साधे अपूर्णांक विभागणे. अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार

सामान्य अपूर्णांक संख्या प्रथम 5 व्या इयत्तेतील शाळकरी मुलांना भेटतात आणि त्यांच्या आयुष्यभर त्यांच्याबरोबर असतात, कारण दैनंदिन जीवनात एखाद्या वस्तूचा संपूर्णपणे नव्हे तर स्वतंत्र तुकड्यांमध्ये विचार करणे किंवा वापरणे आवश्यक असते. या विषयाचा अभ्यास सुरू करा - शेअर्स. समभाग समान भाग आहेत, ज्यामध्ये ही किंवा ती वस्तू विभागली आहे. शेवटी, व्यक्त करणे नेहमीच शक्य नसते, उदाहरणार्थ, संपूर्ण संख्या म्हणून उत्पादनाची लांबी किंवा किंमत काही मोजमापांचे भाग किंवा समभाग विचारात घेतले पाहिजेत; "विभाजित करणे" - भागांमध्ये विभागणे आणि अरबी मुळे असलेल्या क्रियापदापासून तयार झालेला, "अपूर्णांक" हा शब्द 8 व्या शतकात रशियन भाषेत उद्भवला.

अपूर्णांक अभिव्यक्ती ही गणिताची सर्वात कठीण शाखा मानली गेली आहे. 17 व्या शतकात, जेव्हा गणितावरील पहिली पाठ्यपुस्तके आली, तेव्हा त्यांना "तुटलेली संख्या" असे म्हटले गेले, जे लोकांना समजणे फार कठीण होते.

आधुनिक देखावासाधे अंशात्मक अवशेष, ज्याचे भाग क्षैतिज रेषेने विभक्त केले आहेत, त्यांना प्रथम फिबोनाची - पिसाच्या लिओनार्डोने प्रोत्साहन दिले. त्यांची कामे 1202 पर्यंतची आहेत. परंतु या लेखाचा उद्देश वाचकांना सोप्या आणि स्पष्टपणे समजावून सांगणे हा आहे की भिन्न भाजकांसह मिश्रित अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा केला जातो.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांचा गुणाकार

सुरुवातीला ते ठरवण्यासारखे आहे अपूर्णांकांचे प्रकार:

• योग्य;
• चुकीचे
• मिश्र

पुढे, समान भाजक असलेल्या अपूर्णांक संख्यांचा गुणाकार कसा केला जातो हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. या प्रक्रियेचा नियम स्वतंत्रपणे तयार करणे कठीण नाही: समान भाजकांसह साध्या अपूर्णांकांचा गुणाकार केल्याने एक अपूर्णांक अभिव्यक्ती आहे, ज्याचा अंश हा अंशांचा गुणाकार आहे आणि भाजक हा या अपूर्णांकांच्या भाजकांचा गुणाकार आहे. . म्हणजेच, खरेतर, नवीन भाजक हा सुरुवातीला अस्तित्वात असलेल्यापैकी एकाचा वर्ग आहे.

गुणाकार करताना भिन्न भाजकांसह साधे अपूर्णांकदोन किंवा अधिक घटकांसाठी नियम बदलत नाही:

एक/b * c/d = एसी / b*d.

फरक एवढाच आहे की फ्रॅक्शनल रेषेखाली तयार झालेली संख्या ही वेगवेगळ्या संख्यांचा गुणाकार असेल आणि स्वाभाविकच, त्याला एका संख्यात्मक अभिव्यक्तीचा वर्ग म्हणता येणार नाही.

उदाहरणे वापरून भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचा विचार करणे योग्य आहे:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरणे अंशात्मक अभिव्यक्ती कमी करण्यासाठी पद्धती वापरतात. तुम्ही फक्त भाजक संख्येसह अंश संख्या कमी करू शकता;

साध्या अपूर्णांकांबरोबरच मिश्र अपूर्णांकांचीही संकल्पना आहे. मिश्र संख्येमध्ये पूर्णांक आणि अंशात्मक भाग असतात, म्हणजेच ही या संख्यांची बेरीज असते:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणाकार कसे कार्य करते?

विचारार्थ अनेक उदाहरणे दिली आहेत.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण एका संख्येचा गुणाकार वापरतो सामान्य अपूर्णांक भाग, या क्रियेसाठी नियम असे लिहिले जाऊ शकतात:

एक* ब/c = a*b /c

थोडक्यात, असे उत्पादन समान अंशात्मक अवशेषांची बेरीज असते आणि संज्ञांची संख्या हे सूचित करते नैसर्गिक संख्या. विशेष प्रकरण:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

एका संख्येचा अंशात्मक शेषाने गुणाकार करण्याचा आणखी एक उपाय आहे. तुम्हाला फक्त या संख्येने भाजक विभाजित करणे आवश्यक आहे:

डी* e/f = e/f: d.

हे तंत्र वापरण्यासाठी उपयुक्त आहे जेव्हा भाजकाला नैसर्गिक संख्येने भाग न करता किंवा, जसे ते म्हणतात, पूर्ण संख्येने भागले जाते.

मिश्र संख्यांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा आणि पूर्वी वर्णन केलेल्या पद्धतीने उत्पादन मिळवा:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

या उदाहरणामध्ये मिश्र अपूर्णांक अयोग्य अपूर्णांक म्हणून दर्शविण्याचा एक मार्ग समाविष्ट आहे आणि सामान्य सूत्र म्हणून देखील दर्शविला जाऊ शकतो:

a bc = a*b+ c/c, जेथे नवीन अपूर्णांकाचा भाजक संपूर्ण भागाचा भाजकासह गुणाकार करून आणि मूळ अपूर्णांक उर्वरित भागाच्या अंशासह जोडून तयार केला जातो आणि भाजक समान राहतो.

ही प्रक्रिया उलट दिशेने देखील कार्य करते. संपूर्ण भाग आणि अंशात्मक उर्वरित भाग वेगळे करण्यासाठी, तुम्हाला "कोपरा" वापरून अयोग्य अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकाने विभाजित करणे आवश्यक आहे.

अयोग्य अपूर्णांकांचा गुणाकारसामान्यतः स्वीकृत मार्गाने उत्पादित. एका अपूर्णांक ओळीखाली लिहिताना, या पद्धतीचा वापर करून संख्या कमी करण्यासाठी आणि निकाल काढणे सोपे करण्यासाठी तुम्हाला आवश्यकतेनुसार अपूर्णांक कमी करणे आवश्यक आहे.

प्रोग्रामच्या विविध भिन्नतेमध्ये अगदी जटिल गणिती समस्या सोडवण्यासाठी इंटरनेटवर बरेच मदतनीस आहेत. अशा सेवांची पुरेशी संख्या भाजकांमधील भिन्न संख्येसह अपूर्णांकांच्या गुणाकाराची गणना करण्यात मदत करतात - अपूर्णांकांची गणना करण्यासाठी तथाकथित ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर. ते केवळ गुणाकार करू शकत नाहीत तर सामान्य अपूर्णांक आणि मिश्र संख्यांसह इतर सर्व साध्या अंकगणित ऑपरेशन्स देखील करू शकतात. यासह कार्य करणे कठीण नाही; तुम्ही वेबसाइट पृष्ठावर योग्य फील्ड भरा, गणितीय ऑपरेशनचे चिन्ह निवडा आणि "गणना करा" वर क्लिक करा. प्रोग्राम स्वयंचलितपणे गणना करतो.

अपूर्णांकांसह अंकगणित ऑपरेशन्सचा विषय मध्यम आणि उच्च माध्यमिक विद्यार्थ्यांच्या संपूर्ण शिक्षणामध्ये संबंधित आहे. हायस्कूलमध्ये, ते यापुढे सर्वात सोपी प्रजाती मानत नाहीत, परंतु पूर्णांक अपूर्णांक अभिव्यक्ती, परंतु पूर्वी प्राप्त झालेल्या परिवर्तन आणि गणनांच्या नियमांचे ज्ञान त्याच्या मूळ स्वरूपात लागू केले जाते. चांगले शिकले मूलभूत ज्ञानसर्वात यशस्वी निर्णयावर पूर्ण विश्वास ठेवा जटिल कार्ये.

शेवटी, लेव्ह निकोलाविच टॉल्स्टॉय यांचे शब्द उद्धृत करणे अर्थपूर्ण आहे, ज्यांनी लिहिले: “माणूस हा एक अंश आहे. त्याचा अंश - गुण वाढवणे हे एखाद्या व्यक्तीच्या सामर्थ्यात नाही - परंतु कोणीही त्याचा भाजक कमी करू शकतो - त्याचे स्वतःबद्दलचे मत, आणि या घटाने त्याच्या परिपूर्णतेच्या जवळ येते.

अपूर्णांक हा संपूर्ण भागाचा एक किंवा अधिक भाग असतो, सामान्यतः एक (1) असे मानले जाते. नैसर्गिक संख्यांप्रमाणे, आपण अपूर्णांकांसह सर्व मूलभूत अंकगणित ऑपरेशन्स (जोड, वजाबाकी, भागाकार, गुणाकार) करू शकता हे करण्यासाठी, आपल्याला अपूर्णांकांसह कार्य करण्याची वैशिष्ट्ये माहित असणे आणि त्यांच्या प्रकारांमध्ये फरक करणे आवश्यक आहे; अपूर्णांकांचे अनेक प्रकार आहेत: दशांश आणि सामान्य किंवा साधे. प्रत्येक प्रकारच्या अपूर्णांकाची स्वतःची वैशिष्ट्ये आहेत, परंतु एकदा आपण ते कसे हाताळायचे हे पूर्णपणे समजून घेतल्यावर, आपण अपूर्णांकांसह कोणतीही उदाहरणे सोडविण्यास सक्षम असाल, कारण आपल्याला अपूर्णांकांसह अंकगणित गणना करण्याची मूलभूत तत्त्वे माहित असतील. वेगवेगळ्या प्रकारच्या अपूर्णांकांचा वापर करून पूर्ण संख्येने अपूर्णांक कसा भागायचा याची उदाहरणे पाहू.

साध्या अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने कसे भागायचे?
सामान्य किंवा साधे अपूर्णांक हे अपूर्णांक असतात जे संख्यांच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात लिहिलेले असतात ज्यामध्ये अपूर्णांकाच्या शीर्षस्थानी लाभांश (अंक) दर्शविला जातो आणि अपूर्णांकाचा भाजक (भाजक) तळाशी दर्शविला जातो. अशा अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने कसे भागायचे? एक उदाहरण बघूया! समजा आपल्याला ८/१२ ला २ ने भागायचे आहे.

हे करण्यासाठी, आम्ही अनेक क्रिया केल्या पाहिजेत:
अशा प्रकारे, जर आपल्याला पूर्ण संख्येने अपूर्णांक विभाजित करण्याचे कार्य सामोरे जात असेल, तर सोल्यूशन आकृती असे काहीतरी दिसेल:

अशाच प्रकारे, तुम्ही कोणत्याही सामान्य (साध्या) अपूर्णांकाला पूर्णांकाने विभाजित करू शकता.

दशांशाला पूर्ण संख्येने कसे भागायचे?
दशांश हा एक अपूर्णांक आहे जो एका युनिटला दहा, हजार आणि अशाच भागांमध्ये विभागून मिळवला जातो. दशांशांसह अंकगणित क्रिया अगदी सोपी आहेत.

अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने कसे भागायचे याचे उदाहरण पाहू. आपण दशांश अपूर्णांक 0.925 ला नैसर्गिक संख्या 5 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे असे समजू.

थोडक्यात, दशांश अपूर्णांकांना पूर्णांकाने विभाजित करण्याचे ऑपरेशन करताना महत्त्वाच्या असलेल्या दोन मुख्य मुद्द्यांवर आपण राहू या:

• नैसर्गिक संख्येने दशांश अपूर्णांक विभाजित करण्यासाठी, दीर्घ भागाकार वापरला जातो;
  
• लाभांशाच्या संपूर्ण भागाचे विभाजन पूर्ण झाल्यावर भागामध्ये स्वल्पविराम लावला जातो.
  

हे लागू करणे साधे नियम, तुम्ही नेहमी कोणत्याही दशांश किंवा साध्या अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने सहजपणे विभाजित करू शकता.

मागील वेळी आपण अपूर्णांक कसे जोडायचे आणि वजा करायचे ते शिकलो (“अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे” हा धडा पहा). त्या क्रियांचा सर्वात कठीण भाग म्हणजे अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणणे.

आता गुणाकार आणि भागाकार हाताळण्याची वेळ आली आहे. चांगली बातमी अशी आहे की ही ऑपरेशन्स बेरीज आणि वजाबाकीपेक्षा अगदी सोपी आहेत. प्रथम, सर्वात सोप्या केसचा विचार करूया, जेव्हा विभक्त पूर्णांक भागाशिवाय दोन सकारात्मक अपूर्णांक असतात.

दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्यासाठी, तुम्ही त्यांचे अंश आणि भाजक स्वतंत्रपणे गुणाकार केले पाहिजेत. पहिली संख्या नवीन अपूर्णांकाचा अंश असेल आणि दुसरा भाजक असेल.

दोन अपूर्णांकांना विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाचा “उलटा” दुसऱ्या अपूर्णांकाने गुणाकार करावा लागेल.

पदनाम:

व्याख्येवरून असे दिसून येते की अपूर्णांकांचे विभाजन केल्याने गुणाकार कमी होतो. अपूर्णांक "फ्लिप" करण्यासाठी, फक्त अंश आणि भाजक स्वॅप करा. म्हणून, संपूर्ण धड्यात आपण प्रामुख्याने गुणाकाराचा विचार करू.

गुणाकाराच्या परिणामी, एक कमी करण्यायोग्य अपूर्णांक उद्भवू शकतो (आणि अनेकदा उद्भवतो) - तो, ​​अर्थातच, कमी करणे आवश्यक आहे. जर सर्व कपात केल्यानंतर अपूर्णांक चुकीचा असल्याचे दिसून आले, तर संपूर्ण भाग हायलाइट केला पाहिजे. परंतु गुणाकाराने निश्चितपणे काय होणार नाही ते म्हणजे सामान्य भाजक कमी करणे: कोणत्याही क्रिस-क्रॉस पद्धती नाहीत, सर्वात मोठे घटक आणि किमान सामान्य गुणाकार.

व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

पूर्ण भाग आणि ऋण अपूर्णांकांसह अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकांमध्ये उपस्थित असल्यास संपूर्ण भाग, ते चुकीच्यामध्ये रूपांतरित केले जाणे आवश्यक आहे - आणि त्यानंतरच वर वर्णन केलेल्या योजनांनुसार गुणाकार केला जाईल.

अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये, भाजकात किंवा त्याच्या समोर उणे असल्यास, ते खालील नियमांनुसार गुणाकारातून काढले जाऊ शकते किंवा पूर्णपणे काढून टाकले जाऊ शकते:

1. प्लस बाय मायनस देते वजा;
2. दोन नकारात्मक एक होकारार्थी बनवतात.

आत्तापर्यंत, हे नियम फक्त नकारात्मक अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना आले आहेत, जेव्हा संपूर्ण भाग काढून टाकणे आवश्यक होते. एका कामासाठी, एकाच वेळी अनेक तोटे "बर्न" करण्यासाठी त्यांचे सामान्यीकरण केले जाऊ शकते:

1. ते पूर्णपणे अदृश्य होईपर्यंत आम्ही जोड्यांमध्ये नकारात्मक ओलांडतो. अत्यंत प्रकरणांमध्ये, एक वजा टिकू शकतो - ज्यासाठी सोबती नव्हता;
2. जर कोणतेही उणे शिल्लक नसतील, तर ऑपरेशन पूर्ण झाले आहे - आपण गुणाकार सुरू करू शकता. जर शेवटचा उणे ओलांडला नाही, कारण त्यासाठी कोणतीही जोडी नव्हती, तर आम्ही ते गुणाकाराच्या मर्यादेच्या बाहेर काढतो. परिणाम नकारात्मक अंश आहे.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

आम्ही सर्व अपूर्णांकांना अयोग्य मध्ये रूपांतरित करतो आणि नंतर गुणाकारातून वजा काढतो. जे शिल्लक आहे ते आम्ही नेहमीच्या नियमांनुसार गुणाकार करतो. आम्हाला मिळते:

मी तुम्हाला पुन्हा एकदा आठवण करून देतो की हायलाइट केलेल्या पूर्ण भागासह अपूर्णांकाच्या समोर दिसणारा वजा हा संपूर्ण अपूर्णांकाला संदर्भित करतो आणि केवळ त्याच्या संपूर्ण भागालाच नाही (हे शेवटच्या दोन उदाहरणांना लागू होते).

हे देखील लक्षात ठेवा ऋण संख्या: गुणाकार करताना ते कंसात बंद केलेले असतात. हे गुणाकार चिन्हांपासून उणे वेगळे करण्यासाठी आणि संपूर्ण नोटेशन अधिक अचूक करण्यासाठी केले जाते.

फ्लाय वर अपूर्णांक कमी करणे

गुणाकार एक अतिशय श्रम-केंद्रित ऑपरेशन आहे. येथे संख्या खूप मोठी आहे आणि समस्या सुलभ करण्यासाठी, आपण अपूर्णांक आणखी कमी करण्याचा प्रयत्न करू शकता गुणाकार करण्यापूर्वी. खरंच, थोडक्यात, अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक हे सामान्य घटक आहेत, आणि म्हणून, ते अपूर्णांकाच्या मूळ गुणधर्माचा वापर करून कमी केले जाऊ शकतात. उदाहरणे पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

सर्व उदाहरणांमध्ये, ज्या संख्या कमी केल्या आहेत आणि त्यातील काय शिल्लक आहे ते लाल रंगात चिन्हांकित केले आहे.

कृपया लक्षात ठेवा: पहिल्या प्रकरणात, गुणक पूर्णपणे कमी केले गेले. त्यांच्या जागी अशी एकके राहतात जी सामान्यत: लिहिण्याची गरज नसते. दुस-या उदाहरणात, संपूर्ण कपात करणे शक्य नव्हते, परंतु एकूण गणना अजूनही कमी झाली आहे.

तथापि, अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना हे तंत्र कधीही वापरू नका! होय, कधीकधी अशीच संख्या असते जी तुम्हाला कमी करायची असते. येथे, पहा:

आपण ते करू शकत नाही!

त्रुटी उद्भवते कारण जोडताना, अपूर्णांकाचा अंश संख्यांचा गुणाकार नसून बेरीज तयार करतो. परिणामी, अपूर्णांकाचा मूळ गुणधर्म लागू करणे अशक्य आहे, कारण हा गुणधर्म विशेषत: संख्यांच्या गुणाकाराशी संबंधित आहे.

अपूर्णांक कमी करण्यासाठी इतर कोणतीही कारणे नाहीत, म्हणून योग्य उपायमागील कार्य असे दिसते:

योग्य उपाय:

जसे आपण पाहू शकता, योग्य उत्तर इतके सुंदर नाही. सर्वसाधारणपणे, सावधगिरी बाळगा.

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

हे ऑपरेशन बेरीज-वजाबाकीपेक्षा खूपच छान आहे! कारण ते सोपे आहे. स्मरणपत्र म्हणून, अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला अंश (हा निकालाचा अंश असेल) आणि भाजक (हा भाजक असेल) गुणाकार करणे आवश्यक आहे. ते आहे:

उदाहरणार्थ:

सर्व काही अत्यंत सोपे आहे. आणि कृपया सामान्य भाजक शोधू नका! त्याची इथे गरज नाही...

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला उलट करणे आवश्यक आहे दुसरा(हे महत्त्वाचे आहे!) अपूर्णांक आणि त्यांना गुणाकार करा, उदा.

उदाहरणार्थ:

जर तुम्हाला पूर्णांक आणि अपूर्णांकांसह गुणाकार किंवा भागाकार आला तर ते ठीक आहे. बेरीज प्रमाणे, आम्ही एका पूर्ण संख्येपासून भाजकात एक अपूर्णांक बनवतो - आणि पुढे जा! उदाहरणार्थ:

हायस्कूलमध्ये, तुम्हाला अनेकदा तीन-मजली ​​(किंवा अगदी चार-मजली!) अपूर्णांकांचा सामना करावा लागतो. उदाहरणार्थ:

मी हा अंश सभ्य कसा बनवू शकतो? होय, खूप सोपे! दोन-बिंदू विभाजन वापरा:

परंतु विभाजनाच्या क्रमाबद्दल विसरू नका! गुणाकार विपरीत, हे येथे खूप महत्वाचे आहे! अर्थात, आम्ही 4:2 किंवा 2:4 मध्ये गोंधळ घालणार नाही. परंतु तीन मजली अपूर्णांकात चूक करणे सोपे आहे. कृपया उदाहरणार्थ लक्षात ठेवा:

पहिल्या प्रकरणात (डावीकडील अभिव्यक्ती):

दुसऱ्यामध्ये (उजवीकडे अभिव्यक्ती):

तुम्हाला फरक जाणवतो का? 4 आणि 1/9!

विभाजनाचा क्रम काय ठरवतो? एकतर ब्रॅकेटसह किंवा (येथे जसे) आडव्या रेषांच्या लांबीसह. डोळा विकसित करा. आणि कंस किंवा डॅश नसल्यास, जसे की:

नंतर भागा आणि गुणा क्रमाने, डावीकडून उजवीकडे!

आणि आणखी एक अतिशय साधे आणि महत्त्वाचे तंत्र. अंशांसह कृतींमध्ये, ते आपल्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल! चला एकाला कोणत्याही अपूर्णांकाने विभाजित करू, उदाहरणार्थ, 13/15 ने:

शॉट उलटला! आणि हे नेहमीच घडते. 1 ला कोणत्याही अपूर्णांकाने भागताना, परिणाम समान अपूर्णांक असतो, फक्त उलटा.

अपूर्णांकांसह ऑपरेशनसाठी तेच आहे. गोष्ट अगदी सोपी आहे, परंतु ती पुरेशा त्रुटींपेक्षा जास्त देते. नोंद व्यावहारिक सल्ला, आणि त्यापैकी कमी असतील (त्रुटी)!

व्यावहारिक टिप्स:

1. अंशात्मक अभिव्यक्तीसह काम करताना सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे अचूकता आणि लक्ष देणे! नाही सामान्य शब्द, शुभेच्छा नाही! ही नितांत गरज आहे! युनिफाइड स्टेट परीक्षेवरील सर्व गणिते पूर्ण कार्य म्हणून करा, लक्ष केंद्रित करा आणि स्पष्ट करा. मानसिक गणिते करताना गोंधळ घालण्यापेक्षा तुमच्या मसुद्यात दोन अतिरिक्त ओळी लिहिणे चांगले.

2. सह उदाहरणांमध्ये वेगळे प्रकारअपूर्णांक - सामान्य अपूर्णांकांवर जा.

3. ते थांबेपर्यंत आम्ही सर्व अपूर्णांक कमी करतो.

4. आम्ही दोन बिंदूंद्वारे भागाकार वापरून बहु-स्तरीय अपूर्णांक अभिव्यक्ती सामान्यांपर्यंत कमी करतो (आम्ही भागाकाराच्या क्रमाचे पालन करतो!).

5. तुमच्या डोक्यातील एका अपूर्णांकाने युनिट विभाजित करा, फक्त अपूर्णांक उलटा.

येथे अशी कार्ये आहेत जी आपण निश्चितपणे पूर्ण केली पाहिजेत. सर्व कामांनंतर उत्तरे दिली जातात. या विषयावरील साहित्य आणि व्यावहारिक टिप्स वापरा. तुम्ही किती उदाहरणे बरोबर सोडवू शकलात याचा अंदाज लावा. पहिल्यावेळी! कॅल्क्युलेटरशिवाय! आणि योग्य निष्कर्ष काढा...

लक्षात ठेवा - योग्य उत्तर आहे दुसऱ्या (विशेषत: तिसऱ्या) वेळेपासून मिळालेली गणना मोजली जात नाही!असे कठोर जीवन आहे.

तर, परीक्षा मोडमध्ये सोडवा ! तसे, युनिफाइड स्टेट परीक्षेची ही आधीच तयारी आहे. आम्ही उदाहरण सोडवतो, ते तपासतो, पुढील सोडवतो. आम्ही सर्वकाही ठरवले - पहिल्यापासून शेवटपर्यंत पुन्हा तपासले. पण फक्त मगउत्तरे पहा.

गणना करा:

तुम्ही ठरवले आहे का?

आम्ही तुमच्याशी जुळणारी उत्तरे शोधत आहोत. मी त्यांना मुद्दाम गोंधळात टाकून लिहून ठेवले आहे, मोहापासून दूर आहे, म्हणून बोलायचे आहे... ती येथे आहेत, अर्धविरामाने लिहिलेली उत्तरे.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

आता आम्ही निष्कर्ष काढतो. जर सर्वकाही कार्य केले तर, मी तुमच्यासाठी आनंदी आहे! अपूर्णांकांसह मूलभूत गणना ही तुमची समस्या नाही! आपण अधिक गंभीर गोष्टी करू शकता. जर नाही...

त्यामुळे तुम्हाला दोनपैकी एक समस्या आहे. किंवा दोन्ही एकाच वेळी.) ज्ञानाचा अभाव आणि (किंवा) दुर्लक्ष. पण हे सोडवण्यायोग्य अडचणी.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

धडा सामग्री

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडत आहे

अपूर्णांक जोडण्याचे दोन प्रकार आहेत:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडत आहे
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे

प्रथम, समान भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज जाणून घेऊ. येथे सर्व काही सोपे आहे. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक आणि . अंश जोडा आणि भाजक न बदलता सोडा:

चार भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण २.अपूर्णांक जोडा आणि .

उत्तर अयोग्य अंश निघाले. जेव्हा कार्याचा शेवट येतो तेव्हा अयोग्य अंशांपासून मुक्त होण्याची प्रथा आहे. अयोग्य अंशापासून मुक्त होण्यासाठी, आपल्याला त्याचा संपूर्ण भाग निवडण्याची आवश्यकता आहे. आमच्या बाबतीत, संपूर्ण भाग सहजपणे वेगळा केला जातो - दोन भागिले दोन समान एक:

दोन भागांमध्ये विभागलेल्या पिझ्झाविषयी लक्षात ठेवल्यास हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये आणखी पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला एक संपूर्ण पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण ३. अपूर्णांक जोडा आणि .

पुन्हा, आम्ही अंक जोडतो आणि भाजक अपरिवर्तित ठेवतो:

तीन भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामध्ये अधिक पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळेल:

उदाहरण ४.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

हे उदाहरण मागील उदाहरणांप्रमाणेच सोडवले आहे. अंक जोडले जाणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित ठेवला पाहिजे:

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास आणि आणखी पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला 1 संपूर्ण पिझ्झा आणि आणखी पिझ्झा मिळतील.

तुम्ही बघू शकता, समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यात काहीही क्लिष्ट नाही. खालील नियम समजून घेणे पुरेसे आहे:

1. समान भाजकासह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे;

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे

आता भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक कसे जोडायचे ते शिकू. अपूर्णांक जोडताना, अपूर्णांकांचे भाजक समान असले पाहिजेत. पण ते नेहमी सारखे नसतात.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांक जोडले जाऊ शकतात कारण त्यांचे भाजक समान आहेत.

परंतु अपूर्णांक लगेच जोडले जाऊ शकत नाहीत, कारण या अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न आहेत. अशा परिस्थितीत, अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

अपूर्णांकांना समान भाजक कमी करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. आज आपण त्यापैकी फक्त एक पाहू, कारण इतर पद्धती नवशिक्यासाठी क्लिष्ट वाटू शकतात.

या पद्धतीचा सार असा आहे की प्रथम दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचा LCM शोधला जातो. त्यानंतर प्रथम अतिरिक्त घटक मिळविण्यासाठी एलसीएमला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित केले जाते. ते दुसऱ्या अपूर्णांकासहही तेच करतात - एलसीएमला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभागले जाते आणि दुसरा अतिरिक्त घटक मिळतो.

अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक नंतर त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार केले जातात. या क्रियांच्या परिणामी, भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलतात. आणि असे अपूर्णांक कसे जोडायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे.

उदाहरण १. चला अपूर्णांक जोडू आणि

सर्व प्रथम, आम्हाला दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांपैकी सर्वात कमी सामान्य गुणक सापडतात. पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक क्रमांक 2 आहे. या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 6 आहे

LCM (2 आणि 3) = 6

आता अपूर्णांक आणि . प्रथम, LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा आणि पहिला अतिरिक्त घटक मिळवा. LCM ही संख्या 6 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 6 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 2 मिळेल.

परिणामी संख्या 2 हा पहिला अतिरिक्त गुणक आहे. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकावर लिहितो. हे करण्यासाठी, अपूर्णांकावर एक लहान तिरकस रेषा बनवा आणि त्यावरील अतिरिक्त घटक लिहा:

आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकासह असेच करतो. आपण LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो आणि दुसरा अतिरिक्त घटक मिळवतो. LCM ही संख्या 6 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 2 आहे. 6 ला 2 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल.

परिणामी संख्या 3 हा दुसरा अतिरिक्त गुणक आहे. आम्ही ते दुसऱ्या अपूर्णांकावर लिहितो. पुन्हा, आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकावर एक लहान तिरकस रेषा बनवतो आणि त्यावरील अतिरिक्त घटक लिहू:

आता आमच्याकडे जोडण्यासाठी सर्वकाही तयार आहे. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही काय आलो आहोत ते काळजीपूर्वक पहा. आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकात बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे जोडायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे. चला हे उदाहरण शेवटपर्यंत घेऊ:

हे उदाहरण पूर्ण करते. हे जोडण्यासाठी बाहेर वळते.

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. तुम्ही पिझ्झामध्ये पिझ्झा जोडल्यास, तुम्हाला एक संपूर्ण पिझ्झा आणि पिझ्झाचा दुसरा सहावा भाग मिळेल:

समान (सामान्य) भाजकापर्यंत अपूर्णांक कमी करणे देखील चित्र वापरून चित्रित केले जाऊ शकते. अपूर्णांक कमी केल्याने आणि सामान्य भाजकापर्यंत, आम्हाला अपूर्णांक आणि मिळाले. हे दोन अपूर्णांक पिझ्झाच्या समान तुकड्यांद्वारे दर्शविले जातील. फरक एवढाच असेल की यावेळी ते समान समभागांमध्ये विभागले जातील (समान भाजकापर्यंत कमी).

पहिले रेखाचित्र अपूर्णांक (सहा पैकी चार तुकडे) दर्शवते आणि दुसरे रेखाचित्र अपूर्णांक (सहा पैकी तीन तुकडे) दर्शवते. हे तुकडे जोडल्याने आम्हाला (सहा पैकी सात तुकडे) मिळतात. हा अंश अयोग्य आहे, म्हणून आम्ही त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट केला. परिणामी, आम्हाला (एक संपूर्ण पिझ्झा आणि दुसरा सहावा पिझ्झा) मिळाला.

कृपया लक्षात घ्या की आम्ही या उदाहरणाचे खूप तपशीलवार वर्णन केले आहे. IN शैक्षणिक संस्थाअसे तपशीलवार लिहिण्याची प्रथा नाही. तुम्हाला दोन्ही भाजकांचे LCM आणि त्यांच्यावरील अतिरिक्त घटक पटकन शोधण्यात सक्षम असण्याची आवश्यकता आहे, तसेच तुमच्या अंश आणि भाजकांद्वारे सापडलेले अतिरिक्त घटक पटकन गुणाकार करण्यास तुम्हाला सक्षम असणे आवश्यक आहे. शाळेत असताना, आम्हाला हे उदाहरण खालीलप्रमाणे लिहावे लागेल:

पण आहे मागील बाजूपदके जर तुम्ही गणिताचा अभ्यास करताना पहिल्या टप्प्यात तपशीलवार नोट्स घेतल्या नाहीत, तर क्रमवारीचे प्रश्न दिसू लागतात. "ती संख्या कोठून आली?", "अपूर्णांक अचानक पूर्णपणे भिन्न अपूर्णांकांमध्ये का बदलतात? «.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे सोपे करण्यासाठी, आपण खालील चरण-दर-चरण सूचना वापरू शकता:

1. अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा;
2. प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाद्वारे LCM विभाजित करा आणि प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक मिळवा;
3. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करा;
4. समान भाजक असलेले अपूर्णांक जोडा;
5. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असेल तर त्याचा संपूर्ण भाग निवडा;

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा .

वर दिलेल्या सूचना वापरू.

पायरी 1. अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा

दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा. अपूर्णांकांचे भाजक 2, 3 आणि 4 आहेत

पायरी 2. प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाद्वारे LCM विभाजित करा आणि प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक मिळवा

LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 2 आहे. 12 ला 2 ने भागा, आम्हाला 6 मिळेल. आम्हाला पहिला अतिरिक्त घटक 6 मिळाला. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपण LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 12 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 4 मिळेल. आपल्याला दुसरा अतिरिक्त घटक 4 मिळेल. आपण ते दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहू:

आता आपण LCM ला तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो. LCM ही संख्या 12 आहे, आणि तिसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. 12 ला 4 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल. आपल्याला तिसरा अतिरिक्त घटक 3 मिळेल. आम्ही ते तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

पायरी 3. अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक त्यांच्या अतिरिक्त घटकांद्वारे गुणाकार करा

आम्ही अंक आणि भाजकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करतो:

पायरी 4. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडा

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलले. फक्त हे अपूर्णांक जोडणे बाकी आहे. ते जोडा:

जोडणी एका ओळीवर बसत नाही, म्हणून आम्ही उर्वरित अभिव्यक्ती पुढील ओळीत हलवली. याला गणितात परवानगी आहे. जेव्हा एखादी अभिव्यक्ती एका ओळीवर बसत नाही, तेव्हा ती पुढील ओळीवर हलविली जाते आणि पहिल्या ओळीच्या शेवटी आणि नवीन ओळीच्या सुरुवातीला समान चिन्ह (=) ठेवणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या ओळीवरील समान चिन्ह सूचित करते की हे पहिल्या ओळीवर असलेल्या अभिव्यक्तीची निरंतरता आहे.

पायरी 5. जर उत्तर चुकीचे ठरले, तर त्याचा संपूर्ण भाग निवडा

आमचे उत्तर अयोग्य अंश निघाले. त्याचा एक संपूर्ण भाग आपल्याला हायलाइट करावा लागेल. आम्ही हायलाइट करतो:

आम्हाला उत्तर मिळाले

समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

अपूर्णांकांच्या वजाबाकीचे दोन प्रकार आहेत:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

प्रथम, समान भाजकांसह अपूर्णांक कसे वजा करायचे ते शिकू. येथे सर्व काही सोपे आहे. एका अपूर्णांकातून दुसरा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे, परंतु भाजक समान सोडा.

उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया. हे उदाहरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे. चल हे करूया:

चार भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामधून पिझ्झा कापल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळतात:

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

पुन्हा, पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून, दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करा आणि भाजक न बदलता सोडा:

तीन भागांत विभागलेला पिझ्झा आठवला तर हे उदाहरण सहज समजू शकते. तुम्ही पिझ्झामधून पिझ्झा कापल्यास, तुम्हाला पिझ्झा मिळतात:

उदाहरण ३.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

हे उदाहरण मागील उदाहरणांप्रमाणेच सोडवले आहे. पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून तुम्हाला उर्वरित अपूर्णांकांचे अंश वजा करणे आवश्यक आहे:

तुम्ही बघू शकता, समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्यात काहीही क्लिष्ट नाही. खालील नियम समजून घेणे पुरेसे आहे:

1. एका अपूर्णांकातून दुसरा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे;
2. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले, तर तुम्हाला त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट करणे आवश्यक आहे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा करणे

उदाहरणार्थ, तुम्ही अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा करू शकता कारण अपूर्णांकांचे भाजक समान आहेत. परंतु आपण अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा करू शकत नाही, कारण या अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न आहेत. अशा परिस्थितीत, अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना आपण वापरलेले समान तत्त्व वापरून सामान्य भाजक आढळतात. सर्व प्रथम, दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधा. नंतर एलसीएमला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागले जाते आणि पहिला अतिरिक्त घटक मिळतो, जो पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहिलेला असतो. त्याचप्रमाणे, LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने भागून दुसरा अतिरिक्त घटक मिळतो, जो दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहिलेला असतो.

अपूर्णांक नंतर त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार केले जातात. या क्रियांच्या परिणामी, भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित केले जातात. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे.

उदाहरण १.अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

या अपूर्णांकांमध्ये भिन्न भाजक आहेत, म्हणून तुम्हाला ते समान (सामान्य) भाजकांपर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

प्रथम आपण दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधतो. पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. या संख्यांचा किमान सामान्य गुणक 12 आहे

LCM (3 आणि 4) = 12

आता अपूर्णांकांकडे परत जाऊया आणि

पहिल्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधू. हे करण्यासाठी, LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक क्रमांक 3 आहे. 12 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला 4 मिळेल. पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर चार लिहा:

आम्ही दुसऱ्या अपूर्णांकासह असेच करतो. LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 12 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 4 आहे. 12 ला 4 ने भागल्यास आपल्याला 3 मिळेल. दुसऱ्या अपूर्णांकावर तीन लिहा:

आता आपण वजाबाकीसाठी तयार आहोत. अपूर्णांकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकात बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे. चला हे उदाहरण शेवटपर्यंत घेऊ:

आम्हाला उत्तर मिळाले

रेखांकन वापरून आपले समाधान चित्रित करण्याचा प्रयत्न करूया. पिझ्झामधून पिझ्झा कापला तर पिझ्झा मिळतो

ही समाधानाची तपशीलवार आवृत्ती आहे. जर आपण शाळेत असतो तर आपल्याला हे उदाहरण लहान सोडवावे लागले असते. असे समाधान असे दिसेल:

एका सामान्य भाजकापर्यंत अपूर्णांक कमी करणे देखील चित्र वापरून चित्रित केले जाऊ शकते. हे अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी केल्याने, आम्हाला अपूर्णांक मिळाले आणि . हे अपूर्णांक समान पिझ्झा स्लाइसद्वारे दर्शविले जातील, परंतु यावेळी ते समान समभागांमध्ये विभागले जातील (समान भाजकापर्यंत कमी):

पहिले चित्र अपूर्णांक दाखवते (बारा पैकी आठ तुकडे), आणि दुसरे चित्र अपूर्णांक दाखवते (बारा पैकी तीन तुकडे). आठ तुकड्यांतून तीन तुकडे करून बारा पैकी पाच तुकडे मिळतात. अपूर्णांक या पाच तुकड्यांचे वर्णन करतो.

उदाहरण २.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

या अपूर्णांकांमध्ये भिन्न भाजक आहेत, म्हणून प्रथम आपण त्यांना समान (सामान्य) भाजकांपर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे.

या अपूर्णांकांच्या भाजकांचे LCM शोधू.

अपूर्णांकांचे भाजक 10, 3 आणि 5 या संख्या आहेत. या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक 30 आहे

LCM(१०, ३, ५) = ३०

आता आम्हाला प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतात. हे करण्यासाठी, LCM ला प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा.

पहिल्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधू. LCM ही संख्या 30 आहे आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 10 आहे. 30 ला 10 ने विभाजित केल्यास पहिला अतिरिक्त घटक 3 मिळेल. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपल्याला दुसऱ्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतो. LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 30 आहे आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 30 ला 3 ने भागल्यास दुसरा अतिरिक्त घटक 10 मिळतो. आम्ही ते दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता आपल्याला तिसऱ्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतो. LCM ला तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 30 आहे आणि तिसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 5 आहे. 30 ला 5 ने भागल्यास तिसरा अतिरिक्त घटक 6 मिळेल. आम्ही ते तिसऱ्या अपूर्णांकाच्या वर लिहितो:

आता सर्वकाही वजाबाकीसाठी तयार आहे. अपूर्णांकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करणे बाकी आहे:

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये बदलले. आणि असे अपूर्णांक कसे वजा करायचे हे आपल्याला आधीच माहित आहे. हे उदाहरण संपवू.

उदाहरणाचे सातत्य एका ओळीवर बसणार नाही, म्हणून आम्ही सातत्य पुढील ओळीवर हलवू. नवीन ओळीवर समान चिन्ह (=) बद्दल विसरू नका:

उत्तर एक नियमित अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले आणि सर्व काही आपल्यास अनुरूप आहे असे दिसते, परंतु ते खूप अवजड आणि कुरूप आहे. आपण ते सोपे केले पाहिजे. काय करता येईल? तुम्ही हा अंश लहान करू शकता.

अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा अंश आणि भाजक 20 आणि 30 या संख्यांच्या (GCD) ने विभाजित करणे आवश्यक आहे.

तर, आम्हाला 20 आणि 30 क्रमांकांची gcd सापडते:

आता आपण आपल्या उदाहरणाकडे परत आलो आणि अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक सापडलेल्या gcd ने विभाजित करतो, म्हणजेच 10 ने

आम्हाला उत्तर मिळाले

अपूर्णांकाचा संख्येने गुणाकार करणे

एखाद्या अपूर्णांकाचा संख्येने गुणाकार करण्यासाठी, आपल्याला दिलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा त्या संख्येने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे.

उदाहरण १. एका अपूर्णांकाला संख्या 1 ने गुणा.

अपूर्णांकाचा अंश 1 ने गुणा

रेकॉर्डिंग अर्धा 1 वेळ घेत असल्याचे समजू शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही एकदा पिझ्झा घेतला तर तुम्हाला पिझ्झा मिळेल

गुणाकाराच्या नियमांवरून आपल्याला माहित आहे की जर गुणाकार आणि घटकांची अदलाबदल केली तर गुणाकार बदलणार नाही. जर अभिव्यक्ती असे लिहिले असेल, तर उत्पादन अद्याप समान असेल. पुन्हा, पूर्ण संख्या आणि अपूर्णांक गुणाकार करण्याचा नियम कार्य करतो:

हे नोटेशन एकाचे अर्धे घेणे असे समजू शकते. उदाहरणार्थ, जर 1 संपूर्ण पिझ्झा असेल आणि आम्ही त्याचा अर्धा घेतला तर आमच्याकडे पिझ्झा असेल:

उदाहरण २. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

अपूर्णांकाच्या अंशाला 4 ने गुणा

उत्तर अयोग्य अंश होते. चला त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करूया:

दोन चतुर्थांश 4 वेळा घेणे म्हणून अभिव्यक्ती समजू शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही 4 पिझ्झा घेतल्यास, तुम्हाला दोन पूर्ण पिझ्झा मिळतील

आणि जर आपण गुणाकार आणि गुणक अदलाबदल केला तर आपल्याला अभिव्यक्ती मिळेल. ते 2 च्या बरोबरीचे देखील असेल. चार संपूर्ण पिझ्झामधून दोन पिझ्झा घेणे हे अभिव्यक्ती समजू शकते:

अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश आणि भाजक गुणाकार करणे आवश्यक आहे. जर उत्तर अयोग्य अपूर्णांक असल्याचे दिसून आले, तर तुम्हाला त्याचा संपूर्ण भाग हायलाइट करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण १.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

आम्हाला उत्तर मिळाले. हा अंश कमी करण्याचा सल्ला दिला जातो. अपूर्णांक 2 ने कमी केला जाऊ शकतो. नंतर अंतिम समाधान खालील फॉर्म घेईल:

अर्ध्या पिझ्झामधून पिझ्झा घेणे हे अभिव्यक्ती समजू शकते. समजा आमच्याकडे अर्धा पिझ्झा आहे:

या अर्ध्या भागातून दोन तृतीयांश कसे काढायचे? प्रथम आपल्याला हा अर्धा तीन समान भागांमध्ये विभागण्याची आवश्यकता आहे:

आणि या तीन तुकड्यांमधून दोन घ्या:

आम्ही पिझ्झा बनवू. तीन भागांमध्ये विभागल्यावर पिझ्झा कसा दिसतो ते लक्षात ठेवा:

या पिझ्झाचा एक तुकडा आणि आम्ही घेतलेल्या दोन तुकड्यांचे परिमाण समान असतील:

दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही समान आकाराच्या पिझ्झाबद्दल बोलत आहोत. म्हणून अभिव्यक्तीचे मूल्य आहे

उदाहरण २. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाने गुणाकार करा आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणा:

उत्तर अयोग्य अंश होते. चला त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करूया:

उदाहरण ३.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाने गुणाकार करा आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणा:

उत्तर नियमित अपूर्णांक असल्याचे निघाले, परंतु ते लहान केले तर चांगले होईल. हा अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक 105 आणि 450 या संख्यांच्या सर्वात सामान्य विभाजकाने (GCD) विभाजित करणे आवश्यक आहे.

तर, 105 आणि 450 अंकांची gcd शोधूया:

आता आपण आपल्या उत्तराचा अंश आणि भाजक आपल्याला आता सापडलेल्या gcd ने भागतो, म्हणजे 15 ने

अपूर्णांक म्हणून पूर्ण संख्येचे प्रतिनिधित्व करणे

कोणतीही पूर्ण संख्या अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, संख्या 5 म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. हे पाचचा अर्थ बदलणार नाही, कारण अभिव्यक्तीचा अर्थ "पाच संख्येने भागिले एक" आणि हे, जसे आपल्याला माहित आहे, पाच समान आहे:

परस्पर संख्या

आता आपण खूप परिचित होऊ मनोरंजक विषयगणित मध्ये. त्याला "रिव्हर्स नंबर" म्हणतात.

व्याख्या. क्रमांकावर उलटाa अशी संख्या आहे ज्याचा गुणाकार केल्यावरa एक देते.

चला या व्याख्येमध्ये व्हेरिएबल ऐवजी बदलू aसंख्या 5 आणि व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करा:

क्रमांकावर उलटा 5 अशी संख्या आहे ज्याचा गुणाकार केल्यावर 5 एक देते.

5 ने गुणाकार केल्यावर एक मिळते अशी संख्या शोधणे शक्य आहे का? हे शक्य आहे बाहेर वळते. चला पाच अपूर्णांक म्हणून कल्पना करूया:

मग हा अपूर्णांक स्वतःच गुणा, फक्त अंश आणि भाजक स्वॅप करा. दुसऱ्या शब्दांत, आपण अपूर्णांक स्वतःहून गुणाकार करू, फक्त वरच्या बाजूला:

याचा परिणाम म्हणून काय होईल? हे उदाहरण सोडवत राहिल्यास, आम्हाला एक मिळेल:

याचा अर्थ असा की संख्या 5 चा व्यस्त संख्या आहे, कारण जेव्हा तुम्ही 5 ने गुणाकार करता तेव्हा तुम्हाला एक मिळते.

संख्येचा परस्परसंबंध इतर कोणत्याही पूर्णांकासाठी देखील आढळू शकतो.

तुम्ही इतर कोणत्याही अपूर्णांकाचा परस्परसंबंध देखील शोधू शकता. हे करण्यासाठी, फक्त ते उलट करा.

अपूर्णांकाला संख्येने भागणे

समजा आमच्याकडे अर्धा पिझ्झा आहे:

दोन मध्ये समान रीतीने विभागू. प्रत्येक व्यक्तीला किती पिझ्झा मिळेल?

हे पाहिले जाऊ शकते की अर्धा पिझ्झा विभाजित केल्यानंतर, दोन समान तुकडे प्राप्त झाले, त्यापैकी प्रत्येक पिझ्झा बनतो. त्यामुळे प्रत्येकाला पिझ्झा मिळतो.

अपूर्णांकांचे विभाजन परस्पर वापरून केले जाते. परस्पर संख्या तुम्हाला भागाकार गुणाकाराने बदलण्याची परवानगी देतात.

अपूर्णांकाला संख्येने भागण्यासाठी, तुम्हाला अपूर्णांकाचा विभाजकाच्या व्यस्ततेने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

हा नियम वापरून, आम्ही आमच्या अर्ध्या पिझ्झाची दोन भागांमध्ये विभागणी लिहू.

तर, आपल्याला अपूर्णांक 2 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. येथे लाभांश हा अपूर्णांक आहे आणि भागाकार हा क्रमांक 2 आहे.

एका अपूर्णांकाला संख्या 2 ने भागण्यासाठी, तुम्हाला या अपूर्णांकाचा भागाकार 2 च्या परस्परसंबंधाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. भाजक 2 चा परस्पर भाग हा अपूर्णांक आहे. म्हणून तुम्हाला गुणाकार करणे आवश्यक आहे