनिट विभाग देखील दर्शवत नाहीत:

आता संख्यात्मक संचाच्या प्रतिमेबद्दल बोलूया, जे वैयक्तिक संख्यांच्या विशिष्ट मर्यादित संख्येचे प्रतिनिधित्व करतात. उदाहरणार्थ, संख्या संच (−2, −0.5, 1.2) चित्रित करू. −2, −0.5 आणि 1.2 या तीन अंकांचा समावेश असलेली या संचाची भौमितीय प्रतिमा संबंधित निर्देशांकांसह समन्वय रेषेचे तीन बिंदू असेल:

लक्षात घ्या की सहसा व्यावहारिक हेतूंसाठी रेखाचित्र अचूकपणे पार पाडण्याची आवश्यकता नसते. बऱ्याचदा एक योजनाबद्ध रेखाचित्र पुरेसे असते, ज्याचा अर्थ असा आहे की या प्रकरणात स्केल राखणे आवश्यक नाही, फक्त एकमेकांशी संबंधित बिंदूंची सापेक्ष स्थिती राखणे महत्वाचे आहे: लहान समन्वयासह कोणताही बिंदू असणे आवश्यक आहे; मोठ्या समन्वयासह बिंदूच्या डावीकडे. मागील रेखाचित्र योजनाबद्धपणे असे दिसेल:

स्वतंत्रपणे, सर्व प्रकारच्या संख्यात्मक संचांमधून, संख्यात्मक अंतराल (अंतराल, अर्ध-मांतर, किरण इ.) वेगळे केले जातात, जे त्यांच्या भूमितीय प्रतिमांचे प्रतिनिधित्व करतात; आम्ही येथे पुनरावृत्ती करणार नाही.

आणि हे फक्त संख्यात्मक संचांच्या प्रतिमेवर राहणे बाकी आहे, जे अनेक संख्यात्मक अंतराल आणि वैयक्तिक संख्या असलेले संच आहेत. येथे काहीही अवघड नाही: या प्रकरणांमध्ये युनियनच्या अर्थानुसार, निर्देशांक रेषेवर दिलेल्या संख्यात्मक संचाच्या संचाच्या सर्व घटकांचे चित्रण करणे आवश्यक आहे. उदाहरण म्हणून, संख्या संचाची प्रतिमा दाखवू (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (लॉग 2 5, 5)∪(17, +∞):

आणि जेव्हा चित्रित संख्यात्मक संच एक किंवा अनेक बिंदूंचा अपवाद वगळता, वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच दर्शवितो तेव्हा अगदी सामान्य प्रकरणांवर आपण राहू या. असे संच अनेकदा x≠5 किंवा x≠−1, x≠2, x≠3.7, इत्यादिंद्वारे निर्दिष्ट केले जातात. या प्रकरणांमध्ये, भौमितीयदृष्ट्या ते संबंधित बिंदूंचा अपवाद वगळता संपूर्ण समन्वय रेषा दर्शवतात. दुस-या शब्दात, हे बिंदू समन्वय रेषेतून "बाहेर काढणे" आवश्यक आहे. ते रिक्त केंद्रासह मंडळे म्हणून चित्रित केले आहेत. स्पष्टतेसाठी, परिस्थितीशी संबंधित एक संख्यात्मक संच चित्रित करूया (हा संच मूलत: अस्तित्वात आहे):

सारांश द्या. तद्वतच, मागील परिच्छेदातील माहिती वैयक्तिक संख्यात्मक मध्यांतरांच्या दृश्याप्रमाणेच संख्यात्मक संचाच्या रेकॉर्डिंग आणि चित्रणाचे समान दृश्य तयार केले पाहिजे: संख्यात्मक संचाच्या रेकॉर्डिंगने त्याची प्रतिमा ताबडतोब समन्वय रेषेवर दिली पाहिजे आणि प्रतिमेवरून समन्वय रेषा आपण वैयक्तिक अंतराल आणि वैयक्तिक संख्या असलेल्या संचाच्या एकत्रीकरणाद्वारे संबंधित संख्यात्मक संचाचे सहज वर्णन करण्यास तयार असले पाहिजे.

संदर्भग्रंथ.

• बीजगणित:पाठ्यपुस्तक 8 व्या वर्गासाठी. सामान्य शिक्षण संस्था / [यु. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; एड एस.ए. तेल्याकोव्स्की. - 16वी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 2008. - 271 पी. : आजारी. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• मोर्डकोविच ए. जी.बीजगणित. 9वी इयत्ता. 2 तासांमध्ये भाग 1. सामान्य शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक / ए. जी. मोर्डकोविच, पी. व्ही. सेमेनोव्ह. - 13वी आवृत्ती, मिटवली. - एम.: नेमोसिन, 2011. - 222 पी.: आजारी. ISBN 978-5-346-01752-3.

गणितीय विश्लेषण ही गणिताची शाखा आहे जी अनंत कार्याच्या कल्पनेवर आधारित कार्यांचा अभ्यास करते.

गणितीय विश्लेषणाच्या मूलभूत संकल्पना आहेत प्रमाण, संच, कार्य, अनंत कार्य, मर्यादा, व्युत्पन्न, अविभाज्य.

आकारजे काही मोजले जाऊ शकते आणि संख्येने व्यक्त केले जाऊ शकते त्याला म्हणतात.

अनेककाही सामान्य वैशिष्ट्यांद्वारे एकत्रित केलेल्या विशिष्ट घटकांचा संग्रह आहे. संचाचे घटक संख्या, आकृत्या, वस्तू, संकल्पना इत्यादी असू शकतात.

संच अप्परकेस अक्षरांद्वारे दर्शविले जातात आणि संचाचे घटक लोअरकेस अक्षरांद्वारे दर्शविले जातात. सेटचे घटक कुरळे ब्रेसेसमध्ये बंद केलेले आहेत.

जर घटक xअनेकांचे आहे एक्स, मग लिहा x∈एक्स (∈ - मालकीचे आहे).
जर सेट ए सेट बी चा भाग असेल तर लिहा A ⊂ B (⊂ - समाविष्ट आहे).

संच दोनपैकी एका प्रकारे परिभाषित केला जाऊ शकतो: गणनेद्वारे आणि परिभाषित गुणधर्म वापरून.

उदाहरणार्थ, खालील संच गणनेद्वारे निर्दिष्ट केले आहेत:

• A=(1,2,3,5,7) - संख्यांचा संच
• Х=(x 1,x 2,...,x n ) — काही घटकांचा संच x 1,x 2,...,x n
• N=(1,2,...,n) — नैसर्गिक संख्यांचा संच
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — पूर्णांकांचा संच

संच (-∞;+∞) म्हणतात संख्या रेखा, आणि कोणतीही संख्या या रेषेवर एक बिंदू आहे. संख्या रेषेवर एक अनियंत्रित बिंदू असू द्या आणि δ ही सकारात्मक संख्या असू द्या. मध्यांतर (a-δ; a+δ) म्हणतात δ-बिंदू a च्या शेजारी.

कोणत्याही x ∈ X साठी असमानता x≤с (x≥c) धारण करणारी संख्या c असेल तर X हा संच वरून (खाली पासून) बांधलेला आहे. या प्रकरणात c क्रमांक म्हणतात शीर्ष (खाली) धारसंच X. वर आणि खाली अशा दोन्ही बाजूंनी बांधलेला संच म्हणतात मर्यादित. सेटच्या वरच्या (खालच्या) चेहऱ्यांपैकी सर्वात लहान (सर्वात मोठे) म्हणतात अचूक शीर्ष (खाली) किनारया गर्दीचा.

मूळ संख्या संच

एन	(1,2,3,...,n) सर्वांचा संच
झेड	(0, ±1, ±2, ±3,...) सेट करा पूर्णांक.पूर्णांकांच्या संचामध्ये नैसर्गिक संख्यांचा संच समाविष्ट असतो.
प्र	चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड परिमेय संख्या. पूर्ण संख्यांव्यतिरिक्त, अपूर्णांक देखील आहेत. अपूर्णांक हा फॉर्मची अभिव्यक्ती आहे जेथे p- पूर्णांक, q- नैसर्गिक. दशांश अपूर्णांक असेही लिहिता येतात. उदाहरणार्थ: 0.25 = 25/100 = 1/4. पूर्णांक असेही लिहिता येतात. उदाहरणार्थ, “एक”: 2 = 2/1 भाजक असलेल्या अपूर्णांकाच्या स्वरूपात. अशा प्रकारे, कोणतीही परिमेय संख्या दशांश अपूर्णांक म्हणून लिहिली जाऊ शकते - मर्यादित किंवा अनंत नियतकालिक.
आर	प्रत्येकजण भरपूर वास्तविक संख्या. अपरिमेय संख्या अनंत नॉन-पीरिऑडिक अपूर्णांक आहेत. यात समाविष्ट: एकत्रितपणे, दोन संच (परिमेय आणि अपरिमेय संख्या) वास्तविक (किंवा वास्तविक) संख्यांचा संच तयार करतात.

जर सेटमध्ये एकच घटक नसेल तर त्याला म्हणतात रिकामा संचआणि रेकॉर्ड केले आहे Ø .

तार्किक प्रतीकवादाचे घटक

नोटेशन ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

क्वांटिफायर

गणितीय अभिव्यक्ती लिहिताना क्वांटिफायरचा वापर केला जातो.

क्वांटिफायरएक तार्किक चिन्ह असे म्हणतात जे परिमाणवाचक शब्दात खालील घटकांचे वैशिष्ट्य दर्शवते.

• ∀- सामान्य परिमाणक, “प्रत्येकासाठी”, “कोणासाठीही” या शब्दांऐवजी वापरले जाते.
• ∃- अस्तित्व परिमाणक, “अस्तित्वात”, “उपलब्ध आहे” या शब्दांऐवजी वापरले जाते. प्रतीक संयोजन ∃ देखील वापरले जाते, जे फक्त एकच आहे असे वाचले जाते.

ऑपरेशन्स सेट करा

दोन संच A आणि B समान आहेत(A=B) जर ते समान घटक असतील.
उदाहरणार्थ, जर A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) तर A=B.

युनियननुसार (रक्कम)संच A आणि B हा संच A ∪ B आहे ज्याचे घटक यापैकी किमान एका संचाचे आहेत.
उदाहरणार्थ, जर A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), तर A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

छेदनबिंदूद्वारे (उत्पादन) A आणि B संचांना A ∩ B संच म्हणतात, ज्याचे घटक A आणि B संच दोन्हीचे आहेत.
उदाहरणार्थ, जर A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), तर A ∩ B = (2,4)

फरकाने A आणि B संचांना AB संच म्हणतात, त्यातील घटक संच A चे आहेत, परंतु B संचाचे नाहीत.
उदाहरणार्थ, जर A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), तर AB = (1,2)

सममितीय फरक A आणि B संचांना A Δ B संच म्हणतात, जो AB आणि BA संचांच्या फरकांचा एकीकरण आहे, म्हणजेच A Δ B = (AB) ∪ (BA).
उदाहरणार्थ, जर A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), तर A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, ५,६)

सेट ऑपरेशन्सचे गुणधर्म

कम्युटेबिलिटी गुणधर्म

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

जुळणारी मालमत्ता

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

मोजण्यायोग्य आणि अगणित संच

कोणतेही दोन संच A आणि B ची तुलना करण्यासाठी, त्यांच्या घटकांमध्ये एक पत्रव्यवहार स्थापित केला जातो.

जर हा पत्रव्यवहार वन-टू-वन असेल, तर संचांना समतुल्य किंवा तितकेच शक्तिशाली, A B किंवा B A म्हणतात.

उदाहरण १

लेग BC वरील बिंदूंचा संच आणि त्रिकोण ABC चे कर्ण AC समान शक्तीचे आहेत.

वाक्यांश " संख्या संच"गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांमध्ये सामान्य आहे. तेथे आपणास यासारखे वाक्ये आढळू शकतात:

"ब्ला ब्ला ब्ला, जिथे नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित आहे."

बऱ्याचदा, वाक्यांशाच्या शेवटाऐवजी, आपण ही प्रविष्टी पाहू शकता. याचा अर्थ थोड्या वरच्या मजकुराप्रमाणेच आहे - एक संख्या नैसर्गिक संख्यांच्या संचाशी संबंधित आहे. हे किंवा ते व्हेरिएबल कोणत्या सेटमध्ये परिभाषित केले आहे याकडे बरेच लोक लक्ष देत नाहीत. परिणामी, समस्या सोडवताना किंवा प्रमेय सिद्ध करताना पूर्णपणे चुकीच्या पद्धती वापरल्या जातात. असे घडते कारण वेगवेगळ्या संचातील संख्यांचे गुणधर्म भिन्न असू शकतात.

इतके संख्यात्मक संच नाहीत. खाली तुम्ही विविध संख्या संचांच्या व्याख्या पाहू शकता.

नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये शून्य पेक्षा जास्त असलेल्या सर्व पूर्णांकांचा समावेश होतो—धन पूर्णांक.

उदाहरणार्थ: 1, 3, 20, 3057. संचामध्ये क्रमांक 0 समाविष्ट नाही.

या संख्या संचामध्ये शून्यापेक्षा मोठे आणि कमी सर्व पूर्णांक समाविष्ट आहेत, आणि शून्य देखील.

उदाहरणार्थ: -15, 0, 139.

परिमेय संख्या, सामान्यतः बोलणे, अपूर्णांकांचा एक संच आहे जो रद्द केला जाऊ शकत नाही (जर अपूर्णांक रद्द केला असेल तर तो आधीपासूनच पूर्णांक असेल आणि या प्रकरणात दुसरा संच सादर करण्याची आवश्यकता नाही).

परिमेय संचामध्ये समाविष्ट केलेल्या संख्येचे उदाहरणः 3/5, 9/7, 1/2.

,

वास्तविक संख्यांच्या संचाशी संबंधित असलेल्या संख्येच्या पूर्णांक भागाच्या अंकांचा मर्यादित क्रम कोठे आहे. हा क्रम मर्यादित आहे, म्हणजेच वास्तविक संख्येच्या पूर्णांक भागातील अंकांची संख्या मर्यादित आहे.

- वास्तविक संख्येच्या अपूर्णांकात असलेल्या संख्यांचा अनंत क्रम. असे दिसून आले की अंशात्मक भागामध्ये असंख्य संख्या आहेत.

अशा संख्यांना अपूर्णांक म्हणून दाखवता येत नाही. अन्यथा, अशा संख्येचे परिमेय संख्यांचा संच म्हणून वर्गीकरण केले जाऊ शकते.

वास्तविक संख्यांची उदाहरणे:

दोनच्या मुळाचा अर्थ जवळून पाहू. पूर्णांक भागामध्ये फक्त एक अंक आहे - 1, म्हणून आपण लिहू शकतो:

फ्रॅक्शनल भागात (बिंदू नंतर), 4, 1, 4, 2 आणि याप्रमाणे संख्या क्रमाने दिसतात. म्हणून, पहिल्या चार अंकांसाठी आपण लिहू शकतो:

मला आशा आहे की आता वास्तविक संख्यांच्या संचाची व्याख्या अधिक स्पष्ट झाली आहे.

निष्कर्ष

हे लक्षात ठेवले पाहिजे की व्हेरिएबल कोणत्या सेटशी संबंधित आहे यावर अवलंबून समान फंक्शन पूर्णपणे भिन्न गुणधर्म प्रदर्शित करू शकते. म्हणून मूलभूत गोष्टी लक्षात ठेवा - ते उपयुक्त ठरतील.

पोस्ट दृश्यः 5,103